Logiques Mathématiques: Introduction à la logique mathématique

Logiques Mathématiques
Abdoul Salam DIALLO 1
Université Alioune DIOP de Bambey
UFR SATIC, Département de Mathématiques
B.P. 30, Bambey, Sénégal
Introduction
Au départ de toute théorie mathématique se trouve un petit nombre d’énoncés
que l’on pose comme vrais à priori (on les appelle des axiomes ou postulats)
à partir desquels se déduisent d’autres résultats. Un résultat mathématique
qui mérite d’être retenu est en général qualifié de proposition. Suivant son
importante dans le cadre d’une théorie donnée, un résultat mathématique peut
être qualifié de:
ˆ Proposition ou assertion ou affirmation: est un résultat mathématique
vrai ou faux.
ˆ Théorème: est un résultat mathématique d’une importance majeure.
ˆ Corollaire: est une conséquence importante d’un théorème.
ˆ Lemme: est un résultat mathématique d’une importance mineure qui permet à l’établissement d’un théorème de plus grande importance.
ˆ Conjecture: est un résultat mathématique que l’on suppose vraie sans
parvenir à la démontrer.
Un résultat mathématique est un énoncé vrai qui se démontre. C’est donc
un énoncé que l’on peut déduire à partir d’axiomes ou postulats ou d’autres
résultats mathématiques établis en s’appuyant sur des règles de logique.
Les mathématiques modernes sont bâties de la façon suivante:
ˆ on part d’un petit nombre d’affirmations, appelées axiomes ou postulats,
supposées vraies à priori et que l’on ne cherche donc pas à démontrer;
ˆ on suppose que certaines affirmations sont vraies, comment montrer qu’une
affirmation donnée est vraie;
ˆ on définit ensuite la notion de démonstration en décidant par exemple de
ce qu’est une implication, une équivalence,...;
ˆ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de
démonstration.
1 E-mail: [email protected]
1
A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit
enrichir la théorie mathématique.
Par exemple, la géométrie euclidienne est basée sur cinq axiomes. L’un de ces
axiomes est le postulat numéro 5 qui stipule que par un point donné passe une
et une seule droite parallèle à une droite donnée.
Le but de chapitre est de préciser certaines règles de logique sur lesquelles nous
nous appuierons pour justifier les raisonnements utilisés dans les démonstrations
mathématiques.
1
Propositions
Definition 1.1. On appelle proposition un énoncé qui est vrai dans certaines
conditions, faux dans d’autres, mais dont on peut toujours dire s’il est vrai ou
s’il est faux.
La propriété essentielle d’une proposition P est donc d’être dotée de l’une des
valeurs de vérité: V (vraie) ou F (fausse).
Example 1.1. P (n): n est un multiple de 5. Quand on donne une valeur à n,
on a:
ˆ Pour n = 10, P (10) devient: 10 est un multiple de 5 est une proposition
vraie.
ˆ Pour n = 13, P (13) devient: 13 est un multiple de 5 est une proposition
fausse.
Example 1.2. Q(n) : n est un nombre entier et n est multiple de 2 est une
proposition vraie pour les nombres pairs mais fausse pour les nombres impairs.
Definition 1.2. On appelle assertion une proposition qui est toujours vraie ou
qui est toujours fausse.
Remarque 1.1. Une assertion est un énoncé mathématique auquel on peut
attribuer la valeur de vérité vraie (V ) ou fausse (F ) mais jamais les deux à la
fois.
Example 1.3. Les énoncés suivants sont des assertions:
ˆ 7 > 5;
√
ˆ 7 est un nombre rationnel;
ˆ cos(nπ) = (−1)n ;
ˆ 5 × 6 = 60.
Remarque 1.2. Une assertion est une proposition (ou prédicta) sans variable.
Example 1.4. L’énoncé P (x, A) défini par x ∈ A est un prédicat à deux variables.
ˆ P (1, N) est une assertion vraie.
√
ˆ P ( 2, Q) est une assertion fausse.
2
2
Les connecteurs logiques
A partir d’une ou plusieurs assertions (ou propositions), on peut en construire
d’autres propositions. C’est l’objet de la section suivante.
2.1
Négation
Definition 2.1. (Négation) Soit P une proposition. La négation de P est la
proposition notée eP et on lit (non P ) qui
ˆ est vraie si P est fausse;
ˆ fausse si P est vraie.
La valeur de vérité de eP en fonction de celle de P est donnée par un tableau
appelé table de vérité de eP
P
V
F
eP
F
V
Example 2.1. Soit la proposition : 32 est un mulitple de 2. Il s’agit d’une
proposition vraie. Sa négation est : 32 n’est pas un mulitple de 2. Il s’agit
d’une proposition fausse.
Example 2.2. La négation de la proposition x ≥ 0 est x < 0 et non pas x ≤ 0.
Example 2.3. La négation de la proposition x ∈ A est x ∈
/ A.
Proposition 2.1. Soit P une proposition. Alors on a: e(eP ) = P
Proof. On montre facilement que e(eP ) et P ont les mêmes valeurs de vérité.
