Électromagnétisme et Applications: Notes de cours L1 GI

Université Loyola du Congo
Faculté d’ingénierie ULC-Icam
Licence en Maintenance industrielle et Génie industrielle
B.P. 3724 Kinshasa I
ÉLECTROMAGNÉTISME
ET APPLICATIONS
Notes de cours destinées aux étudiants en L1 GI.
KIKUNGA KASENDA Ivan
Année académique : 2025 - 2026
1
ÉLECTROMAGNÉTISME ET
APPLICATIONS
KIKUNGA KASENDA Ivan
Notes de cours destinées aux étudiants en L1 GI.
Licence 1 GI 2025-2026 - Électromagnétisme et Applications - Kikunga Kasenda Ivan
Table des matières
Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Liste des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction générale
2
5
8
9
1 Rappels d’Électrostatique
11
1.1 Interaction électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Lois sur la charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Distribution des charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Vecteur champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Vecteur champ électrique créé par une charge ponctuelle . . . . . . 14
1.4 Vecteur densité de flux électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Flux électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Travail effectué pour déplacer une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Potentiel électrostatique et Différence de potentiel électrostatique (ddp) . . 18
1.8.1 Indépendance du chemin suivi et potentiel électrique . . . . . . . . 18
1.8.2 Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle . . . . . . . 19
1.8.3 Potentiel électrostatique créé par une distribution de charges . . . . 19
1.9 Énergie potentielle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.1 Énergie potentielle électrostatique d’une charge ponctuelle dans un
champ électrique extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.2 Énergie potentielle électrostatique d’un système de charges ponctuelles 20
1.10 Équation de Poisson et Équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Les condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11.1 Capacité d’un conducteur en équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11.2 Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Conditions aux limites à la surface de séparation de deux diélectriques . . . 23
2 Le régime variable en courant continu
2.1 Régime continu et régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vecteur densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L’équation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Circuits RC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Charge d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
28
28
29
30
30
30
TABLE DES MATIÈRES
2.4.2
2.4.3
2.5
2.6
2.7
Décharge d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement des circuits RC série dans les conditions temporelles
asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Applications du circuit RC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuits RL série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Établissement du courant dans la bobine . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Baisse du courant dans un circuit RL série . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Comportement des circuits RL série dans les conditions temporelles
asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuits LC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Décharge du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Charge du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuits RLC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
32
34
35
36
36
37
38
38
38
39
40
3 Notions sur la magnétostatique
44
3.1 Généralités sur le magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Sortes d’aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 Propriétés des aimants artificiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4 Origine du magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Lignes de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 Vecteur excitation magnétique ou vecteur champ magnétique . . . . 48
3.2.4 Vecteur induction magnétique ou vecteur densité de flux magnétique 48
3.3 Flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 Loi de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3 Potentiel scalaire et potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Interactions magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Vecteur Moment magnétique d’un matériau . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.2 Milieux aimantés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Champs magnétiques produits par des courants électriques . . . . . . . . . 52
3.5.1 Expérience d’Œrsted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Conditions aux limites à la surface d’une nappe sans courant . . . . . . . . 56
4 Interactions électromagnétiques
4.1 Interaction des particules chargées avec un champ magnétique . . . . . . .
4.1.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Dynamique d’une particule chargée dans un champ magnétique . .
4.2 Interaction entre un courant électrique et un champ magnétique . . . . . .
4.2.1 La force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Force d’interaction entre deux courants rectilignes : Force d’Ampère
4.2.3 Action d’un champ magnétique horizontal sur un cadre rectiligne .
4.3 Travail des forces électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 L’effet Hall "classique" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
59
60
63
63
64
65
65
66
Licence 1 GI 2025-2026 - Électromagnétisme et Applications - Kikunga Kasenda Ivan
TABLE DES MATIÈRES
4
5 Induction électromagnétique
5.1 Le courant induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Condition de génération d’un courant induit . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Cause du courant induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Sens du courant induit : Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Phénomène d’auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Coefficient de Self induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
72
72
72
72
73
73
73
73
6 Ondes électromagnétiques
6.1 Équations de l’onde électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Solution de l’équation de l’équation de l’onde électromagnétique . . . . . .
6.3 Structure de l’onde électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Le spectre électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Les ondes radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Les micro-ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Les infrarouges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 La lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Les ultraviolets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Les rayons-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.7 Les rayons-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Origines des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Charge libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Dipôle oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Aspect énergétique des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Polarisation des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Polarisation elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
80
80
81
82
82
83
83
83
84
84
84
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84
85
87
88
88
89
Bibliographie
91
Licence 1 GI 2025-2026 - Électromagnétisme et Applications - Kikunga Kasenda Ivan
Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Interactions électrostatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lignes de champ électrique créées par des charges ponctuelles. . . . . . . . . . . . .
Interprétation de l’interaction électrostatique à partir des lignes de champ électrique. .
Champ électrique uniforme et ses lignes de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charge ponctuelle dans un champ électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Mathématicien, astronome, physicien et homme
politique français. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Ensemble de deux conducteurs constituant un condensateur et sa représentation schématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Illustration de l’exercice 1.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Illustration de l’exercice 1.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Illustration de l’exercice 1.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Illustration de l’exercice 1.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Illustration de l’exercice 1.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Illustration de l’exercice 1.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
11
14
14
15
17
21
22
24
25
25
26
26
27
Représentation d’une intensité continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Représentation d’une intensité variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Intensité du courant électrique et vecteur densité de courant électrique. . . . . . . . .
29
Circuit RC série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Évolution de la charge q(t) et de l’intensité i(t) lors de la charge d’un condensateur dans
un circuit RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.6 Évolution des ddp vR (t) et vC (t) lors de la charge d’un condensateur dans un circuit RC. 31
2.7 Illustration de l’exercice 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8 Évolution des ddp q(t) et i(t) lors de la décharge d’un condensateur dans un circuit RC. 33
2.9 Évolution des ddp vR (t) et vC (t) lors de la décharge d’un condensateur dans un circuit RC. 33
2.10 Illustration de l’exercice 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.11 Illustration de l’exercice 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.12 Cœur et pacemaker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.13 Pacemaker ≡ Circuit RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.14 Circuit RL série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.15 Évolution de l’intensité i(t) lors de l’établissement d’une ddp continue aux bornes d’une
bobine dans un circuit RL série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.16 Illustration de l’exercice 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.17 Circuit LC série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.18 Comportement des tensions uC et uL dans un circuit LC série [10]. . . . . . . . . . 39
2.19 Évolution de la charge d’un condensateur dans un circuit RLC série. . . . . . . . . . 40
2.20 Illustration de l’exercice 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5
TABLE DES FIGURES
2.21 Illustration de l’exercice 2.12.
2.22 Illustration de l’exercice 2.13.
2.23 Illustration de l’exercice 2.14.
2.24 Illustration de l’exercice 2.15.
2.25 Illustration de l’exercice 2.16.
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
42
42
43
43
Pôles d’un aimant : Interactions magnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’expérience de l’aimant brisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre magnétique d’un aimant droit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lignes de champ magnétique d’un aimant droit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ magnétique uniforme d’un aimant en U. Pour produire un champ magnétique
uniforme, on peut utiliser un aimant en forme de "C" ou de "U". . . . . . . . . . . .
3.6 Nikola Tesla (1856-1943). Physicien, inventeur et ingénieur américain d’origine serbe. .
3.7 Hans Christian Œrsted (1777-1851). Physicien et chimiste danois. . . . . . . . . . . .
3.8 Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Champ magnétique créé par une bobine plate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Champ magnétique créé par un solénoïde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Schéma en coupe d’un haut-parleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Illustration de l’exercice 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Illustration de l’exercice 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Illustration de l’exercice 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Illustration de l’exercice 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
46
47
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
47
48
52
53
54
55
55
57
57
57
58
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928). Physicien néerlandais. . . . . . . . . . . . . .
59
Principe de fonctionnement du spectrographe de masse. . . . . . . . . . . . . . . .
60
Principe de fonctionnement de l’accélérateur circulaire des particules (Le cyclotron). . .
61
Déviation du vent solaire par le champ magnétique terrestre. . . . . . . . . . . . . .
61
Aurore boréale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Déviation d’un flux de particules chargées dans un tube cathodique d’un écran de télévision. 62
Quelques illustration de l’interaction entre particules chargées et champ magnétique externe. 62
Trajectoire d’une particule chargée à vitesse initiale non perpendiculaire à un champ
magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.9 Ceintures de van Allen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10 Illustration de la force de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.11 Illustration du moteur linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.12 Illustration de la force d’Ampère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.13 Illustration de l’action d’un champ magnétique horizontal sur un cadre rectiligne. . . . 65
4.14 Illustration du travail des forces électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.15 Edwin Herbert Hall (1855-1938). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.16 Illustration de l’effet Hall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.17 Illustration de l’exercice 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.18 Illustration de l’exercice 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.19 Illustration de l’exercice 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.20 Illustration de l’exercice 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1
5.2
5.3
5.4
Michael Faraday (1791 - 1867). Physicien et chimiste britannique. . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
75
75
76
Licence 1 GI 2025-2026 - Électromagnétisme et Applications - Kikunga Kasenda Ivan
TABLE DES FIGURES
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
7
Illustration de l’exercice 5.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de l’exercice 5.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
77
77
77
78
6.1 Propagation de l’onde électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Le spectre électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Génération d’ondes Radio par une antenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Isaac Newton (1738-1822). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Max Planck, en 1933 (1858-1947). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Albert Einstein (1879-1955). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Louis de Broglie (1892-1987). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Raies spectrales d’émission du césium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Niveaux d’énergie d’un atome et schématisation du spectre d’émission et d’absorption. .
6.10 État de polarisation rectiligne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
82
82
83
85
85
85
86
87
89
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Liste des tableaux
1.1
Groupements des condensateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
6.1
6.2
Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le spectre de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
83
8
Introduction générale
L’électromagnétisme est la branche de la physique qui étudie les interactions entre
particules chargées électriquement et plus généralement les effets de l’électricité, en utilisant la notion de champ électromagnétique.
L’électricité est une partie de la Physique qui étudie les phénomènes liés aux charges
électriques. Elle comprend trois parties :
• L’électrostatique : Étude des phénomènes liés aux charges électriques en équilibre.
Ces phénomènes électrostatiques constituent l’interaction électrostatique.
• L’électrocinétique : Étude des phénomènes liés aux charges électriques en mouvement (Courant électrique).
• L’électromagnétisme : Étude des interactions électromagnétiques (Interactions
entre les champs électrique et magnétique).
Remarque 0.1 Il faut distinguer l’électrocinétique de l’électrodynamique qui consiste
en l’étude entre les particules chargées et les champs électrique et magnétique. En ce sens,
l’électrodynamique fait partie de l’électromagnétisme.
Le cours d’Électromagnétisme et application, destiné aux étudiants en première licence
de Maintenance industrielle, fait suite à celui d’Électricité et Magnétisme enseigné en classe
préparatoire LPXP. La distinction se fait au niveau de l’approche qui sera plus formelle et
basée sur des applications.
L’apprenant est appelé à une certaine maîtrise du formalisme mathématique (Calcul
vectoriel, systèmes de coordonnées, Analyse vectorielle, Calcul différentiel et
intégral, Équations différentielles,...) ainsi que ceux du cours d’Électricité et Magnétisme.
A l’issu de ce cours, l’étudiant devra être à mesure de :
- Comprendre le vocabulaire et les thèmes associés à l’électromagnétisme citées ciavant ;
- Déterminer le champ électrique associé à une distribution de charges ;
- Calculer le potentiel électrique associé à une distribution de charges ;
- Utiliser le théorème de Gauss ;
- Résoudre l’équation de Laplace en tout système de coordonnées ;
9
LISTE DES TABLEAUX
10
- Calculer l’énergie électrostatique associé à une distribution de charges ;
- Calculer le vecteur champ magnétique d’une distribution de courant en utilisant la
loi de Biot et Savart ;
- S’imprégner des phénomènes liés aux courants variables ;
- Étudier la dynamique des particules chargées dans les champs électriques et magnétiques ;
- Étudier les interactions électromagnétiques ;
- S’imprégner du phénomènes d’induction électromagnétique ;
- Interpréter les équations de Maxwell ;
- Étudier les ondes électromagnétiques.
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Chapitre 1
Rappels d’Électrostatique
1.1
Interaction électrostatique
1.1.1
Charge électrique
La charge électrique est la propriété d’un
corps d’exercer une interaction électrique (Électrostatique). On la note par la lettre q ou encore
Q.
Dans le SI, son unité est le coulomb (C). Dans
le CGS, c’est le franklin (Fr) (aussi appelé
statcoulomb (statC)) ou encore unité de
charge électrostatique (esu).
1F r = 1statC ≃ 3, 34 × 10−10 C.
Figure 1.1 – Interactions électrostatiques.
Principe des interactions électrostatiques
"Deux charges de même nom se repoussent tandis que deux charges de noms contraires
s’attirent."
Remarque 1.1
• L’origine des deux types d’électricité s’interprète aisément grâce à
la structure atomique de la matière. Les corps chargés positivement ont un excès
de protons (manque d’électrons) tandis que ceux chargés négativement ont un excès
d’électrons (manque de protons).
• La plus petite charge électrique isolable (en valeur absolue) est celle de l’électron
(charge élémentaire).
qe = e = −1, 602 × 10−19 C.
• Dans son état naturel, l’atome est électriquement neutre.
11
12
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.1.2
Lois sur la charge électrique
1. Conservation de la charge électrique
"Dans un système isolé, la charge électrique se conserve."
2. Quantification de la charge électrique
"La charge électrique se présente toujours comme multiple de le charge élémentaire
(Quantum de charge)."
1.1.3
Distribution des charges électriques
On distingue deux types de distribution de charges électriques :
1. Distribution ponctuelle ou discrète de charges : la charge électrique est localisée
en un point.
2. Distribution continue de charges : la charge électrique est repartie dans une
région de l’espace.
Parmi les distributions continues, on distingue :
a Distribution linéïque ou linéaire : la charge électrique est repartie le long
d’une courbe (C).
Z
dq
λ dl.
=⇒ q =
λ=
dl
(C)
(1.1)
où λ est la densité linéaire de charge (en C/m). Si λ = cste, on dit que la courbe
(C) est uniformément chargée.
b Distribution surfacique ou superficielle : la charge électrique est repartie
sur une surface (S).
σ=
x
dq
=⇒ q =
σ dS.
dS
(1.2)
(S)
où σ est la densité surfacique de charge (en C/m2 ). Si σ = cste, on dit que la
surface (S) est uniformément chargée.
c Distribution volumique ou cubique : charge électrique est repartie dans un
volume (V ).
y
dq
ρ=
=⇒ q =
ρ dV.
dV
(1.3)
(V )
où ρ est la densité volumique de charge (en C/m3 ). Si ρ = cste, on dit que la
courbe (V ) est uniformément chargée.
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.2
13
Loi de Coulomb
"La force d’interaction électrostatique (attraction et répulsion) entre deux charges électriques au repos, par rapport à un référentiel (R), est directement proportionnelle au produit des charges électriques et inversement proportionnelle au carré de la distance les
séparant."
→
−
1 q 1 q2 →
−
e r12 .
F 12 =
2
4πε r12
(1.4)
Unité : Dans le SI, l’unité de la force est le newton (N). Dans la relation (1.4) :
→
−
• F 12 est le vecteur force (Force de Coulomb) traduisant l’action de la charge q1 sur
q2 ;
• Le paramètre ε est la permittivité du milieu. Elle est donnée par :
ε = ε0 εr .
* ε0 est la permittivité absolue (ou la constante diélectrique du vide) et
vaut
ε0 = 8, 85 × 10−12 USI.
* εr est la permittivité relative du milieu (ou la constante diélectrique du
milieu). Pour l’air ou le vide, elle vaut εr = 1.
Remarque 1.2 Dans le relation 1.4, dans le membre de droite, le pré-facteur est tel que
k
9 × 109
1
≡ .
=
4πε
εr
εr
Exercice 1.1 On considère une sphère de centre O et de rayon R portant en sa surface
\
une densité de charges σ = σ0 (1 + cos θ), où θ = (Oz,
OP ). Calculer la charge totale portée
par la distribution.
Exercice 1.2 Calculer le rapport entre la force de répulsion électrique et la force de gravitation attractive entre deux particules α. On rappelle que la particule α a la structure du
noyau de l’atome de Hélium.
Exercice 1.3 Aux deux extrémités d’un fil de longueur l = 2m, sont attachés deux ballons
sphériques gonflés avec de l’hélium (l’hélium étant plus léger que l’air), et portent la même
charge +q. On suspend au milieu du fil une masse m = 5g. Le système abandonné à lui
même dans l’atmosphère occupe alors une position d’équilibre stable dans un même plan
π
vertical, telle que chaque moitié du fil fait un angle α =
rad avec l’horizontale. En
4
négligeant les masses du fil et des ballons, calculer la valeur de la charge q sur les ballons.
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.3
Champ électrique
1.3.1
Vecteur champ électrique
14
→
−
Le champ électrique E créé par une charge source q est une région de l’espace dans
→
−
laquelle une charge-test qtest subit une force électrique F . On écrit :
→
−
→
−
F = qtest E .
(1.5)
Unité : Dans le SI, l’unité du champ électrique est le newton par coulomb(N/C).
1.3.2
Vecteur champ électrique créé par une charge ponctuelle
Dans le cas d’une charge électrique ponctuelle, le vecteur champ électrique créé par une
charge source q est donné par :
→
−
1 q→
−
E =
(1.6)
e r.
2
4πε r
a. Ligne de champ électrique
Les lignes de champ électrique permettent de matérialiser la direction et l’intensité du
vecteur champ électrique. Elles peuvent se matérialiser grâce aux poils de brosse ou des
cheveux fins,...
Les lignes de champ électriques créées par une charge ponctuelle sont radiales.
Figure 1.2 – Lignes de champ électrique créées par des charges ponctuelles.
Les lignes de champ électriques permettent d’obtenir une interprétation
supplémentaire de l’interaction électrostatique.
Ceci permet une autre interprétation de l’action à distance des charges ponctuelles : les
lignes de champ électrique ont toujours leur origine sur une charge positive et se terminent
sur une charge négative.
Figure 1.3 – Interprétation de l’interaction électrostatique à partir des lignes de champ électrique.
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15
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
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b. Champ électrique uniforme
Un champ électrique est dit uniforme, si en
tout point le vecteur champ électrique a la même
direction, le même sens et la même intensité.
En ce moment, ses lignes de champ sont parallèles. Pour créer un tel champ, on dispose deux
plateaux plans, conducteurs, parallèles situées à
une distance petite par rapport à leurs dimensions. L’un des plateaux est relié au pôle positif
d’une machine électrique et l’autre au pôle négatif.
Figure 1.4 – Champ électrique uniforme et
ses lignes de champ.
c. Interaction des particules chargées avec un champ électrique uniforme
Lorsqu’on plonge une particule de charge électrique q dans un champ électrique uniforme
→
−
−
E , elle subit une accélération →
a donnée par :
−
q →
→
−
E.
a =
m
(1.7)
Exercice 1.4 Une minuscule goutte d’huile électrisée est pulvérisée entre deux armatures
→
−
métalliques entre lesquelles règne un champ électrique uniforme E . En utilisant une modélisation simple des forces agissant sur la goutte :
a Écrire l’équation différentielle du mouvement de la goutte.
b En supposant la vitesse initiale nulle, écrire l’expression de la vitesse de la goutte.
→
−
c En déduire la vitesse limite de la goutte en fonction de l’intensité du champ E .
d La viscosité de l’air étant η = 1, 8 × 10−5 Pa.s et le rayon de la goutte r = 2µm,
l’expérience donne pour un champ nul une vitesse limite v = 0, 392mm.s−1 et pour
un champ E = 28kV.m−1 , une vitesse v = 0, 458mm.s−1 . Calculer la charge de la
goutte.
Exercice 1.5 Une particule chargée, de masse m et de charge q, est placée dans un champ
→
−
→
−
électrique uniforme E = E i . Au temps t = 0, la particule est lancée avec une vitesse
→
−
−
initiale →
v 0 = v0 i . Trouver le vecteur vitesse ainsi que le vecteur position au temps t > 0.
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16
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
d. Vecteur champ électrique créé par une distribution de charge
On considère le cas où la charge électrique est repartie sur, un ligne, une surface ou un
volume, en général, dans un domaine (D). Pour calculer le vecteur champ électrique créé
par cette distribution, on commence d’abord par calculer le champ électrique élémentaire
→
−
d E créé par une charge électrique élémentaire dq ; puis on intègre sur le domaine.

