Chapitre 2 : Echantillonnage - Traitement du Signal Numérique

Chapitre 2 : Echantillonnage
1. Introduction
Un signal analogique (continu) est défini en toutes les valeurs de sa variable indépendante. Le
traitement numérique du signal est la discipline qui s’intéresse au signal défini seulement aux
valeurs constituant un ensemble dénombrable (fini ou infini).
x(t)
x(nTe)
0
t
0 Te 2Te3Te
Signal analogique
nTe
signal échantillonné (discret)
Figure 1
Une façon de produire échantillonné consiste à ne prendre des échantillons du signal
analogique de départ qu’aux valeurs équidistantes de la variable indépendante.
2. Le processus d’échantillonnage : définition
L’échantillonnage est l’opération à travers laquelle un signal analogique est converti en une
séquence correspondante d’échantillons usuellement uniformément espacés dans le temps
(échantillonnage régulier).
Soit xa(t) le signal analogique de départ. Le signal échantillonné xe(t) est obtenu par
multiplication du signal analogique par un train d’impulsions de Dirac d’amplitude unité et
equi-espacées de Te.
Le train d’impulsions de Dirac noté p(t) est d »fini par :
p(t ) 

 t  nTe 
n  
Te : période ou pas d’échantillonnage
fe=1/Te : fréquence d’échantillonnage
(t-nTe) est l’impulsion de Dirac positionnée au temps t=nTe.
1
xa(t)
t
0
p(t)
0
t
Xe(t
)
0
t
Figure 2 : Illustration du processus d’échantillonnage
Le signal échantillonné est donné par :
xe (t )  xa (t ) p(t )  xa (t )

 t  nTe 
n  
En vertu de la propriété f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0), on peut écrire
xe (t ) 

 xa (nTe ) t  nTe 
n  
Cette forme idéale de l’échantillonnage est appelée échantillonnage instantané.
3. Théorème de l’échantillonnage : théorème de Shannon
p(t) est périodique de période Te et donc, il peut être décomposé en série de Fourier :

k 2t
j
1
p(t ) 
e Te
Te k  

En appliquant la propriété de modulation (translation fréquentielle), le spectre de p(t) noté
P() s’écrit comme :
2
P( ) 


2
2 

    k
T e k   
Te 

A un train d’impulsions de période Te dans le domaine temporel correspond un train
d’impulsions de période 2/Te dans le domaine fréquentiel.
2
P()
p(t)
Te
TF

2
0 Te
t
0

Te

Figure 3 : paire de transformée de Fourier du train d’impulsions de Dirac

Le spectre Xe() du signal échantillonné xe(t) s’écrit comme :
X e ( ) 
1
X a ( )  P( )
2
Le symbole  dénote l’opération de convolution.
P() est un train d’impulsions de Dirac espacées de fe=1/Te sur l’axe des fréquences ou
2/Te sur l’axe des pulsations. La convolution d’un signal avec un train d’impulsions de
Dirac se fait en reproduisant le signal à la position de chacune des impulsions. Le spectre du
signal échantillonné est donc :


1
2 

X e ( ) 
X a    k
Te k  
Te 


L’effet de l’échantillonnage est de périodiser le spectre du signal analogique de départ. Cette
périodisation se fait au rythme de 1/Te en fréquence ou 2/Te en pulsation.
Xa()

0
Xe()

2
Te
0
e 
Figure 4 : Spectre du signal échantillonné.
3
2
Te

La périodisation concerne aussi bien l’amplitude du spectre que sa phase.
Si le spectre du signal de départ est limité à 1/2Te en fréquence, les différentes versions ne se
recouvrent pas et on pourra retrouver le signal analogique de départ par un filtrage adéquat de
la séquence d’échantillons. Le théorème de l’échantillonnage de Shannon peut être énoncé
comme suit :
Un signal analogique à bande limitée, c-a-d, que son spectre est non nul uniquement pour les
fréquences f  f max peut être complètement reconstruit à partir de la connaissance de ses
échantillons pris à une fréquence d’échantillonnage au moins égale à 2fmax.
La fréquence d’échantillonnage minimale 2fmax est appelée fréquence de Nyquist.
4. Reconstruction du signal analogique : Interpolation de Whittaker
Si les conditions du théorème de Shannon sont satisfaites, il n’ aura pas de recouvrement
appelé aussi repliement spectral (aliasing) et on peut retrouver le signal analogique de départ
en isolant la version utile des versions répétées du spectre pondéré par le bon facteur de gain.
Un tel filtre a une réponse en fréquence donnée par :