En effet, on a:
P
V
F
eP
F
V
e(eP )
V
F
Remarque 2.1. (Principe du tiers-exclu) Une proposition est vraie ou alors sa
négation est vraie, et inversement. Autrement dit, la négation de la négation
d’une proposition est équivalante à la proposition initiale.
Remarque 2.2. On utilise aussi la notation P pour désigner la négation de la
proposition P .
2.2
Conjonction
Definition 2.2. (Conjonction) Soient P et Q deux propositions. On appelle
conjonction de P et Q, la proposition notée P ∧ Q et on lit (P et Q) qui
ˆ est vraie si P et Q sont vraies simultanément ;
ˆ est fausse dans les autres cas.
3
La valeur de vérité de P ∧ Q en fonction de celle de P et Q est donnée par un
tableau appelé table de vérité de P ∧Q. On a la table de vérité de la proposition
P ∧ Q:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∧Q
V
F
F
F
Example 2.4. Soit la proposition P (x) définie par: x ≤ 1 pour tout x ∈ R, et
la proposition Q(x) définie par: x ≥ 2 pour tout x ∈ R. Alors la proposition
P (x) ∧ Q(x) est définie par:
x ≤ 1 et x ≥ 2
pour tout
x ∈ R.
(1)
Remarque 2.3. On a toujours: P ∧ P = P .
Proposition 2.2. Soiet P, Q et R trois propositions. Alors on a:
P ∧Q =
(P ∧ Q) ∧ R
=
Q∧P
P ∧ (Q ∧ R).
Proof. On montre que les propositions ont les mêmes valeurs de vérité.
2.3
Disjonction
En français, il existe deux significations du mot ou. Il y’a le ou inclusif qui
signifie soit l’un, soit l’autre, soit les deux et le ou exclusif qui signifie soit l’un,
soit l’autre, mais pas les deux. On notera le ou inclusif par ∨ et le ou exclusif
par W .
2.3.1
Disjonction inclusive
Definition 2.3. (Disjonction inclusive) Soient P et Q deux propositions. On
appelle disjonction inclusive de P et Q, la proposition notée P ∨ Q et on lit (P
ou Q) qui
ˆ est fausse si P et Q sont fausses;
ˆ est vraie dans les autres cas.
La valeur de vérité de P ∨ Q en fonction de celle de P et Q est donnée par un
tableau appelé table de vérité de P ∨ Q. On a la table de vérité de P ∨ Q
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∨Q
V
V
V
F
4
Example 2.5. Soit le prédicat P (x) défini par: x ≤ 1 pour tout x ∈ R, et le
prédicat Q(x) défini par: x ≥ 2 pour tout x ∈ R. Alors le prédicat P (x) ∨ Q(x)
est défini par
x ≤ 1 ou x ≥ 2 pour tout x ∈ R.
Il est vrai si x ∈] − ∞; 1] ∪ [2; +∞[ et faux si x ∈]1; 2[.
Remarque 2.4. On a toujours : P ∨ P = P .
Proposition 2.3. Soiet P, Q et R trois propositions. Alors on a:
P ∨Q =
(P ∨ Q) ∨ R
=
Q∨P
P ∨ (Q ∨ R).
Proof. On montre que les propositions ont les mêmes valeurs de vérité.
2.3.2
Disjonction exclusive
Definition 2.4. (Disjonction exclusive) Soient P et Q deux propositions. On
appelle disjonction exclusive de P et Q, la proposition notée P ∨ ∨Q et on lit
(ou P ou Q) qui
ˆ est vraie si une et une seule des propositions P ou Q est vraie;
ˆ et fausse dans les autres cas.
La valeur de vérité de P ∨ ∨Q en fonction de celle de P et Q est donnée par un
tableau appelé table de vérité de P ∨ ∨Q. On a la table de vérité de P ∨ ∨Q
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∨ ∨Q
F
V
V
F
Proposition 2.4. (Lois de Morgan) Soient P et Q deux propositions. On a:
1. e(P ∧ Q) = (eP ) ∨ (eQ).
2. e(P ∨ Q) = (eP ) ∧ (eQ).
Proof. On a:
1. On démontre la première à l’aide d’une table de vérité.
2. On a la deuxième d’après la table de vérité suivante:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∨ Q e(P ∨ Q eP
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
5
eQ (eP ) ∧ (eQ)
F
F
V
F
F
F
V
V
Remarque 2.5. La négation de ∧ est ∨ et la négation de ∨ est ∧.
Proposition 2.5. Soient P, Q et R trois propositions. On a:
1. (P ∧ Q) ∨ R = (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R).
2. (P ∨ Q) ∧ R = (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R).
Proof. On a:
1. On a la première d’après la table de vérité suivante:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
P ∧ Q (P ∧ Q) ∨ R
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
P ∨R
V
V
V
V
V
F
V
F
Q∨R
V
V
V
F
V
V
V
F
(P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
V
V
V
F
V
F
V
F
On lit les mêmes valeurs de vérité dans les cinquième et huitième colonnes.
