Fascicule de Mathématiques Seconde C

AVANT-PROPOS
Le présent recueil rassemble les sujets des compositions du 1er, 2e et 3e trimestre
proposés par les inspections des zones 1, 2, 4 et 5 dans les lycées d’enseignement
général pour la classe de seconde C en mathématiques.
Il constitue un outil de travail destiné aux enseignants, élèves et encadreurs
pédagogiques en vue d’un meilleur accompagnement des apprenants tout au long
de l’année scolaire.
La mise en place de ce document répond à une double exigence. D’une part,
conserver et valoriser les sujets élaborés par les instances pédagogiques ; d’autre
part, offrir une base de données utile pour la préparation des évaluations futures.
Nous espérons que ce recueil contribuera à renforcer la qualité de l’enseignement et
à encourager les bonnes pratiques pédagogiques.
L’auteur.
1
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
COMPOSITIONS
er
DU 1 TRIMESTRE
2
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Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
Année scolaire 2016-2017
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU Ier TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3 heures
Exercice 1 : 5 points
1
1- Soit 𝐴 = 1,0000000001 et 𝐵 = 0,9999999999
1
a) 𝛼 est un réel tel que 0 < 𝛼 < 1. Comparer par la méthode de la différence 1−𝛼
et 1 + 𝛼. 1pt
b) En déduire le plus grand des réels 𝐴 et 𝐵. 1pt
2- On considère les nombres 𝑥 = √1 − 10−19 et 𝑦 = 1 − 10−18
a) Comparer 𝑥 et 𝑦 2 , puis 𝑥 2 et 𝑦. 0,5pt + 0,5pt
b) En déduire le plus grand des nombres 𝑥 et 𝑦.
0,5pt
3- Soit 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois nombres réels vérifiant :
3 < 𝑏 < 7 ; 𝑏 − 1 < 2𝑎 < 𝑏 + 1 et 𝑎 − 𝑏 < 3𝑐 < 𝑎 − 𝑏 − 4.
𝑎
Donner un encadrement de : 𝑎 + 𝑏; 𝑎 − 𝑏 et 𝑐 .
0,5pt +0,5pt +0,5pt +0,5pt
Exercice 2 : 4 points
1- Quelle différence y a-t-il entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel ?
0,5pt
2- Donner l’écriture rationnelle du nombre 4,315315 …
3- Démontrer l’égalité suivante : √2 +
1
√2
= √4,5 .
0,5pt
1pt
4- Déterminer l’ensemble des réels 𝑥 tels que :
a) |𝑥 − √2| = √2 ; b) |𝑥 + 3| = −1 ; c) |𝑥 + 3| > −1 ; d) 𝑑(𝑥; √2) ≤ −√2 0,5ptx4
Exercice 3 : 4 points
1- Soit 𝑓: 𝐴 → 𝐵
Donner la définition de la fonction numérique 𝑓.
1pt
2- On considère la fonction numérique 𝑓 dont le tableau de variation est donné cidessous.
a) Déterminer l’ensemble de définition de 𝑓. 0,5pt
b) Indiquer les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante et décroissante. 1pt
3
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Mathématiques Seconde C
c) Quelle est l’image de 0 par 𝑓 ? 0,5pt
d) Combien 2 a-t-il d’antécédents par 𝑓 ? Combien 0 a d’antécédents par 𝑓 ?
0,5pt +0,5pt
𝑥
−4
−3
2
−2
0
2
𝑓(𝑥)
0
−2
Exercice 4 : 7 points
1- Répondre par vrai (V) ou faux (F) aux affirmations suivantes. Aucune
justification n’est demandée.
a) Deux vecteurs colinéaires forment une base du plan. 1pt
b) Un repère du plan est un triplet de points deux à deux distincts et non
alignés. 1pt
c) Une combinaison linéaire des vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 est un vecteur qui est colinéaire
à𝑢
⃗ et 𝑣. 1pt
d) Dans le plan rapporté au repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗) on considère les points
𝐴(1; −1) ; 𝐵(2; 1) et 𝐶(−3; 2).
Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme alors 𝐷(−4; 0). 1pt
2- Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶.
a) Placer les points 𝐼 et 𝐽 tels que :
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . 0,5pt + 0,5pt + 0,5pt
𝐴𝐼 = 3𝐴𝐵
𝐴𝐶 et ⃗⃗⃗⃗
𝐽𝐵 = 3𝐴𝐵
b) Exprimer les vecteurs ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐵 et ⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐽 en fonction des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 . 0,5pt +
0,5pt
c) En déduire que le point 𝐵 est le milieu du segment [𝐼𝐽]. 0,5pt
4
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Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2017-2018
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU 1er TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATIQUES
NIVEAU : 2nde C DUREE : 3h
Exercice 1 : (4pts)
Vrai ou Faux ?
Cet exercice comporte quatre affirmations. Dire, en justifiant vos réponses si ces
affirmations sont vraies (V) ou fausses (F).
1. Le nombre réel |𝒚 − 𝒙| est appelé distance de 𝒙 et 𝒚. (1pt)
2. √𝟕 + 𝟒√𝟑 = 𝟐 + √𝟑
(1pt)
𝟑
𝟏
3. |𝟒𝒙 + 𝟑| = 𝟐 Signifie : la distance de − 𝟒 et 𝒙 est égale à 𝟐. (1pt)
4. L’équation |−𝒙 + 𝟐| = 𝟏 n’a pas de solution dans ℝ.
(1pt)
Exercice 2 : (4pts)
1. Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous la forme d’une
fraction irréductible.
𝟑
𝟐
𝑨= −
𝑬
2. Calculer 𝑭
𝟐
𝟓
; 𝑩=𝟒+
𝟐
𝟓
𝟒
𝟓
; 𝑪= −
𝑨
(1pt) avec 𝑬 = 𝑪
𝟔
𝟕
𝟕
𝟓
𝑪
𝑭=𝑫
et 𝑫 = +
(0,5pt) et
𝟑
𝟕
(0,5ptx4)
(0,5pt)
Exercice 3 : (4pts)
1. Soit 𝒇 une fonction d’un ensemble 𝑨 vers un ensemble 𝑩.
Qu’appelle-t-on ensemble de définition de 𝒇 ? (2pts)
𝟏
2. On donne : 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟑 + 𝟐𝒙−𝟓.
Pour calculer 𝒇(𝒙), on doit avoir : 𝒙 + 𝟑 ≥ 𝟎 et 𝟐𝒙 − 𝟓 ≠ 𝟎.
Déterminer alors l’ensemble de définition 𝑫 de 𝒇. (2pts)
Exercice 4 : (8pts)
1. Qu’appelle-t-on:
⃗ et 𝒗
⃗ ?
a) Combinaison linéaire des vecteurs 𝒖
(1pt)
b) Base d’un plan vectoriel ? (1pt)
⃗ dans la base (𝒊; 𝒋) ?
c) Couple de coordonnées de 𝒖
(1pt)
2. Le plan est muni du repère (𝑶; 𝒊; 𝒋). On donne le point 𝑨(−𝟐; 𝟑), les vecteurs
⃗ = 𝒊 + 𝒋 et 𝒗
⃗ = 𝒊 − 𝒋.
𝒖
⃗ ;𝒗
⃗ ) est une base du plan vectoriel 𝓥.
a) Démontrer que (𝒖
(2pts)
⃗ ;𝒗
⃗ ) ? (2pts)
b) Quelles sont les coordonnées de 𝒊 et de 𝒋 dans la base (𝒖
c) Un point 𝑴 a pour coordonnées (𝒙; 𝒚) dans le repère (𝑶; 𝒊; 𝒋) et (𝒙′; 𝒚′) dans le
⃗ ;𝒗
⃗ ). Exprimer 𝒙′ et 𝒚′ en fonction de 𝒙 et 𝒚. (1pt)
repère (𝑨; 𝒖
5
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Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2019-2020
INSPECTION DES LYCEES ZONE IV
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
LYCEE DE VINDOULOU
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU PREMIER TRIMESTRE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
NIVEAU : Seconde Tronc Commun
Durée : 3 heures
Exercice 1 (5points)
1) Ecrire sous la forme 𝒂√𝒃 les réels suivants
𝑨 = 𝟖√𝟏𝟐𝟖 − √𝟏𝟎𝟐𝟒 + 𝟑√𝟒𝟓𝟎
𝑩 = 𝟐√𝟐𝟒𝟑 + 𝟔√𝟏𝟖𝟕𝟓 − 𝟓√𝟕𝟔𝟖
2) Ecrire sous la forme 𝟐𝒎 𝟑𝒏 𝟓𝒑 les réels suivants
𝑨 = (𝟒𝟓)𝟒 (𝟏𝟓𝟎)𝟑 (𝟐𝟐𝟓𝟎)𝟐
𝑩 = 𝟔𝟕𝟓𝟎 × 𝟏𝟏𝟓𝟐𝟎
𝑪=
(1pt)
(1pt)
(1pt)
(1pt)
𝑨
𝑩
(1pt)
Exercice 2 (7points)
1. 𝑨𝑩𝑪𝑫 est un carré de côté 𝒂 > 𝟎. Les points 𝑰, 𝑱 et 𝑳 sont les milieux respectifs
des côtés [𝑨𝑩], [𝑩𝑪] et [𝑫𝑨]. Les points 𝑴 et 𝑵 sont les milieux respectifs des
segments [𝑨𝑰] et [𝑨𝑳].
a) Faire la figure.
