IUA - ADA
Abidjan-Côte d’Ivoire
Master 1 GRAF - Semestre 2
—– Processus Stochastique II —–
Année Académique
2025-2026
TD : Processus Stochastique II
Exercice 1
On lance indéfiniment et indépendamment un dé tétraédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Pour tout n ≥ 1, on désigne par Yn le chiffre obtenu au n−ième lancer. On considère la
filtration {Fn }n∈N définie par : F0 = {∅, Ω} et Fn = σ(Y1 , ..., Yn ), pour tout n ≥ 1. Soit Sn la somme
des n−premiers chiffres obtenus pour tout n ≥ 1 et on pose S0 = 0.
1. Justifier que (Yn )n≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi. Donner
cette loi.
2. Le processus (Sn )n≥0 est-il une {Fn }n∈N −martingale ? sous ou sur martingale ?
3. Soit M un processus stochastique défini par : Mn = nλ + Sn , pour tout n ≥ 0.
(a) Déterminer la valeur de λ pour que (Mn )n≥0 soit une {Fn }n∈N −martingale.
(b) Montrer que (Mn2 − 45 n)n≥0 est une {Fn }n∈N −martingale.
(c) En déduire la variation quadratique hM i du processus M .
Exercice 2
Soit W un mouvement brownien standard sur un espace probabilisé (Ω, F, P).
t
1. Montrer que (Wt2 − t)t≥0 et (eWt − 2 )t≥0 sont des martingales.
t
2. On pose Mt = Wt2 − t et Xt = eWt − 2 . Calculer les intégrales suivantes :
Z t
Z t
Z t
Z t
Z t
1
Ms dWs ,
Ms dMs ,
Xs dWs ,
dXs et
Xs dXs .
0
0
0
0 Xs
0
3. Pour tout t ≥ 0, on définit les processus suivants :
Z t
Z t
3
2
Ut = Wt − 3
Ws ds, Vt = t Wt − 2
Ws ds et Zt = (1 + t)eσWt .
0
0
Ecrire U , V et Z sous forme de processus d’Itô. U , V et Z sont-ils des martingales ?
1
4. On pose Yt =
. Ecrire l’EDS vérifiée par Y et celle vérifiée par Z.
1 + Xt
Exercice 3
Soit W un mouvement brownien standard sur un espace probabilisé (Ω, F, P). Montrer que chacune
des EDSs suivantes admet une solution unique dont on déterminera l’expression explicite.
1. t ∈ [0, 1[,
t
dXt = 1−X
dt + (1 − t)dWt ;
1−t
2. dXt = tXt dt + e
1 2
t
2
dBt ,
X0 = 1.
X0 = 1.
1
1
3. dXt = − 1+t
Xt dt + 1+t
dBt .
4. dXt = (t − Xt )dt + tdWt ,
X0 = 1.
5. dXt = (Xt − t)dt + (1 + tXt )dWt ,
X0 = 1.
Exercice 4
On considère un marché financier constitué d’un titre sans risque de valeur initiale 1$, de rendement
4% et d’un titre risqué pouvant rapporter de manière équiprobable du 11% et du 1%. La valeur initiale
du titre risqué est de 30$.
1. Calculer le prix du call sur une période pour un strike de 31$.
Processus Stochastique II
1
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2. Calculer le prix d’un Put sur deux périodes si on veut au moins réaliser sur le sous jacent un
return égal au taux sans risque.
3. Un trader a vendu ce Put et la couvre : Préciser sa stratégie de couverture et son portefeuille à
la date 0.
Exercice 5
On considère un marché financier sur deux périodes (0 → 1 → 2), constitué d’un titre sans risque de
valeur initiale 1$, de rendement 5% et d’un titre risqué de valeur initiale 100$ pouvant augmenter ou
baisser de manière équiprobable de 10% à la fin de chaque période.
On considère sur ce marché un zero-coupon d’échéance T , i.e. le produit financier (sans risque) de
valeur 1 en T . Son prix en t est noté B(t, T ).
1. Quel est le prix C0 et la stratégie de couverture d’un call européen à la monnaie i.e. de strike
K = S0 , sur les deux périodes ?
2. Qu’en est-il du prix P0 du put à la monnaie ?
3. Déterminer B(0, 2). Vérifie t’on la relation de parité call put : C0 − P0 = S0 − KB(0, 2) ?
Exercice 6
On considère un marché financier sur 2 périodes, constitué de deux actifs :
- Un placement sans risque de valeur initiale 1, sans taux d’intérêt (i.e., r = 0).
- Une action de valeur initiale 100$, qui peut gagner ou perdre 10$ (resp. 5$) à la fin de la 1ère
période (resp. à la fin de la 2ème période).
On considère un put européen de strike K = 100 et d’échéance T = 2. On note Pk (Sk ) son prix à
l’instant k sur le sous-jacent S.