2. On démontre la deuxième à l’aide d’une table de vérité.
Proposition 2.6. Soient P, Q et R trois propositions. On a:
1. P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
2. P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
2.4
Implication
Definition 2.5. (Implication) Soient P et Q deux propositions. On appelle
implication logique de P et Q, la proposition notée P ⇒ Q qui
ˆ est fausse si P est vraie et Q fausse;
ˆ et vraie dans les autres cas.
La valeur de vérité de P ⇒ Q en fonction de celle de P et Q est donnée par un
tableau appelé table de vérité de P ⇒ Q. On a la table de vérité P ⇒ Q
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ⇒Q
V
F
V
V
Remarque 2.6. La proposition P ⇒ Q équivaut à P et Q sont vraies ou il
existe une relation entre P et Q. Dans l’énoncé P ⇒ Q, P est aussi nommé
l’antécédent ou l’hypothèse et Q est nommé le conséquent ou la thèse.
6
Remarque 2.7. En mathématiques il est d’usage de n’écrire que des propositions vraies ; c’est pourquoi, pour traduire: P ⇒ Q, on emploie souvent
l’expression: si P , alors Q. Mais la relation (P ⇒ Q ) peut fort bien être
vraie alors que ni P ni Q ne le sont .
Example 2.6. La proposition (4 est impair) ⇒ (7 est pair) est vraie.
Example 2.7. La proposition (4 est pair) ⇒ (7 est impair) est vraie.
Example 2.8. La proposition (4 est impair) ⇒ (7 est impair) est vraie.
Proposition 2.7. (Transitivité de l’implication) Soient P, Q et R trois propositions. Alors on a:
(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R) = (P ⇒ R).
Proof. Cette proposition se démontre à l’aide d’une table de vérité à 8 lignes.
Proposition 2.8. Soient P et Q deux propositions. On a:
P ⇒ Q =eP ∨ Q.
Proof. P ⇒ Q à les mêmes valeurs de vérité que eP ∨ Q.
Proposition 2.9. (Négation d’une implication) Soient P et Q deux propositions. On a:
e(P ⇒ Q) = P ∧eQ.
Proof. On a:
P ∧ Q = P ∧ Q car
P =P
= P ∨Q
= P ⇒ Q d’après la proposition précédente.
Proposition 2.10. (Contraposée d’une implication) Soient P et Q deux propositions. On a:
eQ ⇒eP = P ⇒ Q.
Proof. On a:
P ⇒Q = P ∨Q=Q∨P
= Q∨P
= Q ⇒ P.
Definition 2.6. L’implication eQ ⇒eP s’appelle contraposée de P ⇒ Q.
Definition 2.7. L’implication Q ⇒ P s’appelle réciproque de P ⇒ Q.
Definition 2.8. L’implication eP ⇒eQ s’appelle inverse de P ⇒ Q.
Remarque 2.8. Ce n’est pas parce qu’une implication est vraie que sa réciproque
ou son inverse l’est également. Par contre, la contraposée d’une implication est
toujours de même valeur de vérité que l’implication elle même. La contraposition fournie un type un raisonnement, appelé: raisonnement par contraposition.
7
2.5
Équivalence
Definition 2.9. (Équivalence) Soient P et Q deux propositions. On appelle
équivalence de P et Q, la proposition notée P ⇔ Q et on lit P équivaut à Q qui
est vraie si P et Q sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.
La valeur de vérité de P ⇔ Q en fonction de celle de P et Q est donnée par un
tableau appelé table de vérité de P ⇔ Q. On a la table de vérité de P ⇔ Q
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ⇐⇒ Q
V
F
F
V
Remarque 2.9. Si l’on écrit P ⇔ Q, cela sous-entend P ⇔ Q est vraie.
Attention rien ne dit que P et Q sont vraies. Cela signifie que P et Q sont
vraies en même temps ou fausses en même temps.
Proposition 2.11. Soient P et Q deux propositions. On a:
P ⇔ Q = Q ⇔ P,
(P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R)
= P ⇔ R.
On relie l’équivalence à l’implication par la proposition suivante:
Proposition 2.12. Soient P et Q deux propositions. On a:
P ⇔ Q = (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ).
Proof. Il faut montrer que les deux propositions P ⇔ R et (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)
ont les mêmes tables de vérités.
Remarque 2.10. Une équivalence signifie deux implications, l’une de gauche
à droite et l’autre de droite à gauche.
3
Quantificateurs
Dans cette section, on donne les outils nécessaire à la formulation précise d’énoncés
mathématiques. On veut par exemple formaliser des énoncés du type suivant:
ˆ Étant donné un nombre entier quelconque, en lui ajoutant 2, on obtient
encore un nombre entier.
ˆ La somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif.
ˆ Le carré de n’importe quel nombre réel est un nombre positif.
ˆ Tout nombre réel positif est le carré d’un nombre réel. ect..
Plus précisement, on cherche une manière systématique de décrire des énoncés
en utilisant le moins de mots possible.