λ dl →

−


er

2


r





 σ dS
→
−
1
dE =
4πε 


r2
≡ Distribution linéaire;
→
−
e r ≡ Distribution surfacique;
(1.8)






ρ dV →

−


er
≡ Distribution volumique.
r2
Exercice 1.6 Trouver les expressions des vecteurs champs électriques créés par les distributions de charges suivantes :
a Ligne infinie de charges ;
b Plan infini de charges ;
c Disque de rayon R (On calculera le vecteur champ en un point situé sur l’axe perpendiculaire au disque et passant par son centre).
1.4
Vecteur densité de flux électrique
Le vecteur densité de flux électrique (aussi appelé vecteur induction électrique
→
−
ou encore vecteur déplacement électrique), noté D , est défini par :
→
−
→
−
D = ε E.
(1.9)
Ce vecteur décrit l’interaction électrostatique dans le vide.
Unité : Dans le SI, l’unité de l’induction électrique est le coulomb par mètre carré
(C/m2 ).
1.5
Flux électrique
→
−
Le flux électrique (électrostatique) élémentaire dψ du champ électrique E à travers
une surface élémentaire dS est défini par :
Z Z
→
→
− −
dψ = D · dS =⇒ ψ =
(1.10)
→
−
→−
(S) D ·dS
−
→ −
−
avec dS = →
n dS est le vecteur surface élémentaire de vecteur normal →
n.
Unité : Dans le SI, l’unité du flux électrique est le Coulomb (C).
Le flux électrique est proportionnel au nombre de lignes de champ qui traversent la
surface.
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.6
17
Théorème de Gauss
Théorème 1.1 Théorème de Gauss-Forme microscopique
"La divergence du vecteur induction électrique est égale à la densité des charges électriques."
→
−
→
−
ρ
div D = ρ ⇐⇒ div E = .
(1.11)
ε
Théorème 1.2 Théorème de Gauss-Forme macroscopique
→
−
"Le flux total du vecteur induction D sortant d’une surface fermée (S) est égal à la
charge totale contenue à l’intérieur de cette surface."
{→
{→
→
→ qint
− −
− −
D · dS = qint ⇐⇒
.
E · dS =
(1.12)
ε
Exercice 1.7 Utiliser le théorème de Gauss pour trouver les expressions des champs électriques dans les cas suivants :
a Ligne infinie de charge dotée d’une densité linéaire de densité homogène λ ;
b Plan infini de charge dotée d’une densité surfacique de densité homogène σ ;
c Sphère de rayon R dotée d’une densité surfacique homogène σ ;
d Sphère de rayon R dotée d’une densité volumique homogène ρ.
1.7
Travail effectué pour déplacer une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle q est placée dans un
→
−
champ électrique E . Elle y subit une force élec→
−
→
−
trique F = q E . Appliquée seule, elle causerait
une accélération de la charge ponctuelle. Pour
éviter cela, il faut appliquer à la charge ponc→
−
→
−
tuelle une force F i = −q E , pour empêcher tout
mouvement. Supposons que la charge électrique
→
−
subisse un déplacement élémentaire dl . On défi→
−
nit le travail élémentaire de la force F i par :
−
−
→
− →
→
− →
dW = F i · dl ⇐⇒ dW = −q E · dl .
(1.13)
Figure 1.5 – Charge ponctuelle dans un
champ électrique.
• Si W > 0 ; le travail doit être fourni par l’agent extérieur pour déplacer la charge
électrique ;
• Si W < 0 ; le travail est accompli par le champ électrique.
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
18
Remarque 1.3 En tenant compte du concept de travail des forces électrostatiques, le
champ électrique revêt une nouvelle unité ; le volt par mètre (V/m).
1N/C = 1V /m.
1.8
Potentiel électrostatique et Différence de potentiel électrostatique (ddp)
1.8.1
Indépendance du chemin suivi et potentiel électrique
Théorème 1.3 Rotationnel du champ électrique stationnaire
"En régime stationnaire, le Rotationnel du champ électrique et nul."
−
−
→→
→
−
rot E = 0 .
(1.14)
Comme conséquence directe du théorème 1.3, il découle le corollaire suivant :
→
−
Corollaire 1.1 "En régime stationnaire, le vecteur champ électrique E dérive d’un champ
scalaire V appelé potentiel électrique tel que :"
−−→
→
−
E = −grad V.
(1.15)
Corollaire 1.2 Indépendance du chemin suivi
"Le travail accomplit pour déplacer une charge électrique ponctuelle d’un point A à un
point B ne dépend pas du chemin suivi mais il dépend des valeurs extrêmes du potentiel."
Z A
−
→
− →
WAB
E · dl .
=−
VAB =
q
B
(1.16)
Le scalaire VAB = VA − VB est appelé différence de potentiel (ddp en sigle).
Ainsi, on définit le potentiel d’un point A à un point B est défini comme le travail
qu’il faut fournir pour déplacer une charge électrique positive unité q, de B jusqu’en A.
Corollaire 1.3 Travail des forces électrostatiques
Le travail des forces électrostatiques peut s’écrire :
W = q (VA − VB ) .
(1.17)
Le potentiel V en un point donné est la différence de potentiel par rapport à un point
de référence. Ce point de référence étant pris à l’infini.
VA = VA∞ = VA − V∞ =⇒ V∞ = 0.
Corollaire 1.4 "Le travail des forces électrostatiques le long d’un chemin fermé est nul."
I
−
→
− →
E · dl = 0.
(1.18)
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19
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.8.2
Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle
Le potentiel crée par une charge source q en un point situé à une distance r est donné
par :
1 q
V =
.
(1.19)
4πε r
Dans le cas où il s’agit de N charges électriques ponctuelles q1 , q2 , . . . , qN ;
N
1 X
qi
V =
.
4πε i=1 ri
1.8.3
(1.20)
Potentiel électrostatique créé par une distribution de
charges
Dans le cas d’une distribution linéaire, surfacique ou un volumique, dans un domaine
(D), pour calculer le potentiel créé par cette distribution, on commence d’abord par calculer
le potentiel électrique élémentaire dV créé par une charge électrique élémentaire dq ; puis
on intègre sur le domaine.
dV =

λ dl






r





 σ dS
1
4πε 


r






ρ dV



r
≡ Distribution linéaire;
≡ Distribution surfacique;
(1.21)
≡ Distribution volumique.
Exercice 1.8 Déterminer les potentiels des distributions de charges suivantes :
a Une boucle circulaire, de rayon R, de charge linéaire λ ;
b Un disque circulaire, de rayon R, de charge surfacique σ ;
c Un segment, de longueur L, de charge linéaire λ.
1.9
Énergie potentielle électrostatique
1.9.1
Énergie potentielle électrostatique d’une charge ponctuelle
dans un champ électrique extérieur
Considérons une charge électrique ponctuelle q placée dans une région où règne un
→
−
champ électrique E , le travail élémentaire de la force électrique est :
−
→
− →
dW = −q E · dl = −q dV.
En vertu du théorème de l’énergie potentielle, on constate qu’il existe une énergie potentielle électrostatique U donnée par :
U = qV.
(1.22)
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20
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.9.2
Énergie potentielle électrostatique d’un système de charges
ponctuelles
Considérons une région (R) vide de charges électriques.
• On y apporte une première charge q1 . Cette opération ne fournit aucun travail.
W1 = 0.
• On y apporte une deuxième charge q2 . La charge q2 subit l’influence de la charge q1 .
En ce moment, le travail est :
W2 = q2 V21 =
1 q2 q1
.
4πε r21
• Pour une charge q3 ;
q3 q 1 q3 q 2
1
W3 = q3 V31 + q3 V32 =
+
.
4πε r31
r32
• ...
• Et inversement.
En sommant, on a :
U=
1 X X 1 qi qj
1X
qi Vi .
≡
2 i j̸=i 4πε rij
2 i
(1.23)
Pour une distribution de charges, on a :
dU =












1
λ V dl ≡ Distribution linéaire;
2
1
2
1.10
σ V dS ≡ Distribution surfacique;

2









 1 ρ V dv
(1.24)
≡ Distribution volumique.
Équation de Poisson et Équation de Laplace
Ce sont des variantes du théorème de Gauss ;
Théorème 1.4 Équation de Poisson
On montre que :
∇2 V =
−ρ
.
ε
(1.25)
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
21
Dans un milieu sans distribution de charges, l’équation de Poisson devient l’équation de Laplace.
Théorème 1.5 Équation de Laplace
Dans un milieu sans distribution de charges, on montre
que :
(1.26)
∇2 V = 0.
Figure 1.6 – Pierre-Simon de
Laplace (1749-1827). Mathématicien,
astronome, physicien et homme politique français.
Exercice 1.9 Soit deux conducteurs plans parallèles, le premier plan est le plan z = 0
et le second en z = d > 0. La région entre ces deux plans est dépourvue de charges. En
négligent les effets de bord, trouver la fonction potentiel électrique V (z).
Exercice 1.10 Solution de l’équation de Laplace à deux dimensions - Méthode
de Fourier
Soit une plaque placée dans le plan horizontal xOy. en utilisant la méthode de Fourier encore appelée méthode des séparation des variables, montrer que le potentiel
électrique de la plaque est donnée par :
V (x, y) = (A cosh kx + B sinh kx) (C cos ky + D sin ky)
(1.27)
avec k, une constante réelle.
1.11
Les condensateurs
1.11.1
Capacité d’un conducteur en équilibre
La capacité d’un conducteur est le quotient de sa charge par la différence de potentiel
à ses bornes.
q
(1.28)
C= .
V
Unité : Dans le SI, l’unité de la capacité électrique est le farad (F). Le farad est
une unité trop grande alors on utilise ses sous-multiples : le millifarad, le microfarad, le
nanofarad, . . .
Étant donné qu’à tout conducteur auquel on applique une ddp voit apparaître une
charge +q sur un côté et −q sur l’autre côté. Alors, tout conducteur possède une capacité.
celle-ci ne dépend que de la géométrie du système et des propriétés du (ou des) diélectrique(s) impliqué(s). En ce moment, le conducteur emmagasine une énergie donnée par la
relation :
1
1
W = q V = C V 2.
2
2
(1.29)
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22
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
1.11.2
Condensateurs
a. Définition
On appelle condensateur est tout appareil permettant d’emmagasiner des charges électriques.
Il est composé de deux conducteurs appelés armatures séparés par un diélectrique.
Dans tout condensateur, il y a toujours deux inFigure 1.7 – Ensemble de deux conducteurs dications importantes, l’une sur sa capacité et
constituant un condensateur et sa représentation schématique.
l’autre sur sa tension de charge.
b. Capacité d’un condensateur
On peut démontrer les expressions des capacités des condensateurs suivants :
1. Condensateur plan. Il s’agit d’un condensateur dont les armatures (d’aire S) sont
planes, parallèles et séparées d’une distance e.
S
C=ε .
e
2. Condensateur sphérique. Il s’agit d’un condensateur formé d’armatures sphériques, l’une interne de rayon R1 et l’autre externe de rayon R2 .
1
1
C = 4πε
−
.
R1 R2
3. Condensateur plan. Il s’agit d’un condensateur dont les armatures (d’aire S) sont
planes, parallèles et séparées d’une distance e.
C=
2πεl
.
R2
ln
R1
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23
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
c. Groupement des condensateurs
Groupement en série
Groupement en parallèle
Représentation schématique
Capacité équivalente
1
1
1
1
=
+
+ ··· +
.
Ceq
C1 C2
Cn
(1.30)
Ceq = C1 + C2 + · · · + Cn .
(1.31)
Table 1.1 – Groupements des condensateurs.
1.12
Conditions aux limites à la surface de séparation
de deux diélectriques
On considère deux milieux diélectriques (1) et (2). Dans chaque milieu, il règne un
→
−
champ électrique E i (i = 1, 2). On peut montrer que :
• la composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée de la
surface de séparation des diélectriques.
Et1 = Et2 =⇒
Dt1
Dt
= 2.
εr 1
εr 2
(1.32)
• la composante normale du vecteur induction électrique est continue à la traversée de
la surface de séparation des diélectriques.
Dn1 = Dn2 =⇒ εr1 En1 = εr2 En2 .
(1.33)
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24
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
Exercices sur le chapitre 1
→
−
Exercice 1.11 Soit A , un champ vectoriel quelconque. Montrez que
→
−
→
− −
→
−
A·∇ →
r = A
(1.34)
−
avec →
r , le vecteur position.
Exercice 1.12 On considère la distribution volumique de charges suivante :

