Fonctions de Deux Variables
Cours de Mathématiques
Table des matières
1 Introduction aux Fonctions de Deux Variables
1.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 Représentation Graphique
2.1 Graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3 Dérivées Partielles
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
4 Points Critiques et Extrema Locaux
4.1 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Critère de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
5 Exercices
5
1
1
Introduction aux Fonctions de Deux Variables
Définition 1.1. Une fonction de deux variables est une application f : D ⊂ R2 → R qui
associe à chaque couple (x, y) du domaine D un unique nombre réel z = f (x, y).
Exemple 1.1. f (x, y) = x2 + y 2 est une fonction de deux variables définie sur R2 .
1.1
Domaine de définition
Le domaine de définition d’une fonction f (x, y) est l’ensemble des couples (x, y) pour
lesquels f (x, y) existe et est un nombre réel.
Exemple 1.2. Pour f (x, y) = ln(x2 +y 2 −1), le domaine est Df = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 >
1}.
2
Représentation Graphique
2.1
Graphe d’une fonction
Le graphe d’une fonction f (x, y) est l’ensemble des points (x, y, z) de R3 tels que
z = f (x, y). C’est une surface dans l’espace tridimensionnel.
2.2
Lignes de niveau
Définition 2.1. Une ligne de niveau de hauteur c est l’ensemble des points (x, y) du
domaine tels que f (x, y) = c. C’est la courbe d’équation f (x, y) = c dans le plan xy.
Exemple 2.1. Pour f (x, y) = x2 + y 2 , les lignes de niveau sont des cercles centrés à
l’origine : x2 + y 2 = c avec c ≥ 0.
Les lignes de niveau permettent de visualiser la fonction en deux dimensions et donnent
des informations sur la topographie de la surface.
3
Dérivées Partielles
3.1
Définition
Définition 3.1. La dérivée partielle de f par rapport à x au point (x0 , y0 ) est :
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
De même, la dérivée partielle par rapport à y est :
∂f
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂y
h
Pour calculer ∂f
, on dérive par rapport à x en considérant y comme une constante.
∂x
∂f
De même pour ∂y .
2
Exemple 3.1. Pour f (x, y) = x3 y 2 + xy :
∂f
= 3x2 y 2 + y
∂x
∂f
= 2x3 y + x
∂y
3.2
Dérivées partielles d’ordre supérieur
On peut dériver à nouveau les dérivées partielles :
∂ 2f
,
∂x2
∂ 2f
,
∂y 2
∂ 2f
,
∂x∂y
∂ 2f
∂y∂x
Théorème 3.1 (Théorème de Schwarz). Si f admet des dérivées partielles secondes
continues, alors :
∂ 2f
∂ 2f
=
∂x∂y
∂y∂x
3.3
Notion de différentielle
Une fonction f (x, y) est différentiable en (x0 , y0 ) si elle peut être approximée localement par un plan tangent. La différentielle de f est :
df =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
Cette notion généralise la dérivée à plusieurs variables et permet d’approximer les
variations de f .
4
Points Critiques et Extrema Locaux
4.1
Points critiques
Définition 4.1. Un point (x0 , y0 ) est un point critique de f si :
∂f
(x0 , y0 ) = 0 et
∂x
4.2
∂f
(x0 , y0 ) = 0
∂y
Critère de Monge
Pour déterminer la nature d’un point critique, on utilise le critère de Monge basé sur
la matrice hessienne :
!
2
2
H=
∂ f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂ f
∂x∂y
∂2f
∂y 2
On calcule le déterminant de la matrice hessienne (déterminant de Monge) :
∂ 2f ∂ 2f
·
−
∆=
∂x2 ∂y 2
3
∂ 2f
∂x∂y
2
Théorème 4.1 (Critère de Monge). Soit (x0 , y0 ) un point critique de f . On note r =
∂2f
(x0 , y0 ) et ∆ le déterminant hessien en ce point.
