Exercices nombres complexes et équations dans C

Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
2) En déduire les solutions dans
NOMBRES COMPLEXS ET RESOLUTION
DES EQUATIONS DANS ℂ
|=
)
| |
Si
(
arg(Z)= ,
3| |
√
-
arg(Z)=
,
arg(Z)=
-
,
-
arg(Z)= ,
-
)
2
Si
=
= alors
L’ensemble des
points M(Z)
tels que | |
√
ABC est un
triangle
rectangle
isocèle en A
Une
démi-droite
√
√
Les points A, B
et C sont
alignés
Un cercle
Un point
b)
est réel avec
Exercice n° :
Résoudre dans
et
l’équation :
Exercice n° :
Soit Z un complexe.
1) Effectuer le produit :
(
)(
)(
Année : 2020-2021
̅=
)(
a) Montrer que si le complexe est solution de (E), alors – est aussi
une solution de (E).
b) Vérifier que, pour tout nombre complexe z,
(
)(
)
3) En utilisant les questions précédentes, résoudre dans l’équation
(E).
arg(
)
Résoudre dans
(
)
Exercice n° :
Déterminer les racines carrées de
Une droite
3) Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse aux informations
suivantes :
)
.
/
a) (
l’équation d’inconnue z : .
√
/
sous la forme trigonométrique.
Exercice n° : (Composition
)
On considère le nombre complexe Z défini tel que :
(
√
√
)
√
1. Déterminer la partie réelle et imaginaire de Z.
2. Déterminer le module et un argument de Z.
3. En déduire la valeur exacte de sin
et cos
Exercice n° : (Composition
On considère les nombres complexes
√
)
par :
Exercice n° :
√
OABC est un
carré
de l’équation
Exercice n° :
1) Vérifier que (
) =
et (
) =
2) On considère l’équation (E) définie dans
Questions de cours :
1) Définir le conjugué et le module d’un nombre complexe
2) Z désigne un nombre complexe. Recopie la bonne réponse.
|
arg(
Tél : 064905404
)
définis tel que
(
)
1. Ecrire les nombres complexes
sous forme algébrique.
2. Ecrire le nombre complexe sous la forme trigonométrique.
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
3. Calculer la partie réelle A et la partie imaginaire B du nombre
complexe Z=A+ B, défini par :
.
4. Calculer le module et un argument du nombre complexe
(
) défini par :
1. Trouver dans l’ensemble ℂ des nombres complexes les nombres
tels que :
{
Exercice n° : (Composition
Soit le polynôme P à variable complexe Z, tel que :
( )
.
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que l’on ait :
( )
[ (
)
(
)
)
]
2. Résoudre dans C, l’équation
.
3. En déduire les solutions dans l’ensemble C, de l’équation ( )
.
/
on posera
4. Le plan complexe est muni de repère orthonormal direct ( ⃗
On considère les points A, B, C et D ; d’affixes respectives :
(
)
(
)
a) Montrer que les points O, D et A sont alignés.
b) Montrer que le point C est milieu du segment , c) Calculer le module et un argument du nombre complexe
).
. Puis
déduire la nature du triangle AOB.
d) Déterminer le centre et une mesure d’angle de la rotation R qui
transforme A en B et D en C.
Exercice n° : (Bac BG 2015)
1. Déterminer deux nombre complexes
{
Année : 2020-2021
Exercice n° :
On désigne par l’ensemble des nombres complexes.
1) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 1,
2) Résoudre dans de l’équation :
3) En déduire l’ensemble des solutions dans
)
(
de l’équation
)
vérifiant
̅
La notation ̅ désigne le nombre complexe conjugué de Z.
2. Trouver le module et un argument de
. Déduire que
un naturel.
Exercice n° : (Bac D 2020)
̅
2. On considère le polynôme complexe P tel que :
( )
(
)
(
)
a) Vérifier que
est une racine de ( )
b) Trouver le nombre complexe tel que :
( ) (
)(
)(
)
c) Donner l’ensemble des solutions de l’équation ( )
3. Dans le plan complexe, on désigne par A, B et C les points d’affixes
respectifs :
a) Donner l’écriture complexe de la rotation R de centre A et
qui transforme B en C.
b) En déduire l’angle de la rotation R.
(
et
Tél : 064905404
̅
est
Exercice n° :
1) Recherche tous les couples (
satisfaisant aux conditions :
) de nombres complexes
{
√
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
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2) Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres ainsi
obtenus.
Tél : 064905404
Exercice n° :
Soit l’équation (E) :
1.a)Calculer p(2i)
b) En déduire l’écriture de P(z) sous la forme : P(z)= (z-2i)Q(z) où Q(z)
est un polynôme du second degré en z que l’on déterminera.
2) Résoudre l’équation Q(z) = 0. En déduire les solutions de l’équation
P(z)=0.
1) Démontrer que (E) est équivalent au système : {
Exercice n° :
On se propose de résoudre dans , l’équation (E) :
2) Résoudre (E) dans
1) Montrer que (E) est équivalent { (E’) :
.
/
.
/
Exercice n° :
Résoudre, dans , chacune des équations suivantes :
( )
)
(
)
)
(
)
2) (
( )
2) On pose
. Exprimer
en fonction de .
En déduire que (E’) s’écrit sous la forme (E’’) d’inconnue Z. En déduire
les racines de (E).
Exercice n° :
Résoudre, dans , chacune des équations suivantes :
)
(
)
) =
2) (
Exercice n° :
(
)
(
)
Soit l’équation (E) :
1) Démontrer que (E) admet une solution imaginaire pure.
2) Résoudre, dans , l’équation (E).
Exercice n° :
On considère le polynôme
(
P(z)=
( √
)
, où z est un
√ )
nombre complexe.
1) Démontrer qu’il existe un nombre réel b, que l’on calculera, tel que
bi soit une solution de l’équation P(z)=0
( √
)
]
2) Vérifier que z , P(z)= (
)[
3) Résoudre l’équation P(z)=0. On appellera , , les racines de
cette équation. est imaginaire pur, la partie réelle de est plus
grande que la partie réelle de .
4) Calculer le module et déterminer un argument de chacun des
nombres complexes , , sont dans cet ordre trois termes
consécutifs d’une suite géométrique dont on déterminera la raison.
Exercice n° :
On considère le polynôme P de troisième degré à coefficients
complexes défini par :
(
)
z , P(z)= (
)
(
)
Exercice n° :
Soit P le polynôme défini par :
(
)
(
P(z)=
1) Vérifier que : P(2i)=P(-3)=0
Exercice n° :
1) Déterminer les racines carrées du nombre complexe 3+4
2) Résoudre, dans , chacune l’équation :
(
)
(
)
(
)
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Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
)
(
)
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2) Déterminer le polynôme Q du second degré tel que pour tout z, on
(
)
-Q(z)
a : P(z)= ,
3) Résoudre dans l’équation P(z)=0.
Exercice n° :
Soit le polynôme P(z)=
( √
)
(
√ )
1) Démontrer que P(z)=0 a une racine imaginaire pure que l’on
déterminera.
) ( ) où Q(z) est
2.a) Ecrire ce polynôme sous la forme P(z)= (
un polynôme à déterminer.
b) Résoudre l’équation P(z)=0. On désignera , , les racines de
cette équation.( est imaginaire pur, la partie réelle de est plus
grande que la partie réelle de )
4) Mettre sous la forme trigonométrique , ,
4) Démontrer que ,
sont dans cet ordre trois termes d’une
suite géométrique dont on déterminera la raison.
Exercice n° :
Déterminer une forme trigonométrique pour chacun des nombres
complexes suivants :
=
; = (√
) ; =(√
√ )(
√ )
√
2) Déduire les valeurs exactes de cos
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et sin
Exercice n° :
On considère le nombre complexe
1) Calculer le module et un argument de u
2) Déterminer le nombre complexe z sachant que :
/. En déduire les valeurs exactes de
√ .
cos
et sin
Exercice n° :
On considère le nombre complexe =(√
)
(√
1.a) Déterminer le module et un argument de
b) En déduire le module et un argument de z.
2) Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos
)
et sin
Exercice n° :
1) Ecris sous forme exponentielle les nombres complexes
=
√ et z’=
2) En déduire le module et un argument des nombres complexes
=(̅ ) et
̅
Exercice n° :
Soit le nombre complexe z=1+√ +i(1+√ )
1) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z
2) En déduire une forme trigonométrique de chacun des nombres
complexes : ̅,
et . En déduire la forme algébrique de
Exercice n° :
)
Soit les nombres complexes = √ (
(√
) et = .
1.a) Déterminer le module et l’argument de chacun des nombres
complexes et .
b) En déduire le module et un argument de .
Année : 2020-2021
Exercice n° :
Détermine le module et un argument de chacun des nombres
complexes suivants :
1) cos
sin
2) 1
3)
Exercice n° :
Soit z un nombre complexe non nul. Simplifier l’expression :
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
(
)
.
/
̅
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Soit les nombres complexes
Exercice n° :
Calculer le module et l’argument du nombre complexe Z= .
√
/
Exercice n° :
Soit les nombres complexes
=
√
√
√
et
1) Déterminer le module et un argument de chacun des deux nombres
complexes
.
2) En déduire la forme algébrique de chacun des nombres complexes
suivants :
, et
.
Exercice n° :
On considère les nombres complexes
=√
et
et
1) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :
2) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :
Exercice n° :
Soit les nombres complexes
et
√
1) Calculer le module et un argument de chacun des deux nombres
complexes
.
2) Calculer { l’aide des formes algébriques de
puis { l’aide
des formes trigonométriques de ces deux nombres complexes.
3) En déduire cos et sin
Année : 2020-2021
√
√
et
1) Mettre sous forme trigonométrique
2) En déduire que cos
√
√
et sin
√
√
Exercice n° :
(
On pose : Z
et
√
√ ) (
√ ) et
1) Donner la forme algébrique de z’’.
2) Calculer le module et un argument de z’’
3) Calculer le module et un argument de z.
4) Déduire des résultats précédents le module et un argument de z’
ainsi que les valeurs de cos
et sin
Exercice n° :
On considère le nombre complexe
1) Calculer le module et un argument de .
2) Détermine le nombre complexe sachant que
/ (on donnera les formes algébrique et
√ .
trigonométrique de )
3) En déduire les valeurs exactes de
3) Calculer le module et un argument de A.
4) Déduire les valeurs exactes de cos et sin .
