QASMAOUI FATHALLAHMMC Contrôle : Déformations Master DSPC 1 A. ère CONTRÔLE DES CONNAISSANCES Déformations des Milieux Continus Nom et Prénom Date : CNE / N° Étudiant Durée : 1h30 Barème : Groupe / Filière /20 ▶ Tout résultat non justié sera considéré comme nul. La rigueur de la rédaction est évaluée. Toute tentative de fraude entraîne la note de 0/20. Exercice 1 Déformations principales et vecteurs propres (7 points) Soit un milieu soumis à un tenseur de déformation dont la matrice dans la base (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ) est : 2 1 2 [E] = 1 4 2 2 2 1 2 1) Calculer la trace de E , son déterminant, ainsi que la matrice [E ]. En déduire le 2 i 1h 2 deuxième invariant EII = (tr E) − tr(E ) . En déduire sans calcul supplémentaire 2 le polynôme caractéristique de E . [2 pts] 2) Développer det(E−λI) et retrouver le polynôme caractéristique. Vérier la cohérence avec la question précédente. [1 pt] 3) Exprimer det(E − λI) sous la forme −(λ − E1 )(λ − E2 )(λ − E3 ) et en déduire les déformations principales E1 , E2 , E3 . Donner la forme de la matrice de E dans sa base principale. [2 pts] 4) Ordonner les déformations principales EI ≥ EII ≥ EIII . Calculer les composantes du vecteur propre ⃗b2 associé à la déformation principale intermédiaire EII . [2 pts] Exercice 2 Mouvement, tenseurs et cinématique (13 points) On considère un mouvement déni dans la base (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ) par sa représentation lagrangienne (α est une constante positive) : x1 = X1 + αX2 x2 = X2 + αX1 x3 = X 3 Page 1 / 2 | Durée : 1h30 | Documents non autorisés QASMAOUI FATHALLAHMMC Contrôle : Déformations Master DSPC 1 A. ère ∂xi 1) Calculer le tenseur gradient [F ] Fij = , le tenseur des dilatations de Cauchy∂Xj Green [C] = [F ]T [F ] et le tenseur de Green-Lagrange [E] = 12 ([C] − [I]). Commenter la symétrie de ces tenseurs. [2.5 pt] 2) Calculer la matrice du gradient de déplacement [L] et en déduire le tenseur des déformations linéarisées [ε] (HPP) et le tenseur des rotations [Ω]. Vérier que [F ] = [I] + [ε] + [Ω]. [2 pts] 3) Pour quelles valeurs de α peut-on utiliser l'hypothèse HPP ? [0.5 pt.5>1 s] ⃗ et dans la direction ⃗e1 . 4) Calculer la dilatation λ(M0 , ⃗ e1 ) en un point X Calculer également l'allongement unitaire ε(M0 , ⃗e1 ). Comparer avec la valeur HPP ε11 . [1.5 pt] 5) Calculer le glissement γ(M0 , ⃗ e1 , ⃗e2 ) entre les directions ⃗e1 et ⃗e2 . valeur HPP 2ε12 . Comparer avec la [1.5 pt] 6) Calculer le jacobien de la transformation J = det[F ], ainsi que la dilatation volumique λV et la déformation volumique εV . Si la masse volumique initiale est homogène ρ0 , quelle est la masse volumique ρ après déformation ? [2 pts] 7) Exprimer les coordonnées initiales (X1 , X2 , X3 ) en fonction des coordonnées actuelles ⃗ t) et le champ (x1 , x2 , x3 ) (existence et condition). Calculer le champ de vitesse V⃗ (X, ⃗ t). Que remarque-t-on ? d'accélération ⃗γ (X, [2 pts] ∗ 8) Calculer le taux de déformation eulérien [](⃗ x, t) et le taux de rotation [Ω ](⃗x, t). pt] Bon courage ! Pensez à vérier vos résultats. Page 2 / 2 | Durée : 1h30 | Documents non autorisés [1