T
H ( )   e
 0


Te
 

Te
ailleurs
La réponse impulsionnelle de correspondante est donnée par :
sin
t
Te
t
Te
h(t ) 
Ce signal a pour propriété de s’annuler pour aux valeurs t=mTe avec m0.
On a Xa()=H()Xe()
Soit donc xa(t)=h(t)xe(t)
La convolution du signal échantillonné avec la réponse impulsionnelle s’exprime par :
  t  nTe 
sin




Te


xa (nTe )h(t  nTe ) 
xa (nTe )
 t  nTe 
n  
n  
Te


On reproduit à la position de chaque échantillon la réponse impulsionnelle du filtre qui a la
caractéristique de s’annuler à la position des autres échantillons et par conséquent laisser
inchangé la valeur des échantillons.
4
Cette formulation d’interpolation est connue sous le nom d’interpolation de Whittaker.
Lorsque la fréquence d’échantillonnage que l’on utilise est supérieure à la valeur minimale
2fmax, on dit qu’il y a sur-échantillonnage.
Lorsque la fréquence d’échantillonnage n’est pas suffisante, les spectres répétés se
chevauchement et on parle de repliement (recouvrement) spectral.
Xa()
0

Xe()
2

Te
0
e 
2
Te

Figure 5 : Illustration du repliement spectral.
Les versions répétées du spectre vont s’additionner en valeurs complexes et il ne sera plus
possible de récupérer le signal analogique de départ et cela quel que soit la fréquence de
coupure du filtre passe bas d’interpolation.
Généralement, connaissant la fréquence d’échantillonnage qui peut être utilisée, on préfère
limiter d’office la bande du signal à la moitié de cette fréquence d’échantillonnage.
5. Echantillonnage avec bloqueur d’ordre zéro
En pratique, les impulsions étroites à grande amplitude qui approximent les impulsions de
Dirac sont relativement difficiles à générer et à transmettre. Il est plus ad »quat de générer le
signal échantillonné sous la forme d’un bloqueur d’ordre zéro. Un tel système échantillonne
xa(t) à un instant donné et maintient (bloque) cette valeur jusqu’à l’instant d’échantillonnage
prochain.
5
xa(t)
Xo(t)
Bloqueur
d’ordre zéro
Figure 6 : Echantillonnage utilisant un bloqueur d’ordre zéro.
La reconstruction du signal du signal original xa(t) à partir de la sortie du bloqueur d’ordre
zéro peut être effectuée au moyen d’un filtrage passe bas, cependant, dans ce cas, le filtre ne
possède pas un gain constant dans la bande passante.
La sortie xo(t) du bloqueur d’ordre zéro peut être générée par un échantillonnage instantané
suivi par un système linéaire invariant dans le temps de réponse impulsionnelle la fenêtre
rectangulaire.
p(t)
xe(t)
xa(t)
x
1
xo(t)
ho(t)
t
Te
Figure 7 : Echantillonnage avec bloqueur d’ordre zéro en utilisant l’échantillonnage
instantané suivi d’un système linéaire invariant dans le temps.
Pour reconstruire xa(t) à partir de xo(t), on transforme xo(t) par un système linéaire invariant
dans le temps de réponse impulsionnelle hr()et de réponse en fréquence Hr().
H()
p(t)
xe(t)
xa(t)
1
xo(t)
ho(t)
x
t
Te
hr(t)
r(t)=xa(t)
Hr()
Figure 8 : Reconstruction du signal original à partir du signal échantillonné avec un bloqueur
d’ordre zéro.
6
On doit spécifier Hr() de sorte à avoir r(t)=xa(t).
On peut voir que r(t)=xa(t) si la combinaison en cascade de ho(t) et hr(t) est le filtre passe bas
idéal H().
H o ( )  e
 j
Te  2 sin Te 

2 
2







Te
j
H ( )
H o ( ) H r ( )  H ( )  H r ( ) 
e 2
H o ( )
H ( )
Te
2 sin
2

6. Concept de séquence
Les signaux provenant d’un échantillonnage sont en pratique traités comme un ensemble de
nombres non nécessairement associés à une référence de temps, c’et à dire à une période
d’échantillonnage.
Une séquence est le signal défini pour les valeurs de la variable indépendante : x(n)=xa(nTe)
On définit également un spectre de séquence périodique de période 1 sur l’axe des fréquences
F ou 2 sur l’axe des pulsations =2F.
 