Exercice n° :
=
Tél : 064905404
Exercice n° :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ⃗ ; )
(
)
1) On pose
̅. Déterminer la partie réelle et la partie
imaginaire de Z.
2) Représenter l’ensemble (E) des points M d’affixe z, tels que Z soit un
réel.
3) Représenter l’ensemble (F) des points M d’affixe z, tels que Z soit
imaginaire pur.
Exercice n° :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ⃗ ; )
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
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1) Soit
où z désigne un nombre complexe différent de -1. En
posant
, exprimer la partie réelle X et la partie imaginaire Y
de Z en fonction de x et y.
2) Représenter dans le plan complexe l’ensemble (D) des points M
d’affixe z, tels que Z soit un imaginaire pur.
3) Représenter dans le plan complexe l’ensemble (C) des points M
d’affixe z, tels que Z soit un réel.
Exercice n° :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ⃗ ; )
Soit r la rotation de centre O et d’angle qui, à tout point M du plan
d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’.
1) Exprimer z’ en fonction de z.
2) Soit
et
. Exprimer x’ et y’ en fonction de x et
y, puis x et y en fonction de x’ et y’.
Exercice n° :
Soit f la transformation du plan qui, { tout point M d’affixe z associe le
point M’ d’affixe –
1) Montrer que f est une rotation dont on déterminera le centre et
l’angle .
2.a) Soit P le point d’affixe
.
Détermine l’image P’ de P par f.
b) Quel est l’ensemble (C) des points M du plan qui vérifie
|
| √ ? Déterminer l’image de (C) par f.
Quel est l’ensemble (D) des points M du plan dont l’affixe z vérifie
|
| |
| ? Déterminer l’image de (D) par f.
Exercice n° :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; ⃗ ; )
Soit S la similitude de centre d’affixe
de rapport 2 et d’angle
qui, { tout point M du plan d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’.
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
1) Exprimer z’ en fonction de z.
2) Soit
et
. Exprimer x’ et y’ en fonction de x et
y, puis x et y en fonction de x’ et y’.
Exercice n° :
On considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que
.
1) Placer les points A, B et C sur une figure (prendre 2cm comme unité
graphique). Calculer
.
En déduire la nature du triangle ABC et justifier que le point C est
l’image de B par une rotation que l’on caractérisera.
2) On désigne par f la transformation du plan qui, à tout point M
d’affixe z, associe le point M’ d’affixe
.
a) Calculer l’affixe du point D, image de B par f.
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
c) Interpréter géométriquement la transformation f.
Exercice n° :
(√
)
(
Soit (E) :
√ )
1. Déterminer le nombre réel tel que soit une solution de (E)
2. Déterminer les nombres réels a et b tels que :
(√
)
(
√ )
(
)(
)
3) Résoudre l’équation (E). (On donnera les solutions sous forme
algébrique et trigonométrique)
4. Donner les formes algébrique et trigonométrique du nombre
complexe (
√
)
. En déduire les valeurs exactes de sin
et cos
Exercice n° :
1. Résoudre dans ℂ, l’équation :
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; ⃗ ; ). On
considère les points A, B et C d’affixes respectives
, les
solutions de ( ) avec un réel et ( )
a) Placer A, B et C dans ce repère.
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
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b) Donner la nature du triangle ABC.
2. Calculer ∫
Exercice n° :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; ⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗ ), on
considère les points A, B et C d’affixes respectives
.
1. Placer dans le repère les points A, B et C.
2.a) Calculer le nombre
et donner sa forme trigonométrique
b) En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
3. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un
parallélogramme. Justifier que le quadrilatère ABCD est un carré.
Exercice n° : (Bac blanc série D 2018)
On considère le polynôme P défini par :
(
)
(
)
P(z)=
)
1. L’équation P(z)=0 admet une racine imaginaire pure. Déterminer
cette racine.
2. Résoudre dans , l’équation P(z)=0.
3. Dans le plan complexe, muni d’un repère orthonormé (O, ⃗ ), on
considère les points A et B d’affixes respectives
et
√
. Soit S la similitude plane directe définie par :
√
{
(
a) Montrer que l’écriture complexe de S est :
b) En déduire les éléments caractéristiques de S.
c) Calculer l’affixe
du point A’, image de A par S.
4. On note h l’homothétie de centre O et de rapport
du point B’, image de B par h.
Exercice n° :
1. En utilisant les formules d’Euler, montrer que :
(
Année : 2020-2021
)
Tél : 064905404
)
.
. Calculer l’affixe
Exercice n° :
1. Dans ℂ, résoudre l’équation :
On note la solution dont la partie imaginaire est positive et
l’autre solution. Dans le plan complexe rapporté a un repère
-, on considère les points A et
orthonormal direct (O ; ⃗ ; ), ,
B d’affixes respectives et . Faire la figure.
2. Déterminer l’affixe du point C tel que le triangle ABC soit
équilatéral ; la partie réelle de étant négative. (ABC est circonscrit
au cercle)
3. Préciser la nature de
4. Déterminer l’affixe du point D tel que ( )
et celle de E tel que
( )
Soit K le milieu du segment , -.
5. Démontrer que les points D, K et E sont alignés.
6. Détermine le rapport et l’angle orienté de la similitude directe S de
centre B qui transforme A en D. Donner l’écriture complexe de S.
Exercice n° :
Soit ( ) la suite définie par
avec
et réel fixé tel que
0
.
1. Montrer que ( ) est une suite géométrique dont on précisera la
raison q et le premier terme .
2. Calculer
en fonction de n puis la limite de
Exercice n° :
On définit la suite des nombres complexes (
{
) telle que :
pour
1. Pour tout entier naturel n, on considère la suite numérique (
telle que :
a) Démontrer que la suite ( ) est géométrique
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
)
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b) En déduire que l’on a :
(
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). /
c) Exprimer en fonction de n la partie réelle
et la partie imaginaire
du nombre complexe
d) Déterminer les limites des suites numériques ( ) et ( )
e) En déduire la convergence de la suite ( )
( ) , k étant un entier
2. On considère le nombre complexe
naturel
a) Déterminer le module et un argument de
b) En déduire le module et un argument de
Exercice n° :
sont deux suites définies sur
telles que
et {
{
1. Soit la suite z telle que
(
) . En déduire la nature de la suite z
a) Démontrer que
b) Exprimer en fonction de n.
2. Exprimer sous forme trigonométrique puis exprimer
en
fonction de n.
3. On pose :
,
et
. Calculer
en fonction de n.
Exercice n° :
√
/ .
Soit une application complexe telle que : ( ) .
On pose :
et
( )
1.a) Ecrire sous sa forme trigonométrique.
b) Calculer le module de
et déterminer un argument de ;
puis écrire sous forme trigonométrique.
2. Pour tout nombre entier naturel n, on pose :
(
) où désigne un argument de et son
module. On considère la suite ( )
Année : 2020-2021
définie par : {
a) Préciser la nature de la suite ( )
b) Exprimer en fonction de n
c) Exprimer et en fonction de n
d) Préciser la nature de chacune des suites ( )
.
/
et (
)
.
Exercice n° :
1. Pour tout entier n, on considère les nombres complexes
/. Calculer
(√ ) .
sous la forme
algébrique.
2. Soit (E) l’équation complexe { variable complexe z, définie par :
(
Z²+[
( )
√ )]
√
√
a) Montrer que est solution de (E).
b) Déterminer l’autre solution de (E), notée .
c)Mettre
sous la forme trigonométrique.
3. On pose U=
.
a) Déterminer le module et un argument de U.
b) Calculer U² sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
Exercice n° :
1. On donne :
que :
a)
(
.
b)
/0
.
/0
) et
(
/
.
.
.
/
). Démontrer
/1
.
/1
.
/0
.
/
.
/1
c)
2. Dans l’ensemble C des nombre complexes, on considère l’équation
(
(
(E) :
√ )
√ )
a) Déterminer les racines carrées
de
√
b) Résoudre dans C l’équation (E). On notera
les solutions de
(E) telles que ( )
√
√
Tél : 064905404
√
3. On pose :
et
a) Ecrire a et b sous forme trigonométrique.
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
b) Montrer que
c) En utilisant les résultats de la question 1, écrire
trigonométrique.
d) En déduire les valeurs de cos , sin , cos
et sin
sous forme
Exercice n° : (Bac blanc série D 2018 Kouilou et Pointe-Noire)
1. Donner l’écriture complexe de chacune des transformations
suivantes :
) de rapport
a) f est la similitude plane direct de centre (
et
d’angle
b) g est la translation de vecteur
c) h est la rotation de centre (
d’affixe
) et d’angle
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( ⃗ ), on
note les points K, L et M d’affixes respectives :
,
et
√
a) N est le symétrique de M par rapport { L. Montrer que l’affixe de N
(√
)
est
b) La rotation de centre O et d’angle transforme M en A et N en C.
Déterminer les affixes
des points A et C.
3) La translation de vecteur ⃗⃗ d’affixe transforme M en D et N en B.
Déterminer les affixes
des points D et B.
4) Montrer que les segments , - et , - ont le même milieu K.
5) Déterminer
puis en déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice n° : (Composition
1. Résoudre dans ℂ ,le système d’équations suivant :
(
)
{
(
)̅
̅
On rappelle : ̿
.
2. On donne les nombres complexes :
√ ,
a) Déterminer la forme algébrique de Z.
Année : 2020-2021
)
et
Tél : 064905404
b) Déterminer le module et un argument de , de
c) Donner la forme trigonométrique de Z.
d) En déduire les valeurs exactes de cos et sin
puis Z.
3. On donne le complexe
où
Déterminer
argument .
a pour module √ et a pour
sachant que
sont des nombres réels.
Exercice n° : (Composition
)
Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation
(
)
(
)
(E) :
1.a) Montrer que l’équation (E) admet une solution réelle .
b) Résoudre l’équation (E).
2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O, ⃗ ),
on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives :
a) Déterminer le module et un argument de
.
b) Placer les points A, B et C.
c) En déduire la nature du triangle ABC.
3. On considère l’application de ℂ dans ℂ qui a tout complexe Z
associe Z’ tel que :
a) Donner la nature des éléments caractéristiques de .
b) En posant
, exprimer
en fonction
de
Exercice n° :
Dans le plan rapporté au repère orthonormal (O, ⃗ ) d’unité 2cm. On
considère les points A d’affixes
et B d’affixe
√
1) Déterminer le module et un argument de
.
2) Représenter les points A et B dans le repère (O, ⃗ ).
3) Démontrer que
̅ et représenter le point C d’affixe ̅ .