(1pt)
𝟏
𝟑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑩𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑨𝑭
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑩𝑨
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1pt)
b) Placer les points 𝑲 et 𝑭 définis par : 𝑨𝑲
𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟏 𝑩𝑪
c) Démontrer que 𝑲𝑭
𝟐
(1pt)
𝟐
d) Que peut-on dire des droites (𝑲𝑭) et (𝑩𝑪) ?
(1pt)
2. Le plan 𝓟 est muni d’un repère orthonormé (𝑶; 𝒊; 𝒋). On donne 𝑨(−𝟐; 𝟑) et les
⃗ = 𝒊 + 𝒋 et 𝒗
⃗ = 𝒊 − 𝒋.
vecteurs 𝒖
⃗ et 𝒗
⃗ dans le repère.
a) Représenter 𝑨, 𝒖
(1pt)
⃗ ;𝒗
⃗ ) forment une base.
b) Démontrer que (𝒖
(1pt)
⃗ ;𝒗
⃗ ).
c) Ecrire les coordonnées de 𝒊 et 𝒋 dans la base (𝒖
(1pt)
Exercice 3 (4points)
𝟑𝒙
On considère la fonction 𝒇 de la variable réelle 𝒙 définie par : 𝒇(𝒙) = 𝒙+𝟏
1) Préciser l’ensemble de définition de 𝒇. (1pt)
2) Montrer que ∀𝒙 ∈ ℝ − {−𝟏}; 𝒇(𝒙) = 𝒂 +
déterminer
3) Montrer que ∀𝒙 ∈ [𝟐; 𝟑],
𝟑
𝟐
𝒃
𝒙+𝟏
où 𝒂 et 𝒃 sont deux réels à
≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝟑
(1pt)
(2pts)
Exercice 4 (4points)
𝒙+𝟐
Soit la fonction 𝒈 définie par : 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏
1) Préciser l’ensemble de définition de 𝒈
2) Déterminer les images des réels −𝟐; 𝟎; 𝟏 et 𝟐 par 𝒈
𝟏
3) Déterminer l’antécédent des réels −𝟏; 𝟎; 𝟐 et 𝟏 par 𝒈.
4) 𝒈 est-elle croissante ou décroissante ?
(1pt)
(1pt)
(1pt)
(1pt)
6
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Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
ANNEE SCOLAIRE 2022-2023
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU Ier TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATIQUES
NIVEAU : SC
DUREE : 3 heures
EXERCICE 1 : (5 points)
1. Donner la nature des nombres réels suivants :
3
2 ; 𝜋 ; √3 ; 3,23 ; 4 ; −5 ; 4,2323232323 … ; 45,123234567 …
(2 points)
2. Soit le nombre 𝑥 = 2,3333333 … … …
a) Qu’appelle t’on période d’un nombre rationnel ?
b) Déterminer la période de 𝑥
c) Ecrire 𝑥 sous forme fractionnaire.
3. Démontrer que tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel.
4. Soit la proposition : 1,4 est une valeur approchée de √2 à 0,1 près
Traduire cette proposition en valeur absolue et en intervalle
(0,5 pt)
(0,5 pt)
(0,5 pt)
(0,5 pt)
(0,5 pt)
(0,5 pt× 2)
EXERCICE 2 : (6 points)
On considère l’intervalle suivant 𝐼 = [−3; 1] et la relation 𝐽 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 + 1| ≥ 2}.
1. Ecrire la relation 𝐽 sous forme d’intervalle.
(0,5 pt)
2. En déduire que 𝐽 est un intervalle non borné de ℝ.
(0,5pt)
3. a) Donner un majorant et un minorant de 𝐼
(0,5 pt+0,5 pt)
b) Donner le maximum et le minimum de 𝐼
(0,5 pt+0,5 pt)
c) I est-il un intervalle borné ? Justifiez la réponse.
(0,5 pt+0,5 pt)
4. a) Déterminer le centre 𝑐 et le rayon 𝑟 de 𝐼.
(0,5 pt+0,5 pt)
b) Traduire 𝐼 en valeur absolue.
(0,5 pt)
5. Déterminer 𝐼 ∩ 𝐽 puis 𝐼 ∪ 𝐽
(0,5pt)
EXERCICE 3 : (4 pts)
1. Calculer les fractions suivantes :
𝐴=
𝑎−𝑏
1+𝑎𝑏
𝑎(𝑎−𝑏)
1+
1+𝑎𝑏
𝑎−
; 𝐵=
(0,025)3 ×(0,02)5
3
1
4
+ 3+ 2 − 6+ 2 ; 𝐶 =
(4000)3
6+
3
√ √
√ √
√ √
(1,5pt)
2. Soit 𝑥 un nombre tel que : 2,534 < 𝑥 < 2,535 et 1,732 < √3 < 1,733
Déterminer un encadrement de
4−√3
𝑥
(1,5 pt)
3. Comparer 2 + √5 et √9 + 4√5
(1 pt)
EXERCICE 4 : (5 pts)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝐴𝐵𝐶 est un triangle quelconque. 𝑀 et 𝑁 sont tels que 𝐴𝑀
3
1. Faire une figure
2. Exprimer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑁 en fonction de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
3. Exprimer 𝐶𝑀 en fonction de 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
(𝐵𝑁)
4. Démontrer que les droites
et (𝐶𝑀) sont parallèles.
(2 pts)
(1 pt)
(1 pt)
(1 pt)
7
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Mathématiques Seconde C
Année Scolaire 2023-2024
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
KOUILOU ET POINTE NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU PREMIER TRIMESTRE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
NIVEAU : SECONDE C
DUREE : 3Heures
COEFFICIENT : 5
Exercice 1 (5points)
I-Effectuer les opérations suivantes
𝐴=
2 9
5 4
8 7
− +5
5 6
−1+ −
2
5
3
7
7
3
2
7
4
5
3
7
√5+2
× √9 − 4√5(0,5pt)
√5−2
(0,5pt) ; 𝐵 = ( − ) ( + ) ÷ (2 − − ) (0,5pt) ; 𝐶 = √
II-Mettre sous la forme 𝑎√𝑏 les réels suivants
𝐷 = 3√128 − 5√288 + 8√338
(1pt)
𝐸 = 6√432 − 7√507 − 2√450
(1pt)
𝐷
𝐹=
𝐸
(0,5pt)
III-Soit la fonction f définie par : f(𝑥) = 2𝑥 3 − 3
1) Calculer 𝑓(√2)
2) Sachant que 1,42 ≤ √2 ≤ 1,43, donner un encadrement de 𝑓(√2)
(0,5pt)
(0,5pt)
Exercice 2 (5points)
I-Ecrire sous la forme 𝑎𝑛 𝑏𝑚 𝑐 𝑝 tel que 0 < 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 6 les réels suivants
𝐶 = 453 × 244 × 1502
𝐷 = 729 × 1024 × 3125
(1pt)
(1pt)
𝐶
(1pt)
𝐸=𝐷
II-Ecrire suivant les valeurs de 𝑥 et sans valeur absolue les expressions suivantes
a) 𝑓(𝑥) = 3|2𝑥 − 3| − 2|2 − 𝑥|
(1pt)
b) 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 1| + |3 − 2𝑥| − 4𝑥 + 3
(1pt)
Exercice 3 (5points)
Dans le plan P, on considère un carré de côté 6cm. I est le milieu du segment [𝐵𝐶], 𝐸 et 𝐹
1
1
sont les points du plan P définis par : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐹 = − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷
1) Placer les points 𝐼, 𝐸 et 𝐹 sur la figure
1
2) a) Montrer que ⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷
3
4
(0,5pt+0,5pt+0,5pt)
(0,5pt)
2
⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs 𝐴𝐵
b) Montrer que le vecteur 𝐹𝐸
2
1
c) En utilisant l’égalité ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐸 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐼 = ⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼 , montrer que ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐼 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷
(1pt)
3
⃗⃗⃗⃗⃗
3) a) Montrer que ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐼 = −2𝐸𝐹
2
(0,5pt)
b) Que peut-on dire des vecteurs ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐼 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐹 ?
(0,5pt)
c) Que peut-on dire des points 𝐸, 𝐼 𝑒𝑡 𝐹 ?
(0,5pt)
Exercice 4 (5points)
Déterminer le minorant et le majorant des sous-ensembles de ℝ suivants :
𝐼 = [−2; 5], 𝐽 = ]−∞; 3], 𝐾 = [−1; +∞[, 𝐿 = ]−6; 0[, 𝐻 = ]−∞; +∞[
(0,5ptx10)
8
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Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES ZONE II
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DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
**************
Année Scolaire 2023-2024
**************
COMPOSITIONS COMMUNALES DU PREMIER TRIMESTRE
Epreuve de : Mathématiques
Niveau : Seconde C
Durée : 3 Heures ; Coefficient : 5
Exercice 1 : (4points)
En utilisant la figure ci-dessous, compléter les égalités suivantes :
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐴𝐵
𝐵𝐶
A
B
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⋯ 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑡 𝐴𝐷
C
D
Exercice 2 : (5points)
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐽
⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐾
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = 3 𝐵𝐶
Soit ABC un triangle quelconque ; I, J et K les points définis par : 𝐵𝐼
2
1) Faire une figure. (1,5pt)
3
5
1
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) (1,5pt)
⃗⃗ = − (3𝐵𝐶
2) Montrer en utilisant la relation de Chasles que : 𝐼𝐽
6
3
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ) (1,5pt)
⃗⃗⃗⃗ = − (3𝐵𝐶
3) Montrer en utilisant la relation de Chasles que : 𝐼𝐾
10
4) En déduire que les points 𝐼; 𝐽 𝑒𝑡 𝐾 sont alignés. (1pt)
Exercice 3 : (6points)
𝐴 𝑒𝑡 𝐵 sont deux nombres tels que :
𝑎
𝑏
𝐴 = 𝑏 + 𝑎 𝑒𝑡 𝐵 = 2 où 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont deux nombres réels strictement positifs.