Ainsi donc, on introduit les quantificateurs: quel que soit et il existe. À partir
d’une proposition P (x) contenant un object x appelé variable appartenant à
un ensemble E appelé référentiel, on peut construire de nouvelles propositions
appelées propositions quantifiées en utilisant les quantificateurs.
8
3.1
Quantificateur universel ∀
Definition 3.1. (Quantificateur ∀) Soit P (x) une proposition définie sur un
ensemble E non vide. Le quantificateur universel noté ∀ et on lit quel que soit,
permet de définir la proposition quantifiée suivante:
∀x ∈ E, P (x),
qui est vraie si pour tous les éléments x appartenant E, la proposition est vraie.
Example 3.1. Avec le quantificateur universel, on peut traduire la proposition
suivante: étant donné un nombre entier quelconque, en lui ajoutant 2, on obtient
encore un nombre entier, par:
∀n ∈ N, n + 2 ∈ N.
Example 3.2. Avec le quantificateur universel, on peut traduire la proposition
suivante: la somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif,
par:
∀x ≥ 0, n + 2∀y ≥, x + y ≥ 0.
,
Example 3.3. Avec le quantificateur universel, on peut traduire la proposition
suivante: le carré de n’importe quel nombre réel est un nombre positif, par:
∀x ∈ R, x2 ≥ 0.
Example 3.4. (Quantificateur universel ∀)
ˆ ∀x ∈ [−3, 1], x2 + 2x − 3 ≤ 0 est une proposition quantifiée vraie;
ˆ ∀x ∈ N, x(x − 3) > 0 est une proposition quantifiée fausse.
3.2
Quantificateur existentiel
Definition 3.2. (Quantificateur ∃) Soit P (x) une proposition définie sur un
ensemble E non vide. Le quantificateur existentiel noté ∃ et on lit il existe,
permet de définir la proposition quantifiée suivante:
∃x ∈ E, P (x).
qui est vraie si on peut trouver (au moins) un élément x appartenant E, tel que
la proposition soit vraie.
Remarque 3.1. S’il en existe un et un seul élément x de E, on pourra écrire
∃!x ∈ E, P (x),
et on dira qu’il existe au moins un élément x de E vérifiant P (x).
Example 3.5. Avec le quantificateur existentiel, on peut traduire la proposition
suivante: tout nombre réel positif est le carré d’un nombre réel, par:
∀x ≥ 0, ∃y ∈ R, x = y 2 .
9
Remarque 3.2. La virgule , se lit tel que. D’autres utilisent / à la place de la
virgule ,.
Example 3.6. (Quantificateur ∃)
ˆ ∃x ∈ R/x2 = 4 est une proposition quantifiée vraie;
ˆ ∃!x ∈ R/x2 = 4 est une proposition quantifiée fausse.
Remarque 3.3. Si la proposition ∀x ∈ E, P (x) est vraie alors la proposition
∃x ∈ E/P (x) est vraie.
Example 3.7. Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes:
1. f est la fonction nulle (où f est une fonction de R dans R).
2. Le dénominateur D de f s’annule au moins une fois sur R.
3. f est l’identité de R (cad la fonction qui, à chaque réel, associe lui-même).
4. f est croissante sur R (où f est une fonction de R dans R).
5. L’équation sin x = x a une et une seule solution dans R.
Solution On a:
1. ∀x ∈ R, f (x) = 0.
2. ∃x ∈ R/D(x) = 0.
3. ∀x ∈ R, f (x) = x.
4. ∀(a, b) ∈ R2 , a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b)
5. ∃!x ∈ R/ sin x = x.
Example 3.8. Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes:
1. f n’est pas nulle (où f est une fonction de R dans R).
2. Le dénominateur D de la fraction ne s’annule pas sur R.
3. f n’est pas l’identité de R (où f est une fonction de R dans R).
4. f n’est pas croissante sur R (où f est une fonction R dans R).
5. f est constante sur R (où f est une fonction de R dans R).
6. f n’est pas constante sur R.
Solution On a:
1. ∃x ∈ R/f (x) 6= 0.
2. ∀x ∈ R, D(x) 6= 0.
3. ∃x ∈ R/f (x) 6= x.
4. ∃(a, b) ∈ R2 /(a ≤ b
et
f (a) > f (b)).
10
5. ∃C ∈ R/∀x ∈ R, f (x) = C.
6. ∀C ∈ R, ∃x ∈ R/f (x) 6= C.
Proposition 3.1. (Règles de négation) Soient E un ensemble et P (x) une
proposition dont les valeurs de vérités sont fonction des éléments x de E.
ˆ non ∀x ∈ E, P (x) ≡ ∃x ∈ E, non P (x) .
ˆ non ∃x ∈ E, P (x) ≡ ∀x ∈ E, non P (x) .
Remarque 3.4. La négation de ∀ est ∃ et la négation de ∃ et ∀.
Example 3.9. (Exemples de négations)
1. La négation de la proposition: ∀x ∈ [1, +∞[, x2 ≥ 1 est la proposition:
∃x ∈ [1; +∞[, x2 < 1.
