Fiche de révision : Déformations des milieux continus (Master DSPC)

QASMAOUI FATHALLAH MMC Fiche : Déformations des MC Master DSPC 1 A.
ère
FICHE DE RÉVISION
Chapitre 3 Déformations des Milieux Continus
Cinématique, tenseurs, transformation de la géométrie
QASMAOUI FATHALLAH | Master DSPC 1 Année
ère
1. Congurations et vecteur déplacement
Congurations
Cong. initiale C : état de−−référence,
volume Ω(0),
−→
⃗ = X ⃗e
particule en M repérée par OM = X
ˆ Cong. actuelle C : état déformé à l'instant t,
−−→
ˆ
0
0
0
i i
t
volume Ω(t), particule en Mt repérée par OMt =
⃗x(X1 , X2 , X3 , t) = xi⃗ei
⃗ C0 (Ω0 )
X
M0
Vecteur déplacement
Mt
⃗
U
⃗
e2
Ct (Ωt )
⃗
x
⃗
e1
−−−→
⃗ (X1 , X2 , X3 , t) = −
⃗
U
M0 Mt = ⃗x(X1 , X2 , X3 , t) − X
⃗ +U
⃗
⃗x = X
⇔
xi = Xi + ui
2. Tenseur gradient de la transformation [F ]
Dénition fondamentale
−→
−
→
L'application linéaire qui transforme dX (cong. initiale) en dx (cong. actuelle) :
−
→
−→
dx = [F ] · dX

∂u1
1+

∂X
 ∂u 1

2
[F ] = 
 ∂X1
 ∂u3
∂X1
∂u1
∂X2
∂u2
1+
∂X2
∂u3
∂X2
avec
Fij =
∂xi
∂Xj

∂u1
∂X3 
∂u2 

 = [I] + [L]
∂X3 
∂u3 
1+
∂X3
où [L]ij =
∂ui
∂Xj
Décomposition de [F ] Translation + Rotation + Déformation
[F ] = [I] + [L] = [I] + [Ω] + [ε]
Tenseur des déformations linéarisées [ε] Tenseur des rotations [Ω] (antisymétrique)
(symétrique) :
[ε] = 12
[L] + [L]
:
T
;
εij = 12
∂uj
∂ui
+
∂Xj
∂Xi
[Ω] = 12 [L] − [L]T
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;
Ωij = 12
∂uj
∂ui
−
∂Xj
∂Xi
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
∂u1
 ∂X1


[ε] = 
 ···


···
[F ] est
rigide (
non symétrique
1
2
∂u1
∂u2
+
∂X2 ∂X1
∂u2
∂X2
···
et n'est
pas