4) Démontrer
est un imaginaire pur.
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Exercice n° :
Le plan complexe P est rapporté à un repère (O, ⃗
1. Résoudre dans ℂ l’équation :
√
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
1. Soit
dans
qui, à tout
(
) associe
(
)
√
définie par
√
2. On pose
et
̅ . Placer les points
et
d’affixes
respectives et dans le plan P et montrer que
est un
triangle équilatéral.
3. Soit r la rotation de centre O et d’angle . Calculer l’affixe du
( ), puis placer
point
sur la figure précédente.
Exercice n° :
Soit
et
√
a) Déterminer le module et un argument de
.
b) Ecrire sous forme algébrique et sous forme trigonométrique le
produit
.
c) En déduire les valeurs de cos et sin
Exercice n° :
1.a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe tel
que 4
√ .
b) En déduire les racines carrées de sous la forme algébrique.
(√
)
2. Résoudre dans ℂ l’équation :
(
√ )
3. Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé
(O, ⃗ ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives :
.
√
a) Vérifier que
= .
b) En déduire la nature du triangle ABC. Déterminer alors l’écriture
complexe de la similitude plane directe S telle que S(A)=A et S(C)=B.
Exercice n° :
Soit un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé
(O, ⃗ ).
Année : 2020-2021
l’application
).
Tél : 064905404
{
√
√
Déterminer l’affixe de
en fonction de l’affixe z de M. En déduire la
nature de et déterminer ses éléments caractéristiques.
2. Soit A et B les points de l’affixe respectives 1 et -1.
a) Démontrer qu’il existe une similitude plane directe et une seule
telle que ( )
et ( )
b) Déterminer les éléments caractéristiques de
Exercice n° :
On considère dans ℂ l’équation (E) :
)
)
(
(
√ )(
√ )
√ (
1. Trouver la solution imaginaire pure de (E).
2. Résoudre (E).
3. On notera la solution réelle, la solution imaginaire pure et
troisième. Donner un argument du produit . . .
Exercice n° : (Bac D 2018)
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, ⃗
considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
1.a) Déterminer l’affixe
⃗⃗⃗⃗⃗ du vecteur
la
). On
⃗⃗⃗⃗⃗ .
b) Déterminer l’expression analytique de la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
c) Trouver l’affixe du point A’ image du point A par la translation de
vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
2.a) Prouver qu’une mesure en radian de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) est
b) Ecrire l’expression analytique de la rotation R de centre A et d’angle
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
c) Trouver l’affixe du point C’ image du point C par la rotation R.
3. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude plane direct S de
centre A et qui transforme B en A.
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(
)
2. Résoudre dans C, l’équation
(
)
(
)
3. On pose ( )
a) Déterminer le nombre complexe a tel que, pour tout nombre
complexe z, on a :
( ) (
(
)
)(
)
b) En déduire dans C, l’ensemble des solutions de l’équation ( )
4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, ⃗ ), on considère
les points A, B et C d’affixes respectives :
Exercice n° : (Bac D 2013)
Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal (O, ⃗ ).
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) :
. On donnera les solutions de (E) sous forme algébrique.
2. Soit A, B et C les points d’affixes des complexes :
√
√
a) Calculer le module et un argument de
b) En déduire la nature du triangle ABC.
3. Soit S, la rotation définie dans (P) telle que : S(A)=C et S(C)=B
a) Déterminer l’expression complexe de S
b) Déterminer les éléments caractéristiques de S.
a) Déterminer le module et un argument du complexe
b) En déduire la nature du triangle ABC.
(
)
(
considère le polynôme défini par :
( )
1. Calculer : ( √ ) et ( √ )
2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout
( ) (
)(
)
3. Résoudre dans ℂ l’équation ( )
4. Placer dans le plan complexe
⃗
) On
ℂ on ait :
√
̅̅̅ où ̅ désigne le conjugué de z.
√
5. On note E le symétrique de D par rapport à O.
a) Détermine l’affixe du point E.
√
b) Montrer que
c) En déduire la nature du triangle BEC.
6. Donner l’écriture complexe de la transformation R qui laisse le point
B invariant et transforme E en C.
Exercice n° :
1. Calculer (
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Exercice n° : (Bac D 2010)
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O, ⃗ ).
On considère les nombres complexes :
√
√
1. Ecrire une équation de degré 3 dont
sont solutions.
2. Ecrire les nombres complexes
sous la forme
trigonométrique.
3.a) Placer les points A, B et C d’affixes respectives
dans le
repère (O, ⃗ ).
b) Montrer qu’une mesure de chacun des angles du triangle ABC est
radians
c) En déduire la nature du triangle ABC.
Exercice n° :
Le plan complexe ( )est rapporté à un repère orthonrormé (O, ⃗ ).
On désigne par I le point d’affixe
; par A le point d’affixe
; par B le point d’affixe
; par (C) le cercle de
diamètre , -.
1. Déterminer le centre du cercle (C) et calculer son rayon.
2. Placer les points A et B dans le repère puis construire (C)
)
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3. Soit D le point d’affixe
En déduire sous forme
algébrique puis démontrer que D est un point du cercle (C)
4. Sur le cercle (C), on considère le point E d’affixe . On donne
⃗⃗⃗⃗⃗ /
, -.
.⃗⃗⃗⃗̂
a) Préciser le module et un argument de
b) En déduire que
√
√
.
Exercice n° :
Dans un plan complexe, on considère l’application qui à tout point M
d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :
1. Montrer que est une similitude plane directe que l’on caractérisera
2. Ecrire l’expression analytique de
3. Soient le point A d’affixe
et (D) la droite d’équation :
a) Déterminer l’affixe
du point A’.
b) Déterminer l’image (D’) de la droite (D).
4. Soit l’application du plan dans lui-même définie
Montrer que
est une similitude plane directe.
Exercice n° :
On considère les nombres complexes
;
√ et
( )
1. Calculer le module et un argument de ; et
2. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z.
3. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de cos et
sin
(
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1. Placer les points A, B et C dans le repère (
2. Calculer
Que peut –on en déduire ?
⃗
⃗
)
On considère dans C les équations :
( )
(
)
( )
(
)
(
)
)
1. Calculer (
2. Résoudre dans C l’équation ( )
3. Montrer que le nombre complexe
est une solution de
l’équation ( )
4.a) Déterminer les nombres complexes a, b et c tels que :
(
)(
)
b) En déduire les solutions de ( ) On considère le nombre complexe
avec
 Ecrire sous la forme algébrique
 Déterminer les réels
par :{
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sachant que
√
)
1.a) Vérifier que : (
(
√
√
√ )
b) Résoudre alors dans ℂ l’équation :
(
(√
)(√
)
et mettre les solutions sous la
√ )
forme algébrique.
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ⃗ )
(unité graphique 2cm). On considère les points A, B et d’affixes
respectives :
√
Soit (C) le cercle de centre et de rayon 2.
a) Montrer que B appartient au cercle (C).
b) Placer les points A et . Construire alors le point B
3.a) Ecrire sous forme exponentielle
b) Ecrire sous forme algébrique
)
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c) Montrer que
(
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Démontrer qu’il existe deux nombres v et w tels que
( ) (
)(
)
c) Ecrire sous la forme canonique ( )
d) En déduire les solutions dans C de l’équation (E’).
√ )
d) En déduire la forme exponentielle de
e) Déterminer alors la valeur exacte de sin
Exercice n° :
Pour tout nombre complexe z on pose :
( )
( √
)
(
√ )
1.a) Montrer que l’équation ( )
possède une racine imaginaire
pure que l’on déterminera.
b) Résoudre dans C l’équation ( )
On notera et les deux
autres racines avec étant celle qui a une partie imaginaire négative.
2. On pose
a) Donner la forme trigonométrique de
)
A tout nombre complexe z non nul on associe les points M,
d’affixes respectives
et
.
c) Montrer que
est un losange.
(
⃗
(
) on
considère les points A, B et C
.
1. Donner l’écriture complexe de la similitude plane directe S qui
transforme C en A et A en B.
2. Donner les éléments caractéristiques de S.
3. Pour tout point M du plan distinct du centre de S, on note M’=M(S)
a) Précise la mesure principale de l’angle .⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /
)
b) En déduire la nature du triangle
et
Exercice n° :
1. On considère l’équation (E) :
a) On pose
avec a et b les réels. Démontrer que z est
solution de (E) si et seulement si le couple (
) est solution du
système.
1. Déterminer sous forme trigonométrique les solutions dans ℂ de
l’équation : (E) :
(
√ )
√
√
√
√
2. Vérifier que
est une solution de (E). En déduire
l’écriture des autres solutions sous forme algébrique.
Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes
{
(Indication : pour l’équation a²+b²=41. On considère | | )
b) Résoudre le système (S). En déduire des solutions de (E).
2. Résoudre dans C, l’équation
.
3. On propose de résoudre l’équation (E’) { coefficients complexes
(
)
(
)
(E’) :
a) Démontrer que (E’) a une solution réelle a.
(
)
(
)
b) On pose ( )
Année : 2020-2021
⃗
. En écrivant
z sous la forme algébrique et sous la forme trigonométrique, en
déduire la valeur de cos et sin
Exercice n° :
√
1. Calculer le module et un argument du nombre complexe
.
En déduire ces racines carrées.
2. Dans ℂ, l’ensemble des nombres complexes, résoudre l’équation :
(√
)
(
(E) :
√ )
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3. Soit , l’image pure et ses solutions.
(
)
Vérifier que :
4. Montrer que
(
)
(
)
.
/
Exercice n° :
( )
(
)
1. Résoudre dans ℂ, des nombres complexes, l’équation
( )
2. Soit les points A, B et C les points
√
√ . Déterminer la nature du
triangle ABC ?
3. Soit S la similitude plane directe définie dans (P) telle que :
S(A)=C et S(C)=B.
a) Déterminer l’expression complexe de S
b) Déterminer le rapport K, l’angle et le centre de la similitude
plane directe S.
4. Déduire l’image de la droite (AC) par S.
Exercice n° :
Soit P le polynôme définie sur ℂ par :
( )
(
)
1. Montrer que l’équation ( )
admet une solution imaginaire
et une solution réelle { déterminer. En déduire l’autre solution
2. Dans le plan (P), on désigne par A,B et C les points d’affixes
respectives :
a) Détermine le module et un argument de
. En déduire la nature
du triangle ABC.
b) Soit S l’application de (P) dans (P) telle que S(A)=A et S(B)=C.
Donner la nature et les éléments caractéristiques de S.