r


 ρ0
1
ρ(r, θ, φ) =
4πε 


a0
si r ≤ a0 ;
(1.35)
0 si r ≥ a0 .
Calculer la charge totale de la distribution.
Exercice 1.13 Du point de vue du potentiel et du champ électrique qu’ils créent, les noyaux
de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution volumique de charge
−→
−
à l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a. On désigne par →
r = OP , le vecteur
position d’un point P quelconque de l’espace. Pour r < a, la charge volumique ρ(r) qui
représente le noyau varie en fonction de r suivant la loi :
ρ(r) = ρ0
r2
1− 2
a
!
(1.36)
Exprimer la charge totale q du noyau.
Exercice 1.14 Une force électrique pousse un pendule chargé vers la droite et lui donne
une inclinaison de 30◦ avec la verticale. Dans cette configuration, déterminez la charge de
la masse au bout du pendule sachant que la masse du pendule est de 2g.
Exercice 1.15 Quel est le champ électrique (grandeur et direction) entre ces deux plaques
parallèles ?
Figure 1.8 – Illustration de l’exercice 1.15.
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
25
Exercice 1.16 Quel est le champ électrique (grandeur et direction) entre la plaque n◦ 2 et
la plaque n◦ 3 ?
Figure 1.9 – Illustration de l’exercice 1.16.
→
−
−
−
Exercice 1.17 Soit la densité de flux électrique D = 2x→
e x + 3→
e y (C/m2 ). Déterminer
le flux total traversant un cube de 2m de côté et centré à l’origine. Les côtés du cube sont
parallèles aux axes de coordonnées.
Exercice 1.18 En tenant compte du poids des électrons, montrer qu’il existe une ddp entre
deux points d’altitudes différentes d’un conducteur en équilibre. Calculer cette ddp pour une
altitude de 300m.
Exercice 1.19 Expérience de Nichols
Un long cylindre conducteur creux, initialement neutre, de rayon R, tourne à la vitesse
angulaire ω autour de son axe. Montrer qu’il existe une ddp U entre l’axe du cylindre et
sa périphérie. Calculer cette ddp pour R = 20cm et N = 20000tr/min.
Exercice 1.20 Un électron se déplace vers la droite avec une vitesse initiale de 2×106 m/s.
Il entre alors dans un champ de 100N/C dirigé vers le bas fait par deux plaques chargées (On suppose que le champ est uniforme entre les plaques et qu’il commence abruptement quand l’électron arrive entre les plaques et se termine abruptement quand il sort de
plaques.).
Figure 1.10 – Illustration de l’exercice 1.20.
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CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
26
a Quelle est la vitesse de l’électron (grandeur et direction) quand il sort de l’espace
entre les plaques ?
b Quel est le déplacement vertical de l’électron à sa sortie des plaques (d sur la figure
1.10) ?
Exercice 1.21 Un objet de 100g est suspendu à un ressort qui n’est pas étiré initialement,
tel qu’illustré sur la figure 1.11. (Il n’y a pas de friction.) Quel sera l’étirement maximal
du ressort quand on laissera tomber la masse si on tient compte de la gravitation ?
Figure 1.11 – Illustration de l’exercice 1.21.
Exercice 1.22 Considérons une plaque rectangulaire de dimensions a × b, présentant la
distribution de potentiels selon la figure 1.12.
Figure 1.12 – Illustration de l’exercice 1.22.
a En résolvant l’équation de Laplace associée, montrez que l’on a :
V (x, y) = (A cosh kx + B sinh kx) (C cos ky + D sin ky)
(1.37)
avec k, une constante réelle.
b En utilisant les conditions aux limites, montrez que
nπ
k=
;
b
+∞
X
nπa
nπ
V0 =
En sinh
sin
y
b
b
n=1
(1.38)
(1.39)
avec En , une famille de constantes réelles non nulles. Interprétez ce résultat.
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27
CHAPITRE 1. RAPPELS D’ÉLECTROSTATIQUE
c En déduire que
h
i
n
2V0 1 − (−1)
.
V0 =
nπ sinh nπa
b
(1.40)
d Écrire la solution générale.
Exercice 1.23 Deux cônes co-axiaux sont respectivement portés aux potentiels V1 et V2
l’ouverture du premier cône est θ1 et le second est θ2 > θ1 . Montrer que la fonction potentiel
électrique est :
(1.41)
V (θ) = A ln cosecθ − cot θ + B
avec A, B des constantes d’intégration.
Trouver les constantes d’intégration A et B en tenant compte des conditions aux limites.
On rappelle l’expression du laplacien en coordonnées sphériques :
∂
1 ∂
∇ = 2
r2
r ∂r
∂r
2
!
∂
1
∂
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
!
+
∂2
1
.
r2 sin2 θ ∂φ2
→
−
−
−
−
Exercice 1.24 On donne le champ E 1 = 2→
e x − 3→
e y + 5→
e z (V /m) à la surface non
→
−
chargée des diélectriques. Trouver E 2 ainsi que les angles θ1 et θ2 , selon la figure 1.13.
Figure 1.13 – Illustration de l’exercice 1.24.
Exercice 1.25 Un diélectrique sépare deux régions (1) et (2). Cette surface de séparation
est le plan yOz, la première région est telle que x < 0 et la seconde est telle que x > 0. On
→
−
→
−
−
−
−
donne D 1 = 3→
e x − 4→
e y + 6→
e z (C/m2 ). Calculer le champ électrique E 2 et les angles θ1
et θ2 que les vecteurs champs forment avec l’axe des x. On donne εr1 = 3 et εr2 = 3, 4.
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Chapitre 2
Le régime variable en courant continu
2.1
Régime continu et régime variable
Il existe deux types de courants électriques (Régimes électriques) :
• Le courant continu (CC ou DC) : C’est un courant d’intensité constante I = cste
(de tension constante U = cste).
Figure 2.1 – Représentation d’une intensité continue.
En ce moment, on a :
q
I= .
t
(2.1)
• Le courant variable : C’est un courant d’intensité variable i = i(t) (de tension
variable u = u(t)).
Figure 2.2 – Représentation d’une intensité variable.
28
29
CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
En ce moment, l’intensité du courant électrique est donnée par la relation suivante :
i=
dq
.
dt
(2.2)
Dans le cas où la tension (courant) varie sinusoïdalement dans le temps, on parle de
courant alternatif (CA ou AC).
2.2
Vecteur densité de courant
Le vecteur densité de courant (de
conduction) décrit le débit de charge électrique traversant une unité de surface pendant une unité de temps. On le note par :
→
−
J.
C’est la version microscopique du déplace-
Figure 2.3 – Intensité du courant électrique
ment des charges électriques. On écrit :
et vecteur densité de courant électrique.
I=
Z Z
→
→
− −
J · dS.
(2.3)
Unité dans le SI : l’ampère par mètre carré
(A/m2 ).
Exercice 2.1 Calculer l’intensité du courant électrique dans un fil cylindrique quand la
densité de courant est :
→
−
−
J = 20 1 − e−1000r →
e z (A/m2 ).
Le rayon du fil étant de 2mm.
Remarque 2.1 Forme locale de la loi d’Ohm
→
−
→
−
Soit un conducteur, de conductivité σ 1 . On y établit une ddp V telle que E = − ∇V .
La loi d’Ohm, sous sa forme locale, s’écrit :
→
−
→
−
J = σE.
(2.4)
1. Elle s’exprime en siemens (S).
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
2.3
30
L’équation de continuité
Théorème 2.1 Équation de continuité
Lors de la circulation du courant électrique, on peut montrer que
→
−
−∂ρ
div J =
.
∂t
(2.5)
→
−
Le vecteur J est le vecteur densité de courant 2
L’équation de continuité traduit la conservation de la charge électrique et montre que
le flux du vecteur densité de courant n’est plus conservatif.
En régime stationnaire, la version macroscopique n’est que la loi des nœud ou la
première loi de Kirchhoff.
Exercice 2.2
a En utilisant la loi d’Ohm locale et l’équation de continuité, montrez
que la densité volumique des charges évolue selon la loi :
ρ(t) = ρ0 e−σ/ε t
(2.6)
ε
avec σ, la conductivité du matériaux et ε, la permittivité électrique. La quantité τ =
σ
est appelée constante de temps.
b Évaluer le pourcentage de charges restant après cinq constantes de temps dans le cas
de l’argent. On donne σ = 6, 17 × 107 S.
2.4
Circuits RC série
2.4.1
Charge d’un condensateur
Considérons le circuit constitué d’une résistance et d’un condensateur en série connectés
à une source de tension continue, de f.é.m. E, selon la figure 2.4 :
Figure 2.4 – Circuit RC série.
On cherche à déterminer le courant en fonction du temps dans ce circuit à partir du
moment où on ferme l’interrupteur, au temps t = 0. En appliquant la loi des mailles, on
peut déterminer la charge du condensateur au cours du temps.
2. Le vecteur densité de courant s’exprime en A/m2 .
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
31
Théorème 2.2 La charge instantanée du condensateur est donnée par :
q(t) = qmax 1 − e−t/τ .
(2.7)
avec qmax = CE et τ = RC est la constante de temps du circuit RC série.
Théorème 2.3 Les différences de potentiel aux bornes des deux éléments du circuit sont :
vR (t) = E e−t/τ .
vC (t) = E
(2.8)
1 − e−t/τ .
(2.9)
Théorème 2.4 L’intensité instantanée dans le circuit est donnée par :
i(t) = Imax e−t/τ
avec Imax =
(2.10)
E
.
R
Remarque 2.2
1. La constante de temps a les dimensions du temps.
2. La durée de la charge est estimée à t = 5τ .
Figure 2.5 – Évolution de la charge q(t) et de l’intensité i(t) lors de la charge d’un condensateur dans
un circuit RC.
Figure 2.6 – Évolution des ddp vR (t) et vC (t) lors de la charge d’un condensateur dans un circuit RC.
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
32
Remarque 2.3 On peut montrer que l’énergie du condensateur est égale à la moitié de
celle fournit par la source. En effet ;
1
WC = CE 2 .
2
(2.11)
Exercice 2.3 Définir le concept de demie-vie d’un circuit RC. Déterminer cette grandeur
dans le cas d’un circuit RC série.
Exercice 2.4 On ferme l’interrupteur de ce circuit à t = 0.
Figure 2.7 – Illustration de l’exercice 2.4.
a Combien de temps faudra-t-il pour que le condensateur atteigne 90% de sa charge
maximale ?
b Quelle sera la différence de potentiel aux bornes de la résistance à t = 5s ?
c Calculer le courant à t = 1s.
2.4.2
Décharge d’un condensateur
Le condensateur ayant atteint la charge maximale qmax , on peut court-circuiter la source
de tension dans la figure 2.8. En ce moment, le courant change de sens et la charge diminue
au cours du temps : le condensateur se décharge.
Théorème 2.5 Lors de la décharge d’un condensateur, on a :
q(t) = qmax e−t/τ ;
qmax −t/τ
e
;
τ
qmax −t/τ
v(t) =
e
.
C
i(t) =
(2.12)
(2.13)
(2.14)
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
33
Figure 2.8 – Évolution des ddp q(t) et i(t) lors de la décharge d’un condensateur dans un circuit RC.
Figure 2.9 – Évolution des ddp vR (t) et vC (t) lors de la décharge d’un condensateur dans un circuit
RC.
Exercice 2.5 À t = 0, on ferme l’interrupteur dans ce circuit.
Figure 2.10 – Illustration de l’exercice 2.5.
a Combien de temps faudra-t-il pour que le condensateur atteigne 40% de sa charge
initiale ?
b Quelle sera la différence de potentiel aux bornes de la résistance à t = 5s ?
c Quel sera le courant à t = 1s ?
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
34
Remarque 2.4 Note historique
Au 19e siècle, on commença à installer des câbles sous-marins pour transmettre des
messages télégraphiques. C’était un simple fil métallique entouré d’une gaine isolante. Toutefois, quand on envoyait des signaux dans ces fils, le courant variait très lentement, ce qui
faisait qu’il fallait un certain temps pour qu’on capte le signal à l’autre bout du fil. On
remarqua cela pour la première fois en 1853 dans un câble sous-marin entre l’Angleterre
et la Hollande. En fait, on venait de construire un circuit RC géant avec une énorme
constante de temps. Pourtant, c’était un simple fil. Où est le condensateur ? L’eau salée
est conductrice et qu’elle peut agir comme une armature. On avait donc un vaste condensateur cylindrique formé d’une armature qui était le fil métallique et d’une autre armature
constituée de l’océan, séparé par la gaine isolante du fil. Quand on appliquait une différence
de potentiel, le courant montait lentement comme dans un circuit RC et il ne montait pas
assez vite pour qu’on puisse envoyer des signaux télégraphiques en faisant le code morse
très rapidement comme on pouvait le faire à l’époque. Il fallait faire ce code très lentement,
ce qui limitait le nombre de messages qu’on pouvait envoyer. On pouvait à peine faire 10
mots par minute. Comme on voulait faire un câble transatlantique, il fallait résoudre ce
problème. C’est Lord Kelvin qui analysa correctement ce qui se passait et proposa des solutions pour corriger cet effet. En partenariat avec une compagnie, il procéda à l’installation
d’un fil transatlantique qui éliminait ce problème en 1867. C’est ce qui fit la fortune de
Kelvin.
2.4.3
Comportement des circuits RC série dans les conditions
temporelles asymptotiques
Les conditions temporelles asymptotiques sont les "limites mathématiques" du temps.
C’est-à-dire les instants t = 0 et t = +∞.
1. À t = 0, la différence de potentiel aux bornes des condensateurs est nulle alors ils
agissent comme des courts-circuits.
2. À t = +∞, les condensateurs ont atteint leur charge d’équilibre et il n’y a pas de
courant dans les branches les contenant. Ils agissent en circuits ouverts.
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
35
Exercice 2.6 Considérez le circuit donné par la figure 2.11 ci-dessous :
Figure 2.11 – Illustration de l’exercice 2.6.
a Quels sont les courants dans les branches de ce circuit immédiatement après la fermeture de l’interrupteur ?
b Quels sont les courants dans les branches de ce circuit et quelle est la charge du
condensateur de ce circuit au bout d’un temps très long après la fermeture de l’interrupteur ?
2.4.4
Applications du circuit RC série
a. Le pacemaker
Notre cœur se contracte plus de 100000 fois par
jour. Il bat 24 h sur 24 pendant toute notre vie,
entre 60 et 80 fois par minute, grâce à un stimulateur naturel : le nœud sinusal. Lorsque celui-ci ne
remplit plus correctement son rôle, la chirurgie permet aujourd’hui d’implanter dans la cage thoracique
un stimulateur cardiaque artificiel (appelé aussi pacemaker) qui va forcer le muscle cardiaque à battre
régulièrement en lui envoyant de petites impulsions
électriques par l’intermédiaire de sondes. Le boîtier
de celui- ci est de petite taille : 5cm de large et 6mm
d’épaisseur. Sa masse est d’environ 30g.
Le pacemaker est en fait un générateur d’impulFigure 2.12 – Cœur et pacemaker.
sions ; il peut être modélisé par le circuit électrique en
dérivation, ci-contre, qui comprend un condensateur de capacité C, un conducteur ohmique