1) Montrer que 𝐴 − 𝐵 =
(𝑎−𝑏)2
𝑎𝑏
puis comparer 𝐴 𝑒𝑡 𝐵
2) On pose 𝑎 = √2 𝑒𝑡 𝑏 = √3. Calculer 𝐴.
3) a- Déterminer un encadrement de 𝑐 =
5√6
sachant que 2,4494 ≤ √6 ≤ 2,4495
6
b- Montrer que −0,0005 ≤ 𝑐 − 2,0415 ≤ 0,0005
c- Que peut-on dire de 2,0415 ?
Exercice 4 : (5points)
I.
On considère les intervalles suivants 𝐴 = ]−7; 4] 𝑒𝑡 𝐵 = [0; +∞[.
Déterminer les ensembles suivants : 𝐴 ∩ 𝐵 𝑒𝑡 𝐴 ∪ 𝐵
II.
Ecrire si possible la fraction irréductible de chacun des nombres suivants :
𝑄 = 2,13234234234 … 𝑒𝑡 𝑅 = 12,1235769 …
III.
𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont deux nombres positifs. On pose : 𝑀 = √𝑥 + √𝑥 2 − 𝑦 2 𝑒𝑡 𝑁 = √𝑥 − √𝑥 2 − 𝑦 2
1) Calculer 𝑀 × 𝑁
2) Montrer que (𝑀 + 𝑁)2 = 2(𝑥 + 𝑦)
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Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2024-2025
INSPECTION DES LYCEES D’ENSEIGNEMENT
GENERAL ZONE 4 KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU 1er TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 2H30min
EXERCICE 1 : 5pts
I/ 1) Ecrire sous forme de valeur absolue l’intervalle 𝑥 ∈ ]−5; 3[. (0.5pt)
2) Traduire l’inégalité suivante en intervalle 𝑥 ≥ −3 ou 𝑥 < 5 (0.5pt)
3) Ecrire le nombre suivant sous la forme fractionnaire : 𝑎 = 2.272727 … (0.5pt)
II/ On donne les ensembles A et B définis par : 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ, |𝑥 − 2| > 2} et
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ, |3𝑥 + 1| ≤ 7}
a) Ecrire A et B sous forme d’intervalles puis calculer 𝐴 ∩ 𝐵 (1.5pts)
b) Donner le maximum de l’intervalle A
(0.5pt)
c) Donner un minorant et un majorant de B
(0.5pt+0.5pt)
d) Représenter sur une droite numérique l’ensemble 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 (0.5pt)
EXERCICE 2 : 5pts (Dans cet exercice les questions sont indépendantes)
I.1) Simplifier au maximum
492 ×15−3
a) 𝑍 = 7 −4
( )
2
×213
2
(0.5pt)
×3
√3
b) 𝑇 = |3 − √5| + |−3 − 2√5| − |√5 − 2|
(0.5pt)
2) Ecrire avec une seule racine le nombre réel 𝐴 =
3
√22 ×√3×53
(1pt)
√33 ×√2
II. a) Soit 𝑥 et 𝑦 deux réels strictement positifs tels que 𝑥 > 𝑦
𝑥
𝑦
1
Comparer les réels suivants : 𝑦 + 𝑥 et 2 puis 𝑥 et 𝑥
b) Comparer √5 − √2 et √7 − 2√10
c) Montrer :
√5−3
√5+3
+
√5+3
√5−3
(1pt)
(0.5pt)
est un entier
(0.5pt)
d) Traduire à l’aide d’une valeur absolue et donner l’encadrement correspondant :
0.46 est une valeur approchée de 𝑥 à 10−2
(0.5pt + 0.5pt)
10
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Mathématiques Seconde C
EXERCICE 3 : (5pts)
1
ABCD est un parallélogramme ; M et N sont deux points du plan tels que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
et 𝐴𝑁
1) Placer les points M et N
1
⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
2) Montrer que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − 𝐵𝐶
𝐶𝑁 = 2𝐴𝐷
𝐷𝐶
(1.5pt)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐶𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗
3) Déterminer le réel 𝑘 tel que 𝐶𝑀
(0.75pt)
2
(1pt)
4) Que dire des points C, M et N ?
(0.75pt)
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ .
5) Soit E milieu du segment [𝐷𝑁] et F le point du plan tel que 𝐴𝐵
Montrer que C est le milieu du segment [𝐸𝐹 ]
(1pt)
EXERCICE 4 : (5pts)
1) Simplifier l’écriture des vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
a) 𝑢
⃗ = 𝐴𝐵
(0.75pt)
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑣 = 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑤
⃗⃗ = 𝑀𝐴
(0.75pt)
(0.75pt)
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
d) 𝑡 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 + 2𝐶𝐵
𝐵𝐴
(0.75pt)
2) Soit ABC un triangle non aplati ; 𝐴′ , 𝐵′ et 𝐶′ milieux respectifs des cotés [𝐵𝐶],
[𝐴𝐶] et [𝐴𝐵]. G le centre de gravité du triangle 𝐴𝐵𝐶 c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = ⃗0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
Montrer que : a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴′ + 𝐵𝐵′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , pour tout M∈P
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 = 3𝑀𝐺
(1pt)
(1pt)
11
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Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES
D’ENSEIGNEMENT GENERAL ZONE 1
(Brazzaville)
[email protected]
Année scolaire 2023-2024
Compositions du 1er trimestre
Niveau : Seconde
Epreuve : Mathématiques
Série : C
Durée : 3H
ACTIVITES NUMERIQUES
Exercice 1 (5 points)
6
4
1. Simplifier : 𝐵 =
√√25× 3√5×35 × √√625
12
103 ×( √5)
−13
puis donner le résultat en notation scientifique.
(1,5 pts)
2. Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels strictement positifs,
Montrer que : √√𝑎6 + √𝑎4 𝑏 2 + √√𝑎2 𝑏 4 + √𝑏 6 = √(𝑎 + 𝑏)3
3
9
(1,5 pts)
3. Traduire avec la notion valeur absolue : 𝑥 ∈ ]−∞; − 2] ∪ [2 ; +∞[.
4. On donne les encadrements : −2 ≤ 𝑥 ≤ 3 et −4 ≤ 𝑦 ≤ 5.
Déterminer deux encadrements du nombre réel : 𝑅 = 𝑥𝑦
(1pt)
(1 pt)
Exercice 2 : (5 points)
Soit le polynôme : 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − (2𝑎 + 𝑏)𝑥 2 + (𝑎2 + 2𝑎𝑏)𝑥 − 𝑎2 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont les
nombres réels.
1. a) Calculer 𝑓(𝑏).
(1 pt)
b) Déterminer les nombres réels 𝛼, 𝛽 et 𝛿 tels que :
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑏)(𝛼𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 𝛿).
(1,5 pts)
2. a) Prouver que :
𝑎4 + 𝑏 4 = (𝑎2 + 𝑎𝑏√2 + 𝑏 2 )(𝑎2 − 𝑎𝑏√2 + 𝑏 2 ).
(1pt)
b) En déduire une expression factorisée de :
𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 1)4 + 4𝑥 4 .
(1,5 pts)
c) Déterminer le degré du polynôme du produit : 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) sans calculer
𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥).
(0,5 pt)
12
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Mathématiques Seconde C
ACTIVITES GEOMETRIQUES
Exercice 3 : (5 points)
ABCD est un parallélogramme.
1. Construire les points E, F et G tels que :
3
3
2
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐹 = 𝐵𝐶
𝐶𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷
8
4
3
(2 pts)
⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐺𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ . En déduire que les droites (𝐵𝐸) et
2. Exprimer 𝐸𝐵
(𝐹𝐺) sont parallèles.
(2 pts)
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐶𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ .
3. Soit H, le point défini par : 𝐶𝐻
Montrer que les points E, F et H sont alignés.
(1 pt)
Exercice 4 : (5 points)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗), on donne les vecteurs
𝑎 = −3𝑖 ; 𝑢
⃗ = 2𝑖 + 𝑗 et 𝑣 = −3𝑖 + 𝛼𝑗 ; 𝛼 ∈ ℝ .
1. Déterminer le réel 𝛼 pour que les vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 soient colinéaires.
(1 pt)
2. Dans la suite, on pose : 𝛼 = 2.
a) Montrer que (𝑢
⃗ ; 𝑣) est une base du plan vectoriel.
(0,5 pt)
b) Calculer le produit scalaire 𝑢
⃗ .𝑣
(0,5 pt)
(𝑢
).
c) En déduire la valeur numérique du cosinus de l’angle ⃗ , 𝑣
(0,5 pt)
d) En utilisant les résultats précédents, calculer la norme : ‖3𝑢
⃗ − 2𝑣 ‖.
