IT-University Exercices d’arithmétique Exercice 1. Les questions suivantes sont indépendantes: 1. Démontrer que l’entier 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22025 n’est pas premier; √ 2. Montrer en utilisant la valuation p-adique que 12 n’est pas un nombre rationnel. √ 3. Soit n un entier. Pour quel valeur de n le nombre réel n2 + 1 soit rationnel? 4. Trouver le plus petit entier naturel non nul qui est divisible par tout les entiers naturels inférieur ou égal à 40; 5. Trouver le 2019-ième nombre premier; 6. Montrer que 41 est inversible dans Z/2025Z. Calculer son inverse; 7. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20202020 par 13. 8. Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Déterminer le pgcd de 5n + 3 et 7n + 2. 9. Calculer pgcd(2a − 1, 2b − 1) pour tout a et b entiers naturels non nuls. 20252025 10. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20252025 par 17. 11. Soient p et q deux nombres premiers distincts. Montrer que pq divise pq−1 + q p−1 − 1. Exercice 2. On dispose d’un récipient de 25 litres et d’un de 19 litres. Peut-on remplir un bassin avec exactement 67 litres d’eau, en utilisant les deux récipients pour verser de l’eau dans le bassin ou pour en retirer? Si la réponse est oui, comment procède t-on, puis trouver la ”solution minimale”? Exercice 3. Soit n un entier. Montrer que 66 divise n11 − n. Exercice 4. 1. Résoudre dans Z/4393Z le système suivant: ( x ≡ 7 mod 191; x ≡ 10 mod 23. 2. Résoudre dans Z le système suivant: ( x ≡ 3 mod 101; x ≡ 9 mod 41. 1 3. Résoudre dans Z le système suivant: x ≡ 3 mod 5; x ≡ 1 mod 4; x ≡ 4 mod 7. Problème de Sunzi (D’où le nom Théorème chinois) Supposons que l’on ait un nombre inconnu d’objets. S’ils sont comptés par 3, il en reste 2, s’ils sont comptés par 5, il en reste 3 et s’ils sont comptés par 7, il en reste 2. Combien d’objets y a-t-il ? Exercice 6. Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d’or d’égale valeur. Ils projettent de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent, et six d’entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le cuisinier sont sauvés, et le partage donnerait alors 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates? 2