2. La négation de la proposition: ∃z ∈ C, z 2 + z + 1 = 0 est la proposition:
∀z ∈ Z, z 2 + z + 1 6= 0.
3. La négation de la proposition: ∀x ∈ R, x + 1 ∈ Z est la proposition:
∃x ∈ R, x + 1 6∈ Z.
4. La négation de la proposition: ∃M ∈ R+ , ∀n ∈ N, |un | ≤ M est la proposition: ∀M ∈ R+ , ∃n ∈ N, |un | > M .
Proposition 3.2. Soit E un ensemble non vide. Soient P (x) et Q(x) deux
propositions sur E. On a:
non ∀x ∈ E, P (x) ⇒ Q(x) ≡ ∃x ∈ E, P (x) ∧ non Q(x) .
Example 3.10. La négation de la proposition:
∀ε > 0, ∃α > 0, |x| < α ⇒ |x2 | < ε,
est la proposition:
∃ε > 0, ∀α > 0, |x| < α ∧ |x2 | ≥ ε.
Example 3.11. La définition d’une fonction f continue en un réel x0 est
donnée par:
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ Df , |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε .
La négation de cette définition est donnée par:
∃ε > 0, ∀η > 0, ∃x ∈ Df , |x − x0 | < η et |f (x) − f (x0 )| ≥ ε .
Proposition 3.3. (Distribution) Soient E un ensemble non vide et P (x), Q(x)
deux propositions dont les valeurs de vérité sont fonction des éléments x de E.
1. ∀x ∈ E, P (x) ∧ Q(x) ⇔ ∀x ∈ E, P (x) ∧ ∀x ∈ E, Q(x) .
11
2.
∃x ∈ E, P (x) ∨ Q(x) ⇔ ∃x ∈ E, P (x) ∨ ∃x ∈ E, Q(x) .
Remarque 3.5. On peut distribuer ∀ sur ∧ et ∃ sur ∨.
Proposition 3.4. Soient E un ensemble non vide et P (x), Q(x) deux propositions dont les valeurs de vérité sont fonction des éléments x de E.
1.
∀x ∈ E, P (x) ∨ ∀x ∈ E, Q(x) ⇒ ∀x ∈ E, P (x) ∨ Q(x) .
2. ∃x ∈ E, P (x) ∧ Q(x) ⇒ ∃x ∈ E, P (x) ∧ ∃x ∈ E, Q(x) .
Remarque 3.6. On ne peut pas distribuer ∀ sur ∨ et ∃ sur ∧.
Example 3.12. Soient les deux propositions:
(∃x ∈ R/ cos x = 0)
et
(∃x ∈ R/ sin x = 0),
et
(∃x ∈ R/ cos x = 0
et
sin x = 0).
La première proposition est vraie car 0 est un réel x tel que sin x = 0 et π2 est un
réel x tel que cos x = 0. Ainsi, dans les deux propositions (∃x ∈ R/ cos x = 0)
et ∃x ∈ R/ sin x = 0, la lettre x utilisée deux fois ne désigne pas forcément un
même nombre. La deuxième proposition est fausse.
Example 3.13. On rappelle qu’une fonction f de R dans R est monotone si
et seulement si elle est croissante ou décroissante sur R. Ceci s’écrit avec des
quantificateurs:
(∀(a, b) ∈ R2 , (a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b)))
ou
(∀(a, b) ∈ R2 , (a ≤ b ⇒ f (a) ≥ f (b))),
et ne s’écrit pas
(∀(a, b) ∈ R2 , (a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b)
ou
f (a) ≥ f (b)).
Cette deuxième proposition est vérifiée pour toute fonction f de R dans R.
Proposition 3.5. (Permutation) Soit E un ensemble non vide et P (x, y) une
proposition dont les valeurs de vérit́e sont fonctions de deux éléments x, y de E.
On a:
1. ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, P (x, y) ⇔ ∀y ∈ E, ∀x ∈ E, P (x, y) .
2. ∃x ∈ E, ∃y ∈ E, P (x, y) ⇔ ∃y ∈ E, ∃x ∈ E, P (x, y) .
Remarque 3.7. On peut permuter les quantificateurs de même nature. La
proposition
(∀x ∈ E, ∀y ∈ R, P (x, y)),
peut s’écrire plus simplement
∀(x, y) ∈ E 2 , P (x, y);
et la proposition
(∃x ∈ E, ∃y ∈ E/ P (x, y))
peut s’écrire plus simplement
∃(x, y) ∈ E 2 , P (x, y).
12
Remarque 3.8. On ne peut pas permuter des quantificateurs de natures différents.
Les quantificateurs ∀ et ∃ ne commutent pas. Par exemples, les énoncés suivants
ne sont pas du tout équivalent (ils sont même contradictoires):
ˆ ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x ≤ q.
ˆ ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x ≤ q.
La première proposition dit que pour tout nombre réel, on peut trouver un nombre réll plus grand. La seconde proposition signifie qu’il existe un nombre réel
plus grand que tous les autres.