(1,5 pts)
1
2
4
e) Ecrire le vecteur : 𝑤
⃗⃗ = 3 𝑢
⃗ − 5 𝑣 + 3 𝑎 comme combinaison linéaire des
vecteurs 𝑖 𝑒𝑡 𝑗.
(1 pt)
13
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Mathématiques Seconde C
COMPOSITIONS
e
DU 2 TRIMESTRE
14
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Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2017-2018
INSPECTION DES LYCEES ZONE 5
(BOUENZA-LEKOUMOU)
COMPOSITIONS ZONALES DU DEUXIEME TRIMESTRE
NIVEAU : SECONDE C EPREUVE DE : Mathématiques
DUREE : 3H
COEFFICIENT :4
Exercice 1 (5pts)
Partie A : On considère le trinôme T défini par : 𝑇(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 + 4.
1. Donner la forme canonique de 𝑇(𝑥).
2. Factoriser 𝑇(𝑥) puis résoudre l’équation 𝑇(𝑥) = 0.
3. Etudier le signe de 𝑇(𝑥).
4. En déduire les solutions des inéquations :
a) 𝑇(𝑥) ≥ 0
b) 𝑇(𝑥) < 0
Partie B : Résoudre dans ℝ l’inéquation : √2𝑥 2 − 1 ≤ 𝑥
Exercice 2 (5pts)
1. Citer trois méthodes de résolution des systèmes de deux équations à deux inconnues dans ℝ2 .
2. Résoudre et discuter, dans ℝ2 , suivant les valeurs du paramètre réel m le système suivant par la
méthode des déterminants :
𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 − 1
{
𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚2
Exercice 3 (5pts)
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle isocèle en 𝐴 et 𝐺 le barycentre du système 𝑆 suivant :
𝑆 = {(𝐴, 4); (𝐵, 1); (𝐶, 𝑚)} avec 𝑚 un paramètre réel.
1. Pour quelles valeurs de 𝑚 le point 𝐺 existe-t-il ?
⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝑚 dans le repère (𝐴, 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
2. a) Exprimer le vecteur 𝐴𝐺
b) En déduire les coordonnées du point 𝐺, en fonction de 𝑚, dans ce repère.
3. Construire le triangle 𝐴𝐵𝐶 (sachant que 𝐴𝐵 = 6𝑐𝑚) et le point 𝐺 pour 𝑚 = 1
4. Soit 𝐼 l’isobarycentre des points massifs (𝐵, 1) et (𝐶, 𝑚).
a) Quelle est dans ce cas la valeur de 𝑚 ? Construire 𝐼.
b) Montrer que les points 𝐴, 𝐺 et 𝐼 sont alignés.
Exercice 4 (5pts)
Le plan 𝑃 est orienté.
1. Donner deux formules du produit scalaire de deux vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑀 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑁 avec 𝐸, 𝑀 et 𝑁 trois
points distincts.
2. Dans ce plan 𝑃, on donne le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre 𝑂 et de sens direct avec (𝐴𝐵) horizontale et
𝐴𝐵 = 5𝑐𝑚.
a) Faire le schéma
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗
b) Calculer les produits scalaires suivants : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 . ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 . 𝐶𝐵
𝐴𝐶 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷
c) Préciser les mesures principales des angles orientés suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ )
(𝐴𝐵
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 ) , (𝐴𝐷
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 ) , (𝑂𝐵
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴) , (𝑂𝐴
, 𝑂𝐶
, 𝐵𝐶
15
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Année scolaire 2018-2019
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU IIe TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3 heures
Exercice 1 : 6 points
I/ On donne pour tout réel 𝑥 ; 𝑝(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1.
1- Calculer 𝑝(−1) et 𝑝(1)
0,5pt + 0,5pt
2- Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑝(𝑥) = (𝑥 2 − 1)(𝑎𝑥 + 𝑏), pour tout réel 𝑥. 1pt
3- a) Résoudre dans ℝ l’équation (𝑥 2 − 1)(𝑥 + 1) = 0
1pt
b) En déduire dans ℝ, l’ensemble des solutions de l’inéquation 𝑝(𝑥) ≥ 0.
1pt
II/
1- Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels non nuls de même signe. Calculer la valeur de √1 + 𝑥 2 pour
1
𝑎
𝑏
𝑥 = 2 (√𝑏 − √𝑎)
1pt
2- Démontrer que 𝐴 = 3√21(√7 + √3) et 𝐵 = 1
12
1
−
√3 √7
sont égaux.
1pt
Exercice 2 : 4points
1- Le tableau de valeurs suivant a été obtenu expérimentalement par une enquête faite sur
un groupe de 5 personnes.
Taille en cm
182
175
180
182
172
Poids en kg
75
72
72
74
70
Expliquer pourquoi il n’existe pas de fonction dont le tableau de valeurs est celui donné cidessus, telle que le poids est fonction de la taille.
1pt
2- 𝑓 est une fonction définie sur ℝ, strictement décroissante sur ]−∞; −7] et strictement
croissante sur [−7; +∞[.
On sait aussi que 𝑓(−7) = 2, 𝑓(0) = 5 𝑒𝑡 𝑓(−10) = 5.
a) Dresser le tableau de variation de 𝑓.
1pt
b) Compléter les pointillés :
i. … est le minimum de 𝑓 sur ℝ et ce minimum est obtenu pour 𝑥 = ⋯
ii. Pour tout 𝑥 de [−10; 0] ; … ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ⋯
1pt
1pt
16
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
Exercice 3 : 4points
Dire, en justifiant vos réponses si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1- 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 sont deux points distincts du plan ; 𝐺 est le barycentre des points pondérés
(𝐴; 3) 𝑒𝑡 (𝐵; −2) et 𝐻 barycentre de (𝐴; −6) 𝑒𝑡 (𝐵; 4). Les points 𝐺 et 𝐻 sont confondus. 1pt
⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 16. 1pt
2- 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle tel que 𝐴𝐷 = 3 𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 5. On a alors 𝐴𝐵
5
3- Dans un repère orthonormé, on donne les points 𝐴(4; 2) , 𝐵(−1; 0) 𝑒𝑡 𝐶 (1; 2).
Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐶.
1pt
1
𝜋
4- 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 , pour tout réel 𝑥 différent de 2 + 𝑘𝜋 ; 𝑘𝜖ℤ.
1pt
Exercice 4 : 6points
Le plan est orienté.
1- Définir : a) un cercle trigonométrique ; b) la mesure principale d’un angle
orienté. 0,5pt+0,5pt
2- (𝐶) est un cercle trigonométrique de centre 𝑂; 𝐴 est un point de (𝐶).
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Déterminer la mesure principale d’un angle orienté (𝑂𝐴
𝑂𝑀) dont une mesure 𝛼 est donnée,
puis placer le point 𝑀 sur le cercle (𝐶) dans chaque cas :
(𝑖) 𝛼 =
32𝜋
7
;
(𝑖𝑖) 𝛼 = −
19𝜋
6
1pt +1pt
𝜋
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = [2𝜋] 𝑒𝑡 (𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = [2𝜋] ; (𝐶) est le cercle de
3- 𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que (𝐵𝐶
4
3
centre 𝑂 circonscrit à ce triangle.
a) Faire une figure. 1,5pt
b) Déterminer les mesures des angles orientés
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴) , (𝐵𝐶
𝐶𝐴) , (𝐴𝐵
𝐴𝐶 ).
(𝑂𝐶
0,5pt + 0,5pt + 0,5pt
17
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2020-2021
INSPECTION DES LYCEES ZONE 5
(BOUENZA LEKOUMOU)
COMPOSITION ZONALE DU DEUXIEME TRIMESTRE
EPREUVE DE : Mathématiques
Niveau : Seconde C ; Coefficient : 5
Durée : 3 heures
EXERCICE 1 (6pts)
1. a. Donner la définition d’un trinôme du second degré.
b. Déterminer sa forme canonique.
(1,5pt)
(1,5pt)
2. On considère le polynôme 𝑃 défini par : ∀𝑥 ∈ ℝ; 𝑃(𝑥) = −𝑥 2 + 𝑥 + 2
a. En déduire la forme canonique de 𝑃(𝑥).
b. Factoriser 𝑃(𝑥).
(0,5pt)
(1pt)
c. Etudier suivant les valeurs du réel 𝑥 le signe de 𝑃(𝑥).
(1,5pt)
EXERCICE 2 (6pts)
1. Résoudre dans ℝ l’équation et l’inéquation suivantes :
a. √𝑥 + 1 = √4 − 𝑥
(2pts)
b. √𝑥 − 2 > 𝑥 − 4
(2pts)
2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2. Résoudre dans ℝ le système (𝑆) suivant : { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 3
3
(2pts)
EXERCICE 3 (3,5pts)
1. Démontrer que pour tout 𝑥 réel :
a. (cos 𝑥 + sin 𝑥)2 + (cos 𝑥 − sin 𝑥)2 = 2
(1pt)
b. (cos 𝑥)4 − (sin 𝑥)4 = 1 − 2(cos 𝑥)2
(1pt)
2. Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants: 𝛼 =
−85𝜋
4
; 𝛽=
17𝜋
3
(0,5pt x3)
𝛾 = −17𝜋.
EXERCICE 4 (4,5pts)
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de sens direct, de côté 𝑎 et de centre 𝑂.