de résistance R, une pile spéciale et un transistor qui joue le rôle d’interrupteur, K. Quand
l’interrupteur est en position (1) le condensateur se charge de façon quasi-instantanée.
Puis, quand l’interrupteur bascule en position (2), le condensateur se décharge lentement
à travers le conducteur ohmique de résistance R, élevée, jusqu’à une valeur limite ulimite .
A cet instant, le circuit de déclenchement envoie une impulsion électrique vers les sondes
qui la transmettent au cœur : on obtient alors un battement ! Cette dernière opération
terminée, l’interrupteur bascule à nouveau en position (1) et le condensateur se charge,
etc. . .
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36
CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
Figure 2.13 – Pacemaker ≡ Circuit RC.
b. Écrans tactiles
Le pouvoir d’accumulation de charge d’un condensateur offre plusieurs intérêts dans
un circuit électrique. Il peut notamment servir à stabiliser une alimentation électrique,
ou bien encore stocker de l’énergie. Mais il existe également des technologies qui utilisent
autrement le pouvoir capacitif du condensateur. En effet, la capacité du condensateur
dépend de plusieurs paramètres comme la nature de l’isolant situé entre ses armatures,
mais aussi de la géométrie de ces armatures et notamment de la distance qui les séparent.
Les écrans tactiles reposent sur cet effet capacitif : chaque « pixel » de l’écran est relié à
un condensateur. Lorsque l’utilisateur appuie avec son doigt en un point donné, il modifie
la distance entre les armatures du condensateur, modifiant ainsi la valeur de sa capacité et
donc la valeur du signal électrique fourni par ces condensateurs, ce qui permet de détecter
la position du doigt sur l’écran.
2.5
Circuits RL série
2.5.1
Établissement du courant dans la bobine
Considérons le circuit constitué d’une résistance et
d’une bobine en série connectés à une source de tension
continue, de f.é.m. E, selon la figure 2.14. On cherche
à déterminer le courant en fonction du temps dans ce
circuit à partir du moment où on ferme l’interrupteur, au
temps t = 0.
Théorème 2.6 L’intensité instantanée passant par la
bobine est donnée par :
Figure 2.14 – Circuit RL série.
i(t) = Imax
1 − e−t/τ
(2.15)
E
L
avec Imax =
et τ =
est la constante de temps
R
R
du circuit RL série.
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
37
Figure 2.15 – Évolution de l’intensité i(t) lors de l’établissement d’une ddp continue aux bornes d’une
bobine dans un circuit RL série.
Exercice 2.7 Définir le concept de demie-vie d’un circuit RL série. Déterminer cette
grandeur dans le cas d’un circuit RL série.
Exercice 2.8 Dans le circuit suivant, on ferme l’interrupteur à t = 0.
Figure 2.16 – Illustration de l’exercice 2.8.
a Combien faudra-t-il de temps pour que le courant atteigne le quart de sa valeur maximale ?
b Quelle est la différence de potentiel aux bornes de l’inducteur et de la résistance à ce
moment ?
c À quel rythme varie le courant à ce moment ?
d Quelle est la puissance de chaque élément du circuit à ce moment ?
2.5.2
Baisse du courant dans un circuit RL série
On court-circuite la source de tension dans la figure 2.14. L’intensité du courant baisse.
Théorème 2.7 En ce moment, on peut montrer que l’intensité traversant la bobine est
donnée par :
i(t) = Imax e−t/τ .
(2.16)
Le fait de court-circuiter la source de tension abaisse l’intensité du courant mais suite
à son inertie, la bobine commence à jouer le rôle de source de tension. A cause de cette
inertie, la chute du courant n’est pas immédiat.
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38
CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
La baisse du courant sa fait à un rythme tel que la ddp aux bornes de la bobine est
égale à celle de la résistance ;
di
Ri = L .
dt
Ce courant qui continue peut devenir dangereux dans le cas où l’inductance est élevée.
2.5.3
Comportement des circuits RL série dans les conditions
temporelles asymptotiques
Les conditions temporelles asymptotiques sont les "limites mathématiques" du temps.
C’est-à-dire les instants t = 0 et t = +∞.
1. À t = 0, l’intensité du courant traversant la bobine est nulle alors elle agit comme
un circuit ouvert.
2. À t = +∞, l’intensité atteint sa valeur maximale. La bobine se comporte comme un
court-circuit.
2.6
Circuits LC série
2.6.1
Décharge du condensateur
Considérons un circuit LC série. Le condensateur
porte une charge initiale q0 . Le système, au temps t = 0,
n’est pas branché à une source de tension.
Théorème 2.8 Charge du condensateur pour un
circuit LC sans source
On peut montrer que la charge du condensateur est
donnée par :
q(t) = q0 cos ω0 t
(2.17)
Figure 2.17 – Circuit LC série.
avec ω0 = √
1
est la pulsation propre du circuit.
LC
Théorème 2.9 Courant en fonction du temps dans un circuit LC sans source
On peut montrer que la charge du condensateur est donnée par :
i(t) = −I0 sin ω0 t
(2.18)
avec I0 = q0 ω0 est l’intensité initiale.
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
39
Illustrons la situation avec la figure ci-dessous.
Figure 2.18 – Comportement des tensions uC et uL dans un circuit LC série [10].
2.6.2
Charge du condensateur
On branche maintenant les dipôles L et C à une source de tension continue de f.é.m.
constante E.
Théorème 2.10 Charge et intensité en fonction du temps dans un circuit LC
avec source
On peut montrer que :
q(t) = CE (1 − sin ω0 t)
(2.19)
i(t) = −CEω0 cos ω0 t.
(2.20)
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40
CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
2.7
Circuits RLC série
Soit un circuit RLC série telle qu’au temps t = 0, la charge du condensateur est q0 .
Théorème 2.11 Charge du condensateur pour un circuit RLC sans source
On peut montrer que la charge du condensateur est donnée par :
q(t) = qmax e−αt sin (ωt + φ)
(2.21)
q
R
, le coefficient d’amortissement 3 ; ω = ω02 − α2 4 , la pseudo-pulsation du cirL
1
est la pulsation propre du circuit. La solution (2.21) est possible si
cuit et ω0 = √
LC
ω0 > α.
avec 2α =
Figure 2.19 – Évolution de la charge d’un condensateur dans un circuit RLC série.
Exercice 2.9 Trouver la solution dans le cas du circuit RLC série connecté à une source
de tension continue E.
Exercice 2.10 Dans un circuit RLC série, le courant initial est nul et la différence de
potentiel initiale aux bornes du condensateur est de 50V . On donne R = 5Ω, L = 1mF et
C = 80mH.
a Quelle est la période des oscillations du courant dans le circuit
b Quelle sera la charge du condensateur au bout d’un cycle ?
3. Le coefficient d’amortissement s’exprime en s−1 .
4. La pseudo-pulsation s’exprime en rad/s.
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
41
Exercices sur le chapitre 2
Exercice 2.11 Dans le circuit suivant, on ferme l’interrupteur à t = 0s.
Figure 2.20 – Illustration de l’exercice 2.11.
a Quel est le courant à t = 0, 4s ?
b Quelle est la différence de potentiel aux bornes de l’inducteur à ce moment ?
c À quel rythme augmente le courant à ce moment ?
d Combien faudra-t-il de temps pour que le courant atteigne 90% de sa valeur maximale ?
Exercice 2.12 Dans le circuit suivant, on a placé l’interrupteur à la position a pendant
très longtemps, de sorte qu’on peut dire que le courant dans le circuit a atteint sa valeur
maximale. Quand on a ainsi atteint le courant maximum, on met l’interrupteur à la position
b.
Figure 2.21 – Illustration de l’exercice 2.12.
a Quelle est le courant dans l’inducteur 0, 5ms après qu’on ait mis l’interrupteur à la
position b ?
b Quelle est la différence de potentiel aux bornes de l’inducteur 0, 5ms après qu’on ait
mis l’interrupteur à la position b ?
c Combien faudra-t-il de temps pour que le courant dans l’inducteur baisse à 0, 1A ?
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
42
Exercice 2.13 Dans le circuit suivant, quel est le courant fourni par la pile
Figure 2.22 – Illustration de l’exercice 2.13.
a immédiatement après la fermeture de l’interrupteur (t = 0s) ?
b longtemps après la fermeture de l’interrupteur (t = +∞) ?
Exercice 2.14 Dans le circuit suivant, quel est le courant fourni par la pile
Figure 2.23 – Illustration de l’exercice 2.14.
a immédiatement après la fermeture de l’interrupteur (t = 0s) ?
b longtemps après la fermeture de l’interrupteur (t = +∞) ?
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CHAPITRE 2. LE RÉGIME VARIABLE EN COURANT CONTINU
43
Exercice 2.15 Soit le circuit ci-dessous. L’interrupteur est ouvert à l’instant t = 0. Trouver i(t) pour t > 0.
Figure 2.24 – Illustration de l’exercice 2.15.
Exercice 2.16 Soit le circuit ci-dessous. L’interrupteur est en position (1) à l’instant
t = 0. Trouver iR (t) et vR (t) pour t > 0.
Figure 2.25 – Illustration de l’exercice 2.16.
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Chapitre 3
Notions sur la magnétostatique
La magnétostatique est la branche de la Physique s’intéressant aux champs magnétiques statiques, des aimants ou dûs à des distributions de courants statiques[6].
3.1
Généralités sur le magnétisme
3.1.1
Magnétisme
Le magnétisme est la propriété de certains métaux d’attirer la limaille de fer. C’est
la propriété des aimants.
Cette propriété n’est reconnue à l’état naturel que pour cinq matériaux : Fer, Cobalt,
Manganèse, Gadolinium et Dysprosium.
Les aimants sont connus depuis l’antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée
à proximité de la ville de Magnesia (Asie mineure actuelle Turquie). Les chinois furent
les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pour faire des
boussoles.
Au XVIIIesiècle, Franklin découvre la nature électrique de la foudre (1752). Or, il y
avait déjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention sur des
faits étranges : les orages perturbent les boussoles, la foudre frappant un navire aimante
tous les objets métalliques... Franklin en déduisit «la possibilité d’une communauté de
nature entre les phénomènes électriques et magnétiques».
Il faut attendre la fin du XIXesiècle pour qu’une théorie complète de d’Électromagnétisme. Tout commença avec l’expérience de Œrsted en 1820. L’étude quantitative des
interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart (1820).
Une question qui s’est ensuite immédiatement posée fut : si un courant dévie un aimant,
alors est-ce qu’un aimant peut faire dévier un courant ? Ceci fut effectivement prouvé par
Davy en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arc électrique était dévié dans l’entrefer d’un gros aimant. L’élaboration de la théorie électromagnétique mit en jeu un grand
nombre de physiciens de renom : Œrsted, Ampère, Arago, Faraday, Foucault, Henry, Lenz,
Maxwell, Weber, Helmholtz, Hertz, Lorentz et bien d’autres. Si elle débuta en 1820 avec
Œrsted, elle ne fut mise en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication
satisfaisante qu’en 1905, dans le cadre de la théorie de la relativité d’Einstein.
44
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.1.2
45
Sortes d’aimants
• Selon leur nature, on distingue :
1. Les aimants naturels : Ce sont des oxydes de fer (Magnétite : Fe3O4). Ils
présentent plusieurs pôles magnétiques (régions de concentration des propriétés
magnétiques).
2. Les aimants artificiels : On les obtient à partir d’un courant électrique ou en
usinant les aimants naturels.
• Selon la durée de la propriété, on parle d’aimants permanents et aimants temporaires.
3.1.3
Propriétés des aimants artificiels
P1 : Un aimant artificiel possède deux pôles magnétiques : le pôle Nord (N) et le pôle
Sud (S). Ce sont des dipôles magnétiques.
En 1750, John Mitchell montre que les deux pôles d’un aimant ont exactement la
même intensité.
P2 : Deux pôles de même nom se repoussent tandis que deux pôles de noms contraires
s’attirent.
Figure 3.1 – Pôles d’un aimant : Interactions magnétiques.
P3 : Il est impossible d’isoler les pôles d’un aimant (Expérience de l’aimant brisé). Le
magnétisme est une propriété atomique.
Figure 3.2 – Illustration de l’expérience de l’aimant brisé.
Remarque 3.1
1. Un corps (matériau) magnétique est celui qui peut être attiré
par un aimant (Fer, Nickel, Cobalt et leurs alliages). Dans le cas contraire, le corps
est non magnétique (Aluminium, Platine, Sodium,...).
2. Le magnétisme désigne aussi la branche de la physique qui étudie cette propriété.
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.1.4
46
Origine du magnétisme
L’origine du magnétisme d’un matériau vient de ses constituants fondamentaux : les
électrons et le atomes. En plus de sa propriété fondamentale qu’il porte une charge électrique, l’électron possède une autre propriété fondamentale que la charge : il se comporte
exactement comme un petit aimant. C’est le nombre quantique de spin. Le spin des
électrons est la source principale de l’aimantation des aimants.
3.2
Champ magnétique
3.2.1
Définition
Le champ magnétique est une propriété définie dans une région de l’espace dans
laquelle tout corps magnétique subit une force magnétique.
Le champ magnétique est décrit en tout point M , de l’espace de l’espace par un
vecteur appelé vecteur champ magnétique ou vecteur excitation magnétique, noté
→
− →
r , t).
H (−
Unité dans le SI : L’ampère par mètre (A/m).
Ce champ se détecte grâce à une aiguille aimantée fixée à un axe et pouvant pivoter
autour de cet axe.
3.2.2
Lignes de champ magnétique
a. Définition
C’est le lieu des points se trouvant au voisinage d’une source de champ magnétique tel
qu’en chaque point le vecteur champ magnétique y soit tangent.
Les lignes de champ magnétique permettent de visualiser le champ magnétique (Limaille
de fer). L’ensemble des lignes de champ forme le spectre magnétique.
Figure 3.3 – Spectre magnétique d’un aimant droit.
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
47
Figure 3.4 – Lignes de champ magnétique d’un aimant droit.
Figure 3.5 – Champ magnétique uniforme d’un aimant en U. Pour produire un champ magnétique
uniforme, on peut utiliser un aimant en forme de "C" ou de "U".
b. Propriétés des lignes de champ magnétique
P1 : Le sens des lignes de champ va, par convention du pôle nord vers le pôle sud en