1. Quand on écrit ∃x/∀y l’élément x est fourni une bonne fois pour toutes
avant les y et est donc constant quand y varie.
2. Quand on écrit ∀y, ∃x l’élément x est fourni après chaque y. Il dépend de
y et peut donc variér quand y varie.
On a le resultat suivant:
Proposition 3.6. (∃x ∈ E), (∀y ∈ E, P (x, y)) ⇒ ∀y ∈ E, ∃x ∈ E/P (x, y) .
4
Raisonnement et Démonstration
Dans cette section, nous serons amenés à distinguer entre apprendre à raisonner
et apprendre à démontrer.
4.1
Introduction
1. Raisonner c’est produire des inférences, c’est-à-dire élaborer, à partir des
informations que l’on possède déjà sur une certaine situation, des informations nouvelles. Par exemple si je vois des gros nuages noirs en train
de s’accumuler j’en infère qu’il va pleuvoir.
2. Démontrer c’est écrire un texte qui suit des règles particulières. Bien sûr
l’écriture d’une démonstration s’accompagne d’un raisonnement. Mais ce
raisonnement peut contenir des étapes que la démonstration ne reflétera
pas.
Remarque 4.1.
ˆ On peut raisonner sans produire de texte ou en produisant un texte qui ne soit pas une démonstration: utilisation de figures,
de schémas, d’analogies, de calculs.
ˆ Dans le raisonnement interviennent des connaissances particulières: ainsi
par exemple en géométrie on s’aide de dessins mais aussi des règles de
la démonstration. On voit que ces connaissances dépendent du domaine
et donc que notre façon de raisonner dépend de la situation. Plusieurs
recherches montrent qu’il suffit de modifier certains détails en apparence
insignifiants d’une situation pour modifier les raisonnements des personnes confrontées à cette situation. Ainsi raisonner en mathématiques ce
n’est pas la même chose que raisonner dans d’autres domaines.
13
Remarque 4.2. La démonstration met en jeux les opérations suivantes: la
conjonction, la disjonction, l’implication et la négation. L’équivalence quant
à elle, n’est que la conjonction de deux implications. A celà, on ajoute les
quantificateurs existentiel et universel.
La démonstration repose sur une liste de connaissances appelée à évoluer. Cette
liste comprend tous les axiomes et théorèmes connus, mais peut également
évoluer par ajout de propriétés au cours de la démonstration. Il convient d’abord
de clairement séparer ce qu’on sait ou suppose vrai (théorèmes, définitions, mais
aussi hypothèses diverses, qu’on regroupera sous le terme général de liste des
connaissances), de la conclusion à laquelle on veut arriver. Par ailleurs, il convient de savoir qu’une démonstration ne consiste pas forcément à partir de
l’hypothèse, puis par une suite de déductions logiques, à arriver à la conclusion.
On peut bien sûr partir de l’hypothèse pour en déduire diverses propriétés en
espérant que l’une d’elles finira par être la conclusion cherchée, mais on peut
aussi partir de la conclusion pour trouver des propriétés à partir desquelles la
conclusion se déduit, en espérant ainsi remonter jusqu’aux hypothèses. On peut
également opérer simultanément les deux démarches jusqu’à tomber sur une
propriété faisant le lien entre les deux.
Faire une démontration (on dit aussi preuve) c’est réaliser un processus qui
permet de passer d’une proposition supposées vraies prises comme hypothèse à
une proposition appelée conclusion en utilisant les règles de la logique.
4.2
Méthodes de raisonnement
Nous allons présentés dans ce paragraphe quelques méthodes classiques de raisonnements en mathématiques. Les règles élémentaires pour démontrer une proposition sont les suivantes:
1. Énoncé du type: ∀x ∈ E, P (x). On se donne x au hasard dans E (on
ne prend surtout pas de valeur particulière pour x) et on démontre la
propriété P (x) en utilisant des propriétés connues.
2. Énoncé du type: ∃x ∈ E, P (x). On doit prouver l’existence d’un x ∈ E
tel que P (x) est vraie (il n’est pas nécessaire et souvent pas possible de
montrer P (x) pour tout x).
3. Énoncé du type: P et Q. On démontre P puis on démontre Q (ou inversement).
4. Énoncé du type: P ou Q. On suppose P est faux et on en déduit que Q
est vraie (ou inversement).
5. Énoncé du type: P ⇒ Q. On suppose que P est vraie et on démontre Q.
A l’aide de ces règles basiques et en procédant inductivement on peut tenter de
démontrer n’importe quel énoncé. Pour infirmer un énoncé P , on doit démontrer
eP .
Raisonnement direct ou par déduction
La règle du raisonnement direct ou par déduction est le suivant: On veut montrer
que la proposition P =⇒ Q est vraie. On suppose que est P est une proposition
vraie et on montre qu’alors Q est aussi une proposition vraie.
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Example 4.1. Montrer que si a, b ∈ Q, alors a + b ∈ Q.