Exercice n° :
Soit le polynôme ( )
avec ℂ
1. Déterminer les trois nombres a, b et c tels que l’on ait :
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Tél : 064905404
( )
( )
()
2. On considère les nombres a, b et c obtenus dans la première
question. Résoudre dans ℂ l’équation ( )
Exercice n° :
On donne deux nombres complexes définies par :
et
√
1. Déterminer le module et un argument de et
2. Ecrire z sous la forme algébrique et sous la forme trigonométrique
tel que :
a) En déduire les valeurs exactes de cos. / et sin. /
b) Montrer que
est un réel.
Exercice n° : (Bac D 1982)
Trouver trois nombres complexes , et tels que :
a) . . =
b)
,
et
dans cette ordre forment une suite
arithmétique de raison ⁄ .
c) | |, | | et | | dans cet ordre forme une suite géométrique de
raison 2.
Exercice n° : (Bac blanc série D 2014 Zone1)
On définit la suite des nombres complexes ( ) suivante :
et
;
1. Pour tout entier naturel n, on considère la suite numérique (
telle que :
.
a) Démontrer que la suite
est géométrique.
b) En déduire que l’on a :
(
)
). /
c) Exprimer en fonction de n la partie réelle
et la partie imaginaire
du nombre complexe .
d) Déterminer les limites des suites numériques ( ) et ( )
e) En déduire la convergence de la suite ( )
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( ) , k est un entier
2. On considère le nombre complexe
naturel
a) Déterminer le module et un argument de
b) En déduire le module et un argument de
Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, on considère l’équation
suivante :
( )
(
)
(
)
1. Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure notée à
déterminer.
) ( )
2. Déterminer le polynôme Q telle que :
(E) (
3. Résoudre dans ℂ l’équation ( )
( ⃗ ), on
4.
donne
a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe
b) En déduire la nature du triangle ABC.
5. Soit S la similitude plane directe de centre C qui transforme A en B.
a) Déterminer son écriture complexe.
b) Déterminer son rapport k puis une mesure de son angle.
Dans l’ensemble ℂ, des nombres complexes, on considère l’équation :
( )
(
)
(
)
1. Montrer que (E) admet une solution réelle.
2. Résoudre l’équation ( )
3.
On donne
Tél : 064905404
c) Donner le centre, le rapport et l’angle de la similitude plane directe
qui laisse invariant le point A et transforme B en C.
1. Soit le nombre complexe z défini par
a) Déterminer les racines quatrièmes de z.
b) Construire dans un repère orthonormé les images de ces racines.
Donner la nature du quatrième obtenu.
,
2. On donne l’équation : ,
( )
a) Résoudre cette équation en remarquant que
b) Soit , , et les racines de cette équation, donner les résultats
sous forme trigonométrique.
1. Ecrire l’expression complexe de la rotation de centre K( ) et de
mesure d’angle
2. Ecrire
√ sous la forme trigonométrique.
3. Montrer que
√ , puis résoudre dans ℂ l’équation
.
4. En déduire les solutions de l’équation ( )
√ sous la
forme algébrique et trigonométrique. On pourra remarquer que
.
√
/
.
5. Placer les points A, B, C et D d’affixes respectives :
√
√
√
√
6. Après avoir donnée l’expression complexe de la rotation de centre O
et d’angle de mesure .
( )
( )
7. Vérifier que ( )
8. En déduire que les points A, B, C et D sont situés sur un cercle dont
on précisera le centre et le rayon.
a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe
b) En déduire la nature du triangle ABC.
Année : 2020-2021
1. Résoudre dans C l’équation
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
2. Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et P d’affixes
respectives :
et
le vecteur ⃗⃗ d’affixe ⃗⃗
a) Déterminer l’affixe du point Q, image du point B par translation
du vecteur ⃗⃗ .
b) Déterminer l’affixe du point R, image du point P par l’homothétie
h de centre C et de rapport
c) Déterminer l’affixe du point S, image du point P par la rotation r
du centre A et d’angle
d) Placer les points P, Q, R et S.
3.a) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme
b) Calculer
. En déduire la nature précise du parallélogramme
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√ (
)
[
]
1. Ecrire sous la forme trigonométrique
2. Ecrire et sous la forme algébrique
3. Effectuer les calculs suivants :
a) A=
b) B=
c) C= et D=( )²
PQRS.
c) Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle
noté C. On calculera l’affixe de son centre et son rayon P.
4. La droite (AP) est-elle tangente au cercle C ?
Exercice n° :
1. On donne le nombre complexe U pour tout
ℂ par :
Où (
)
. Déterminez les réels a et b ; sachant que U a pour
module √ et pour argument , 2. Soit le polynome P définie par :
( )
(
)
(
)
a) Montrer que
est solution de ( )
b) Factoriser ( ) ; puis résoudre l’équation ( )=0 ; on appellera
les deux autres solutions.
c) Placez les points ,
et
d’affixes respectives , et dans
).
un repère (
Exercice n° :
On donne les nombres complexes suivants :
Année : 2020-2021
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
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FONCTIONS NUMERIQUES A VARIABLE
REELLE
Questions de cours:
1) Enoncer le théorème de Rolle
2) Enoncer les conséquences du théorème des valeurs intermédiaires.
3) Enoncer le théorème des gendarmes.
- et la
4) On donne la fonction dérivable sur un intervalle ,
( )
- par ( )
fonction définie sur ,
où
et
( )
( ).
( ) ( )
a) Montrer que
b) Montrer que est dérivable sur ,
, tel que
c) Montrer que si ( )
( ) alors il existe un réel ( ) ( )
( )
5) Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes.
Aucune justification n’est demandée.
Soit la fonction numérique définie par : ( )
, , ,
a) L’ensemble de définition de est
b) La fonction est majorée par 2.
c) Pour tout réel , ( ) (
où est la fonction dérivée de
)
d) La fonction est strictement croissante sur R.
e) La tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 1 a
pour équation
.
(
) est
f) La fonction définie pour tout , par ( )
une primitive de
Exercice n° :
Dans chacun des cas suivants, déterminer le domaine de définition de
la fonction f.
Année : 2020-2021
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1) a) ( )
|
√
2) a) ( )
3) a)
d) ( )
√
( )
√
√|
b) ( )
√
c) ( )
b) ( )
|
√
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b) ( )
√
a) Montrer que admet une réciproque notée
intervalle K à déterminer
)( ) puis (
) ( ).
b) Déterminer alors (
5. Construire alors la courbe (C).
|
√
e) ( )
√
√
3) ( )
√
4) ( )
√
√
Exercice n° :
1.a) Démontrer que la fonction f définie par ( )
√| |
est
une fonction paire.
b) Que peut-on dire pour la courbe représentative de la fonction f dans
un plan muni du repère orthonormé (O,I,J) ?
2.a) Démontrer que la fonction f définie par f(x)=
est
impaire.
b) Que peut-on dire pour la courbe représentative de la fonction f dans
un plan muni du repère orthonormé (O,I,J) ?
√
, en 2
, en -∞ et en +∞
, en 1 et en ∞
Exercice n° :
Exercice n° :
est une fonction continue sur son domaine de définition
tableau de variations est le suivant :
et dont le
( )
3
( )
3
On désigne par (C) la courbe représentative de dans un plan
rapporté à un repère orthonormé (O, , ).
1. Déterminer l’ensemble
2. Préciser les limites de aux bornes de En déduire les équations
cartésiennes des asymptotes à (C).
3. (C) admet un centre de symétrie I d’ordonnée 3. Déterminer
l’abscisse de I.
,
4. Soit la restriction de { l’intervalle
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définie sur un
√
Exercice n° :
Dans chacun des cas suivants, calculer les limites de la fonction f.
1) ( )
, en , en -1, en 0, et en 1
2) ( )
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Soit la fonction f définie par {
( )
( )
√
On désigne par sa courbe représentative dans le plan est muni du
repère orthonormé (O,I,J).
1. Démontrer que la fonction f est définie sur .
2. Démontrer que la fonction f est continue au point d’abscisse =1.
3.a) Démontrer que la fonction f n’est pas dérivable au point d’abscisse
=1.
b) Interpréter graphiquement les résultats.
c) Ecrire les équations des demi-tangentes à la courbe .
Exercice n° :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,I,J).
désigne la courbe représentative de la fonction f.
Dans chacun des cas suivants, étudier les branches infinies à la courbe
1) ( )
2) ( )
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3) ( )
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Exercice n° :
Soit la fonction f définie par ( )
On désigne par sa courbe représentative dans le plan muni du
repère orthonormé (O,I,J).
1. Déterminer les réels a, b et c tels que ( )
2. Démontrer que la droite d’équation y=
est asymptote
oblique à la courbe
3. Préciser la position de la courbe par rapport à la droite .
Exercice n° :
Dans chacun des cas suivants calculer la dérivée de la fonction f :
)(
)
1) ( ) (
2) ( ) (
)√
3) ( ) (
)(
) ; 4) ( )
5) ( )
√
;
6) ( )
√
Exercice n° :
On considère la fonction définie par ( ) | |√
( ) désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(O, , ). ‖ ‖=‖ ‖=2cm.
1. Préciser l’ensemble de définition de
2. Etudier la parité de la fonction .
- et ( ) sa courbe
3. Soit la restriction de { l’intervalle ,
représentative dans le repère orthonormé (O, , ).
a) Etudier la dérivabilité de aux points d’abscisses 0 et 1.
b) Calculer ( ) , et étudier son signe sur l’intervalle ,
c) Construire la courbe ( ) ainsi que ses demi-tangentes aux points
d’abscisses 0 et 1.
4. En déduire la construction de la courbe ( ) dans le même repère
que ( )
Exercice n° :
Année : 2020-2021
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On considère la fonction f définie par ( )
On désigne par sa courbe représentative dans le plan muni du
repère orthonormé (O,I,J).
1. Etudier les variations de
2. Démontrer les réels a, b, c tels que : ( )
3. Ecrire l’équation de la tangente { ( ) au point d’abscisse 3.
4. Montrer que ( ) admet une symétrie dont on précisera les
coordonnées.
5. Construire soigneusement la courbe ( ).
6. On considère la fonction g définie par : ( )
.
|
|
a) Déduire de l’étude de le tableau de variation de g.
b) Construire la courbe ( ) représentative de g dans le même repère
que ( )
,.
7. On note h la restriction de sur l’intervalle ,
a) Montrer que h admet une bijection réciproque notée
. Explicite
( ).
b) Trace la courbe représentative de
.