dehors de l’aimant et l’inverse, à l’intérieur de l’aimant.
P2 : Les lignes de champ ne se coupent pas.
P3 : En un point, il ne passe qu’une et une seule ligne de champ.
P4 : Les lignes de champ sont toujours fermées. Il n’existe pas de charges magnétiques
(monopoles magnétiques) libres au même titre que les charges électriques (monopoles
électriques).
P5 : Dans un champ magnétique uniforme, les lignes de champ sont parallèles entre
elles.
P6 : La densité des lignes de champ est une mesure de la densité du flux magnétique.
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48
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.2.3
Vecteur excitation magnétique ou vecteur champ magnétique
Le champ magnétique est décrit par un vecteur appelé vecteur champ magnétique
ou vecteur excitation magnétique dont les éléments sont :
• Point d’application : C’est le point considéré du champ ;
• Direction : C’est la tangente à la ligne de champ passant par le point considéré ;
• Sens : Sud-Nord à l’intérieur de l’aimant ;
• Intensité : Dépend de la source (aimant ou courant) et est inversement proportionnelle
à la distance séparant le point considéré de la source.
Remarque 3.2 Le vecteur champ magnétique est indépendant de l’influence du milieu.
3.2.4
Vecteur induction magnétique ou vecteur densité de flux
magnétique
Pour tenir compte de l’influence du milieu, on décrit
le magnétisme par le vecteur induction magnétique
ou vecteur densité de flux magnétique :
→
−
→
−
B = µ H,
(3.1)
où µ est la perméabilité du milieu. Elle est donnée
par :
µ = µ0 µr
(3.2)
avec µ0 est la perméabilité du vide ou de l’air donnée
par
µ0 = 4π × 10−7 U SI
et µr , la perméabilité relative du milieu (dépend du
milieu
considéré).
Figure 3.6 – Nikola Tesla (18561943). Physicien, inventeur et ingénieur américain d’origine serbe.
Unités de l’induction magnétique
• Dans le SI : Le tesla (T ).
• Sous-multiple du tesla : le gauss (G).
1T = 104 G.
Remarque 3.3 Quelques valeurs d’inductions magnétiques.
1. Pour un aimant, en moyenne 1mT à 0, 5T ;
2. Le champ magnétique terrestre : 2, 5 à 70µT ;
3. Pour les pulsars (cadavres d’étoiles) : 4 × 108 T .
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49
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.3
Flux magnétique
3.3.1
Définition
On appelle flux magnétique, noté ϕ, la quantité scalaire qui mesure la densité de
lignes de champ magnétique traversant une surface placée dans un champ magnétique.
ϕ=
Z Z
→
→
− −
B · dS.
(3.3)
Unité dans le SI : Le weber (Wb).
1W b = 1T · 1m2 .
Sous-multiple du weber : le maxwell (Mx).
1M x = 10−8 W b.
3.3.2
Loi de Gauss
a. Loi de Gauss (Forme microscopique)
"La divergence du vecteur induction magnétique est nulle."
→
−
div B = 0.
(3.4)
b. Loi de Gauss (Forme macroscopique)
"Le flux total du vecteur induction magnétique à travers une surface fermée (S) est
nul."
{→
→
− −
B · dS = 0.
(3.5)
Corollaire 3.1 La loi de Gauss a les corollaires équivalents suivants :
1. Les lignes de champs magnétiques sont fermées ;
2. Les lignes de champ magnétiques n’ont pas de points de convergence ni de divergence ;
3. Il n’existe pas de monopoles magnétiques analogues aux monopoles électriques.
→
−
4. Le champ magnétique dérive d’un potentiel vecteur A tel que :
→
−
→
− →
−
B = ∇ × A.
(3.6)
Unité dans le SI : Le potentiel vecteur s’exprime en weber par mètre (W b/m).
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.3.3
50
Potentiel scalaire et potentiel vecteur
Les corollaires 1.1 et 3.1 entrainent l’existence du potentiel scalaire V pour le champ
→
−
électrique et du potentiel vecteur A pour le champ magnétique, selon :
→
−
→
−
→
−
→
− →
−
E = − ∇V et B = ∇ × A .
La question est celle de savoir si ces potentiels sont uniques. La réponse est donnée par le
théorème suivant :
Théorème
3.1 Les champs électrique
et magnétique dérivent du couple de potentiels
→
−
− ′
′ →
V, A , le couple de potentiels V , A décrit les mêmes champs ssi :
∂f
;
V′ =V −
∂t
→
−′ →
− →
−
A = A + ∇f.
(3.7)
(3.8)
−
où f = f (→
r , t) est une fonction arbitraire.
→
− →
−
Les transformations 3.7 et 3.8 permettent de déterminer le couple E , B de manière
unique.
Les relations 3.7 et 3.8 expriment une transformation de jauge. Lorsqu’on choisit
un ensemble particulier de potentiels pour décrire un champ électromagnétique,
on dit
→
− →
−
qu’on effectue un choix de jauge. La détermination univoque des champs E , B suite
aux transformations 3.7 et 3.8 expriment l’invariance de jauge.
En Mécanique quantique, on montre que l’invariance de jauge est reliée à la quantification de la charge électrique.
Corollaire 3.2 Équations de Poisson de l’Électrostatique et de la Magnétostatique
Les équations de Poisson de l’Électrostatique et de la Magnétostatique sont :
ρ
∇2 V = − ,
ϵ
→
−
→
−
∇2 A = −µ J ,
(3.9)
(3.10)
avec la condition de jauge de Coulomb :
→
−
∇ · A = 0.
(3.11)
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51
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.4
Interactions magnétiques
3.4.1
Vecteur Moment magnétique d’un matériau
Les corps magnétiques sont caractérisés par une intensité élevée du champ magnétique
qu’ils génèrent contrairement aux corps non magnétique. Cette intensité est mesurée
macroscopiquement par le vecteur moment magnétique.
Unité SI : L’ampère mètre carré (Am2 ).
→
−
Lorsqu’un corps magnétique est placé dans un champ magnétique extérieur B , il subit
−
→
un moment de force noté M qui va l’aligner dans le sens d’un champ magnétique (Exemple
de l’aiguille d’une boussole). On écrit :
→
−
−
→ →
−
C = M × B.
(3.12)
On dit en ce moment que le corps magnétique a subit une interaction magnétique.
Remarque 3.4 Par ailleurs, tout système possédant un moment magnétique produit également un champ magnétique autour de lui.
3.4.2
Milieux aimantés
a. Définition
Une substance est dite aimantée quand pareil aux courants, elle génère en son voisinage
un vecteur excitation magnétique :
→
−
→
−
B
H = .
µ0
b. Vecteur Aimantation (ou magnétisation) d’un matériau
L’origine du magnétisme étant intrinsèque à la matière, il est préférable de caractériser
le système par son moment magnétique intrinsèque ou microscopique, décrit par le
→
−
vecteur Aimantation (ou magnétisation) J .
Unité dans le SI : C’est l’ampère par mètre (A/m).
Le vecteur Aimantation est relié au vecteur moment magnétique par la relation :
−
→
→
−
dM
J =
.
dV
(3.13)
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52
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
Ce vecteur est aussi relié au vecteur excitation magnétique par :
→
−
→
−
J = χm H
(3.14)
où χm ≡ χ est la susceptibilité magnétique du matériau. C’est un nombre sans
dimension.
La susceptibilité magnétique est la faculté d’un matériau à s’aimanter sous l’action
d’une excitation magnétique. De ce fait, le champ magnétique total
→
−
→
−
→
−
B tot = B ext + B int ,
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
avec B int = µ0 J ≡ µ0 χ H et B ext = µ0 H , ainsi on a :
µr = 1 + χ.
3.5
(3.15)
Champs magnétiques produits par des courants
électriques
3.5.1
Expérience d’Œrsted
https://youtu.be/n7EWhEYOa0o
En 1820, H. C. Œrsted réalisa l’expérience suivante : une aiguille aimantée est disposée parallèlement à un fil parcouru par un courant électrique.
Lorsque le courant passe, l’aiguille a tendance à se
diriger perpendiculairement au fil.
"Le passage du courant électrique dans
un fil conducteur crée en son voisinage
un champ magnétique."
Le sens et la direction du vecteur champ magnétique
Figure 3.7 – Hans Christian Œrsted sont liés au courant électrique. Ils se déterminent
(1777-1851). Physicien et chimiste danois. grâce aux méthodes suivantes : la règle du bonhomme d’Ampère, la règle du tir bouchon de
Maxwell, la règle des trois doigts de la main
droite.
L’intensité du champ magnétique créé est liée à l’intensité du courant électrique.
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.5.2
53
Loi de Biot et Savart
a. Énoncé de la loi de Biot et Savart
Cette loi permet de calculer le vecteur champ magnétique (ou induction magnétique)
créé par fil conducteur (circuit filiforme) parcouru par un courant électrique d’intensité I.
Loi de Biot et Savart
→
−
"Un élément différentiel de courant I dl crée un vecteur excitation magnétique élémen→
−
taire d H , de module inversement proportionnel au carré de la distance (entre l’élément de
courant et le point matériel considéré) et indépendant du milieu environnant, de direction
→
−
−
e r ."
et sens donnés par le produit vectoriel de I dl par →
Mathématiquement, on écrit :
→
− −
→
− −
→
−
→
−
1 I dl × →
er
1 Z I dl × →
er
dH =
=⇒ H =
.
2
2
4π
r
4π
r
(3.16)
b. Quelques applications de la loi de Biot et Savart
1. Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini
Un fil rectiligne infini parcouru par un courant électrique d’intensité I crée en son
voisinage un champ magnétique dont les lignes de champ sont concentriques.
Figure 3.8 – Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini.
Le champ magnétique en un point M situé à une distance r du fil est donné par :
→
−
I →
−
H =
e φ.
2πr
(3.17)
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54
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
2. Champ magnétique créé par un courant circulaire : Cas de la bobine
plate
Un fil circulaire, de rayon R, est parcouru par un courant électrique d’intensité I crée
en son voisinage un champ magnétique sont représentées par la figure ci-dessous.
Figure 3.9 – Champ magnétique créé par une bobine plate.
Le champ magnétique en un point en un point situé à une distance h du centre est
donné par :
R2 I
→
−
H =
3
2 (R2 + h2 ) 2
→
−
e z.
(3.18)
Au centre de la spire, le champ magnétique est :
→
−
I →
−
e z.
H =
2R
Remarque 3.5
(3.19)
a Le sens des lignes de champ permet de distinguer les deux faces
de la spire, par analogie avec les aimants (Face Nord et face Sud).
b En constituant N spires, on forme une bobine plate, le champ magnétique est
obtenu en multipliant les relations (3.18) et (3.19) par le nombre de spires.
H=N
R2 I
3
,
2 (R2 + h2 ) 2
I
H=N
.
2R
3. Champ magnétique créé par un solénoïde
Un solénoïde, de longueur l, formé de N spires et parcouru par un courant électrique
d’intensité I crée en son voisinage un champ magnétique sont représentées par la
figure ci-dessous.
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
55
Figure 3.10 – Champ magnétique créé par un solénoïde.
Le champ magnétique au centre du solénoïde est donné par :
→
−
NI →
−
H =
e n,
l
(3.20)
−
où →
e n est le vecteur normal à l’aire transversale du solénoïde.
Remarque 3.6 L’importance du solénoïde :
• permet de créer un champ magnétique uniforme ;
• agit exactement comme un aimant (Électro-aimant).
Remarque 3.7 C’est en utilisant les propriétés du solénoïde qu’on fabrique un hautparleur.
Figure 3.11 – Schéma en coupe d’un haut-parleur.
Dans un haut-parleur, il y a un aimant permanent et un solénoïde. Selon le courant qui
passe dans le solénoïde, ce dernier sera attiré ou repoussé par l’aimant. Si on veut faire
un son de 500Hz, on va inverser le courant rapidement pour que le solénoïde soit repoussé
et attiré alternativement de sorte qu’il fasse un mouvement d’oscillation avec une période
de 500Hz. Le solénoïde étant fixé à un diaphragme, ce dernier vibrera aussi à 500Hz si le
solénoïde vibre à 500Hz. C’est la vibration du diaphragme qui fait le son à 500Hz.
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
3.5.3
56
Théorème d’Ampère
Théorème 3.2 Théorème d’Ampère (Forme microscopique)
→
−
"Le Rotationnel du vecteur excitation magnétique H , le long d’un circuit fermé est égal
→
−
au vecteur densité de courant J ."
→
− →
−
→
−
∇×H = J.
(3.21)
Théorème 3.3 Théorème d’Ampère (Forme macroscopique)
→
−
"La circulation du champ magnétique H , le long d’un contour fermé est égale au courant
encerclé par ce contour."
I
−
→
− →
H · dl = Iencerclé .
(3.22)
Remarque 3.8 Pour utiliser la relation (3.22), on doit tenir compte des faits suivants :
• En tout point du contour fermé, le champ magnétique doit être tangentiel ou normal ;
• Le champ magnétique doit avoir la même valeur en tout point du cercle que l’on
contourne.
3.6
Conditions aux limites à la surface d’une nappe
sans courant
On considère deux milieux (1) et (2) séparés par une nappe sans distribution de courant.
→
−
Dans chaque milieu, il règne un champ magnétique H i (i = 1, 2). On peut montrer que :
• la composante tangentielle du champ magnétique est continue à la traversée de la
surface de séparation des deux milieux.
Ht1 = Ht2 =⇒
Bt
Bt1
= 2.
µr1
µr 2
(3.23)
• la composante normale du vecteur induction magnétique est continue à la traversée
de la surface de séparation des deux milieux.
Bn1 = Bn2 =⇒ µr1 Hn1 = µr2 Bn2 .
(3.24)
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57
CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
Exercices sur le chapitre 3
Exercice 3.1 Quel est le champ magnétique à 5cm du centre d’un fil rectiligne infini
parcouru par un courant de 3A ?
Exercice 3.2 Quel est le champ magnétique (grandeur et direction) fait par les deux fils
infinis à l’endroit montré sur la figure ?
Figure 3.12 – Illustration de l’exercice 3.2.
→
−
Exercice 3.3 Le champ magnétique B en tout point intérieur à un conducteur cylindrique
de rayon r0 est donnée par :
→
−
µ0 B0 1
r
−
B =
sin (ar) − cos (ar) →
e θ.
2
r a
a
Trouver l’intensité totale du courant dans le conducteur.
Exercice 3.4 Quel est le champ magnétique (grandeur et direction) au point P ?
Figure 3.13 – Illustration de l’exercice 3.4.
Exercice 3.5 Dans la situation montrée sur la figure, trouvez le champ magnétique (grandeur et direction) aux points P1 et P2 .
Figure 3.14 – Illustration de l’exercice 3.5.
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CHAPITRE 3. NOTIONS SUR LA MAGNÉTOSTATIQUE
58
Exercice 3.6 Quel est le champ magnétique (grandeur et direction) au centre de ce carré
délimité par quatre fils infinis ?
Figure 3.15 – Illustration de l’exercice 3.6.
Exercice 3.7 Dans le vide en coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’axe Oz, le vecteur champ
→
−
→
−
−
magnétique B en un point M de l’espace est B = Bθ →
e r avec :






