Dipôle Électrostatique: Potentiel et Champ

Chapitre III
DIPOLE ELECTROSTATIQUE
I- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE CREE PAR UN DIPOLE.
I-1 Définition d’un dipôle.
Le dipôle électrostatique est l’ensemble de deux charges électriques égales et de signes opposés − q
et + q  0 maintenues à une distance a très petite.
Pour caractériser cette distribution, on définit une nouvelle grandeur vectorielle appelée moment
dipolaire : p = + q OG + + ( − q ) OG −
O : un point quelconque de l’espace (origine arbitraire).
G− : le barycentre des charges (-)
G+ : le barycentre des charges (+)
Généralisation : p =  qi OGi avec Gi le barycentre de la charge qi .
i
(
)
p = + q OG + + ( − q ) OG − = q OG + − OG − = qG−G + = q a
Req : pour tout le système  qi = 0 et p est indépendant de l’origine O choisie.
i
I-2 Potentiel électrostatique du dipôle.
Soient deux charges + q et − q placées respectivement en A et B .
On se propose de déterminer le potentiel électrostatique V ( M ) crée par ce dipôle en un point M
très éloigné de celui-ci: OM  AB et O = A  B .
En coordonnées polaires ( r , ) , on pose AB = 2 a et OM = r .
V (M ) =
1
−q 1
q  1
1 
+
=
−


4 0 AM 4 0 BM 4 0  AM BM 
q
Calculons BM :
BM = BO + OM → BM 2 = BO 2 + OM 2 + 2 BO.OM
 a2 2 a

= r 2 + a 2 + 2a r cos( ) = r 2 1 + 2 +
cos( ) 
r
 r


1
1  a 2 2a
→
= 1 + 2 + cos( ) 
BM r  r
r

−1
2
de la forme (1 + x ) avec x  1 → (1 + x )  1 +  x


En se limite au terme du premier ordre en
a
r
1
1 a

1 − cos( ) 

BM r  r

de même pour AM :
AM = AO + OM → AM 2 = AO 2 + OM 2 + 2 AO.OM
→
 a2 2 a

= r 2 + a 2 + 2a r cos( −  ) = r 2 1 + 2 −
cos( ) 
r
 r

→
1
AM
1 a

1 + cos( ) 

r r

Le potentiel :
q 1 a
q 1 a
1 a
q 2a cos( )
 1 a


V (M ) =
1 + cos( )  − 1 − cos( )   =
 + 2 cos( ) − + 2 cos( )  =


4 0  r  r
r r
r2
 r r
  4 0  r r
 4 0
On a p = q BA = 2aqk et cos ( ) = k
r
r
r p.r cos ( )
= 2aq cos ( )
Calculons : p.ur = p. =
r
r
q 2a cos( )
1 2aq cos( )
1 p.ur
1 p.r
1 p.cos ( )
→ V (M ) =
=
=
=
=
2
2
2
3
4 0
r
4 0
r
4 0 r
4 0 r
4 0
r2
Dipôle Electrostatique
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II- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UN DIPOLE.
E ( M ) = − grad (V ( M ) )
Dans la base locale associée aux coordonnées sphériques, ou par raison de symétrie de révolution
autour de ( AB ) , on a :
E ( M ) = Er ur + E u + E u avec Er = −
1
V
1 V
V
, E = −
, E = −
r sin ( ) 
r 
r
1 2 p cos ( )
1 p sin ( )
, E =
et E = 0
3
4 0
4 0
r
r3
1 1
1 p
E = E = Er2 + E2 =
4 p 2 cos 2 ( ) + p 2 sin 2 ( ) =
1 + 3cos 2 ( )
3
3
4 0 r
4 0 r
→ Er =
E fait un angle  avec OM tel que : tg ( ) =
E tg ( )
=
Er
2
Autre formulation du champ électrostatique.
E ( M ) = − grad (V ( M ) ) et V ( M ) =
Calculons : grad (V ( M ) ) =
1
p.r
4 0 r 3
 p.r 
grad  3 
4 0
 r 
1
 p.r  1
1
grad  3  = 3 grad p.r + p.r grad  3 
r 
 r  r


grad p.r = grad  px x + p y y + pz z  = grad ( pz z ) = grad ( 2aq z ) = 2aq k = p


0
 0

3
r
1
grad  3  = − 4 ur = − 3 5
r
r
r 
( )
( )
( )
3 p.r r 
1 1
r 
1 1 

grad (V ( M ) ) =
p−
 p − p.r 3 5  =
4 0  r 3
r  4 0 r 3 
r2



E ( M ) = − grad (V ( M ) ) = −
( )
3 p.r r 
1 

p
−
4 0 r 3 
r2



1
Req : Les effets électriques de E et V produit par le dipôle sont entièrement déterminés par son
moment dipolaire p .
Dipôle Electrostatique
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III- SURFACES EQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP D’UN DIPOLE.
III-1 Surfaces équipotentielles.
V (M ) =
cos ( )
p.cos ( )
= Cte → r 2 = k cos ( ) avec k = cte .
= Cte →
2
2
r
4 0
r
1
III-2 lignes de champ.
E  dr = 0
Avec E = Er ur + E u et dr = dr ur + rd u + r sin ( ) d u .
Or d = 0 →  = Cte
→ r Er d − E dr = 0 → 2r cos ( ) d = sin ( ) dr →
d ( sin ( ) )
cos ( ) d
dr
=2
=2
r
sin ( )
sin ( )
→ r = k 'sin 2 ( )
IV- DIPOLE DANS UN CHAMP EXTERIEUR.
Soit un dipôle sous l’action d’un champ extérieur E0 qui dérive d’un potentiel U . On suppose que
E0 est intense pour qu’on puisse négliger les effets du champ électrostatique créé par ce dipôle.
Le dipôle et le champ extérieur interagissent. L’énergie potentielle d’interaction du dipôle avec le
champ appliqué est :
W = + qU ( A ) − qU ( B ) = q U ( A ) − U ( B ) 
A et B sont très proches : U ( A ) − U ( B ) dU ( O ) = grad (U ) .BA
→ W = q grad (U ) .BA = q BA grad (U ) or p = q BA et E0 = − grad (U ) .
→ W = − p.E0 = − pE0 cos ( )
Cette énergie dépend de l’orientation du dipôle par rapport au champ appliqué :
 = 0 → W = − p.E0 minimum d'énergie

 =  → W = + p.E0 maximum d'énergie
(
 = 0 position d’équilibre stable p // E0
)
Req : Le champ extérieur tend à orienter le dipôle parallèlement aux lignes de champ et de le déplacer
vers les régions ou E0 est plus intense.
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