0
Proof. Soit a, b ∈ Q. Alors ∃p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N∗ tel que a = pq et b = pq0 . On
a:
a+b=
p p0
pq 0 + p0 q
.
+ 0 =
q
q
qq 0
00
Or pq 0 + p0 q ∈ Z et qq 0 ∈ N∗ . Donc a + b est bien de la forme a + b = pq00 avec
p00 ∈ Z et q 00 ∈ N∗ . Ainsi a + b ∈ Q.
Example 4.2. Montrer que pour tout x ∈ Q+
∗ , il existe n ∈ N tel que n > x.
p
∗
Proof. Soit x ∈ Q+
∗ . Alors ∃p ∈ Z et q ∈ N tel que x = q . Comme q > 0 alors
p = xq ≥ x. En particulier p > 0, d’où 2p > p. Il vient que 2p > x. Comme
2p ≥ 0, 2p ∈ N. Donc on pose n = 2p.
Raisonnement par disjonction ou du cas par cas
La règle du raisonnement par disjonction ou du (cas par cas) est le suivant: Si
l’on souhaite vérifier une proposition P (x) pour tous les x dans un ensemble E,
on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E puis pour tous les x
n’appartenant pas à A.
Example 4.3. Montrer que pour tout x ∈ R, |x − 1| ≤ x2 − x + 1.
Proof. Soit x ∈ R. Nous distinguons deux cas:
1. 1 cas: Soit x ≥ 1. Alors |x−1| = x−1. Calculons alors x2 −x+1−|x−1|.
x2 − x + 1 − |x − 1| = x2 − x + 1 − (x − 1) = x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 ≥ 0.
Ainsi x2 − x + 1 − |x − 1| ≥ 0 et donc x2 − x + 1 ≥ |x − 1|.
2. 2 cas: x < 1. Alors |x − 1| = −(x − 1). Nous obtenons
x2 − x + 1 − |x − 1| = x2 − x + 1 + (x − 1) = x2 ≥ 0.
Et donc x2 − x + 1 ≥ |x − 1|.
Conclusion: Dans tous les cas |x − 1| ≤ x2 − x + 1.
Example 4.4. Montrer que pour tout (a, b) ∈ N2 , ab(a2 − b2 ) est divisible par
3.
Proof. Tout entier naturel s’écrit sous la forme: 3k; 3k + 1; 3k − 1(3k − 2) où
k ∈ N. On a deux situations:
ˆ 1er cas: a ou b est multiple de 3, c’est-à-dire, de la forme a = 3k, k ∈ N
ou b = 3k 0 , k 0 ∈ N.
– Si 3 divise a alors 3 divise ab(a2 − b2 );
– Si 3 divise b alors 3 divise ab(a2 − b2 ).
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ˆ 2eme cas: a et b ne sont pas des multiples de 3. Comme a et b ne sont pas
de multiple de 3. Ils s’écrivent sous la forme 3k + 1 ou 3k − 1 (qui revient
à 3k + 2). On montre, en distinguant les cas que a2 − b2 est divisible par
3.
– Si a = 3k + 1 et b = 3k 0 + 1 avec k, k 0 ∈ N, on a:
a2 − b2 = (3k + 1)2 − (3k 0 + 1)2 = 3 3(k 2 − k 02 ) + 2(kk0 ) .
Ainsi 3 divise a2 − b2 et donc ab(a2 − b2 ).
– Si a = 3k + 1 et b = 3k 0 − 1 avec k, k 0 ∈ N, on a:
a2 − b2 = (3k + 1)2 − (3k 0 − 1)2 = 3kk 0 (3k − 3k 0 + 2).
Ainsi 3 divise a2 − b2 et donc ab(a2 − b2 ).
– Si a = 3k − 1 et b = 3k 0 + 1 avec k, k 0 ∈ N, on a:
– Si a = 3k − 1 et b = 3k 0 − 1 avec k, k 0 ∈ N, on a:
Raisonnement par l’absurde
Pour montrer une assertion P on peut supposer que son contraine eP est vrai
et aboutir a une contradiction (c’est-à-dire, établir une assertion dont on sait
par ailleurs qu’elle est fausse).
Le raisonnement par l’absurde pour montrer l’implication P ⇒ Q repose sur le
principe suivant: on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on
cherche une contradiction. Ainsi, si P est vraie alors Q doit être vraie et donc
P ⇒ Q est vraie.
b
a
= 1+a
alors a = b.
Example 4.5. Soient a, b ≥ 0. Montrer que si 1+b
a
b
Proof. Nous raisonnons par l’absurde en supposant que 1+b
= 1+a
et a 6= b.
b
a
2
2
Comme 1+b = 1+a alors a(1 + a) = b(1 + b) donc a + a = b + b d’où a2 − b2 =
b − a. Cela conduit à (a − b)(a + b) = −(a − b). Comme a 6= b alors a − b 6= 0 et
donc en divisant par a − b on obtient a + b = −1. La somme de deux nombres
positifs ne peut être négative. Nous obtenons une contradiction. Conclusion: si
a
b
1+b = 1+a alors a = b.