1. Faire une figure.
(0,5pt)
2. Déterminer en fonction de 𝑎 les produits scalaires :
⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑏) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑐) 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑑) 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎) 𝐴𝐵
(1pt x4)
18
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2021-2022
INSPECTION DES LYCEES D’ENSEIGNEMENT
GENERAL ZONE 4 KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU 2e TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3heures
coefficient : 5
EXERCICE 1 : (6 Points)
Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :
1. 4𝑥 2 + 4𝑥 + 7 > 0 (2pts)
2. 2𝑥 2 − 8𝑥 − 10 = 0 (2pt)
3. 𝑥 − 1 + 2√𝑥 2 − 2𝑥 − 10 = 16 (2pts)
EXERCICE 2 (4points)
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 1
I- Résoudre dans ℝ le système suivant : {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −5 (2pts)
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −7
II- Une somme de 18300Francs se compose de 43 pièces. Ces pièces sont de 100
Francs et 500 Francs. Trouver le nombre de pièces de chaque sorte. (1pt+1pt)
3
EXERCICE 3 (5points)
1) Montrer que l’équation 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 est une équation du cercle
(𝒞) dont on donnera le centre Ω et le rayon 𝑅. (0,5pt+0,5pt+0,5pt)
2) Montrer que le point 𝐵(−1; 2) est sur le cercle (𝒞) puis déterminer les
ordonnées des points 𝐴 et 𝐶 d’abscisse zéro (𝐴 étant le point d’ordonnée
négative). (0,5pt+0,5pt+0,5pt)
3) Déterminer les équations des tangentes à (𝒞) en 𝐴 et 𝐵. (1pt+1pt)
EXERCICE 4 (5points)
⃗⃗⃗⃗⃗̂
𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral direct tel que l’angle (𝐴𝐵
; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 ) ait pour mesure
𝜋
principale en radians 3 .
1. Construire le point 𝐷 tel que 𝐴𝐵𝐷 soit un triangle isocèle de sommet 𝐴 et tel que
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗̂
(𝐴𝐵
; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷) ait pour mesure principale en radians − . (1pt)
6
2. Construire le point 𝐸 tel que 𝐴𝐷𝐵𝐸 soit un parallélogramme. (1pt)
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ;
3. Déterminer les mesures principales en radians des angles (𝐵𝐴
; 𝐵𝐷
; 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗̂
(𝐶𝐴
; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷) (0,75pt+0,75pt+0,75pt+0,75pt)
19
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
ANNEE-SCOLAIRE 2022-2023
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU 2e TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : 2nde C
DUREE : 2h30
EXERCICE N°1 (5pts)
Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :
2𝑥−7
𝑥+2
1) (2𝑥 + 1)(−𝑥 + 4) = 0 (0.5pt) 2) 2𝑥+3 = 𝑥+1 (1pt) 3) |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1 (0.5pt)
4) −𝑥 2 + 2(√2 − 1)𝑥 − 3 + 2√2 ≤ 0 (1.5pt) 5) 𝑥 + √𝑥 − 1 = 0 (1pt) 6) √𝑥 + 5 > −4 (0.5pt)
EXERCICE N°2 (5pts)
I/ Résoudre dans ℝ les systèmes suivants :
5𝑥 − 𝑦 = 1
𝑆=2
1) (S) : {
(1.5pt) ;
2) (S’) : {
(1pt)
𝑥
+ 3𝑦 = −4
𝑃 = −3
2
3) Déduire de la question 2), les solutions du système (S’’) : {
5√𝑥 − √𝑦 = 1
√𝑥 + 3√𝑦 = −4
(Indication : on posera 𝑋 = √𝑥 et 𝑌 = √𝑦) (1pt)
II/ Donner les ensembles de définition de ces expressions : 1) 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥 (0.5pt) ;
7+3𝑥
2) 𝑔(𝑥) =
(1pt)
−𝑥+1
EXERCICE N°3 : (5pts)
A) Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle et 𝐼 le milieu du segment [𝐴𝐵].
1. Faire la figure que l’on complètera au fur et à mesure. (1pt)
2. Construire le barycentre 𝐺 des points pondérés (𝐴, 1) ; (𝐵, −3). (1pt)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (0.5pt)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑀𝐺
3. Démontrer que pour tout point 𝑀 du plan, on a : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 − 3𝑀𝐵
B) 1) Enoncer le 1er théorème de la médiane. (1pt)
2) Soit 𝑀 un point du plan 𝒫 et 𝑓 l’application telle que : 𝑓(𝑀) = 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2
𝐴𝐵2
a) Déduire de la question B) 1) que 𝑓(𝑀) = 2𝑀𝐼 2 + 2
(0.5pt)
b) Déterminer et construire l’ensemble (Γ) des points 𝑀 du plan tels que 𝑓(𝑀) = 10
avec 𝐴𝐵 = 2 (0.5pt+0.5pt)
EXERCICE N°4 : (5pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗). Unité 1 cm. On donne :
𝑥 =𝑡+1
𝑥 = −2 + 𝑡
(𝒞) ∶ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0; (𝒟): {
(𝑡 ∈ ℝ) et (𝒟′) ∶ {
(𝑡 ∈ ℝ)
𝑦 =𝑡−3
𝑦 = 5 + 3𝑡
1. Le point 𝐴(1; 1) appartient-il à (𝒞) ? (0.5pt)
2. Donner les coordonnées des points d’intersection de (𝒞) et (𝒟) (1pt)
3. Donner les équations cartésiennes de (𝒟) et (𝒟′). Les droites (𝒟) et (𝒟′) sont-elles
sécantes ? (0.5pt+0.5pt+0.5pt)
4. Donner l’équation réduire de (𝒞) (1pt)
5. Tracer (𝒞) et (𝒟) dans le même repère. (1pt)
20
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NKODIA-LOEMBA
Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES D’ENSEIGNEMENT GENERAL
ZONE 4 KOUILOU ET POINTE-NOIRE
ANNEE-SCOLAIRE 2023-2024
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
------------COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU 2ème TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3heures
EXERCICE 1 : (6pts)
On considère les polynômes 𝑷 et 𝑻 définis par : 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 et 𝑻(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑.
𝒃
𝟐
∆
On rappelle que la forme canonique d’un trinôme du second degré est : 𝒂 [(𝒙 + 𝟐𝒂) − 𝟒𝒂𝟐]
avec ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
1) Donner la forme canonique de 𝑷, et celle de 𝑻.
2) En déduire les écritures factorisées de 𝑷 et 𝑻.
𝑷
3) Soit la fraction rationnelle 𝑸 = 𝑻
(1,5pt)
(2pts)
a- Simplifier 𝑸(𝒙).
b- Résoudre dans ℝ ∶ 𝑸(𝒙) = 𝟎 et 𝑸(𝒙) ≥ 𝟏
(0,5pt)
(2pts)
EXERCICE 2 : (4pts)
1- Résoudre dans IRxIR le système d’équations suivant :
𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟔
(S) : {
(2pts)
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏
𝟓√𝒙 + 𝟐√𝒚 = 𝟐𝟔
2- En déduire la solution du système (S’) {
(2pts)
𝟐√𝒙 − 𝟑√𝒚 = −𝟏
EXERCICE 3 : (5pts)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑶, 𝒊, 𝒋). On considère les droites (𝑫) et (𝑫′)
𝒙 = 𝟐 − 𝟑𝒕
représentées respectivement par {
(𝒕 ∈ ℝ) et −𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎
𝒚 = 𝟑 + 𝟐𝒕
⃗ de (𝑫).
1) Donner un point 𝑨 appartenant à (𝑫) et un vecteur directeur 𝒖
(1pt)
2) Donner une équation cartésienne de la droite (𝑫).
(1pt)
3) Le point 𝑬(−𝟒; 𝟕) appartient-il à la droite (𝑫′) ? Appartient-il à (𝑫) ?
(1pt)
4) Justifier que les droites (𝑫) et (𝑫′) sont perpendiculaires.
(1pt)
5) Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
(1pt)
EXERCICE 4 : (5pts)
Soit 𝑨𝑩𝑪 un triangle rectangle en 𝑨, tel que : 𝑨𝑩 = 𝟓 , 𝑨𝑪 = 𝟏𝟐.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝟑 𝑨𝑪
𝑮 est le barycentre défini par : 𝑨𝑮
𝟑
𝟒
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
1) Calculer ‖𝑨𝑮
(1pt)
⃗⃗⃗⃗ = 𝟎
⃗ . Construire 𝑰.