Exercice n° :
est la fonction définie de vers par : ( ) √ (
)
1. Etudier la dérivabilité de en
et en 0 .
2. Etudier le sens de variation de
3.a) Vérifier que la droite ( ) d’équation y=
est asymptote à ( )
en + .
b) Vérifier que la droite ( ) d’équation y=
est asymptote à
( ) en
.
4. Tracer avec soin la courbe ( ) en précisant la tangente à gauche et
la tangente à droite en
et en 0.
Exercice n° :
1) Résoudre, dans l’équation :
2) En déduire la résolution dans
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
de l’équation 2(
)=
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Exercice n° :
I. On considère la fonction g définie par : ( )
1) Etudier les variations de la fonction g
2) Déduire de l’étude précédente le signe de ( )
II. On considère la fonction définie par : ( )
et on
désigne par ( ) sa courbe représentative dans le repère orthonormé
(0,I,J)
1) Déterminer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement le
résultat.
2)a) Déterminer la limite de f en +
b) Justifier que la droite (D) d’équation y=x est asymptote { la courbe
( ).
,
c) Déterminer la position de ( )par rapport à (D) sur ,
d) Démontrer en particulier que (D) coupe ( ) en un point A que l’on
déterminera.
3) Etudier les variations de la fonction
4) Tracer (D) et ( ).
Exercice n° :
Dans le plan rapporté au repère orthonormé (0,I,J), on considère la
. /. On désigne par ( ) la
fonction définie par : ( )
courbe représentative de .
1. Détermine l’ensemble de définition de
2. Calculer les limites de en
, en 1 et en .
3. Calculer ( ) et étudier le signe de
4. Dresser le tableau de variation de
5.a) Démontrer que la droite (D) d’équation y=2x est asymptote à la
courbe ( ) au voisinage de ∞.
b) Etudier la position de la courbe ( )par rapport à la droite (D).
6. Tracer les droites asymptotes et la courbe ( )
Exercice n° : (BAC blanc série D 2018)
On considère la fonction g de vers , définie par
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
( )
( )
1. Démontrer que :
.
( )
2. Calculer
.3. calculer ( ) puis donner son signe.
4. Dresser le tableau de variation de g.
5. Calculer ( ) et en déduire le signe de g.
6. On considère la fonction ( )
et ( ) sa courbe
représentative dans le plan muni d’u repère orthonormé (O, , ). Unité
graphique 2cm.
a. Calculer les limites de en
et en +∞.
( ),
b. Montrer que ( )
c. Dresser le tableau de variation de
7. Démontrer que ( ) admet en
une asymptote (D), d’équation :
8. Déterminer suivant les valeurs de x la position relative de (
9. Montre que l’équation ( )
admet une solution
,.
une autre solution
10. Trace ( ) et (D).
Exercice n° :
1. On considère la fonction numérique
( )
définie sur -
) et (D)
, et
, par
a) Vérifier que ( )
( ) et
( )
b) Calculer
2. On donne le système suivant de deux équations a deux inconnues
et y :
(
)
{
(
)
a) Quels sont les ensembles de définition pour
.
b) Résoudre le système suivant en prenant pour inconnues
auxiliaires : X=
et Y= .
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Exercice n° :
, par : ( )
1. Soit la fonction définie sur a) Calculer la dérivée de
b) En déduire le tableau de variation de (on ne demande pas les
limites).
. /. En utilisant ces résultats et la question
c) Calculer ( )
précédente, montrer que l’équation ( )
admet exactement deux
, que l’on note
solutions sur (avec
). On
précise que
,.
d) En déduire le signe de ( ) sur , par :
2. Soit la fonction définie sur ( )
. On note (C) la courbe représentative de dans le
repère orthonormal (O, ), d’unité graphique 3cm.
a) Calculer les limites en 0 et en + de
b) Montrer que la droite D d’équation y= est asymptote à (C). Préciser
la position de (C) par rapport à D.
( )
c) Démontrer que la dérivée de est telle que ( )
3. Déterminer le sens de variation de
4. Tracer (C) et D ?
, par
5. Calculer la dérivée de la fonction k définie sur (
)
( )
,.
. En déduire une primitive de sur 6. Soit U le domaine limité par (C) et par les droites d’équation
. Calculer, en centimètres carrés, l’aire de U.
Exercice n° :
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie
( )
√
par : {
( )
. /
1) Préciser , l’ensemble de définition de f.
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en
3) Pour
, montrer que f est périodique, de période T=4, puis
montrer que f peut étre étudiée sur -
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
]
4) Etudier les variations de f sur ]
5) Montrer qu’il existe une droite asymptotique { la courbe (
voisinage de
puis déterminer son équation.
)
6) Tracer ( ) dans un repère orthonormé (
) au
Exercice n° :
Partie A :
1. Résoudre l’équation différentielle (E) :
2. Déterminer la solution particulière f de (E) dont la courbe
représentative passe par le point A(0 ;4) et admet en ce point, une
tangente de coefficient directeur
.
Partie B :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (
). On considère la
fonction numérique f définie par ( ) (
) . On note (C) sa
courbe représentative.
a) Etudier les variations de f.
b) Etudier les branches infinis à (C).
c) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point
d’abscisse 0.
d) Construire (C).
Partie C :
Soit F la fonction numérique définie par : ( ) (
) .
1. Déterminer les réels a et b pour que F soit une primitive de f.
2. est un réel strictement supérieur à
. Calculer l’aire de la partie
du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équations
et
3. Calculer la limite de A( ) lorsque tend vers plus l’infini.
Exercice n° : (Bac blanc série D 2011 zone 1)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
graphique : 2cm
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(
).Unité
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Partie A :
On considère la fonction numérique f de variable
définie par
( )
{
(
)
( )
(
)
)
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le repère (
du plan.
1. Donner l’ensemble de définition de f.
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en
(pour cela on
posera
)
3. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations
4. Etudier les branches infinis à (C)
5. Tracer la courbe (C)
Partie B :
,
Soit g la restriction de f { l’intervalle 6. Démontrer que g admet une bijection réciproque
dont on
dressera un tableau de variations.
7. Construire la courbe (
) de la fonction
dans le même repère
que (C) de f.
8. Soit un réel strictement positive, calculer l’aire A( ) de la portion
plan limitée par la cpourbe (C), et les droites d’équations
;
9. Calculer la limite de A( ) lorsque
tend vers plus l’infini.
Exercice n° : (Composition
Soit la fonction numérique d’une variable réelle
définie par :
( )
On désigne par (C) la courbe représentative de
).Unité graphique : 2cm
orthonormal (
1.a) Déterminer l’ensemble de définition de
b) Déterminer les limites de en 0 et en
.
(
)
2. On pose
a) Dresser le tableau de variation de g.
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)
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,
b) En déduire le signe de ( ) sur ( )
3.a) Montrer que pour tout
, ( )
,.
b) En déduire le signe de ( ) sur 4. Dresser le tableau de variation de la fonction
5.a) Montrer que la droite (D), d’équation
est un asymptote à
(C).
b) Etudier la position de (C) par rapport { l’asymptote (D).
c) Montrer que l’équation ( )
admet une solution unique
1
0.
6. Construire la courbe (C) et la droite (D).
Exercice n° :
[ par : ( )
1. Soit la fonction définie sur [
a) Etudier le sens de variation de
b) Calculer ( ). Démontrer que l’équation ( )
solution unique dans l’intervalle , -
admet une
Exercice n° :
). On considère la
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (
,.
fonction numérique f définie sur ( )
sur
1. Montrer que la fonction f est continue et dérivable sur I.
2.a) Calculer la dérivée de
( )
,
-, on a :
b) Montrer que
3. Montrer qu’en appliquant le théorème des inégalités des
- , on a :
accroissements finis à la fonction sur l’intervalle ,
( )
dans un repère
Exercice n° :
Soient les fonctions
de dans définies respectivement par :
( )
et ( )
√
a) Déterminer le tableau de variation de f.
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b) Démontrer que l’équation ( )
admet une solution unique
,.
,. Montrer que h admet une
c) Soit h la restriction de sur ,
,
, et dresser le tableau de
bijection réciproque, notée
, sur
variation de
2.a) Déterminer l’ensemble de définition de g
b) Etudier la continuité et dérivabilité de g en
et
.
c) Démontrer que la droite d’équation
est asymptote à la
courbe (C) de g en
Exercice n° :
Soit h la fonction de la variable réelle
1. Déterminer :
a) L’ensemble de définition de
( )
b)
2. Peut-on prolonger
ce prolongement.
définie par : ( )
.
/
? Si oui alors préciser
Exercice n° :
Partie A :
On considère la fonction définie par : ( ) √
1. Déterminer l’ensemble de définition de
2. Etudier les variations de et les branches infinies à la courbe ( )
(
)
de On admettra que
3.a) La fonction est-elle dérivable ?
b) Donner une interprétation graphique pour la courbe de
4. Déterminer les coordonnées du point A intersection de la courbe
( ) avec l’axe des ordonnées ( )
Partie B :
,
5.a) Démontrer que la fonction réalise une bijection de ,
vers un intervalle que l’on précisera. En déduire l’existence de sa
bijection réciproque notée
Année : 2020-2021
b) Préciser le tableau de variation de
)( )
c) Sans expliciter
. Calculer
(5) et (
6. Construis ( ) de
dans le même repère que ( )
Exercice n° :
Soit la fonction définies par : ( )
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère
).
orthonormée (
1. Calculer les limites de au borne de son ensemble de définition.
2. Calculer ( ) et dresser le tableau de variation de
3. Etudier les branches infinies à la courbe (C) et le tracer.
Exercice n° : (Bac D 2018)
Soit la fonction numérique à variable réelle
par continuité en
( )
Tél : 064905404
{
définie par :
( )
( )
On désigne par (C)la courbe représentative de dans le repère
). Unité graphique : 2cm.
orthonormé (
1. Déterminer l’ensemble de définition de
2. Vérifier que la fonction est continue en
3. Etudier la dérivabilité de en
4.a) Déterminer la fonction dérivée de .
b) Dresser le tableau de variations de
5.a) Préciser les branches infinies à la courbe (C) de
b) Tracer (C).
6. Calculer l’aire A du domaine limité par la courbe (C) de , l’axe (
des abscisses et les droites
Exercice n° : (Composition
On considère la fonction
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
définie par : {
)
( )
( )
Classe : Terminale D
)
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(C) désigne la courbe représentative de dans le repère orthonormée
(
). Unité graphique : 2cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition de
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de en
.