Ce spectre noté X e j est défini par :
 
X e j 

 x(n)e  jn
n  
Ce spectre est obtenu en évaluant la transformée en Z de la séquence sur le cercle de rayon
unité z=ej :
X ( z) 

 x ( n) z  n
n  
La transformée de Fourier inverse est définie par

x ( n) 
1
X (e j )e jn d

2

La relation entre le spectre de la séquence et le spectre du signal échantillonné peut être
établie comme suit :
7
On a x(n)=xa(nTe)

xa (nTe ) 
1
2

jnTe
d 
 X a ( )e

1
2
Te



 
jnTe
d
  X a    2k Te  e
 k  
Te
En posant =Te=2fTe, on peut écrire :
x ( n) 




1
1
X (e j )e jn d 

2
2
jnTe
d 
 X a ( )e


1
2k  jn d

X a  
e


2
Te
Te


k  

On obtient donc :
X (e
j

1 
2k 

)
X a   

Te k  
T
e 

La correspondance entre le spectre du signal échantillonné et le spectre de la séquence
s’établit grâce au recours à la normalisation des fréquences (ou pulsations) par rapport à la
fréquence (pulsation) d’échantillonnage, soit :
F
f


 fTe
f e e
Et =2F=Te=2fTe
7. Quantification des signaux
La quantification est l’opération qui permet d'assigner une valeur d'un ensemble discret
d'assez petite taille à toute valeur du signal échantillonné. Un signal numérique est un signal
échantillonné, quantifié et codé.
8
7.1. Principe de la quantification
Caractéristique idéale du convertisseur analogique-numérique
9
Erreur de quantification
Caractéristique du bruit de quantification
-
Quantification linéaire par défaut
-
Quantification linéaire centrée
10
Chapitre 3 : Signaux et systèmes discrets
1. Signaux discrets
1.1. Définition
Un signal est représenté mathématiquement comme une fonction d’une ou de plusieurs
variables indépendantes.
Dans le cas d’un signal continu, la variable indépendante est continue.
Un signal discret est défini uniquement à des instants discrets nTe ou n représentant les
instants d’échantillonnage.
n  x(n)
Un signal numérique est un signal échantillonné (discret), quantifié et codé.
x(n)
x(0)
x(2)
x(1)
x(-1)
x(3)
1.2. Représentation des signaux discrets
x(n): séquence
x(n) : nième échantillon

x(-2)
-2 -1 0 1
2 3
n
1.3. Energie et puissance d’un signal discret
 L’énergie totale d’un signal discret x(n) sur un intervalle de temps n1 n  n2 est définie
comme :
n2
 x ( n)
2
n  n1
 L’énergie totale sur un intervalle de longueur infinie est :
E  lim
N
 x ( n) 
2
N  n   N

 x ( n)
2
n  
Si E < , le signal est dit à énergie finie.
Pour certains signaux, la somme définissant l’énergie n’est pas finie.
 La puissance totale sur un intervalle de temps infini est définie comme :
11
N
1
2
x ( n)

N  2 N  1 n   N
P  lim
On peut distinguer trois classes de signaux :
 Signaux à énergie finie
N
1
2
x(n) =0)