∂x2
— Si ∆ > 0 et r > 0 : (x0 , y0 ) est un minimum local
— Si ∆ > 0 et r < 0 : (x0 , y0 ) est un maximum local
— Si ∆ < 0 : (x0 , y0 ) est un point selle
— Si ∆ = 0 : le critère ne permet pas de conclure
Exemple 4.1. Pour f (x, y) = x2 + y 2 :
— Point critique : (0, 0)
2
2
2
∂ f
=0
— ∂∂xf2 = 2, ∂∂yf2 = 2, ∂x∂y
— ∆ = 2 · 2 − 02 = 4 > 0 et r = 2 > 0
— Donc (0, 0) est un minimum local (et global)
4
5
Exercices
Exercice 1 (Production industrielle). Une entreprise produit deux types de produits A
et B. Le profit quotidien (en milliers d’euros) est donné par :
P (x, y) = −2x2 − y 2 + 8x + 6y − xy + 10
où x est la quantité de produit A (en centaines) et y la quantité de produit B (en centaines).
1. Déterminer le domaine de définition naturel de cette fonction.
2. Calculer les dérivées partielles ∂P
et ∂P
.
∂x
∂y
3. Trouver les points critiques de P .
4. Calculer les dérivées partielles secondes.
5. Calculer le déterminant de la matrice hessienne au point critique.
6. Utiliser le critère de Monge pour déterminer la nature du point critique.
7. Quelle est la production optimale pour maximiser le profit ?
8. Quel est le profit maximal réalisable ?
9. Tracer quelques lignes de niveau de la fonction profit.
10. Interpréter économiquement le résultat obtenu.
Exercice 2 (Surface topographique). Une colline est modélisée par la fonction :
h(x, y) = 100 − x2 − 2y 2
où h représente l’altitude en mètres et (x, y) les coordonnées horizontales en centaines de
mètres.
1. Quel est le domaine de définition si on considère seulement les altitudes positives ?
2. Déterminer l’altitude au point (0, 0).
(3, 2) et interpréter physiquement ce résultat.
3. Calculer ∂h
∂x
4. Calculer ∂h
(3, 2) et interpréter.
∂y
5. Trouver le sommet de la colline (point le plus haut).
6. Déterminer l’équation de la ligne de niveau à altitude 75m.
7. Tracer la ligne de niveau à altitude 50m.
8. Quelle est la forme géométrique des lignes de niveau ?
9. Utiliser le critère de Monge pour confirmer que le sommet est bien un maximum.
10. À quelle distance du centre (0, 0) se trouve la ligne de niveau d’altitude 0 ?
Exercice 3 (Température d’une plaque). La température d’une plaque métallique est
donnée par :
T (x, y) = x2 y − 2xy 2 + 10
où T est en degrés Celsius et x, y en centimètres.
1. Calculer la température au point (1, 1).
2. Calculer ∂T
et ∂T
.
∂x
∂y
3. Trouver tous les points critiques de T .
5
4. Pour chaque point critique, calculer les dérivées secondes.
5. Appliquer le critère de Monge à chaque point critique.
6. Identifier les maxima, minima et points selles.
7. Déterminer l’équation de la ligne isotherme (ligne de niveau) à T = 10C.
8. Calculer la différentielle dT au point (2, 1).
9. Si on se déplace du point (2, 1) de dx = 0.1 et dy = −0.05, estimer la variation de
température.
10. Tracer approximativement quelques lignes isothermes.
Exercice 4 (Fonction de Cobb-Douglas). En économie, une fonction de production de
Cobb-Douglas s’écrit :
Q(K, L) = AK α Lβ
où Q est la quantité produite, K le capital, L le travail, et A, α, β > 0 sont des constantes.
On considère :
Q(K, L) = 10K 0.4 L0.6
1. Calculer la production pour K = 16 et L = 81.
∂Q
(productivité marginale du capital).
2. Calculer ∂K
3. Calculer ∂Q
(productivité marginale du travail).
∂L
4. Évaluer les productivités marginales en (K, L) = (16, 81).
2
2
∂ Q
∂ Q
5. Vérifier que ∂K∂L
= ∂L∂K
.
6. Cette fonction admet-elle des points critiques dans K > 0, L > 0 ?
7. Déterminer l’équation de la ligne de niveau Q = 100.
2
∂ Q
8. Calculer ∂K
2 et déterminer son signe.