⃗⃗⃗⃗ + 𝑰𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑰𝑪
2) Soit 𝑰 le point du plan défini par : 𝑰𝑨
(1,5pt)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟑𝑴𝑰
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1pt)
3) Démontrer que pour tout point 𝑴 du plan, on a : 𝑴𝑨
4) Déterminer puis construire l’ensemble (∆) des points 𝑴 tels que :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝟔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑪
‖𝑴𝑨
(1,5pt)
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Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES D’ENSEIGNEMENT GENERAL
ANNEE-SCOLAIRE 2024-2025
ZONE 4 KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
------------COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU 2ème TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3heures
EXERCICE 1 :
Résoudre dans ℝ, les équations, inéquations et systèmes d’inéquations suivants :
𝟏𝟕
𝟗
1) | 𝟖 − 𝒙| = 𝟒
2)
𝟐𝒙−𝟑
𝒙+𝟏
0.5pt
1pt
≥𝟎
3) (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑) < 𝟎 1pt
𝟐𝒙 + 𝟓 ≥ 𝒙 − 𝟓
4) { 𝒙𝟐 − 𝟏 < 𝟎
0.5pt
|𝒙| ≥ 𝟏
5) √𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟒 − 𝒙 0.5pt
6) 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 = 𝟎
0.5pt
EXERCICE 2 : 4pts
1) Résoudre dans ℝ𝟐 , les systèmes suivants :
𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏
𝑺=𝟔
a) {
1pt
b) {
1pt
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟖
𝑷=𝟓
2) Soit l’équation (𝑬) ∶ −𝟔𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎
a) A quelles conditions cette équation admet-elle des racines dans ℝ𝟐 ? 1pt
b) Sans calculer les racines de (𝑬) ; donner les valeurs exactes de :
a) 𝑨 = 𝒙′ + 𝒙′′
𝒙′
𝒙′′
b) 𝑩 = 𝒙′′ + 𝒙′
0.5pt
0.5pt
EXERCICE 3 : 8pts
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑶; 𝒊; 𝒋). On donne les points 𝑨(𝟏; 𝟑),
𝑩(𝟒; 𝟐) , 𝑪(𝟒; 𝟎), 𝑬(𝟎; −𝟐) , 𝑱(𝟏; 𝟏𝟐); et soit (𝑫) la droite d’équation : 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟖 = 𝟎
et (𝓒) l’ensemble des points du plan de coordonnées (𝒙, 𝒚) tels que :
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎
I/
1) Montrer que, (𝓒) est un cercle de centre 𝑰 et de rayon R à déterminer. 1pt
2) Montrer que (𝓒) et (𝑫) ont un seul point de contact. Lequel ? 1pt
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Mathématiques Seconde C
3) a) Prouver que, [𝑶𝑩] est un diamètre de (𝓒)
b) Vérifier que le point 𝑨 appartient au cercle (𝓒)
c) Tracer (𝓒) et (𝑫)
2pts
0.5pt
1pt
II/
𝒙=𝟑−𝒕
On donne la droite (𝑫′) : {
(𝒕 ∈ ℝ)
𝒚 = 𝟐 + 𝟓𝒕
⃗ de cette droite. 0,5pt+0,5pt
1) Donner un point 𝑰 et un vecteur directeur 𝒖
2) Les points 𝑬 et 𝑱 appartiennent ils à (𝑫′) ? 1pt
3) Donner une représentation paramétrique du cercle (𝓒𝟏 ) de centre 𝑩 et de rayon
𝑹 = √𝟐.
0.5pt
EXERCICE 4 : 4pts
Dans une classe de seconde C d’un lycée de Pointe Noire, les notes obtenues au
devoir de mathématiques sont :
2 ;2 ;5 ;14 ;5 ;15 ;7 ;11 ;14 ;8 ;10 ;15 ;12 ;14 ;7 ;5 ;13 ;16 ;14 ;15 ;7 ;8 ;1 ;
0 ; 14 ; 15 ; 0 ; 16.
1) Représenter cette série statistique par un tableau contenant les modalités et les
effectifs.
1pt
2) Définir les termes suivants : mode, caractère quantitatif. 0.5pt+0.5pt
3) a) La série statistique ci-dessus est-elle uni modale ? Plurimodale ? 0.5pt
b) Préciser le mode de cette série statistique.
̅ de cette série statistique.
c) Calculer la moyenne 𝑿
0.5pt
1pt
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Mathématiques Seconde C
INSPECTION DES LYCEES
D’ENSEIGNEMENT GENERAL ZONE 1
(Brazzaville)
[email protected]
Année scolaire 2023-2024
Compositions du 2e trimestre
Niveau : Seconde
Epreuve : Mathématiques
Série : C
Durée : 3H
Activités numériques : (10 points)
Exercice 1 (5 points)
Soit 𝑝 et 𝑞 deux nombres réels non nuls tels que 𝑝 ≠ 𝑞.
Soit 𝑇 un trinôme du second degré défini par : 𝑇(𝑥) = 𝑥 2 + (𝑝 − 𝑞)𝑥 + 𝑝 + 𝑞.
1. a) Vérifier que le discriminant de 𝑇 est : ∆ = 𝑝(𝑝 − 4) + 𝑞(𝑞 − 4) − 2𝑝𝑞 (0,5 point)
b) Montrer que la forme canonique de 𝑇 est :
𝑇(𝑥) = (𝑥 +
𝑝−𝑞 2
) −
2
(𝑝−𝑞)2 −4(𝑝+𝑞)
4
5
.
(1 point)
1
(1 point)
2. a) Sachant que 𝑝 = − 2 et 𝑞 = − 2. Donner la forme factorisée de 𝑇.
b) Résoudre dans ℝ l’équation 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0.
c) En déduire la résolution de l’équation 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3 = 0.
3. Résoudre dans ℝ l’inéquation (2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ≥ −𝑥 2 + 4.
(0,5 point)
(1 point)
(1 point)
Exercice 2 : (5 points)
Partie A :
Soit 𝑚 un paramètre réel.
On considère l’équation (𝐸𝑚 ) ∶ (3𝑚 + 4)𝑥 + 4𝑚 − 5 = −𝑚𝑥 + 8𝑚 + 7.
1. Ecrire (𝐸𝑚 ) sous la forme 𝑎𝑥 = 𝑏 où 𝑎 et 𝑏 sont des réels à préciser. (1 point)
2. Discuter et résoudre dans ℝ l’équation (𝐸𝑚 ).
(1 point)
Partie B :
𝑥 + 𝑦 = 39
1. Résoudre dans ℝ × ℝ le système suivant : {
avec 𝑥 > 𝑦. (1,5 point)
𝑥𝑦 = 360
2. L’aire d’un jardin rectangulaire est égale à 360𝑐𝑚2 . Si on augmente sa longueur
𝐿 de 6𝑐𝑚 et sa largeur 𝑙 de 6𝑐𝑚, alors l’aire est égale à 630𝑐𝑚2 .
a) Montrer 𝐿 + 𝑙 = 39.
(0,5 point)
b) En déduire les dimensions de ce jardin.
(1 point)
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Mathématiques Seconde C
Activités géométriques : (10 points)
Exercice 3 : (5 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑖; 𝑗), unité graphique 2𝑐𝑚. Soit (𝒞)
l’ensemble des points 𝑀(𝑥; 𝑦) du plan tels que (𝒞) ∶ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0.
1. a) Montrer que : (𝒞) ∶ (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 1.
(1 point)
b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de (𝒞).
(1 point)
2. On admet que (𝒞) est un cercle de centre 𝐴(2; −1) et de rayon 1.
Soit 𝐵(2; 0) et 𝐶(3; 2) deux points du plan.
a) Vérifier que le point 𝐵 appartient au cercle (𝒞).
(0,5 point)
b) Déterminer l’équation cartésienne de la tangente (𝑇) à (𝒞) en 𝐵. (1 point)
3. a) Tracer le cercle (𝒞).
(0,5 point)
b) Tracer dans le même repère que (𝒞) la droite (𝐷) d’équation 𝑥 − 𝑦 = 2.
(0,5 point)
c) En déduire la position de la droite (𝐷) par rapport au cercle (𝒞). (0,5 point)
Exercice 4 : (5 points)
Partie A :
2𝜋
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que : (𝐴𝐵
𝐴𝐶 ) = 3 et (𝐵𝐶
𝐵𝐴) = 6 .
1. Construire le triangle 𝐴𝐵𝐶 tel que 𝐴𝐵 = 6𝑐𝑚.
2. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
(𝐵𝐴
𝐴𝐶 ) et (𝐵𝐶
𝐶𝐴).
(1 point)
(1 point)
Partie B :
On désigne par 𝑁 le nombre de diagonale d’un polygone régulier à 𝑛 côtés où 𝑛 est un
entier naturel supérieur ou égal à 3. On pose 𝑁 =
𝑛(𝑛−3)
2
.
1. Quel est le polygone qui a autant de diagonales que les côtés ?
(1 point)
2. Déterminer le nombre de diagonales d’un décagone et d’un pentadécagone.
(2 points)
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Mathématiques Seconde C
COMPOSITIONS
e
DU 3 TRIMESTRE
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Année Scolaire 2018-2019
INSPECTION DES LYCEES ZONE IV
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DES MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU 3e TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3 heures
EXERCICE 1 : (8 pts)
Une étude porte sur la durée de vie d’une pile. Le test porte sur 30 piles.
Voici le résultat des tests :
94 ;95 ;80 ;99 ;79 ;101 ;104 ;66 ;75 ;74 ;84 ;84 ;81 ;78 ;81 ;77 ;73 ;68 ;78 ;72 ;69 ;
102 ;104 ;65 ;101 ;72 ;65 ;78 ;70 ;104.
1) Reproduis et complète le tableau suivant :
Durée (𝑒𝑛 ℎ)
[65; 75[
[75; 85[
[95; 105[
[85; 95[
𝐸𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓
2) Tracer l’histogramme de cette série statistique.
3) Quelle est la durée de vie moyenne d’une pile ?
4) Trouver la valeur de la médiane.
5) Quelle est l’étendue de cette série statistique ?