Raisonnement par contraposition
La règle du raisonnement par contraposition est le suivant: Pour montrer que
P ⇒ Q est une proposition vraie, il (faut et) il suffit de montrer que eQ ⇒eP .
Example 4.6. Soit n ∈ N. Montrer que si n2 est pair alors n est pair.
Proof. Nous supposons que n n’est pas pair. Nous voulons montrer qu’alors n2
n’est pas pair. Comme n n’est pas pair, il est impair et donc il existe k ∈ N tel
que n = 2k + 1. Alors
n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2l + 1
avec l = 2k 2 + 2k ∈ N. Et donc n2 est impair. Conclusion: nous avons montré
que si n est impair alors n2 est impair. Par contraposition ceci est équivalent à:
si n2 est pair alors n est pair.
16
Raisonnement par récurrence
Le principe de récurrence permet de montrer qu’une assertion P (n), dépendante
de n, est vraie pour tout n ∈ N. La démonstration par récurrence se déroule en
3 étapes :
1. On prouve que P (0) est vraie.
2. On suppose n ≥ 0 donné avec P (n) vraie et on démontre que l’assertion
P (n + 1) est vraie.
3. Conclusion : On rappelle que, par le principe de récurrence, P (n) est vraie
pour tout n ∈ N.
Example 4.7. Montrer que pour tout n ∈ N, 2n > n.
Proof. Pour n ≥ 0, notons P (n) l’assertion suivante: 2n > n. Nous allons
démontrer par récurrence que P (n) est vraie pour tout n ≥ 0.
1. Pour n = 0 nous avons 20 = 1 > 0. Donc P (0) est vraie.
2. Fixons n ≥ 0. Supposons que P (n) soit vraie. Nous allons montrer que
P (n + 1) est vraie.
2n+1
=
2n + 2 n
>
n + 2n
car
2n > n
>
n+1
car
2n > 1.
Donc P (n + 1) est vraie.
3. Par le principe de récurrence P (n) est vraie pour tout n ≥ 0, c’est-à-dire
2n > n pour tout n ≥ 0.
5
Analyse combinatoire
L’analyse combinatoire permet de recenser les dispositions qu’il est possible de
former à partir d’un ensemble donné d’éléments. La distinction entre ces dispositions se fondent sur la notion d’ordre. Deux ou plusieurs dispositions comportant les mêmes éléments seront différents s’il s’agit de dispositions ordonnées et
identiques s’il s’agit de dispositions non ordonnées.
Example 5.1. Les couples (x, y) et (y, x) sont différents s’il s’agit de dispositions ordonnées et identiques dans le cas contraire.
Trois formes de dispositions doivent être distinguer:
ˆ les permutations;
ˆ les arrangements;
ˆ les combinaisons.
Definition 5.1. (Factorielle) La fonction factorielle est la fonction Q
de don
maine N = {0, 1, 2, · · ·} qui à tout n ∈ N associe n! = 1 × 2 × · · · × n = k=1 k
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Pour tout n ∈ N, on pose:
0! = 1, si n = 0 et 1! = 1.
Remarque 5.1. On dispose aussi de la formule suivante:
∀n ∈ N, (n + 1)! = (n + 1) × n!.
Definition 5.2. (Permutation) Une permutation de n éléments distincts est
une disposition ordonnée sans répétitions de ces n éléments. Le nombre de
permutations de n éléments, noté Pn est donné par la relation :
Pn = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 × 2 × 1 = n!.
Example 5.2. Considérons quatre personnes qui prennent place successivement
sur un banc à quatre places. Combien de dispositions ordonnées (c’est-à-dire de
permutations) existe-il ?
ˆ La première personne a le choix entre 4 places → 4 dispositions possible
pour cette personne.
ˆ La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places → 4 × 3 dispositions
possible pour ces deux personnes.
ˆ La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places → 4×3×2 dispositions
possible pour ces trois personnes.
ˆ La quatrième personne n’a le choix qu’entre 1 places → 4 × 3 × 2 × 1
dispositions possible pour les quatre personnes.
Le nombre dispositions ordonnées (ou permutations) est donc:
P4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Definition 5.3. (Arrangement) Soient p et n deux entiers naturels. On appelle
arrangement (disposition ordonnée) de p éléments choisis parmi n et on note
Apn le nombre:
Apn =
n!
= n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1), si p ≤ n et Apn = 0 si p ≥ n.
(n − p)!
Definition 5.4. (Combinaison) Soient p et n deux entiers naturels. On appelle
combinaison (disposition non ordonnée) de p éléments choisis parmi n et on
note Cnp le nombre:
Cnp =
n!
n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1)
1 p
·A =
=
, si p ≤ n et Cnp = 0 si p ≥ n.
p! n
p!(n − p)!
p!
Proposition 5.1. Soient p et n deux entiers naturels tels que 0 ≤ p ≤ n. Alors
:
p+1
.
Cnp = Cnn−p et Cnp + Cnp+1 = Cn+1
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