Bθ = 




B0
2
r
a
a
r
r < a;
(3.25)
B0
r > a.
où B0 est une constante.
→
−
a Déterminer la densité volumique de courant J qui a créé ce champ magnétique en
tout point M de l’espace.
b Calculer l’intensité du courant électrique qui traverse une surface S perpendiculaire
à Oz, délimitée par le cercle C de centre O et de rayon r, pour r < a et pour r > a.
Exercice 3.8 Calculez le champ magnétique associé au potentiel vecteur exprimé en coor→
−
−µ0
−
données cylindriques (r, θ, z) par A =
ln r →
e z où r est la distance par rapport à l’axe
2π
Oz.
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Chapitre 4
Interactions électromagnétiques
L’expérience d’Œrsted révèle qu’un courant électrique interagit avec un champ magnétique et vice-versa. Il s’agit d’une interaction électromagnétique.
4.1
Interaction des particules chargées avec un champ
magnétique
4.1.1
Force de Lorentz
Une particule chargée placée, se déplaçant avec une vitesse
→
−
→
−
v , dans un champ magnétique d’induction B , subit une force
magnétique donnée par la loi de Lorentz :
→
−
→
−
−
F = q→
v × B.
(4.1)
Cette force est appelée force de Lorentz. En norme, elle
est donnée par :
F = qvB sin α
(4.2)
→
−
−
où α est l’angle entre les vecteurs →
v et B .
Si la particule chargée est placée dans les champs électrique
→
−
→
−
E et magnétique B , la force de Lorentz généralisée est
Figure 4.1 – Hendrik An- donné par :
toon Lorentz (1853-1928). Physicien néerlandais.
→
−
→
−
→
−
−
F = q E + q→
v × B.
(4.3)
Remarque 4.1 La force de Lorentz a les éléments suivants :
• Origine : La particule chargée ;
• Direction : Normale au plan défini par le vecteur vitesse de la charge électrique et le
vecteur induction magnétique (Voir 4.1) ;
• Sens : Donné par la règle du tir-bouchon ou des trois doigts de la main droite ;
• Intensité : Donnée par la relation 4.2.
59
CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
4.1.2
60
Dynamique d’une particule chargée dans un champ magnétique
a. 1er Cas : La vitesse initiale est perpendiculaire au champ magnétique uniforme
1. Considérations générales
Dans ce cas, la force sur la particule chargée fait toujours un angle de 90◦ avec
la vitesse, cette force fait dévier la particule sans changer la grandeur de la vitesse.
Comme le champ est uniforme, la force a toujours la même grandeur et elle dévie donc
toujours au même rythme, ce qui signifie que le rayon de courbure de la trajectoire
est toujours le même.
Théorème 4.1 Lorsqu’une particule chargée, de charge électrique q et de masse m,
→
−
pénètre dans un champ magnétique B d’induction constante, elle se met en MCU ;
• de rayon de courbure :
R=
mv
.
|q| B
(4.4)
• de pulsation appelée pulsation cyclotron et donnée par :
|q| B
.
m
(4.5)
2π
1
=
.
N
ωc
(4.6)
ωc =
• de période (fréquence) donnée par :
T =
2. Le spectromètre de masse
Comme le rayon de la trajectoire d’une particule dépend de la masse de la particule
chargée, on peut s’en servir pour mesurer la masse des particules chargée. Dans un
appareil appelé le spectromètre de masse. Dans cet appareil, les particules passent
par un petit trou dans une plaque pour entrer dans une région où il y a un champ
magnétique. Elles sont alors déviées pour aller retourner frapper la plaque.
Figure 4.2 – Principe de fonctionnement du spectrographe de masse.
C’est par un tel procédé qu’en 1897, J. J. Thompson, a découvert l’électron.
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
61
3. L’accélérateur circulaire des particules
Figure 4.3 – Principe de fonctionnement de l’accélérateur circulaire des particules (Le cyclotron).
4. Le vent solaire
Il s’agit d’un flux de particules chargées (principalement des électrons et des protons)
émises par le Soleil, correspondant à la perte d’environ 9 × 109 kg de matière par
seconde.
Figure 4.4 – Déviation du vent solaire par le champ magnétique terrestre.
5. L’aurore boréale
C’est un phénomène optique consistant en l’apparition de lueurs colorées, parfois
très spectaculaires, dans la partie haute de l’atmosphère du fait de l’ionisation des
molécules de l’air par le passage des rayons cosmiques.
Figure 4.5 – Aurore boréale.
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
62
6. Le tube cathodique
Figure 4.6 – Déviation d’un flux de particules chargées dans un tube cathodique d’un écran de
télévision.
Figure 4.7 – Quelques illustration de l’interaction entre particules chargées et champ magnétique
externe.
b. 2e Cas : La vitesse initiale n’est pas perpendiculaire au champ magnétique
uniforme
Quand la vitesse n’est pas perpendiculaire au champ, la particule suit un mouvement
hélicoïdal, tel qu’illustré par la figure ci-dessous :
Figure 4.8 – Trajectoire d’une particule chargée à vitesse initiale non perpendiculaire à un champ
magnétique.
On retrouve une situation analogue dans le champ magnétique terrestre. Le champ
devient plus fort quand on s’approche des pôles. Il y a donc une bouteille magnétique dans
le champ magnétique et il y a effectivement plusieurs particules chargées (des protons et
des électrons) prisonnières dans le champ magnétique terrestre. Les zones où on retrouve
ces particules se nomment les ceintures de van Allen.
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
63
Figure 4.9 – Ceintures de van Allen.
Les particules prises ainsi dans le champ magnétique oscillent en passant du pôle nord
au pôle sud magnétique avec des périodes se situant généralement entre 0, 1 et 3 secondes.
4.2
Interaction entre un courant électrique et un
champ magnétique
4.2.1
La force de Laplace
a. Considérations générales
→
−
Considérons un tronçon élémentaire de fil conducteur dl , parcouru par un courant
→
−
d’intensité I. Ce fil est plongé dans un champ magnétique B . En ce moment, les éléments
→
−
→
−
−
de charges électriques subissent la force de Lorentz élémentaire d F = dq →
v × B.
Ainsi, la portion va subir une force électromagnétique appelée force de Laplace donnée
par la loi de Laplace suivante :
→
− →
→
− →
→
−
−
→
−
−
d F = I dl × B =⇒ F = Il × B
(4.7)
En norme, elle est donnée par :
F = BIl sin α
(4.8)
→
−
→
−
où α est l’angle entre les vecteurs l et B .
Figure 4.10 – Illustration de la force de Laplace.
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
64
Remarque 4.2 La force de Laplace a les éléments suivants :
• Origine : Milieu de la portion baignant dans le champ magnétique (Voir Fig.4.10) ;
• Direction : Normale au plan défini par le courant et le vecteur induction magnétique
(Voir Fig.4.10) ;
• Sens : Donné par la règle du tir-bouchon ou des trois doigts de la main droite
ou encore du bonhomme d’Ampère ;
• Intensité : Donnée par la relation 4.8.
b. Le moteur linéaire
On peut utiliser la force magnétique sur des courants pour propulser des objets. Donnons
ici l’exemple d’une tige conductrice mobile sur des rails conducteurs.
Figure 4.11 – Illustration du moteur linéaire.
4.2.2
Force d’interaction entre deux courants rectilignes : Force
d’Ampère
Considérons deux courants rectilignes parallèles, de même
sens (par exemple). Chaque courant crée en son voisinage une
induction magnétique qui atteint le courant voisin. En vertu
de la loi de Laplace , les deux fils vont subir une force électromagnétique d’attraction appelée force d’Ampère et donnée,
en module, par :
µ l
F =
I1 I2 .
(4.9)
2π d
où l est la portion des fils considérés et d, la distance entre les
fils.
Figure 4.12 – Illustration
de la force d’Ampère.
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65
CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
4.2.3
Action d’un champ magnétique horizontal sur un cadre
rectiligne
On place un cadre rectiligne ABCDEF , parcouru par un courant d’intensité I, dans un champ
→
−
magnétique uniforme d’induction B . On peut montrer que la bobine subit un couple donné par :
C = BIS sin α
(4.10)
→
− →
−
où α est l’angle entre les vecteurs B et S . On définit,
ainsi, le vecteur moment magnétique (Voir la
section 3.4.1), comme le vecteur de norme :
Figure 4.13 – Illustration de l’action
M = IS.
d’un champ magnétique horizontal sur un
cadre rectiligne.
(4.11)
Unité : Dans le SI, c’est l’ampère-mètre-carré
(A.m2 ). En ce moment, on retrouve l’expression
−
→
(3.12), du vecteur moment magnétique M .
→
−
"Une boucle placée dans un champ magnétique, d’induction B , est soumise à
→
−
−
→ →
−
un couple de moment C = M × B qui tend à la faire tourner jusqu’à ce que
−
→ →
−
les vecteurs M et B aient la même direction."
4.3
Travail des forces électromagnétiques
Soient deux barres rectilignes horizontales. Plaçons un conducteur rectiligne AB, perpendiculairement aux barres conductrices. On plonge le système
→
−
dans un champ magnétique B , homogène et vertical.
On remarque que le conducteur se déplace conformément à la loi de Laplace. Le travail est donné par :
W = ϕI.
(4.12)
"Le travail des forces électromagnétiques
est numériquement égal au produit de
l’intensité du courant par le flux coupé
pendant le déplacement du conducteur."
Figure 4.14 – Illustration du travail
Si au départ, le flux était ϕi et le flux dans la position
finale est ϕf , alors on a le théorème de Maxwell.
des forces électromagnétiques.
Théorème 4.2 Règle du flux maximal ou théorème de Maxwell
"Un circuit parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique se déplace
ou se déforme jusqu’à ce que, par sa face Sud, entre un flux d’induction maximal
compatible avec les liaisons. L’équilibre obtenu est alors stable."
W = I (ϕf − ϕi ) .
(4.13)
On constate en ce moment que la force électromagnétique est conservative.
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66
CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
4.4
L’effet Hall "classique"
L’effet Hall "classique" a été découvert en 1879 par Edwin
Herbert Hall, qui l’a énoncé comme suit :
"Un courant électrique traversant un matériau baignant dans un champ magnétique, engendre une tension perpendiculaire à ce dernier."
C’est la loi de Hall.
Considérons une plaque conductrice parallélépipédique de longueur L, de largeur a et d’épaisseur b. La plaque est traversée
Figure 4.15 – Edwin
Herbert Hall (1855-1938).
dans sa longueur par un courant continu d’intensité I, est placée
→
−
dans un champ magnétique uniforme B perpendiculaire à sa plus
grande face (Voir Fig.4.16).
On mesure à l’aide d’un voltmètre la tension U entre deux points des bords de la plaque
de direction normale à celle du courant électrique (AC sur la figure 4.15). A l’absence du
champ, il n’y pas de tension. A l’établissement du champ, on observe, après un temps bref
transitoire, une tension de valeur constante UH proportionnelle à I et B.
Figure 4.16 – Illustration de l’effet Hall.
A l’équilibre, les forces magnétiques et électriques se compensent, alors :
EH = vd B
(4.14)
où EH est le champ de Hall ; vd , la vitesse de dérive des électrons.
La différence de potentiel de Hall d’un côté à l’autre du conducteur est :
UH = a EH .
(4.15)
Cette expérience a permis de découvrir la vraie nature du signe de la charge électrique qui
transporte le courant électrique : la charge négative.
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
67
On obtient l’expression mathématique de la loi de Hall :
UH = RH
IB
b
(4.16)
où UH représente la tension de Hall, b, l’épaisseur du conducteur, dans la direction du
champ magnétique et RH , la constante de Hall. Elle est donnée par :
RH =
1
nq
(4.17)
avec q, la charge électrique et n, la densité des charges électriques 5 .
Hall utilisa une mince feuille d’or parcourue par un courant I qu’il plongea dans un
→
−
champ magnétique B perpendiculaire au courant. La déviation des charges en mouvement
causée par une force magnétique générait une petite différence de potentiel, de chaque côté
du conducteur, perpendiculaire au courant et au champ magnétique.
Remarque 4.3 Pour des métaux tels que Al, Cu ou Ag, on obtient RH < 0, comme
attendu ; les porteurs de charges étant des électrons. Pour des matériaux comme F e et Zn,
on obtient RH > 0. Ce résultat prouve les limites du modèle étudié ci-avant. La théorie
complète nécessite l’implication de la Mécanique quantique.
5. Elle s’exprime en porteurs de charges par mètre cube.
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
68
Exercices sur le chapitre 4
Exercice 4.1 Quelle est la force magnétique nette sur ce cadre métallique parcouru par un
courant de 3A ? (Il y a une frontière horizontale qui délimite deux régions avec des champs
magnétiques différents). Il y a un champ de 120G sortant de la page au-dessus de la ligne
et un champ nul au-dessous de la ligne.
Figure 4.17 – Illustration de l’exercice 4.1.
Exercice 4.2 Un proton se déplace dans la direction horizontale à 3000m/s dans un
champ de 10G orienté dans la direction inclinée de 70◦ par rapport à l’horizontale. Quelle
est la force sur ce proton ?
Exercice 4.3 Un proton arrive dans une région où il y a un champ magnétique de 0, 02T .
L’angle d’entrée du proton dans le champ magnétique est de 45◦ . Le proton fait alors une
partie de mouvement circulaire pour ensuite sortir du champ, tel qu’illustré sur la figure
ci-dessous :
Figure 4.18 – Illustration de l’exercice 4.3.
a Quel est l’angle de sortie du proton ?
b Quelle est la distance entre le point d’entrée dans le champ et le point de sortie du
champ (x sur la figure) ?
c Combien de temps la particule est-elle restée dans le champ magnétique ?
Exercice 4.4 On envoie un atome de krypton ionisé une fois avec une vitesse de 40000m/s
dans un spectromètre de masse où il y a un champ magnétique de 0, 6T . L’atome frappe
la plaque à une distance de 11, 044cm du point d’entrée de l’atome. Quelle est la masse de
l’atome ?
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
69
Exercice 4.5 Quelle est la force magnétique nette sur ce fil en forme d’arc de cercle ayant
un rayon de 12cm ?
Figure 4.19 – Illustration de l’exercice 4.5.
Exercice 4.6 Une tige mobile de 5kg et de 2m de long est sur des rails. La résistance de
la tige est de 10Ω et la résistance des rails est négligeable. Une source fait une différence de
1000V entre les rails et le tout est dans un champ magnétique de 500G dans la direction
montrée sur la figure. Quelle est l’accélération initiale de la tige ?
Figure 4.20 – Illustration de l’exercice 4.6.
Exercice 4.7 Cyclotron de Lawrence
Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L’appareil avait un rayon de 14cm et communiquait à des protons une énergie cinétique de
1, 2M eV . La différence de potentiel était de 4000V au moment du passage du faisceau
entre les dés. Quelles étaient :
a la vitesse maximum des protons ?
b la tension accélératrice qu’il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ?
c la fréquence du champ accélérateur ?
d le nombre de tours décrits par les protons ?
e le champ magnétique ?
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
70
Exercice 4.8 On désire étudier le mouvement d’une particule chargée de charge q et de
→
−
→
−
masse m dans le champ magnétique uniforme B = B k . La particule chargée se déplace
dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
a Montrez que le vecteur poids de la particule peut être négligé. Referez-vous au cas
du proton dans un champ magnétique d’intensité B = 10−2 T , animé d’une vitesse
v = 104 m.s−1 .
b Quelle est la nature du mouvement 6 ?
c En exploitant la RFD, montrer que :