∂u1
∂u3
+
 

∂X3 ∂X1 
ε11 ε12 ε13

∂u3  
1 ∂u2

 = ε12 ε22 ε23
2 ∂X + ∂X
3
2 
ε13 ε23 ε33

∂u3
∂X3
1
2
une bonne mesure de déformation : pour un mouvement de corps
[ε] = 0), [F ] = [I] + [Ω] ̸= [0]. C'est [ε] (HPP) ou [E] (grands déplacements) qui mesurent la vraie
déformation.
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3. Tenseurs des déformations Grandes transformations
Caractéristique
Cauchy-Green droit Green-Lagrange [E]
Dénition
[C] = [F ]T [F ]
Variables
Lagrangiennes (
État
déformation
sans
Non
Symétrie
Oui
X)
Lagrangiennes (
[b] = [F ]−1 [F −1 ]T
;
−1
X)
Eulériennes (
[E] = [0]
[e] = [0]
Oui
Oui
Oui
Oui
[E] = 12 ([F ]T [F ]−[I])
;
Lien : [e] = [F ] [E][F ] et [E] = [F ] [e][F ]
−1 T
[e] = 12 ([I] − [b]−1 )
[E] = 12 ([C] − [I])
[C] = [I]
Bonne mesure ?
[C] = [F ]T [F ]
Euler-Almansi [e]
[C]
x)
[e] = 12 ([I]−[F −1 ]T [F −1 ])
;
T
Invariants du tenseur de déformation [ε]
I1 = tr(ε) = ε11 + ε22 + ε33 = εI + εII + εIII
h
i
2
I2 = ε11 ε22 + ε22 ε33 + ε33 ε11 − ε212 − ε223 − ε231 = 12 (tr ε)2 − tr(ε )
I3 = det(ε) = εI εII εIII
Polynôme caractéristique : −λ + I λ − I λ + I = 0
3
1
2
2
3
4. Transformation de la géométrie
▶
A Dilatation et allongement unitaire
Mesures de changement de longueur
−→
−
→
Soit dX = dl0 ⃗n0 (cong. initiale) → dx = dl ⃗n (cong. actuelle).
Dilatation : λ(M , ⃗n ) = dldl = {n } [C]{n } −−−−→ λ(M , ⃗e ) = pC = p1 + 2E
q
0
0
0
⃗
n0 =⃗e1
T
0
0
1
11
11
0
Déformation GL : ε (M , ⃗n ) = dl dl− dl −−−−→ ε = E
q
dl − dl
Allongement unitaire : ε(M , ⃗n ) = dl = λ−1 = 1 + 2{n } [E]{n }−1 −−−−→ ε = pC −1 =
2
GL
0
0
2
0
⃗
n0 =⃗e1
0
0
0
0
0
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11
GL
2
0
T
⃗
n0 =⃗e1
0
11
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▶
B Glissement (transformation des angles)
Variation d'angle entre deux directions orthogonales
−−→
−→
Deux vecteurs dX = dl0⃗n0 et dX ′ = dl0′ ⃗n′0 avec ⃗n0 ·⃗n′0 = 0, forment un angle φ après déformation.
Le
est :
glissement
γ(M0 , ⃗n0 , ⃗n′0 ) =
2{n0 }T [E]{n′0 }
π
{n0 }T [C]{n′0 }
=
arcsin
− φ = arcsin
2
λ(M0 , ⃗n0 ) λ(M0 , ⃗n′0 )
λ(M0 , ⃗n0 ) λ(M0 , ⃗n′0 )
Si ⃗n0 = ⃗e1 , ⃗n′0 = ⃗e2 :
▶
γ = arcsin √
C12
2E12
= arcsin p
C11 · C22
(1 + 2E11 )(1 + 2E22 )
C Transformation des volumes
dV = det[F ]·dV0
;
λV (M0 ) =
dV
= det[F ] (dilatation volumique)
dV0
ρ
Conservation de la masse : ρ = ρ · det[F ] ⇒ ρ = det[F
]
0
0
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;
εV (M0 ) = det[F ]−1 (déf
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5. Vitesse, accélération et taux de déformation
Champ de vitesse et d'accélération
Vitesse (Lagrange) : V⃗ (X,⃗ t) = ∂⃗∂tx = ∂∂tU⃗
Accélération (Lagrange) : ⃗γ(X,⃗ t) = ∂∂tV⃗ = ∂∂t⃗x
Accélération (Euler) : ⃗γ(⃗x, t) = ∂∂tV⃗ + (V⃗ · ∇)V⃗ = ∂∂tV⃗ + X V ∂x∂V⃗
⃗
X
⃗
X
2
2
⃗
X
⃗
X
j
⃗
x
j
j
Taux de déformation eulérien [D] et taux de rotation [Ω]
Le gradient de vitesse eulérien [G]ij =
∂Vi
se décompose en :
∂xj
[G] = [D] + [Ω∗ ]
Taux de déformation :
[G] + [G]
Taux de rotation : [Ω ] = [G] − [G] T
[D] = 12
∗
T
1
2
∂Vj
∂Vi
+
;
∂xj
∂xi
∂Vj
∗
1 ∂Vi
; Ωij = 2
−
∂xj
∂xi
Dij = 21
6. Hypothèse des Petites Perturbations (HPP)
Conditions HPP
Petits déplacements : U⃗ ≪ dimensions caractéristiques du solide
∂u
ˆ Petits gradients : ∥[L]∥ =
≪1
∂X
ˆ
i
j
Sous HPP : Xi ≈ xi , [F ] ≈ [I] + [ε], [E] ≈ [ε], [C] ≈ [I] + 2[ε]
Sous HPP Simplications :
HPP
[E] = 21 ([C] − [I]) = 12 ([F ]T [F ] − [I]) −−−→ [ε] = 12 ([L] + [L]T )
λ(M0 , ⃗e1 ) ≈ 1 + ε11
;
γ(M0 , ⃗e1 , ⃗e2 ) ≈ 2ε12
;
Représentation physique des composantes de [ε]
(termes du 2nd ordre négligés)
εV ≈ tr([ε]) = ε11 + ε22 + ε33
allongements unitaires selon ⃗e , ⃗e , ⃗e
ˆ 2ε , 2ε , 2ε : glissements (variations d'angle entre directions initialement orthogonales)
ˆ tr([ε]) = ε + ε + ε : dilatation volumique (HPP)
ˆ ε11 , ε22 , ε33 :
12
23
1
2
13
11
22
33
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7. Tableau récapitulatif de toutes les formules
Grandeur
Formule
Déplacement
⃗ = ⃗x − X
⃗,
U
Gradient de transfo.
Fij =
Cauchy-Green droit
[C] = [F ]T [F ],
Green-Lagrange
[E] = 12 ([C] − [I]) = 21 ([F ]T [F ] − [I])
Euler-Almansi
[e] = 12 ([I] − [F −1 ]T [F −1 ])
HPP (linéarisé)
εij = 12
Dilatation
λ(M0 , ⃗n0 ) =
p
Allongement unitaire
ε=λ−1=
p
Glissement
γ = arcsin
Dilatation volumique
λV = det[F ]
Conservation masse
ρ det[F ] = ρ0
Vitesse (Lagrange)
Accélération (Euler)
Taux de déformation
Taux de rotation
xi = Xi + ui
∂xi
∂ui
= δij +
∂Xj
∂Xj
[C] = [I] si corps rigide
∂ui
∂uj
+
∂Xj
∂Xi
{n0 }T [C]{n0 }
1 + 2{n0 }T [E]{n0 } − 1
2{n0 }T [E]{n′0 }
λ(M0 , ⃗n0 )λ(M0 , ⃗n′0 )
;
εV = det[F ] − 1
⃗ = ∂⃗x ⃗
V
∂t X
⃗
∂V
⃗ · ∇)V
⃗
+ (V
∂t ⃗x
∂Vi
∂Vj
Dij = 12
+
∂xj
∂xi
∂Vj
1 ∂Vi
∗
Ωij = 2
−
∂xj
∂xi
⃗γ =
QASMAOUI FATHALLAH ˆ MMC Déformations des Milieux Continus ˆ Master DSPC 1 Année
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