1. Déssiner l’arbre.
2. En appliquant les formules des modèles à une période à deux sous-arbres bien choisis, déterminer
P1 (110) et P1 (90).
3. En déduire le prix initial de l’option P0 (100).
4. Un trader a vendu cette option et la couvre : Préciser ses opérations de couverture et son
portefeuille à la date k = 0.
5. Déterminer le prix initial de l’option si c’était call européen.
Exercice 7
Une action vaut actuellement 50$. A la fin de chaque mois, elle peut augmenter de 6% ou diminuer de
5%. Le taux d’intérêt sans risque est de 5% par mois.
1. Quelle est la valeur d’un call européen d’échéance 2 mois et de prix d’exercice 51$ ?
2. Un trader a vendu le call et le couvre : préciser ses opérations de couverture et son portefeuille
à la date t = 0, i.e., au debut de la première période.
3. Déterminer le prix initial de l’option si c’était un put européen.
Exercice 8
1
1
On considère une action dont le prix (en euro) St à la date t est donné par St = 5e 2 Wt + 4 t , où W est un
mouvement brownien standard sur un espace probabilisé (Ω, F, P) de filtration naturelle {Ft }t∈[0,T ] .
On suppose que la prime de risque sur le marché est de 13, 5% du prix spot S0 de cette action.
1. Donner la dynamique du prix de l’action. Puis, en déduire le taux sans risque du marché.
2. On note S̃t = St e−rt le prix actualisé de l’action. Déterminer la dynamique de S̃. En déduire une
nouvelle probabilité Q sous laquelle S̃ est une martingale.
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3. Ecrire la dynamique du prix de l’action sous la probabilité Q.
4. On considère un produit dérivé de maturité un an sur le titre risqué S. On suppose que ce produit
dérivé rapporte 5 euro à échéance si le titre risqué vaut moins que 5 euro et 0 sinon.
(a) Décrire la méthode d’évaluation d’un produit dérivé de payoff h(ST ).
(b) Déterminer le payoff de ce produit dérivé, puis calculer son prix à la date t = 0.
(c) Un trader a vendu l’option et la couvre : préciser ses opérations de couverture et son
portefeuille à la date t = 0.
(d) Déterminer le prix initial de l’option si c’était un call européen. Préciser les opérations de
couverture et le portefeuille à la date t = 0.
(e) En utilisant la distribution de la variable aléatoire Xt = ln St , calculer la probabilité pour
qu’au bout d’un an, le prix de l’action soit au moins égal au prix spot
Rappel : Si Z
N (0, 1) alors P(Z ≥ −u) = P(Z ≤ u).
Exercice 9
Soit W un mouvement brownien standard sur un espace probabilisé (Ω, F, P) et {Ft }t∈[0,T ] sa filtration
naturelle.
1 2
I-) Soit Z un processus stochastique défini par : Zt = e−λWt − 2 λ t , t ∈ [0, T ] ; λ ∈ R.
1. Montrer que Z une martingale brownienne strictement positive sous P.
2. Montrer qu’il existe une probabilité Q équivalente à P (dont on déterminera la densidé), sous
laquelle le processus Bt = Wt + λt, t ∈ [0, T ] est un mouvement brownien.
II-) On considère un marché financier constitué d’un titre sans risque de rendement instantané r égal à
4% de valeur initiale S00 = 1$ et d’un titre risqué de valeur initiale S0 = 40$, de rendement instantané
moyen µ égal à 8% et de coefficient de volatilité σ égal à 16%, i.e., de dynamique : dSt = µSt dt+σSt dWt .
1. Donner l’expression explicite de St sous P. Puis donner sa dynamique sous Q.
2. On note S̃t = e−rt St , le prix actualisé de l’actif risqué.
(a) Déterminer l’EDS vérifiée par S̃t sous P, puis sous Q.
(b) Rappeler la définition d’une probabilité risque-neutre.
(c) Déterminer la valeur de λ si Q est une probabilité risque-neutre.
3. Calculer le prix d’une option d’achat sur le titre risqué de strike égal à 50$ de maturité 4 mois.
4. Un trader a vendu l’option et la couvre : préciser ses opérations de couverture et son portefeuille
à la date t = 0, i.e., au debut de la première période.
5. Déterminer le prix initial de l’option si c’était un put européen. Préciser les opérations de couverture et le portefeuille à la date t = 0.
Exercice 10
On considère un marché constitué d’un titre sans risque de rendement instantané égal à 4% et d’un
titre risqué de rendement instantané moyen égal à 8% et de coefficient de volatilité égal à 17%. La
valeur initiale du titre est de 40 euro.
1. Calculer le prix d’une option d’achat sur le titre risqué de strike égal à 43 euro de maturité 9
mois.
2. Un trader a vendu l’option et la couvre : préciser ses opérations de couverture et son portefeuille
à la date t = 0.
3. Déterminer le prix initial de l’option si c’était un put européen. Préciser les opérations de couverture et le portefeuille à la date t = 0.
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