3. Déterminer la période de sin .
4. Pour
a) Déterminer les réels a, b et c tels que ( )
b) Déduire que la droite (D) :
est asymptote à (C).
c) Préciser l’autre asymptote { (C).
5. Etudier les variations de .
6. Tracer (C).
[
] et g la fonction
7. Soit h la restriction de { l’intervalle
( )
définie sur par : ( )
a. Dresser le tableau de variation de g.
b. Tracer la courbe (C’) de g dans le même repère que (C).
Exercice n° : (Composition
On considère la famille des fonctions
(
)
( )
où m est un réel.
1. Donner l’ensemble de définition
m.
2. Calculer la dérivée
( ).
de la variable réel
)
défini par
selon les valeurs du paramètre
Exercice n° : (Bac D 2010)
Partie A :
[ par :
Soit la fonction de variable réelle définie sur ]
( )
( )
1. Etudier les variations de g, puis dresser son tableau de variation.
[
2. Calculer ( ) et en déduire le signe de ( ) sur ]
Partie B :
On considère la fonction numérique de variable réelle définie par :
( )
| |
{
( ) (
)
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
On désigne par (C) la courbe représentative de dans le repère
). Unité graphique : 1 cm.
orthonormé (
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
2.a) Etudier la continuité et la dérivabilité de au point
.
]
[. Exprimer ( ) en fonction de ( )
b) Pour
3. Etudier les variations de et dresser son tableau de variation
4. Montrer qu’il existe deux solutions et deux seulement
de
(
)
l’équation
vérifiant les inégalités suivantes :
et
(on ne cherchera pas à calculer
)
5. Etudier les branches infinies à (C).
6. Tracer la courbe (C).
7. désigne le réel tel que :
)
a) Calculer ( ) de l’ensemble des points M des coordonnées (
tels que : {
( )
b) Calculer la limite de ( ) lorsque
tend vers 0.
Exercice n° :
, par :
On considère la fonction définie sur l’intervalle ( )
( )
( )
On désigne par ( ) la courbe représentative de dans un repère
orthonormé.
1. étant la dérivée de , montrer que ( )
,.
2. En déduire le tableau de variation de sur 3.a) Résoudre dans R l’équation :
et déterminer les
abscisses des points d’intersection de la courbe ( ) avec l’axe des
abscisses
b) En déduire dans R, une résolution de l’inéquation ( )
Exercice n° :
Vrai ou faux ?
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
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Cet exercice comporte six affirmations. Indiquer pour chacune d’elles
si elle est vraie (V) ou faux (F), en justifiant la réponse. Soit la
fonction définie par : ( )
1. La fonction est impaire.
2. La fonction est périodique de période 2
-.
3. On peut restreindre l’étude de { l’intervalle ,
4. La courbe ( ) de est symétrique par rapport à la droite (D)
d’équation
1
5. Il est possible de restreindre l’étude de { l’intervalle 0
6. La dérivée de est définie par : ( ) (
)(
)
Exercice n° :
On considère la fonction
définie par : {
( )
( )
√
1. Déterminer l’ensemble de définition de
2. Déterminer m pour que soit continue en =1
3. Pour m=1, étudier la dérivabilité de en =1
4. Etudier les variations de ; les branches infinies, puis construire la
courbe dans un repère orthonormé (
) Unité : 2cm.
Exercice n° :
Soit la fonction définie sur par ( )
On note
sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé
(
) D’unité graphique 4cm
)
1.a) Démontrer que
, (
( ). Que peut-on conclure
concernant la courbe ?
b) Montrer que la courbe admet la droite ( ) :
comme axe de
symétrie.
(
)
2.a) Montrer que pour tout
, ( )
b) Démontrer que pour tout
Année : 2020-2021
,
( )
√
.
/
Tél : 064905404
Exercice n° :
On considère la fonction numérique de variable réelle définie par :
( )
( )
{
( )
). Unité
Et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (
graphique : 1 cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de en
.
b) Préciser les tangentes à ( ) au point d’abscisse 0.
3. Etudier les variations de puis dresser son tableau de variation.
4.a) Etudier les branches infinies de ( ).
b) Tracer la courbe ( )
,.
5. Montrer que ( ) admet une solution unique 6. On pose ( )
.
a) Montrer que l’équation ( )
est équivalente { l’équation
( )
-.
b) Etudier les variations de h et h’ sur ,
,
-, ( ) ,
- et | ( )|
c)Montrer que
d) Montrer que
-, | ( )
,
Exercice n° :
On considère la fonction
|
|
|
ayant le tableau de variations suivant :
0
5
( )
3
( )
2
1. Montrer que admet une fonction réciproque
le tableau de variations.
( ) suivant les valeurs de
2. Etablir le signe de
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
dont on donnera
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3. On donne ( )
( )
. Dresser le tableau de variation de
Exercice n° :
Partie A :
Soit la fonction numérique
( )
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
de la variable
définie par :
√
( )
|
|
{
Soit ( ) la courbe représentative de dans le plan rapporté à un
repère orthonormé (O, ) unité de longueur 2cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition de
2. Etudier la continuité de au point d’abscisse
3.a) Ecrire ( ) sans le symbole de valeur absolue
b) Etudier la continuité de au point d’abscisse
c) Interpréter géométriquement les résultats de la question 3.b)
d) Etudier le signe ( )
sur l’intervalle 4. Etudier les variations de Construire la courbe ( )
Partie B :
,
Soit g la restriction de { l’intervalle
1. Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à déterminer
2. Construire dans le même repère que ( ) la courbe ( )
représentative de la fonction h réciproque de g en justifiant cette
construction.
Exercice n° :
Soit la fonction
définie par ( )
(
)
1. Donner l’ensemble de définition de
2. Montrer que es continue et dérivable sur .
3. Etudier les variations de
4. Etudier les branches infinies de (C), courbe de
5. Tracer (C) dans un repère orthonormé (O, ). Unité 2cm
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
|
|
6. Soit la fonction de dans définie par : ( )
a) Etudier les variations de
b) Tracer la courbe (C’) de dans le même repère que (C).
7. Soit un réel tel que
, on note ( ) l’aire en
du
domaine plan délimité par (C) et les droites d’équations
et
a) Calculer ( )
b) Déterminer tel que ( )
Exercice n° :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, ). On considère la
fonction numérique définie par : ( ) (
)
1. Etudier les variations de
,. Montrer que admet
2. Soit la restriction de { l’intervalle ,
une bijection réciproque notée
dont on précisera les variations.
3. Tracer la courbe représentative de et la courbe de
dans le
même repère.
4. On considère la fonction numérique F définie par :
( ) (
)
a) Déterminer les nombres réelles a et b pour que F soit une primitive
de
b) Soit un réel strictement supérieur à 2. Déterminer en fonction de
, l’aire ( ) du domaine plan délimité par la courbe de l’axe des
abscisses, les droites d’équations
( ).
3. Calculer
Exercice n° :
On considère l’équation ( )
1. Trouver la solution générale e l’équation différentielle ( )
2. Donner la solution particulière de ( ) telle que : ( )
et
( )
3. Calculer le réel I=∫
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Classe : Terminale D
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Exercice n° :
1. Etudier les variations de la fonction définie par : ( )
√
2. On désigne par la restriction de sur l’intervalle
a) Montrer que est bijective de I vers un intervalle J à déterminer.
b) Dresser le T.V de la bijection réciproque
de
)(
c) Sans expliciter
( ), calculer (
√ )
d) Expliciter
( ), puis vérifie le résultat de la question 2.c)
3. Faire l’étude complète des branches infinies { la courbe ( )
4. Préciser la position de la courbe ( ) par rapport { l’asymptote
oblique.
5. Tracer les courbes ( ) et (
) dans le même repère.
Exercice n° : (Bac blanc série D 2014 zone 1)
Partie A :
Soit la fonction numérique à variable
définie telle que :
( )
,
; avec
1.a) Calculer la dérivée de la fonction puis précise le signe de .
b) Calculer les limites de puis dresser le tableau de variations de la
fonction
2.a) Calculer (√ )
b) Préciser le signe de la fonction sur son ensemble de définition.
Partie B :
On considère la fonction numérique à variable réelle
( )
,
. / ; avec
telle que :
On désigne par (C) la courbe représentative de dans un repère
). Unité graphique : 1cm.
orthonormé (
3. Déterminer la dérivée de en fonction de ( ) et préciser son
signe.
4. Dresser le tableau de variation de la fonction
5. On admet la droite (d) d’équation
est asymptote à la
, solution unique de
courbe (C) et qu’il existe un réel unique
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
l’équation ( )
Etudier la position relative de (C) par rapport à la
droite (d).
6. Tracer (C) et (d) dans un même repère.
7. Calculer l’aire A(D) du domaine plan (D) limité par la courbe (C), la
droite (d) et les droites d’équations
; unité graphique
1cm.
Exercice n° :
(
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
Partie A :
On considère la fonction numérique f définie par :
( )
, , l’équation ( )
1. Résoudre dans l’intervalle 2. Etudier les variations de
3. En déduire le signe de ( ) suivant les valeurs de
).
Partie B :
Soit g la fonction numérique définie par : ( )
1. Donner l’ensemble de définition de .
2. Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.
( )
3. Montrer que ( )
4. Dresser le tableau de variation de
5. Construire la courbe représentative de
(
)
6. Montrer que la fonction numérique définie par ( )
,.
est une primitive de sur Exercice n° :
{
( )
√
| |
( )
.
/
1. Préciser l’ensemble de définition de
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
en 0.
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
3. Montrer que est de période 2 pour
En déduire un
intervalle d’étude I.
4. Etudier les variations de (on dressera le tableau de variation)
5. Etudier la branche infinie de en
6. Tracer la courbe (C) de dans un repère orthogonal unité
graphique : 2cm sur (ox) et 1cm sur (oy).
( )
7. On définit h par ( )
a) Dresser le tableau de variation de h
b) Construire la courbe (C’) de h dans le même repère.
Partie B :
Soit la fonction numérique à variable réelle , définie par
( )
;
( ) désigne la courbe représentative de dans le repère orthonormé
(O, ) : du plan : Unité graphique 1cm
4.a) Déterminer l’ensemble de définition de
b) Exprimer la dérivée de en fonction de ( )
c) Dresser le tableau de variations de
5.a) Montrer que la droite (D) d’équation
est asymptote à
( ).
b) Etudier la position relative de ( ) par rapport à (D).
c) Préciser l’autre asymptote à ( ) ; de l’inégalité
, trouver
un encadrement de ( ) à
près, puis tracer ( ) et ( ) dans le
même repère.