EXERCICE 2 : (3 pts)
Une entreprise artisanale fabrique trois types d’objets en bois notés A, B et C. Un
objet de type A nécessite 9kg de bois et 5h de travail. Un objet de type B
nécessite 5kg de bois et 4h de travail et un objet de type C nécessite 10kg de bois
et 2h de travail.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé 175kg de bois pour fabriquer 22 objets
dont la réalisation a demandé 88h de travail.
Déterminer le nombre d’objets de chaque type qui ont été fabriqués.
EXERCICE 3 : (4 pts)
Soit 𝑓 une fonction vérifiant :
• 𝑓 est définie sur [−10; 10]
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Mathématiques Seconde C
•
𝑓 est croissante sur [−2; 1] et sur [5; 10] ; 𝑓 est décroissante sur [−10; −2] et
sur [1; 5]
•
Les antécédents par 𝑓 de 0 sont −2 ; 2 et 10
•
Le minimum de 𝑓 est −2 ; le maximum de 𝑓 est 5
•
•
𝑓(1) = 4
La courbe (C) coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 2.
1) Dresser le tableau de variation de 𝑓.
2) Construire une courbe représentant les variations de 𝑓.
3) Peut-on affirmer que 𝑓 est positive sur [−10; 2] ?
EXERCICE 4 : (5 pts)
Soit (𝑂; 𝑖; 𝑗) un repère orthonormé du plan.
1) Déterminer une équation du cercle (𝐶) de centre 𝐴 ; 𝐴(1; 2) et de rayon 3
2) Soit ℎ l’homothétie de centre 𝑂 et de rapport −2. Donner une équation du
cercle (𝐶′) image de (𝐶) par ℎ.
3) Ecrire une équation de la droite (∆) tangente au cercle (𝐶) au point 𝐶(4; 2)
4) Déterminer une équation de la droite (∆′) image de la droite (∆) par ℎ. La
droite (∆′) est-elle tangente au cercle (𝐶′) ? Pourquoi ?
1
5) 𝑓 est l’homothétie de centre 𝑂 et de rapport 𝑘 = − 2. Donner l’expression
analytique puis la nature de l’application 𝜑 = 𝑓 ∘ ℎ.
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Mathématiques Seconde C
Année scolaire 2022-2023
INSPECTION DES LYCEES ZONE 4
KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU 3ème TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3heures
coefficient : 5
Exercice 1 (5points)
1) Sachant que 𝑆 = 𝑥 ′ + 𝑥′′ et 𝑃 = 𝑥 ′ . 𝑥′′ et sans calculer les racines 𝑥′ et 𝑥′′ de
l’équation 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 = 0
a) Exprimer 𝐴 = 𝑥 ′2 + 𝑥 ′′2 et 𝐵 = 𝑥 ′′ + 𝑥 ′ en fonction de 𝑆 et 𝑃
𝑥′
𝑥 ′′
(0,5ptx2)
b) En déduire la valeur exacte de 𝐴 et 𝐵.
(0,5ptx2)
2) Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes
a) 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 9 = 0
(1pt)
b) √𝑥 − 1 + √𝑥 + 4 = 5
(1pt)
c) 𝑥 + √𝑥(𝑥 − 3) < 4
(1pt)
Exercice 2 (5points)
Partie A
𝜋
√3
1) Sachant que ∀𝑥 ∈ ] 2 ; 𝜋[ sin 𝑥 > 0 et cos 𝑥 < 0, on donne 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2
Calculer cos 𝑥 et tan 𝑥
(0,5ptx2)
2. Simplifier les expressions suivantes
𝜋
𝜋
3𝜋
a) 𝑋 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜋) + 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 2 ) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 2 ) + 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 2 ) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜋)
703𝜋
551𝜋
b) 𝑌 = 𝑐𝑜𝑠 ( 2 ) + 𝑠𝑖𝑛 ( 2 )
(0,5pt)
(0,5pt)
Partie B
𝜋
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵𝐶 est un triangle de sens direct tel que (𝐴𝐵
𝐴𝐶 ) = 3 [2𝜋]
1. Faire la figure.
(1pt)
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ,
2. Déterminer une mesure principale des angles orientés suivants : (𝐵𝐴
; 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) , (𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) (1pt+0,5ptx2)
(𝐴𝐶
; 𝐴𝐵
; 𝐵𝐴
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Mathématiques Seconde C
Exercice 3 (5points)
Voici le tableau de variation d’une fonction numérique 𝑓
𝑥
3
−2
𝑓(𝑥)
0
4
−1
6
5
2
1) Quel est l’ensemble de définition de 𝑓 ?
2) Quel est l’antécédent de 4 et quelle est l’image de 6 par 𝑓 ?
(1pt)
(0,5ptx2)
3) Préciser l’intervalle sur lequel 𝑓 est décroissante, 𝑓 est croissante
4) Quelle est l’image de l’intervalle 𝐼 = [0; 3] et de 𝐽 = [−2; 0] par 𝑓.
(0,75ptx2)
(0,75ptx2)
Exercice 4 (5points)
Le tableau ci-dessous est de la série statistique des notes obtenues lors d’un
contrôle de Maths dans une classe de seconde C de 25 élèves.
Notes 𝑥𝑖
2
6
8
10
12
14
16
18
Effectifs 𝑛𝑖
1
5
4
3
2
5
2
3
1) Dresser le tableau des effectifs cumulés (croissants et décroissants) ainsi
que des fréquences cumulées (croissantes et décroissantes).
(1ptx2)
2) Construire sur une même figure le polygone des effectifs cumulés croissants
et décroissants.
(1pt)
3) Calculer la moyenne 𝑋̅ et la médiane.
(1ptx2)
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INSPECTION DES LYCEES D’ENSEIGNEMENT GENERAL
ZONE 4 KOUILOU ET POINTE-NOIRE
ANNEE-SCOLAIRE 2023-2024
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
------------COMPOSITION INTERDEPARTEMENTALE DU 3ème TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3heures
EXERCICE 1 : (6pts)
On considère les polynômes 𝑷 et 𝑻 définis par : 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 et 𝑻(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑.
𝒃
𝟐
∆
On rappelle que la forme canonique d’un trinôme du second degré est : 𝒂 [(𝒙 + 𝟐𝒂) − 𝟒𝒂𝟐]
avec ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
1) Donner la forme canonique de 𝑷, et celle de 𝑻.
2) En déduire les écritures factorisées de 𝑷 et 𝑻.
𝑷
3) Soit la fraction rationnelle 𝑸 = 𝑻
(1,5pt)
(2pts)
a- Simplifier 𝑸(𝒙).
b- Résoudre dans ℝ ∶ 𝑸(𝒙) = 𝟎 et 𝑸(𝒙) ≥ 𝟏
(0,5pt)
(2pts)
EXERCICE 2 : (4pts)
1- Résoudre dans IRxIR le système d’équations suivant :
𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟔
(S) : {
(2pts)
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏
𝟓√𝒙 + 𝟐√𝒚 = 𝟐𝟔
2- En déduire la solution du système (S’) {
(2pts)
𝟐√𝒙 − 𝟑√𝒚 = −𝟏
EXERCICE 3 : (5pts)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑶, 𝒊, 𝒋). On considère les droites (𝑫) et (𝑫′)
𝒙 = 𝟐 − 𝟑𝒕
représentées respectivement par {
(𝒕 ∈ ℝ) et −𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎
𝒚 = 𝟑 + 𝟐𝒕
⃗ de (𝑫).
1) Donner un point 𝑨 appartenant à (𝑫) et un vecteur directeur 𝒖
(1pt)
2) Donner une équation cartésienne de la droite (𝑫).
(1pt)
3) Le point 𝑬(−𝟒; 𝟕) appartient-il à la droite (𝑫′) ? Appartient-il à (𝑫) ?
(1pt)
4) Justifier que les droites (𝑫) et (𝑫′) sont perpendiculaires.
(1pt)
5) Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
(1pt)
EXERCICE 4 : (5pts)
Soit 𝑨𝑩𝑪 un triangle rectangle en 𝑨, tel que : 𝑨𝑩 = 𝟓 , 𝑨𝑪 = 𝟏𝟐.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝟑 𝑨𝑪
𝑮 est le barycentre défini par : 𝑨𝑮
𝟑
𝟒
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
1) Calculer ‖𝑨𝑮
(1pt)
⃗⃗⃗⃗ = 𝟎
⃗ . Construire 𝑰.