N  2 N  1 n   N
E < 
( P  lim
 Signaux à puissance finie
P < 
 Signaux pour lesquels ni E ni P n’est fini
1.4. Transformation des signaux
 Translation
x(n-n0)
x(n)
0
n
n
0
n0
 Renversement temporel
x(n)
x(-n)
0
0
n
n
1.5. Signaux périodiques
x(n) est périodique de période N si
x(n+N) = x(n) pour tout n
N : entier positif
1.6. Signaux pairs et impairs
x(n) est pair si x(-n)=x(n)
x(n) est impair si x(-n)=-x(n)
Un signal impair est nécessairement nul en n=0.
12
x(n) signal quelconque
x(n)=xp(n)+xi(n)
x p (n) 
xi (n) 
1
x(n)  x(n): séquence paire
2
1
x(n)  x(n): séquence impaire
2
1.7. Séquences exponentielles complexes et séquences sinusoïdales
Un signal discret important est la séquence exponentielle complexe définie par
x(n)=cn
(1)
c et  sont en général des nombres complexes.
x(n) peut être exprimé sous forme
x(n)=cen
(2)
Séquences exponentielles réelles
Si c et  sont réels, on obtient une séquence exponentielle réelles.
 Si   1   n est croissante
 Si   1   n est décroissante
Si  est positif, les valeurs de cn sont de mêmes signes.
Si  est négatif, les valeurs de cn sont de signes alternés.
 Si =1, x(n) est constant
 Si =-1, x(n) prend les valeurs c.
n
n
a)  > 1
b) 0 <  < 1
13
n
n
b) -1 <  < 0
d)  < -1
Séquence sinusoïdale
Une autre séquence exponentielle complexe importante est obtenue en posant dans (2)  égal
à un imaginaire pur (   1 ) :
x(n)=ej0n
Ce signal est étroitement relié au signal sinusoïdal x(n)=Acos(0n+)
En effet, on a :
A cos(0n   ) 
A j j0 n A  j  j0n
e e
 e e
2
2
Séquences exponentielles complexes générales
x(n)=cn
Si on pose c  c e jθ et    e jω0 , il vient :
n
c n  c  cos(0n   )  j c  sin(0n   )
 Pour   1 , les parties réelle et imaginaire du signal exponentielle complexe sont
sinusoïdales.
 Pour   1 , elles correspondent à des sinusoïdes multipliées par une exponentielle
décroissante.
 Pour   1 , elles correspondent à des sinusoïdes multipliées par une exponentielle
croissante.
14
n
Séquence sinusoïdale décroissante (amortie)
n
Séquence sinusoïdale croissante
1.8. Propriété de la périodicité des exponentielles complexes discrètes
 Dans le cas continu, ej0t possède les propriétés suivantes :
(i)
(ii)
Plus la valeur de 0 est grande et plus le taux d’oscillation du signal augmente.
ej0t est périodique pour n’importe quelle valeur de 0.
 En discret :
ej(0+2)n = ej0nej2n=ej0n
L’exponentielle de fréquence 0 est la même que celle de fréquence 0 + 2
Les signaux de fréquence 0, 0  2, 0  4, … sont identiques.
En discret, il suffit de considérer un intervalle de fréquence de longueur 2 (généralement, on
considère 0  0  2 ou -  0  ).
Si on augmente 0 à partir de 0, on obtient des signaux qui oscillent de plus en plus
rapidement jusqu’à la fréquence 0 = . Si on augmente davantage 0, on diminue le taux
d’oscillation jusqu’à ce qu’on atteint 0 = 2 qui donne le même signal constant que 0 = 0.
Donc, les exponentielles à temps discret basses fréquences (lentement variables) ont les
valeurs de 0 autour de 0, 2 et tout autre multiple pair de  alors que les hautes fréquences
(variations rapides sont localisées autour de , 3 et les autres multiples impairs de .
 n  1n
e jn  e j
Ce signal oscille rapidement en changent de signe à chaque échantillon.
15
x(n)=cos(0.n)=1
x(n)=cos(n/4)
n
n
x(n)=cos(n/2)
x(n)=cos(n)
n
n
x(n)=cos(7n/4)
x(n)=cos(3n)
n
n
 La seconde propriété concerne la périodicité. Pour que ej0n soit périodique de période N>0,
on doit avoir ej0(n+N) = ej0n
Soit ej0N=1  0N = 2.m
ou
0 m

2 N
ej0n est périodique si
0
est un nombre rationnel, sinon, il n’est pas périodique.
2
Ces observations sont aussi valables pour les séquences sinusoïdales.
Exemple
x(t )  cos
2t
: périodique de période 12
12
x(n)  cos
2n
: périodique de période 12
12
x(t )  cos
8t
: périodique de période 31/4
31
16
x(n)  cos
8n
: périodique de période 31
31
x(n)  cos
n
: non périodique
5
1.9. Séquences impulsion unité et échelon unité
La séquence impulsion unité est définie par :
1
1 n  0
 ( n)  
0 n  0
0
La séquence échelon unité est définie par
n
1
1 n  0
u ( n)  
0 n  0
….
n
0
Il existe une relation étroite entre la séquence impulsion unité et la séquence échelon unité :
(n)=u(n) – u(n – 1)
n
De même u (n) 
  ( m)
m  
Intervalle
de
sommation

(m)
Intervalle
de
sommation

n
0
(m)
m
0
La somme dans l’équation est nulle pour n<0 et égale à 1 pour n  0.
En changeant la variable de sommation de m à k=n - m, on obtient :
u ( n) 
0
  (n  k )
k 
Soit encore
17
n
m
u ( n) 