Exercice n° :
Soit la fonction
; m est un paramètre réel non nul
1. Discuter selon m l’ensemble de définition.
2. Déterminer le point fixe aux courbes ( ).
3. Discuter les variations de
on distinguera 2 cas
Exercice n° : (Composition
On considère la fonction définie par :
( )
{
(a est un paramètre réel)
( )
1. Déterminer l’ensemble de définition de
2. Déterminer le réel a pour que soit continue en
3. On pose a=0, étudier la dérivabilité de en
conséquences graphiques à la courbe ( ) de
Année : 2020-2021
)
, puis préciser les
Exercice n° : (Composition
Partie A :
Soit g la fonction définie par : ( )
.
1. Etudier les variations de g sur R (on dressera un tableau de
variations de g).
2. Montrer que l’équation ( )
admet une solution unique
,
3. Déduire le signe de g sur R.
Tél : 064905404
)
Exercice n° : (Composition
)
Partie A :
Soit la fonction g à variable réelle définie par : ( )
pour
tout réel.
1. Montrer que la fonction a pour période T=6.
2. Montrer que la fonction est paire.
3. Montrer que l’étude de la fonction peut être réduite à l’intervalle
-.
I=,
], on
4. Etudier les variations de la fonction sur l’inter valle I=[
dressera un tableau de variations de
Partie B :
On considère la fonction numérique
√
( )
{
( )
à variable réelle
-
telle que :
,
-
On désigne par ( ) la courbe représentative de la fonction dans le
repère orthonormé (O, ) du plan. Unité graphique : 2 cm.
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Tél : 064905404
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction en
3. Etudier les variations de la fonction , on dressera un tableau de
variations de
4. Etudier la branche infinie à la courbe ( ) de la fonction
5. Tracer ( )
E est un espace vectoriel muni de sa base canonique
endomorphisme de E.
*⃗
1. Montrer que l’ensemble
(⃗ )
⃗
espace vectoriel de E.
()
2. Soit l’endomorphisme défini par : {
()
Exercice n° : (Composition
Définir les notions suivantes :
a) Une fonction bijective
b) Un nombre dérivé d’une fonction dérivable.
a. Démontrer les sous espaces vectoriels et
tels que :
*⃗
*⃗
( ⃗ ) ⃗ + et
(⃗ )
⃗+
b. Montrer que est une symétrie vectorielle.
3. En déduire les éléments caractéristiques de
4. On donne ⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗
a. Montrer due le couple ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) est une base de E.
b. Détermine la matrice de dans la base (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )
NOMBRES COMPLEXS RESOLUTION DES
EQUATIONS DANS ℂ
Exercice n°1 : (Bac blanc série D 2018 zone 1)
Année : 2020-2021
)
(
) et , un
+ est un sous
Exercice n°2 : (Bac blanc série D 2018 Kouilou et Pointe-Noire)
Soit f l’endomorphisme du plan vectoriel R² muni de la base canonique
( ) défini par ( )
et ( )
où a est un réel non nul.
(
)
1. Donner la matrice de f dans la base
2. Déterminer la valeur de a pour que f soit une symétrie vectorielle.
3. Dans la suite, on pose a=-1
a) Déterminer les sous- espaces vectoriels E et F de R² respectivement
définis par :
E=* ⃗
( ⃗ ) ⃗ + et F=* ⃗
(⃗ )
⃗+
b) En déduire la base et la direction de f.
4. Montrer que les vecteurs ⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗
forment une base de
R².
5) Donner la matrice de f dans la base (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )
Exercice n°3 : (Bac blanc série D 2011 zone 1)
⃗ ). On
Soit E un R-espace vectoriel rapporté à la base canonique (
considère l’endomorphisme f de E qui, au vecteur ⃗ (
) de E
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
associe le vecteur (
) de E ; ( ⃗ )
tel que :
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Soit
𝑓
{
⃗ ).
1. Donner la nature de l’endomorphisme f dans la base (
2. Déterminer l’ensemble ( ) * ⃗
( ⃗ ) ⃗ + ensemble des
points invariants.
3. Déterminer l’ensemble ( ) * ⃗
(⃗ )
⃗ + ensemble
des vecteurs transformés en leurs opposés.
4.a) Montrer que l’endomorphisme f est une symétrie vectorielle de E.
b) Caractériser f (Préciser sa base et sa direction).
Exercice n°4 :
( ⃗ ) est une base de , ⃗
⃗⃗ sont trois vecteurs définis par les
) (
)
coordonnées dans la base canonique ⃗ (
⃗⃗ (
)
1. Démontrer que ( ⃗
⃗⃗ ) est une famille génératrice de
2. Montre que la famille ( ⃗
⃗⃗ ) est libre.
3. La famille ( ⃗
⃗⃗ ) est-elle une base de
Exercice n°5 : (Bac D 2016)
L’espace vectoriel
est rapporté à la base canonique
Soit l’endomorphisme de
défini par ces bases : (⃗ )
(⃗ )
.
(⃗ ).
1. Calculer (⃗ ) et
2. En déduire la nature de l’application
3.a) Qu’est-ce qu’un automorphisme.
b) Prouve que est un automorphisme inverse
c) Caractérise l’application .
4. Soit les vecteurs ⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗
(
)
a) Montre que
⃗
est une base de
b) Ecrire la matrice de dans la base
Exercice n°6 :
L’espace vectoriel
est rapportée à la base canonique
Année : 2020-2021
(
)
et
(
)
Tél : 064905404
l’endomorphisme de
défini par ces bases : (⃗ )
(⃗ )
.
(⃗ ).
1. Calculer (⃗ ) et
2. En déduire la nature de l’application
3.a) Qu’est-ce qu’un automorphisme.
b) Prouve que est un automorphisme inverse
c) Caractérise l’application .
4. Soit les vecteurs ⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗
( ⃗ ) est une base de
a) Montre que
b) Ecrire la matrice de dans la base
et
Exercice n°7 :
⃗ ). On considère
L’espace vectoriel
étant rapportée à une base (
(
)
l’application qui { tout vecteur ⃗
associe le vecteur
⃗ ) sont
( ⃗ ) dont les composantes (
) dans la base (
⃗
définies par {
(a
)
1. Détermine les valeurs de a pour lesquels l’application est bijective.
2. On pose a=1
a) Détermine le noyau et l’image de
b) En déduire un base pour chacune de ces sous-ensembles.
) dans la base
c) Soit ⃗ un vecteur de
de composantes (
⃗
(
). Calcule
pour que ⃗
Exercice n°8 : (Bac blanc série D 2014)
), ⃗ (
) et ⃗ (
) de
On considère les vecteurs ⃗ (
l’espace vectoriel .
* ⃗ ⃗ ⃗ + des trois vecteurs de l’espace
1) Montrer que la famille
vectorielle
est libre.
) de l’espace , déterminer les réels a, b
2) Soit le vecteur ⃗ (
)= ⃗
et c tels que l’on ait : ⃗ (
⃗
⃗ , c’est-à-dire que ⃗
soit une combinaison linéaire des vecteurs de la famille
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
) du sous-espace vectorielle E de ,
3) Soit le vecteur (
trouver une relation entre les coordonnées
du vecteur
⃗
⃗
⃗ où
sont des réels.
) appartiennent à E.
4) Vérifier que les vecteurs ⃗⃗ (
Exercice n°9 :
L’espace vectoriel E est rapportée à sa base canonique
( ) On
() (
)
considère l’endomorphisme de E définie par {
()
(
)
a défini un paramètre réel
1) Donner l’expression analytique de en fonction de a.
2) Détermine l’ensemble des valeurs de a, pour lesquels n’est pas
bijectif.
Dans la suite, on pose a=3
3) Détermine le noyau
et l’image
.
4.a) Montrer que est une symétrie vectorielle.
b) Préciser ces éléments caractéristiques.
Exercice n°10 :
), (
) et ⃗⃗ (
) sont des vecteurs d’un espace
⃗(
vectoriel E sur R. Démontrer que ( ⃗
⃗⃗ ) est une famille libre de E.
Exercice n°11 :
), (
) et ⃗⃗ (
⃗(
vectoriel E sur R. Démontrer que ( ⃗
) sont des vecteurs d’un espace
⃗⃗ ) est une famille liée de E.
Exercice n°12 :
Soit ( ⃗ ) une base de . Soit , et trois vecteurs de
),
par leurs composantes dans la base canonique (
(
)et (
).
1. Montrer que ( , , ) est une base de
) dans la base ( ,
2. Soit ⃗ le vecteur de composantes (
⃗ ).
Déterminer les composantes de ⃗ dans la base (
Année : 2020-2021
définis
,
).
Tél : 064905404
) dans la base (
3. Soit le vecteur de composantes (
Déterminer les composantes de dans la base ( , , ).
⃗ ).
Exercice n°13 :
⃗ ). Soit
L’espace vectoriel de dimension 3 est rapporté à la base (
l’application linéaire de dans qui à tout vecteur ⃗ fait
⃗ tel que :
correspondre le vecteur le vecteur ⃗
{
1. Déterminer le noyau de et en donner une base ( , )
2. Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants par et en donner
une base ( ).
3.a) Montrer que le triplet ( , , ) est une base de
b) Déterminer la matrice de dans la base ( , , ).
Exercice n°14 :
L’espace vectoriel de E est rapporté { la base (
l’endomorphisme de E tel que :
{
). On considère
()
()
1. Déterminer l’expression analytique de .
2. Déterminer le noyau de et donnez en une base ( )
3. Déterminer l’image de et donnez en une base ( )
4. Démontre que ( , ) est une base de E et donner la matrice de
dans cette base.
Exercice n°15 :
L’espace vectoriel E est rapporté { la base (
l’endomorphisme de E tel que :
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
⃗ ). Soit
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
()
{
()
(⃗ )
⃗
⃗
1. Déterminer l’expression analytique de .
2. Déterminer le noyau de et donner une base ( )
)
3. Déterminer l’image de et donner une base (
4. Démontre que ( ,
) est une base de E et donner la matrice de
dans cette base.