9. Que peut-on dire sur la concavité de Q par rapport à K ?
10. Interpréter économiquement le fait que α + β = 1.
Exercice 5 (Paraboloïde hyperbolique). Soit la fonction :
f (x, y) = x2 − y 2
1. Tracer les lignes de niveau pour c = −4, −1, 0, 1, 4.
2. Quelle est la forme des lignes de niveau pour c > 0 ? Pour c < 0 ? Pour c = 0 ?
3. Calculer les dérivées partielles premières.
4. Trouver le(s) point(s) critique(s).
5. Calculer les dérivées partielles secondes.
6. Calculer le déterminant hessien au point critique.
7. Quelle est la nature du point critique selon le critère de Monge ?
8. Cette surface est appelée "selle de cheval". Expliquer pourquoi.
9. Calculer f le long de la droite y = 0. Que remarque-t-on ?
10. Calculer f le long de la droite x = 0. Comparer avec la question précédente.
6
Exercice 6 (Distance minimale). On cherche le point du plan x + 2y + z = 6 le plus
proche de l’origine. On peut formuler cela comme : minimiser
d(x, y) = x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + (6 − x − 2y)2
1. Développer d(x, y) et simplifier.
∂d
∂d
et ∂y
.
2. Calculer ∂x
∂d
∂d
3. Résoudre le système ∂x
= 0 et ∂y
= 0.
4. Trouver le point critique (x0 , y0 ).
5. Calculer z0 correspondant.
6. Calculer les dérivées secondes de d.
7. Appliquer le critère de Monge.
8. Vérifier qu’il s’agit bien d’un minimum.
9. Calculer la distance minimale.
10. Vérifier que le vecteur (x0 , y0 , z0 ) est orthogonal au plan.
Exercice 7 (Optimisation sous contrainte visuelle). Soit f (x, y) = xy et la contrainte
x2 + y 2 = 8.
1. Tracer la contrainte dans le plan xy.
2. Calculer ∂f
et ∂f
.
∂x
∂y
3. Exprimer y en fonction de x à partir de la contrainte (considérer y > 0).
√
4. Substituer dans f pour obtenir g(x) = f (x, 8 − x2 ).
5. Dériver g(x) et trouver les points critiques.
6. Déterminer les points (x, y) candidats pour l’optimum.
7. Évaluer f en ces points.
8. Identifier le maximum et le minimum de f sur la contrainte.
9. Tracer quelques lignes de niveau de f et visualiser l’optimum.
10. Que représentent géométriquement les lignes de niveau de f ?
Exercice 8 (Potentiel électrostatique). Le potentiel électrique créé par deux charges est :
k
k
V (x, y) = p
+p
(x − 1)2 + y 2
(x + 1)2 + y 2
où k > 0 est une constante. On prend k = 1 pour simplifier.
1. Où se trouvent les deux charges ?
2. Quel est le domaine de définition de V ?
3. Calculer V (0, 0).
4. Par symétrie, où peut se trouver un point critique ?
5. Calculer ∂V
(0, 0).
∂y
(calcul général).
6. Calculer ∂V
∂x
7. Évaluer ∂V
(0, 0).
∂x
7
8. Le point (0, 0) est-il un point critique ?
9. Tracer approximativement quelques lignes équipotentielles (lignes de niveau).
10. Le potentiel admet-il un minimum ou maximum sur le domaine ?
Exercice 9 (Fonction polynomiale). Soit :
f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
1. Calculer ∂f
et ∂f
.
∂x
∂y
2. Résoudre le système pour trouver les points critiques.
3. Combien de points critiques trouve-t-on ?
4. Calculer les dérivées partielles secondes.
5. Pour chaque point critique, calculer le déterminant hessien.
6. Appliquer le critère de Monge à chaque point critique.
7. Identifier la nature de chaque point critique.
8. Calculer f en chaque point critique.
9. Tracer la ligne de niveau f (x, y) = 0.
10. Cette courbe passe-t-elle par les points critiques ?
Exercice 10 (Fonction exponentielle). Une population de deux espèces en interaction est
modélisée par :
2
2
N (x, y) = 100e−(x +2y −xy)
où x et y sont des paramètres environnementaux.
1. Quelle est la valeur de N (0, 0) ?
2. Calculer ∂N
en utilisant la règle de dérivation composée.
∂x
3. Calculer ∂N
.
∂y
4. Trouver les points critiques.
5. Simplifier en posant u(x, y) = x2 + 2y 2 − xy et trouver les points critiques de u.
6. Calculer les dérivées secondes de u.
7. Appliquer le critère de Monge à u.
8. En déduire la nature du point critique de N .
9. Déterminer la population maximale.
10. Tracer quelques lignes de niveau de N .
8