  (n  k )
k 0
On a x(n)(n)=x(0)(n)
De manière générale, on a :
x(n)(n – n0)=x(n0)(n – n0)
x ( n) 

 x(k ) (n  k )
k  
2. Systèmes discrets
Un système discret peut être modélisé par un opérateur T[.] qui agit sur une séquence d’entrée
x(n) et délivre à sa sortie une séquence y(n).
x(n)
y(n)=T[x(n)
]
T[]
2.1. Linéarité
Si T[x1(n)]=y1(n) et T[x2(n)]=y2(n) alors T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1y1(n)+a2y2(n)
2.2. Réponse impulsionnelle
hk (n)  T  (n  k )


 

y (n)  T x(n)  T 
x(k ) (n  k ) 
x(k )T  (n  k ) 
x(k)hk (n)
k  
 k  
k  



2.3. Invariance avec le temps
y(n)  T x(n)
y(n  k )  T x(n  k )
T  (n  k )  h(n  k )  hk (n)
y ( n) 

 x(k )h(n  k )  x(n) * h(n)  convolution discrète de x(n) et h(n)
k  
Exemple
h(n)  a nu(n), 0  a  1
18

a n


0
n0
n0
y(n)=x(n)*h(n)
x(n)
h(n)
x(n)=u(n) - u(n - N) : impulsion rectangulaire
x(k)
1
1
0
h(k)
1
0
k
1
h(n –k)
0
1
1
n
 n<0 y(n)=0
0n<N
y ( n) 
n

a nk  a n
k 0
nN
y ( n) 
N 1

k 0
k
N-1
a nk  a n
1  a (n 1)
1  a 1
1  a N
1  a 1
19
k
y(n)
0
N-1
n
2.4. Stabilité et causalité
Stabilité : Le système est dit stable si à une entrée bornée, il fait correspondre une sortie
bornée.

Le système est stable si
 h( k )  
k  
Preuve
x(n) borné  x(n)  M



k  
k  
k  
y ( n) 

n
 x ( k ) h( n  k )   x ( k ) h( n  k )  M  h( n  k )  

 h( n  k )  
k  
Causalité : Un système est causal si sa sortie dépend de l’instant présent est des instants
passés mais pas des instants futurs :
y(n0 )  T x(n); n  n0 
Le système est causal si h(n)=0 pour n<0
Séquence causale
x(n) = 0 pour n<0
Exemple
h(n)=anu(n)
 h(n)=0 pour n<0  Le système est causal



h( n) 
n  

 a n  1  a si a  1
1
n 0
20
2.5. Systèmes avec et sans mémoire
Un système est dit sans mémoire ou statique si pour chaque valeur de la variable
indépendante, la sortie à un instant donné dépend uniquement de l’entrée au même instant.
Exemple : y(n)=x(n) - x2(n) ce système est sans mémoire
2.6. Système inverse
Un système est dit inversible si différentes entrées conduisent à différentes sorties. Si le
système est inversible alors il existe un système inverse qui lorsqu’on le met en cascade avec
le système original fournit une sortie w(n) égale à l’entrée x(n) du premier système.
x(n)
w(n)
Système
Système
inverse
w(n)=x(n)
3. Equation de récurrence
Une classe importe des systèmes est celle caractérisée par une équation de récurrence
(équation aux différences) à coefficients constants :
N
M
k 0
k 0
 ak y(n  k )   bk x(n  k )
Système causal
N
M


ak
bk
y ( n)  
y (n  k ) 
x(n  k )
a
a
0
0
k 1
k 0
y(n)
x(n)
Exemple :
y(n)  ay(n  1)  x(n)
Déterminons la réponse impulsionnelle h(n) de ce système causal
x(n)=(n)
h(n)=0 si n<0
21
h(0)=ah(-1)+x(0)=1
h(1)=ah(0)+x(1)=a
h(2)=ah(1)+x(2)=a2

h(n)=an
 Systèmes RII et RIF
Si h(n) est de durée finie, le système est dit à réponse impulsionnelle finie (RIF)
Si h(n) est de durée infinie, le système est dit à réponse impulsionnelle infinie (RII)
N : ordre du système
 Si N=0
M

1
y ( n) 
bk x(n  k ) : Système non récursif (RIF)
a0 k 0
 bk

h(k )   a0

 0
k  0, 1,, M
ailleurs
 Si N0 le système est récursif (RII)
22