 dvx




dt





 dv
y


dt







dvz



dt
=
qB
vy
m
=
−qB
vx
m
(4.18)
= 0.
d Résolution du système (4.18)
i Premier cas : La vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique. Pre→
−
−
nons, par exemple, →
v 0 = v0 i ;
• Montrer que le mouvement est plan ;
• En posant
ωc =
eB
m
(4.19)
appelé la pulsation cyclotron.
Déterminer la loi du mouvement. Que concluez-vous ?
ii Deuxième cas : La vitesse initiale n’est pas orthogonale au champ magnétique.
La particule chargée est en O à l’instant initial. Considérons le cas où la vitesse
initiale admet maintenant une composante suivant l’axe Oz (Axe du champ
magnétique), on écrit par exemple :
→
−
→
−
→
−
v 0 = v0 cos α i + sin α k .
• Quelle est la loi du mouvement ?
• Quelle est la nature du mouvement ?
Exercice 4.9 Une plaquette d’épaisseur e = 0, 1mm, de section 100cm2 est traversée par
un courant d’intensité I = 10A. Le champ magnétique perpendiculaire à la plaquette vaut
1T . On mesure une tension de Hall de 5, 5 × 10−6 V . En déduire le nombre d’électrons de
conduction par unité de volume. On donne la masse atomique du cuivre M = 63g · mol−1
et sa densité d = 9.
6. Évaluer la puissance mécanique dépensée puis tenir compte du fait que l’accélération de l’électron
est perpendiculaire à la trajectoire car la force est perpendiculaire à la vitesse (donc à la trajectoire).
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CHAPITRE 4. INTERACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES
71
Exercice 4.10 Soit un long ruban conducteur métallique d’épaisseur h, de largeur l, parcouru par un courant continu I et placé dans un champ magnétique uniforme et indépendant
du temps B, normal au plan du ruban. On veut en se servir comme capteur à effet Hall.
On doit donc connaître la constante de Hall de ce ruban. Le courant mesuré est de 10A, le
champ magnétique vaut 1T et la tension de Hall, est égale à 5, 5 × 10−6 V . Déterminer la
constante de Hall RH du ruban.
Exercice 4.11 On étudie la conduction dans un fil de cuivre. Soit :
• S, la section du fil : S = 1, 00mm2 ;
• I, l’intensité du courant qui parcourt celui-ci : I = 1, 00A ;
• σ, la conductivité du cuivre ;
• d, sa densité : d = 8, 95 ;
• M , sa masse molaire : M = 63, 5g · mol−1 ;
• ρ0 , la masse volumique de l’eau : ρ0 = 1kg · l−1 ;
• NA , le nombre d’Avogadro : NA = 6, 03 × 1023 .
Chaque atome de cuivre libère un électron de conduction de charge q = 1, 6 × 10−19 C.
a Quelle est l’expression et la valeur de la densité volumique des porteurs de charges
mobiles np ?
b Quelle est l’expression et la valeur de la densité volumique de courant J ?
c En déduire la valeur de la vitesse des électrons de conduction dans le cuivre.
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Chapitre 5
Induction électromagnétique
5.1
Le courant induit
5.1.1
Condition de génération d’un courant induit
L’expérience d’Œrsted réalisée en 1820 conduisit à la
conclusion qu’un courant électrique crée un champ magnétique. On se proposa de vérifier l’inverse : « un champ magnétique peut-il produire un courant ?». C’est le phénomène
d’induction électromagnétique.
Toutes les tentatives pour résoudre le problème d’induction
électromagnétique échouèrent. La solution fût trouvée presque
simultanément, en 1831 par Michael Faraday et en 1832, par
Joseph Henry.
La condition pour générer un courant induit, il faut dispo-
Figure 5.1 – Michael Fara- ser d’un champ magnétique variable (système inducteur)
day (1791 - 1867). Physicien et
chimiste britannique.
5.1.2
générant le courant dans une bobine (système induit).
Cause du courant induit
"La cause du courant induit est la variation du flux d’induction traversant le circuit
fermé au cours du temps."
C’est un courant temporaire dont la durée ne dépend que de celle de la variation du
flux d’induction et son sens est lié à celui de cette même variation.
5.1.3
Sens du courant induit : Loi de Lenz
Le sens du courant induit est donné par la loi de Lenz, qui s’énonce :
"Le sens du courant induit est tel que, par ses effets, il s’oppose à la cause qui lui a
donné naissance."
72
73
CHAPITRE 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
5.1.4
Loi de Faraday
"La f.é.m. d’induction est proportionnelle au taux de variation du flux d’induction
dans le temps."
Quel que soit la cause de la variation du flux d’inducteur, il se produit toujours une
f.é.m. d’induction tel que le principe de conservation de l’énergie soit respecté.
Mathématiquement, on écrit :
→
−
→
− →
−
−dϕ
∂B
.
e=
=⇒ ∇ × E = −
dt
∂t
Forme macroscopique
Forme macroscopique
5.2
Auto-induction
5.2.1
Phénomène d’auto-induction
(5.1)
La variation du courant dans une bobine de N spires conduit à un changement du
flux magnétique la traversant et par conséquent, induit une tension dans cette bobine. La
tension induite est proportionnelle à la variation du courant.
Le phénomène d’auto-induction (self induction) est inévitable en courant variable pour
une bobine.
5.2.2
Coefficient de Self induction
Le phénomène d’auto-induction dépend du taux de variation du courant dans le temps
pour un circuit, on caractérise une bobine par son coefficient de self induction ou
inductance propre L, défini par :
(5.2)
ϕ=Li
où ϕ est le flux magnétique, i est l’intensité du courant induit.
Unité dans le SI : le Henry (H).
1H =
1W b
.
1A
Remarque 5.1
1. La capacité de la bobine de s’opposer à l’établissement d’une f.é.m.
d’induction est une propriété appelée inductance propre de la bobine.
Cette propriété illustre une certaine inertie électrique, donc il y a une analogie entre
la masse et l’inductance.
2. Pour une bobine, la relation de Maxwell-Faraday s’écrit :
e = −L
di
dt.
(5.3)
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74
CHAPITRE 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
3. Inductance de quelques montages
• Solénoïde
N2
L=µ S
(5.4)
l
où µ est la perméabilité magnétique du matériau ; N , le nombre de spires ; l, la
longueur du solénoïde ; S, la section transversale du solénoïde.
• Ligne coaxiale
b
µ
l ln
L=
2π
a
!
(5.5)
où µ est la perméabilité magnétique du matériau ; l, la longueur de la ligne ; a,
le rayon intérieur et b, le rayon extérieur.
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CHAPITRE 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
75
Exercices sur le chapitre 5
Exercice 5.1 Une boucle de fil circulaire a une résistance de 5Ω et un rayon de 5cm.
Initialement, il n’y a pas de champ magnétique. Puis, le champ magnétique monte à un
rythme constant pour atteindre 0, 1T (dans la direction perpendiculaire au plan de la spire)
en 0, 05s. Quel est le courant induit dans l’anneau pendant la montée du champ magnétique ?
Exercice 5.2 Un cadre conducteur rectangulaire de 10cm par 20cm est placé à 5cm d’un
long fil conducteur rectiligne dans lequel circule un courant I (Voir figure 5.2).
Figure 5.2 – Illustration de l’exercice 5.2.
a Calculer, en fonction de I, le flux magnétique qui traverse le cadre.
b Quelle est la variation de flux si le courant passe de 10A à 2A ?
→
−
−
Exercice 5.3 Un barreau métallique se déplace vers la gauche à la vitesse →
v = −2 i cm/s
sur un rail en forme de U (figure 5.3). À l’instant t = 0, le champ extérieur, de module
0, 2T et sortant de la page, augmente à raison de 0, 1T /s. On donne l = 5cm et x = 5cm
à t = 0. Trouver la f.é.m. induite à l’instant t = 0 et le sens du courant induit.
Figure 5.3 – Illustration de l’exercice 5.3.
Exercice 5.4 Une bobine de résistance 3Ω comporte 25 spires d’aire égale 8cm2 . Son plan
est perpendiculaire à un champ uniforme. Soit B(t) = 0, 4t − 0, 3t2 , où t est en secondes et
B en teslas.
a Quel est le flux magnétique traversant la bobine en fonction du temps ?
b Quelle est l’intensité du courant induit à l’instant t = 1s ?
c À quel instant B(t) devient-il nul ?
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CHAPITRE 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
76
Exercice 5.5 Une bobine, de résistance négligeable, constituée de 100 spires d’un diamètre
moyen de 10cm est connectée aux bornes d’une résistance R de 7Ω. Elle baigne dans un
champ magnétique. Le plan des spires est perpendiculaire aux lignes de champ et l’induction
varie linéairement depuis B = 5 × 10−2 T jusqu’à B = 0 en 10−1 s.
a Calculer la f.é.m. induite E qui apparaît aux bornes de la bobine.
b Calculer le courant induit I.
c Des deux dipôles câblés (bobine, résistance) lequel est générateur ?
d Dans la bobine, le courant induit va-t-il du pôle + vers le pôle −, ou du pôle − vers
le pôle + ?
Exercice 5.6 Une boucle de fil circulaire a une résistance de 5Ω et un rayon de 5cm.
Initialement, il n’y a pas de champ magnétique. Puis, le champ magnétique monte à un
rythme constant pour atteindre 0, 1T (dans la direction indiquée sur la figure) en 0, 05s.
Quel est le courant induit dans l’anneau pendant la montée du champ magnétique ?
Figure 5.4 – Illustration de l’exercice 5.6.
Exercice 5.7 Un cadre métallique ayant une résistance de 0, 5Ω se déplace avec une vitesse
constante de 15m/s dans une région où il n’y a pas de champ magnétique. Le cadre entre
alors dans une région où il y a un champ magnétique de 0, 1T dans la direction montrée sur
la figure. Quel est le courant induit dans le cadre métallique quand il entre dans la région
où il y a un champ ?
Figure 5.5 – Illustration de l’exercice 5.7.
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CHAPITRE 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
77
Exercice 5.8 Un avion passe à 900km/h directement au-dessus du pôle nord magnétique.
À cet endroit, le champ est dirigé directement vers le sol et a une grandeur de 0, 5G. Quelle
est la différence de potentiel entre les bouts des ailes si la distance entre les bouts des ailes
est de 45m ?
Figure 5.6 – Illustration de l’exercice 5.8.
Exercice 5.9 Le cadre métallique de la figure a une résistance de 12Ω. Il y a un courant
induit de 150mA dans le cadre. À quel rythme varie le champ magnétique ? Spécifiez si la
grandeur du champ magnétique augmente ou diminue.
Figure 5.7 – Illustration de l’exercice 5.9.
Exercice 5.10 Dans la situation montrée sur la figure, la grandeur du champ magnétique
augmente à un rythme constant de sorte que la grandeur du champ est passée de 0, 02T
à 0, 024T en 0, 04s. Quel est le courant induit dans la boucle circulaire pendant ces 0, 04
seconde ? Spécifiez également la direction du courant.
Figure 5.8 – Illustration de l’exercice 5.10.
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CHAPITRE 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
78
Exercice 5.11 Dans la situation suivante, quel est le courant dans la résistance (Spécifiez
aussi la direction du courant dans la résistance) ? Il n’y a pas de résistance dans ce circuit,
à part la résistance de 20Ω.
Figure 5.9 – Illustration de l’exercice 5.11.
Exercice 5.12 La bobine d’un électro-aimant a une longueur de 20cm. Elle contient 120
spires enroulées sur un noyau de 5cm de diamètre. Le courant d’excitation est de 16A.
a Calculer le flux d’induction à travers les spires d’un noyau de fer doux de perméabilité
relative 220.
b On enroule sur le noyau, en circuit fermé, 20 spires de maillechort de 0, 5mm de
diamètre. On ramène l’intensité du courant de 16A à 0 en 1/20s, de façon que le
taux de décroissance du flux dans le temps soit constant. Calculer la f.é.m. induite
et l’intensité du courant dans le fil de maillechort et la quantité de chaleur produite.
On donne la résistivité du maillechort ρ = 50µΩm.
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Chapitre 6
Ondes électromagnétiques
6.1
Équations de l’onde électromagnétique
Exercice 6.1 Équations de Maxwell
Compléter le tableau ci-dessous :
Nom de l’équation
Forme locale
1
Théorème de Gauss
2
Loi de Gauss
3
Loi de Faraday
4
Théorème de MaxwellAmpère
Forme globale
Interprétation
Table 6.1 – Equations de Maxwell
Les équations de Maxwell ci-avant données sont complétées par les relations suivantes :
→
−
→
−
D = ε E;
(6.1)
→
−
→
−
B = µ H,
(6.2)
où ε est la permittivité du milieu et µ est la perméabilité du milieu. On a :
ε = εr ε0 et µ = µr µ0
avec εr et µr désignant respectivement les permittivité et perméabilité relatives du
milieu considéré. On a pour le vide εr = µr = 1.
Les constantes ε0 et µ0 sont les permittivité et perméabilité absolues ;
ε0 = 8, 85 × 10−12 USI et µ0 = 4π × 10−7 USI.
79
80
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Théorème 6.1 Équations de l’onde électromagnétique
En considérant les quatre équations de Maxwell dans le vide. Montrez qu’une fois
combinées elles mènent aux équations de l’onde électromagnétique :
→
−
∂2 ψ
∇ ψ = µ 0 ε0
∂t2
−
2→
(6.3)
où la fonction d’onde a deux composantes :
 →

− →
−




E
(
r
,
t)


→
− →
ψ (−
r , t) = 

− →


 →
H (−
r , t) 
.
(6.4)
On constate que les ondes électromagnétiques se propagent à la célérité :
1
= 3 × 108 m/s.
c= √
ε0 µ 0
Corollaire 6.1 La lumière est une onde électromagnétique ! ! !
6.2
Solution de l’équation de l’équation de l’onde électromagnétique
Exercice 6.2 En utilisant la méthode de Fourier, montrer que la solution en ondes
planes de l’équation aux dérivées partielles 6.3 est :
→
− →
→
−
x
E (−
r , t) = E 0 exp iω t +
;
c
→
− →
→
−
x
,
H (−
r , t) = H 0 exp iω t +
c
où τ =
x
est appelé temps propre de l’onde électromagnétique.
c
6.3
Structure de l’onde électromagnétique
(6.5)
(6.6)
→
−
→
−
1. L’onde électromagnétique est transverse c’est-à-dire que les vecteurs E et H
sont perpendiculaires à la direction de propagation.
Preuve
Calculons les dérivées :

→
−


→
−
→
− →
−
→
−
∂
E


= iω E =⇒ ∇ × H = iωε0 E ;