⃗⃗⃗⃗ + 𝑰𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑰𝑪
2) Soit 𝑰 le point du plan défini par : 𝑰𝑨
(1,5pt)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟑𝑴𝑰
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1pt)
3) Démontrer que pour tout point 𝑴 du plan, on a : 𝑴𝑨
4) Déterminer puis construire l’ensemble (∆) des points 𝑴 tels que :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝟔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑴𝑪
‖𝑴𝑨
(1,5pt)
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ZONE 4 KOUILOU ET POINTE-NOIRE
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Année scolaire 2024-2025
COMPOSITION INTERDEPARTEMENTENTALE DU 3ème TRIMESTRE
EPREUVE : MATHEMATHIQUES
NIVEAU : Seconde C
DUREE : 3heures
EXERCICE 1 : (4pts)
I. Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :
a) 𝑥 3 − 𝑥 − 6 = 0
(1pt)
4𝑥 4 −5𝑥 2 +1
(1,5pt)
b) −2𝑥 2+4𝑥−3 > 0
II. Résoudre dans ℝ3 le système suivant :
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = −2
{ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
(1,5pt)
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
EXERCICE 2: (8 pts)
1) Définir le cercle trigonométrique. Qu’appelle-t-on mesure principale d’un
angle orienté de couple de vecteurs ? (1pt)
2) Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure 𝛽 est :
𝑎) 𝛽 =
71𝜋
2
;
29𝜋
(1,5pt)
𝑏) 𝛽 = − 4
3) Pour tout réel x, simplifier les expressions suivantes :
𝜋
(1pt)
𝜋
(1pt)
𝐴(𝑥) = sin(𝜋 − 𝑥) + cos ( 2 + 𝑥)
𝐵(𝑥) = cos(𝑥 + 𝜋) − sin ( 2 − 𝑥)
𝜋
4) Sachant que pour tout 𝑥 ∈ ] 2 ; 𝜋[ sin 𝑥 > 0 𝑒𝑡 cos 𝑥 < 0, calculer
√3
cos 𝑥 𝑒𝑡 tan 𝑥 si sin 𝑥 = 2
(2pts)
5) Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑖; 𝑗), placer sur le cercle
trigonométrique les points M1, M2, M3 et M4 d’abscisses curvilignes
3𝜋
−5𝜋
4𝜋
5𝜋
respectives − 4 , 6 , 3 𝑒𝑡 6
(2pts)
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Mathématiques Seconde C
EXECICE 3 : (4pts)
Soit f une fonction numérique définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3.
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗).
1) Déterminer que f est strictement décroissante sur l’intervalle ]−∞; 2[ et
strictement croissante sur ]2; +∞[ (1pt)
2)
a) Compléter le tableau suivant :
x
𝑓(𝑥)
-1
0
1
2
3
b) Représenter la courbe (C) de f.
4
5
(0,5pt)
(1pt)
3) Soit 𝑆(2; −1).
a) Donner l’équation de la courbe (C) dans le repère (𝑆; 𝑖; 𝑗).
(1pt)
b) En déduire que la droite de repère (𝑆; 𝑗) est axe de symétrie pour (C). (0,5pt)
EXERCICE 4 : (4 pts)
Un professeur de français recense le nombre de livres lus par chacun de ses 180
élèves. Il obtient le résultat suivant : 18 élèves n’ont lu aucun livre ; 72 élèves ont lu
1 livre ; 45 élèves ont lu 2 livres ; 36 élèves ont lu 3 livres et 9 élèves ont lu 4 livres.
1) Recopier et compléter le tableau suivant : (1,5pt)
Nombre de livres
0
1
2
3
4
Effectif
Fréquence
e.c.c
2) Quel est le mode de cette série statistique ? Calculer la moyenne et l’écart-type
de cette série.
(1,5pt)
3) Représenter le résultat de cette enquête par un diagramme circulaire. (1pt)
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D’ENSEIGNEMENT GENERAL ZONE 1
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Année scolaire 2023-2024
Compositions du 3ème trimestre
Niveau : Seconde
Epreuve : Mathématiques
Série : C
Durée : 3H
Activités numériques et diverses : (10 points)
Exercice 1 (05 points)
1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
√𝑥
𝑥+1
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 1 ; ℎ(𝑥) = 𝑥−1 ; 𝑔(𝑥) = |𝑥|−2
(2,5points)
2. On considère la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1
a) Déterminer l’ensemble de définition de 𝑓
(0,5 point)
b) Etudier la parité de 𝑓. Puis en déduire une conséquence graphique. (1 point)
3. Soit 𝑔 la fonction définie par 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3. On désigne par (𝒞) sa courbe
représentative.
Montrer que la droite (∆) ∶ 𝑥 = 1 est un axe de symétrie de la courbe (𝒞)
(1 point)
Exercice 2 : (05 points)
On considère la fonction 𝑓 définie par :
𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥
1. Déterminer l’ensemble de définition de 𝑓 noté 𝐸𝑓
2. Soit 𝑢 et 𝑣 deux réels de 𝐸𝑓
a) Calculer le taux de variation 𝑇(𝑢, 𝑣) =
(0,5 point)
𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)
(0,5 point)
𝑢−𝑣
b) Donner le sens de variation de la fonction 𝑓
3. Dresser le tableau de variation de 𝑓. (0,5 point)
4. Compléter le tableau suivant :
𝑥
0
1
𝑓(𝑥)
5. Construire la courbe (𝒞𝑓 ) de 𝑓
repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗) unité graphique 1𝑐𝑚.
(0,5 point)
2
3
4
(2 points)
dans un
(1 point)
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Mathématiques Seconde C
Activités géométriques : (10 points)
Exercice 1 : (05 points)
𝜋
1
1. Soit 𝑥 un nombre tel que 2 < 𝑥 < 𝜋. On donne sin 𝑥 = 3
Calculer cos 𝑥 et tan 𝑥
(1 point)
𝜋
2. Soit 𝑥 et 𝑦 deux réels appartenant à l’intervalle [0; 2 ]
Calculer 𝑥 et 𝑦 sachant que cos 𝑥 = sin 𝑦 et 𝑥 = 2𝑦
3. Démontrer que pour tout réel 𝑥, on a :
a) (cos 𝑥 + sin 𝑥)2 + (cos 𝑥 − sin 𝑥)2 = 2
b) cos 4 𝑥 − sin4 𝑥 = cos 2𝑥 (1 point)
𝜋
𝜋
𝜋
(1 point)
(1 point)
𝜋
𝜋
4. Sachant que 12 = 3 − 4 , déterminer la valeur exacte de cos (12) et de sin (12)
(1 point)
Exercice 2 : (05 points)
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de centre 𝑂. 𝐼, 𝐽, 𝐾 et 𝐿 les milieux respectifs des segments [𝐵𝐶],
[𝐷𝐶], [𝐷𝐴] et [𝐴𝐵]. (on prendra [𝐴𝐵] horizontalement)
1. Faire la figure.
(1 point)
2. Soit 𝑔 = 𝑆(𝐿𝑂) ∘ 𝑆(𝐴𝐾) où 𝑆(𝐿𝑂) et 𝑆(𝐴𝐾) sont des symétries orthogonales d’axes
respectifs (𝐿𝑂) et (𝐴𝐾)
a) Donner la nature de 𝑔
(0,5 point)
b) Caractériser 𝑔.
(0,5 point)
⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐽
⃗⃗⃗⃗ ).
3. Le plan est muni du repère orthonormé (𝑂, 𝑂𝐼
a) Déterminer les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐼 dans ce repère. (1,5 point)
b) Donner l’expression analytique de 𝑔 (0,5 point)
𝜋
c) Donner l’expression analytique de la rotation 𝑟 de centre 𝐼 et d’angle 2 (0,5
point)
d) Déterminer l’expression analytique de l’application 𝑓 = 𝑔 ∘ 𝑟
(0,5 point)
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Mathématiques Seconde C
LYCEE TECHNIQUE POATY Bernard
--------------------------DIRECTION DES ETUDES
---------------Pointe-Noire
---------
Année Scolaire 2020-2021
Composition du Troisième trimestre
Niveau : STI-SF4-SIN
Epreuve de : Mathématiques
Durée : 03 heures
Exercice 1 : (3 pts)
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜋 [2𝜋]
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle direct et isocèle en 𝐵 tel que 𝐴𝐵 = 4𝑐𝑚 et 𝑚𝑒𝑠 (𝐴𝐵
; 𝐴𝐶
6
1. Construire le triangle 𝐴𝐵𝐶.
⃗⃗⃗⃗⃗̂
⃗⃗⃗⃗⃗̂
2. Déterminer les mesures des angles orientés (𝐴𝐶
; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵) et (𝐶𝐴
; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵)
Exercice 2 : (3 pts)
𝑥2 + 𝑦2 = 5
Résoudre dans ℝ2 le système : {
𝑥𝑦 = −2
Exercice 3 : (4 pts)
2
1. Développer et réduire l’expression 𝐴 = (√2 + √3)
2. Résoudre dans ℝ, les équations et inéquations :
a) 𝑥 2 − (√3 − √2)𝑥 − √6 = 0
b) 𝑥 2 − (√3 − √2)𝑥 − √6 ≥ 0
c) (𝑥 2 + 𝑥 − 2)(𝑥 2 − 𝑥 − 2) < 0
Exercice 4 : (4 pts)
11𝜋
11𝜋
11𝜋
11𝜋
2𝜋
𝜋
1. Déterminer les valeurs exactes de 𝑠𝑖𝑛
; 𝑐𝑜𝑠
et 𝑡𝑎𝑛
sachant que
= + .
12
12
12
12
3
4
2. Démontrer que :
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 + ) + 𝑠𝑖𝑛 (3𝑥 − ) − 𝑠𝑖𝑛 (3𝑥 + ) + 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 − ) = −2𝑐𝑜𝑠3𝑥
2
2
2
2
3. Déterminer les valeurs de 𝑥 telles que : 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = −
1
2
Exercice 5 : (6 pts)
On considère l’équation (𝐸) ∶ (𝑚 + 1)𝑥 2 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 3 = 0 où 𝑚 ∈ ℝ
1. Pour quelle valeur de 𝑚 cette équation admet-elle :
a) 2 racines positives ?
b) 2 racines négatives ?
c) 2 racines contraires ?
2. On suppose que 𝑥1 et 𝑥2 sont les racines de l’équation (𝐸)
Déterminer 𝑚 pour qu’on ait : (4𝑥1 + 1)(4𝑥2 + 1) = 18
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