Exercice n°16 : (Bac D 1994)
désigne un plan vectoriel de base ( )et l’endomorphisme de tel
()
que : {
est paramètre réel
()
1. Donner la matrice de dans la base ( ).
2. On note ⃗⃗⃗ . /, l’image d’un vecteur ⃗ . / de par . Ecrire les
composantes . / de ⃗⃗⃗ en fonction des composantes . / de ⃗
3. Trouver pour que soit une projection vectorielle.
4. Dans la suite de l’exercice, on pose
. Déterminer :
a) Le noyau de , noté
et une base ( ) de
b) L’image de
et une base ( )
c) Montrer que ( , ) est une base de .
En déduire que
et
sont deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires de
Exercice n°17 : (Bac D 2018)
Soit E un plan vectoriel rapportée à sa base canonique ( ) On
considère les deux droites vectorielles ( ) et ( ) d’équations
respectives
et
de ce plan.
1. Vérifier que les droites ( ) et ( ) sont engendrées respectivement
par les vecteurs
et
.
2. Prouver que la famille ( , ) est une base de E.
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
3. Montrer que les sous-espaces vectoriels ( ) et ( ) sont
supplémentaires dans E.
4. Soit un endomorphisme de E défini par : (⃗ ) ⃗ et (⃗ )
Exprimer les vecteurs ( ) et ( ) dans la base ( )
⃗
Exercice n°18 :
⃗)
On considère l’espace vectoriel
étant rapportée à une base (
et soit l’application de
dans
définie par :
(
) (
)
1. Montrer que est un endomorphisme de
( ⃗)
2. Quelle est la matrice de relativement à la base
3. Déterminer le noyau
En déduire une base .
4. Déterminer l’image
. En déduire la base .
5. Vérifier que
est une base de
Quelle est la matrice de
dans la base
6. Soit ⃗ (
) un vecteur de
éterminer
pour que ⃗
appartiennent à
Exercice n°19 :
Soit V un espace vectoriel de dimension 3 muni d’une (
l’endomorphisme de V défini par :
()
⃗
{ ()
⃗
(⃗ )
1. Qu’appelle-t-on par automorphisme ?
2. Montrer que est un automorphisme.
3. Déterminer la matrice M’ de la bijection réciproque
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
⃗ ) et
de
Classe : Terminale D
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Tél : 064905404
4. Il est chanceux, il vient d’extraire une carpe. Quelle est la probabilité
qu’elle provienne de
Exercice n°2 :
On considère une urne contenant 5 jetons numéroté 1, 2, 3, 4, 5. On
tire au hasard 2 jetons de l’urne. Soit X la variable aléatoire réel définie
par : X : « moyenne arithmétique de deux numéros sortis.
1. On suppose que le tirage est successif avec remise.
a) Donner la loi de probabilité de X
b) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.
2. On suppose maintenant un tirage successif sans remise.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.
Exercice n°3 :
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire deux
boules successivement et sans remise. On note
l’événement
«obtenir une boule rouge au premier tirage» et
l’événement
«obtenir une boule noire au deuxième tirage».
A l’aide d’un arbre de probabilité, calculer la probabilité de
l’évènement «obtenir une boule rouge puis une boule noire».
NOMBRES COMPLEXS RESOLUTION DES
EQUATIONS DANS ℂ
Exercice n°1 : (Bac blanc série D 2018)
Un pisciculteur dispose de deux étangs identiques et . Il y a 7
silures et 3 carpes dans et, Il y a 5 silures et 2 carpes dans .
Le pisciculteur a faim. Il veut manger un poisson. Il choisit au hasard
un étang et veut extraire un poisson.
1. Construire l’arbre pondéré traduisant les données.
2. Quelle est la probabilité d’extraire :
a. Un silure sachant qu’il provient de
b. Une carpe sachant qu’elle provient de
3. Il souhaite manger une carpe. Quelle est la probabilité d’en avoir
une ?
Année : 2020-2021
Exercice n°4 :
Trois candidats a, b et c se présentent à une élection. Ils obtiennent
respectivement 60%, 30% et 10% des suffrages. On sait que 30% des
électeurs de a, 60% des électeurs de b et 40% des électeurs de c sont
des hommes. O interroge au hasard une personne s’étant prononcée
pour l’un des trois candidats. On note respectivement A, B et C les
événements « avoir voté pour le candidat A, B et C ». H et F les
événements « être un homme ou une femme ». A l’aide d‘un arbre de
probabilité. Détermine : P(A F), P(A H), P(B F), P(B H), P(C F) et
P(C H).
Exercice n°5 :
Complète l’arbre de probabilité suivant :
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
P (A 𝐶)=
P (A 𝐷)=
Tél : 064905404
4. Quelle est alors la probabilité de tirer trois boules ayant une
même couleur.
5. Déduire la probabilité de tirer trois boules n’ayant pas une même
couleur.
NOMBRES COMPLEXS RESOLUTION DES
EQUATIONS DANS ℂ
P (B 𝐶)=
P (B 𝐷)=
Exercice n°6 : (Bac D 2010)
Une urne contient deux boules blanches et trois boules noires toutes
indiscernables au toucher ; on tire simultanément et au hasard deux
boules de l’urne et on note leur couleur. On définit sur l’univers de
cette expérience aléatoire de la variable aléatoire réelle X par :
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l’espérance mathématique de X.
3.a) Définir la fonction de répartition F de X.
b) Tracer la courbe représentative de F dans un repère orthogonal ;
(On prendra 1 cm en abscisse et 5cm en ordonnée pour unités
graphiques)
Exercice n°7 : (Bac blanc série D 2014)
Une urne contient 1 boule blanche et deux boules noires, toutes les
boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement avec
remise trois boules de l’urne.
1. Qu’appelle-t-on tirage successif avec remise ?
2. Calculer la probabilité de tirer trois boules blanches.
3. Calculer la probabilité de tirer trois boules noires.
Année : 2020-2021
Exercice n°1 : (Bac blanc série D 2011 zone 1)
On considère la série statistique doble ( ,
) représentée par le
tableau à double entrée suivant :
X
-1
0
1
Y
0
1
2
1
2
2
1
3
1. Donner les deux séries marginales associées.
2. Calculer les coordonnées ̅ et ̅ du point moyen G du nuage
statistique.
3. Ecrire l’équation cartésienne de la droite de régression de
puis la droite de régression de
.
4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
5. Calculer l’inertie du nuage statistique par rapport au point A(0 ;2)
Exercice n°2 : (Bac D 2013)
Les caractères X et Y sont distribués suivant le tableau à double entrée
ci-après :
X
-1
0
2
Y
-2
4
0
2
-1
3
5
0
0
2
1
2
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D
Centre d’encadrement le Salut
Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
1. Dresser la loi marginale de X et celle de Y.
2. Trouver les coordonnées du point moyen (̅ et ̅).
3. Déterminer l’équation de la droite de régression de
.
4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique.
Exercice n°3 :
Soit le tableau à double entrée suivant :
X
-1
2
3
Y
1
2
1
1
2
2
3
1
1. Convertir ce tableau en un tableau linéaire.
2. Déterminer le coefficient de corrélation ( ) des caractères X et Y.
On donne ̅
et ̅
3. Donner une interprétation de cette corrélation.
Exercice n°4 :
On considère la série (
) déterminée par le tableau ci-dessous :
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
1
2
1. Représenter le nuage de points associés à cette série.
2. Déterminer le point moyen de ce nuage
3. Calculer les variances de X et Y.
4. Calculer les écart-types de X et Y.
5. Calculer la covariance de cette série.
6. Déterminer la droite de régression de
7. Déterminer la valeur de lorsque
8. Calculer son coefficient de corrélation linéaire.
Exercice n°5 :
L’étude du poids de la larve d’un insecte mesuré en fonction de l’âge
a conduit au tableau suivant :
1
2
3
4
5
7
13
25
47
88
Année : 2020-2021
Tél : 064905404
On pose
( ) où ln désigne le logarithme népérien
a) Calculer les différentes valeurs prises par à
près.
b) Tracer le nuage des points représentant les couples (
) dans un
système d’axes orthonormé (unité 2cm). placer la barycentre G du
nuage.
c) Déterminer une équation de la droite de régression de
d) Si l’évolution se poursuit dans les mêmes conditions, quel sera le
poids de la larve au bout de six(6) mois ?
Exercice n°5 :
Soit la série statistique double suivante :
X
-2
0
2
3
Y
-1
4
1
5
2
1
3
4
1
0
2
2
8
9
1
1. Dresser la loi marginale de X et de Y.
2. Déterminer les coordonnées du point moyen
3. Trouver les variances et les covariances.
4. Déterminer les deux droites de régression
5. Calculer l’inertie du nuage par rapport { B(2 ;1)
Exercice n°6 :
1. Une série statistique double, ajustée par la méthode des moindres
carrées a ses deux droites de régression définies par :
et
a) Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre
.
2. On donne une autre série statistique double.
1
2
1
b
4
2
1
a
2
0
2
3
a) Trouver a et b pour que le point moyen G ait pour coordonnées
(2 ;2)
b) Calculer l’inertie du nuage par rapport { A(1 ;1)
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
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Adresse : 45,Rue MBanza KONGO, Itsalie (MFilou)
Exercice n°7 : (Bac C 2004)
Le tableau ci-dessous représente le couple (X, Y) de deux caractères
statistiques :
X
1
2
3
Y
0
2
0
3
2
4
2
0
1. Représenter le nuage des points de cette série.
2. Calculer les coordonnées du point moyen .
3. Calculer l’inertie du nuage par rapport au point (
), puis par
rapport au point G.
Exercice n°8 : (Bac D 1993)
Soit la série statistique double suivant :
-1
0
Tél : 064905404
0
2
2
1. Déterminer , , , , et tels que , ,
sont trois
termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r=2 et vérifiant
la relation suivante
. , , sont trois termes
consécutifs d’une suite géométrique de raison q=3 et vérifient la
relation
.
2. Compléter le tableau et déterminer les séries marginales de X et Y.
3. Déterminer l’inertie du nuage par rapport { O(0;0). En déduire
l’inertie par rapport à G point moyen de cette série.
4. Déterminer par la méthode des moindres carrées les droites de
régressions de
et de
5. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire du couple (
)
1
0
3
4
1
1
1
0
a
1. Déterminer le réel a pour que le point moyen ait pour coordonnées
.
/.
2. Dans la suite du problème on prendra a=1. Déterminer l’inertie du
nuage au point A(2 ;2) puis par rapport à G.
3. Déterminer par la méthode des moindres carrées les droites de
régressions de
et de
4. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre
Exercice n°9 :
Dans le tableau suivant :
1
2
0
3
Année : 2020-2021
2
0
Encadreur : M. Esdras MALOUVOUKOU
Classe : Terminale D