∂t







→
−
→
−
→
− →
−
→
−
∂H
= iω H =⇒ ∇ × E = −iωε0 H .
∂t
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81
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
On constate que :
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
• le vecteur E est colinéaire ∇ × H =⇒ E ⊥ H ;
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
• le vecteur H est colinéaire ∇ × E =⇒ H ⊥ E .
cqfd !
Figure 6.1 – Propagation de l’onde électromagnétique.
2. L’amplitude du champ électrique est supérieure à celle du champ magnétique.
Cela permet de définir l’impédance du vide Z0 par :
E0
=
Z0 =
H0
s
µ0
≃ 120πΩ.
ε0
(6.7)
Exercice 6.3 Astuce : Considérez, par exemple l’expression du champ électrique se
propageant le long de l’axe Ox et vibrant le long de l’axe Oy :
→
− →
x
E (−
r , t) = E0 exp iω t +
c
→
−
ey
déduire celle du champ magnétique ...
6.4
Le spectre électromagnétique
Les ondes électromagnétiques couvrent une large gamme de fréquence (ou de longueur
d’onde). Ceci permet de les classer dans différents domaines. Ce qui constitue le spectre
électromagnétique.
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CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
82
Figure 6.2 – Le spectre électromagnétique.
6.4.1
Les ondes radio
Ce sont des ondes électromagnétiques ayant
une longueur d’onde supérieure à 0, 3m. Ce sont
des ondes de faible énergie. Elles comprennent les
gammes de :
• transmissions AM (535kHz − 1605kHz) ;
• les ondes provenant des appareils électroniques ;
• transmissions FM (88M Hz − 108M Hz) ;
• transmissions VHF (30M Hz − 300M Hz).
Dans une émission radio, il y a un grand nombre
de photons mais ceux-ci sont peu énergétiques et
Figure 6.3 – Génération d’ondes Radio le transfert d4énergie se fait de manière continue
par une antenne.
(≃ 6, 6 × 10−28 J). Les photons radio ne subissent
pas de résonance atomique, de ce fait, les nonconducteurs (verre, brique, béton) sont transparents
à ces ondes tandis que les métaux ne le sont pas.
Exercice 6.4 Qu’est-ce qu’une résonance atomique ?
6.4.2
Les micro-ondes
Ces ondes couvrent la gamme 1mm ≤ λ ≤ 30cm. Une radiation électromagnétique
dont la longueur d’onde est située entre 1cm et 30m environ peut traverser l’atmosphère
terrestre sans une notable atténuation. Ainsi, les micro-ondes sont utiles aux communications avec les vaisseaux spatiaux et en Radioastronomie.
Ils ont plusieurs applications : le four à micro-ondes, les transmissions téléphoniques,
le guidage des avions, la surveillance aérienne, le contrôle de la vitesse des automobiles,
l’étude de l’origine de l’Univers, la communication avec les astronautes,...
Bien que l’énergie des photons individuels soit faible, il faut éviter d’absorber les microondes en grande quantité. Celles-ci peuvent causer des décès.
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83
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
6.4.3
Les infrarouges
En 1800, l’astronome Sir William Herschel étudia, à l’aide d’un prisme, les différentes
quantités de chaleur transportées par les différentes couleurs de la lumière solaire. A son
vif étonnement, il trouva que le thermomètre enregistrait sa plus grande augmentation
juste sous la région de la lumière rouge. Presque tous les corps émettent des radiations
infrarouges par agitation thermique de leurs molécules. Ces radiations sont émises en
abondance par des corps qui brulent (charbon, lampes à incandescence, ...). Les animaux
à sang chaux sont aussi émetteurs infrarouges (ceci permet aux serpents de localiser leurs
proies, même la nuit).
Les infrarouges proches (du visible) pénètrent le corps humain à une profondeur allant
jusqu’à 3mm sous la peau.
Applications : Satellites d’espionnage, missiles guidés, télescopes à infrarouge, télécommande, détection des tumeurs au cerveau, surveillance thermique, ...
6.4.4
La lumière
Il s’agit de la bande du spectre visible par les humains. Sir
Isaac Newton fût le premier à comprendre que la lumière blanche
est en réalité un mélange de toutes les couleurs du spectre visible. La couleur est une réponse physiologique et psychologique
à la fréquence d’une radiation monochromatique allant du rouge
(622nm − 780nm) au rouge (390nm − 455nm).
Figure 6.4 – Isaac
Newton (1738-1822).
Couleurs
Violet
Bleu
Vert
Jaune
Orange
Rouge
λ(nm)
455 - 390
492 - 455
577 - 492
597 - 492
622 - 597
780 - 622
ν(T Hz)
659 - 769
610 - 659
520 - 610
503 - 520
482 - 503
384 - 482
Table 6.2 – Le spectre de la lumière
La lumière est l’agent majeur de transport de l’énergie solaire.
Le processus de photosynthèse aboutit à soustraire près de 200 milliards de tonnes de
carbone par an de l’atmosphère et permet la synthèse des molécules organiques complexes
dont la vie sur Terre tire le plus grand profit.
6.4.5
Les ultraviolets
En 1801, J. Ritter trouva que le chlorure d4argent subissait une réaction chimique
qui libérait l’argent métallique sous l’effet de la lumière plus énergiquement lorsqu’on
l’exposait au-delà du violet, où il n’y avait aucune radiation visible.
Les ultraviolets causent le bronzage de la peau et activent la synthèse de la vitamine D.
Les ultraviolets solaires sont la principale cause du cancer de la peau chez les humains. La
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CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
84
couche d’ozone absorbe les ultraviolets (λ ≤ 320nm) et nous protègent du flux mortel des
photons solaires uv. Les uv (λ ≤ 300nm) dépolymérisent les acides nucléiques et détruisent
les protéines, ils inhibent le système immunitaire du corps, causent des rides, la jaunisse.
6.4.6
Les rayons-X
Les rayons X ont été découverts en 1895 par le physicien allemand Wilhelm Röntgen.
Les rayons X sont une forme de rayonnement électromagnétique à haute fréquence
constitué de photons dont la longueur d’onde est comprise approximativement entre 1pm
et 10nm. L’énergie de ces photons va d’une centaine d’eV (électron-volt) à environ un
MeV. L’énergie du photon est tellement grande qu’un seul photon-X peut interagir avec
la matière.
Le mécanisme principal de production des rayons-X est la décélération rapide des
particules chargées animées d’une grande vitesse initiale. Les rayons-X sont utilisés
en radiographie (20keV −100keV ), les films obtenus révèlent la cartographie de l’absorption
sélective de ces radiations par les tissus, les os du corps. En 1970, le mixage des rayons-X
et de l’ordinateur a produit l’imagerie à rayons-X ou la tomographie.
6.4.7
Les rayons-gamma
Il n’y a aucune différence entre les rayons-X et les rayons gamma autre que le fait
que les premiers ont une origine atomique (électrons atomiques) et les seconds, elle est
nucléaire. Certains hôpitaux modernes sont équipés de dispositifs sophistiqués, accélérateurs linéaires, bêtatrons, qui produisent des faisceaux d’électrons de plusieurs MeV,
lesquels produisent des photons énergétiques utilisés pour soigner le cancer.
6.5
Origines des ondes électromagnétiques
Les ondes électromagnétiques, dans le vide, ont la même célérité mais diffèrent par leurs
longueurs d’ondes (fréquences). Elles ont une origine commune : les ondes électromagnétiques sont émise par des charges en mouvement non uniforme.
6.5.1
Charge libre
Une charge libre (non liée à un atome) émet un rayonnement si son mouvement est non
uniforme. Une particule chargée accélérée rayonne une radiation électromagnétique, une
partie de son énergie cinétique est convertie en énergie rayonnante.
6.5.2
Dipôle oscillant
Il s’agit de deux charges vibrant dans un sens puis dans l’autre, le long d’une ligne
droite. En technique, on exploite ce processus en connectant un générateur alternatif à
deux tiges conductrices et en y envoyant des courants oscillants vers le haut puis vers le
bas de "l’antenne" de transmission. On obtient une tour d’émission radio AM normale.
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85
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
6.5.3
Photon
a. Quantification de l’énergie rayonnante
En 1900, le physicien allemand Max Planck, afin d’expliquer
le rayonnement du corps noir, émit l’hypothèse de la quantification de l’énergie rayonnante.
Selon cette hypothèse,
l’énergie rayonnante ne peut prendre que des valeurs multiples entières d’une valeur minimale appelée
quantum d’énergie donnée par :
E = hν
Figure 6.5 – Max
Planck, en 1933 (18581947).
(6.8)
où h est la constante de Planck et ν, la fréquence
du rayonnement. La constante de Planck vaut :
h = 6, 625 × 10−34 Js.
En 1905, Albert Einstein expliqua l’effet photo-électrique en utilisant
l’hypothèse de la quantification de Planck. Selon lui, les échanges entre le
rayonnement et la matière sont quantifiées. De ce fait, la lumière revêt un
aspect corpusculaire et chaque "grain" de lumière est appelé photon.
Figure 6.6 –
Albert Einstein
(1879-1955).
b. L’hypothèse de De Broglie
La théorie de Maxwell stipule que la lumière est une onde tandis que celle d’Einstein appuie l’aspect corpusculaire. Alors, la
lumière est-elle une onde ou constituée de particules ?
La solution à ce problème fût trouvée en 1924 par Louis de De
Broglie. Il stipule :
A toute particule en mouvement, de masse m, on associe la propagation d’une onde de célérité v et de longueur d’onde λ telle que
Figure 6.7 – Louis de
Broglie (1892-1987).
λ=
h
p
(6.9)
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86
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
où p est la quantité de mouvement de la particule.
Cette théorie fût confirmée en 1927 par l’expérience de Davisson et Germer sur la
diffraction des électrons, celle-ci conduisit à la construction du microscope électronique.
Donc, la lumière a les deux aspects. On parle de dualité onde-corpuscule.
c. Quantification dans les systèmes matériels
Vers la fin du XIX e siècle, Balmer étudia le phénomène des
raies d’émission et d’absorption de l’hydrogène. Il déduit la formule
empirique :
ν = RH
1
1
− 2
2
n1 n2
!
(6.10)
où RH est la constante de Rydberg.
RH = 3, 29 × 1015 Hz.
En effet, le gaz hydrogène soumis à une décharge électrique émet
des rayonnements monochromatiques à des fréquences bien précises. Ni la Physique classique de Newton, ni la théorie électromagnétique de Maxwell ne permettait d’expliquer ce phénomène.
Figure 6.8 – Raies
spectrales d’émission du
césium.
En 1913, Niels Bohr émis l’hypothèse que l’origine de ce rayonnement était due à la
structure de l’atome. Selon cette théorie, les électrons dans l’atome ne peuvent qu’occuper
des niveaux d’énergie permis par leurs états énergétiques : l’énergie des niveaux atomiques
est quantifiée. L’énergie d’un niveau n est donnée par :
En =
−EI
n2
(6.11)
où EI est l’énergie de la première ionisation.
EI = 13, 6 eV.
Le spectre d’émission (ou d’absorption) s’explique par l’émission (ou l’absorption) d’un
quantum d’énergie rayonnante hν.
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87
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Figure 6.9 – Niveaux d’énergie d’un atome et schématisation du spectre d’émission et d’absorption.
6.6
Aspect énergétique des ondes électromagnétiques
Les ondes n’étant pas localisées, il est mieux de parler de densité d’énergie électromagnétique. En plus, les ondes transportant l’énergie à une certaine célérité, il est
mieux d’invoquer la densité d’énergie par unité de temps.
Soit la relation de Maxwell-Ampère ;
→
−
→
− →
−
→
−
∂D
;
∇×H = J +
∂t
→
−
→
−
avec D = ε0 E .
→
−
En prenant multipliant scalairement la relation ci-avant par E , on a :
→
−
→
− →
−
→
− →
−
−
∂D →
∇×H ·E = J ·E +
· E.
∂t
→
−
En utilisant la relation vectorielle suivante :
→
− →
− →
− −
→
− →
− − →
− →
∇ −
a × b = ∇ ×→
a · b − ∇ × b ·→
a.
(6.12)
On obtient l’expression suivante :
→
− →
−
∂
J ·E+
∂t
µ0 H 2
2
!
∂
+
∂t
ε0 E 2
2
!
→
− →
− →
−
+ ∇ · E × H = 0.
(6.13)
Définissons :
• La densité d’énergie électrique : εél =
ε0 E 2
;
2
• La densité d’énergie magnétique : εmagn =
µ0 H 2
;
2
• La densité d’énergie électromagnétique : εem = εél + εmagn =
ε0 E 2 µ 0 H 2
+
;
2
2
→
−
→
− →
−
• Le vecteur de Poynting : S = E × H .
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88
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Ainsi, on a le théorème de Poynting :
Théorème 6.2 Théorème de Poynting
Le flux du vecteur de Poynting dans le vide est proportionnel à l’énergie transportée
par l’onde électromagnétique par unité de temps.
→
− →
−
∂εem
= 0.
∇·S +
∂t
(6.14)
Théorème 6.3 Énergie électromagnétique dans le vide
Dans le vide, les densités d’énergie électrique et magnétique sont égales. De ce fait,
εem = ε0 E 2 .
(6.15)
L’intensité électromagnétique est l’énergie électromagnétique traversant une surface unité par unité de temps.
On écrira :
1 ∆εem
1
I=
≡ c ε0 E 2 .
(6.16)
S ∆t
2
De ce fait, la puissance électromagnétique est définie comme le flux du vecteur de
Poynting à travers une surface.
Z Z
→
− →
−
P=
S · dA
(6.17)
→
−
où d A est le vecteur surface.
6.7
Polarisation des ondes électromagnétiques
Soit une OPPH se propageant dans le sens des z > 0. Alors,
→
−
ω −
−
k =k→
ez≡ →
e z.
c
On a, par exemple :
→
−
−
−
E = Eox cos (ωt − kz) →
e x + Eoy cos (ωt − kz − φ) →
e y.
(6.18)
La direction et la trajectoire décrites par le champ électrique lors de la propagation de
l’o.e.m. caractérise la polarisation de l’onde électromagnétique.
6.7.1
Polarisation rectiligne
Dans ce cas, le vecteur champ électrique garde une direction fixe dans un plan d’onde.
−
→
−−−−−−−→
−
E =E →
u
(6.19)
→
−
→
−
−
avec E = E0 cos (ωt − kz − φ) et →
u = cos α i + sin α j .
L’extrémité du vecteur champ électrique décrit un segment de droite faisant un angle α
avec l’axe Ox.
Remarque 6.1 L’OPPH, la plus générale, est obtenue par la superposition de deux ondes
polarisées rectilignement selon deux directions orthogonales, le déphasage entre les deux
étant quelconque.
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CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
89
Figure 6.10 – État de polarisation rectiligne.
6.7.2
Polarisation elliptique
En effet,
→
−
−
−
E = Eox cos (ωt − kz) →
e x + Eoy sin (ωt − kz − φ) →
ey
(6.20)
avec Eox et Eoy sont pris dans R⋆+ .
→
−
L’extrémité du vecteur E décrit une ellipse d’axes quelconques.
En effet,

2
Eoy
Ex −
Ex cos φ 
Ex 2 
Eox

+

 = 1.


Eox
Eox
Remarque 6.2
1. Si φ =
(6.21)
π
3π
ou
, les axes de l’ellipse sont les axes de coordonnées.
2
2
3π
π
ou
et que Eox = Eoy , la polarisation est circulaire. Si le champ
2. Si φ =
2
2
électrique tourne dans le sens physique, on parle de polarisation droite. Dans le
cas contraire, c’est une polarisation gauche.
3. Si φ = 0 ou π, l’ellipse se réduit à un segment de droite. L’onde est polarisée rectilignement.
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90
CHAPITRE 6. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Exercices sur le chapitre 6
Exercice 6.5 Soit l’OPPH ci-dessous :
→
−
π →
−
−
E = Eox cos (ωt − kz) →
e x + Eoy sin ωt − kz −
e y.
4
Quel est son état de polarisation ?
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Bibliographie
[1] Moued, M. (2022). Électricité et Magnétisme. Cours et exercices corrigés. Cours UEG1.
Intitulé : Physique II, Centre Universitaire Nour Bachir El Bayadh.
[2] Edminister, J. A. (1997). Theory and Problems of Electromagnetics. The McGraw-Hill
Companies.
[3] Benson, H. (2015). Physique II : Électricité et Magnétisme (Vol. 2). De Boeck Supérieur.
[4] Tami, A. (2020). Équations Différentielles Ordinaires Cours et exercices d’applications
Année universitaire.
[5] Arfken, G. B., Weber, H. J. (2005). Mathematical methods for physicists. Elsevier.
[6] Taillet, R., Villain, L., Febvre, P. (2018). Dictionnaire de physique. De Boeck Supérieur.
[7] Sanz, M. N., Salamito, B. (2009). Physique tout-en-un PC-PC*-Le cours de référence.
Dunod.
[8] Queyrel, J. L., & Mesplède, J. (1987). Précis de physique : Classes préparatoires,
premier cycle universitaire : cours, exercices résolus. Électricité 1. Bréal.
[9] Queyrel, J. L., & Mesplède, J. (1987). Précis de physique : Classes préparatoires,
premier cycle universitaire : cours, exercices résolus. Électricité 1. Bréal.
[10] Courti, A. Cours d’Electricité et magnétisme, 203-NYB-05, Campus Notre-Dame-deFoy, 04 Aout 2021.
[11] Ferreira, J., Cours de Magnétostatique, DEUG Sma – SP2-2, Université Joseph Fourier, Année universitaire 2001-2002.
91