KUSONIKA YEMUENI NEWTON DOCTORANT PTC / FASEG / UNIKIN
CORRIGE EXAMEN D’OPTIMISATION MASTER I
Question n°1
a)Soit 𝑥1 , le nombre de lots de 5 citrons et 1 orange et 𝑥2 le nombre de lots de 1 citron et 10
oranges. Le problème est de maximiser le prix de vente total :
𝑅 = 400𝑋1 + 600𝑋2 , sous les contraintes :
5𝑋1 + 𝑋2 ≤ 60
𝑋1 + 10𝑋2 ≤ 110
𝑋1 ≥ 0 et 𝑋2 ≥ 0
Tableau n°1
Ci
0
0
∆𝐽
i
3
4
400
400
X1
5
1
600
600
X2
1
10
400
X1
49/10
1 /10
600
600
X2
0
1
400
X1
1
0
600
600
X2
0
1
0
0
X3
1
0
X4
0
1
Voi
60
110
R=0
Tableau n° 2
Ci
0
600
∆𝐽
i
3
4
400
0
0
X3
1
0
X4
-1/10
1/10
0
0
X3
60/49
-1/49
X4
-1/49
5/49
Voi
49
110
R=
6600
Tableau n°3
Ci
400
600
∆𝐽
i
1
2
400
Voi
10
10
R=
10000
Tous les ∆𝐽 sont négatifs . le tableau est donc optimal. Ainsi le maraicher devra vendre 10 lots
de 5 citons et 1 orange, ainsi que 10 lots de 1 citron et 10 oranges pour gagner un revenu de
10.000 F.
b)Soit 𝑌1 , le prix du citron et 𝑌2 celui de l’orange . le probleme du grossiste est de vendre de
stock au maraicher au prix global de : 𝑃 = 60 𝑌1 + 110 𝑌2 qui doit être minimisé sous les
contraintes de non –négativité 𝑌1 ≥ 0 et 𝑌2 ≥ 0 et sachant que le prix de vente doit etre
supérieur au prix de lot ( 5𝑌1 + 𝑌2 ≥ 400 et 𝑌1 + 10𝑌2 ≥ 60 )
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Cependant, la solution peut aussi s’obtenir à partir du tableau optimal du primal. Soit le tableau
suivant donne les relation d’exclusions entre primal et dual :
contrainte
Contrainte
VP
X1
Y3
VE
VE
X2 X3
Y4 Y1
VP
X4
Y2
Tableau optimal du dual :
Ci
60
i
1
400
X1
1
110
2
0
1
X3
60/49
1/49
-
-
10
∆𝐽
600
X2
0
0
0
X4
1/49
Voi
3400/49
5/49
10
2600
/49
P=
10000
𝑌1 : le prix du citron = 3400 /49 et 𝑌2 celui de l’orange = 2600 / 49.
Le grossiste vendra le stock au maraicher au global de :
P = 60 (3400 / 49) + 110 (2600 /49) = 10.000
Question n°2
Le modèle ci-après est un modèle de marché avec prévision sur l’évolution des prix.
Qdt = 20 – pt + 2 (p t + 1 – p t - 1), Qst = –7 + 2 pt et Qdt = Qst où Qdt est la fonction de
demande à l’instant t, et Qst la fonction d’offre à l’instant t.
a) Trouver le niveau d’équilibre
Solution :
Qdt – Qst 20 – pt + 2 (p t + 1 – p t - 1) – (–7 + 2 pt) = 0
20 – pt + 2 p t + 1 – 2p t - 1 + 7 – 2 pt = 0
27 + 2 p t + 1 – 3 pt – 2p t - 1 = 0
D’où l’équation aux différences linéaire d’ordre 2 non homogène en ajoutant +1 à l’indice t :
2 p t + 2 – 3 pt + 1 – 2p t = –27
p t + 2 – 3/2 pt + 1 – p t = –27/2
Le prix d’équilibre Pe = Pp = (–27/2) / (1 – 3/2 – 1) = 9
L’équation auxiliaire étant :
2
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b² – 3/2 b –1 = 0,
3 5
b1
2
2 2 .
= 25/4 et = 5/2 et
b2
0,5
2
Le cheminement temporel du prix Pt (solution générale) est donc :
Pt = C1 2t + C2 (–1/2)t + 9.
Les deux racines n’étant pas toutes inférieures a 1 en valeur absolue, le niveau d’équilibre n’est
pas globalement stable. Il n’y a donc pas convergence en général ou il y a divergence en général.
Par ailleurs 𝑎0 = -1 ; 𝑎1 = -3/2 et 𝑎2 = -1
−1 1
] = 0 viole la condition de SCHUR qui veut que tous les ∆𝑖
1 −1
∆1 = [
notamment ∆1 soit positifs. Ce qui interdit la convergence.
b)Pe n’étant pas globalement stable en général, il faut définir l’ensemble de stabilité S comme
suit . le cheminement temporel du prix est :
Pt = C1 2t + C2 (–1/2)t + 9.
On doit définir les conditions initiales qui annulent C1, la constante arbitraire associée à la
racine ne remplissant pas la condition de convergence :
Si t = 0 ; P0 = C1 + C2 + 9.
Si t = 1 ; P1 = 2C1 + C2 (–1/2) + 9.
La combinaison L1 +L2 nous donne : P0 + 2 P1 = 5 C1 +27
Il s’ensuit : P0 + 2 P1 − 27= 5 C1 posons : C1 = 0
P0 + 2 P1 − 27= 0
Ainsi S = {(P0 , P1) / P0 + 2 P1 − 27= 0 }
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Question n°4
Soit 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) = 4𝑥12 + 𝑥22 + (12 − 2𝑥1 − 3𝑥2 )2
a)𝐹𝑥′ 1 = 8 𝑥1 + 2 (12 − 2𝑥1 − 3𝑥2 ) (−2) = 0
16 𝑥1 + 12 𝑥2 = 48 (1)
𝐹𝑥′ 2 = 2 𝑥2 + 2 (12 − 2𝑥1 − 3𝑥2 ) (−3) = 0 (2)
12 𝑥1 + 20 𝑥2 = 72 (2)
16 𝑥1 + 12 𝑥2 = 48 (1)
12 𝑥1 + 20 𝑥2 = 72 (2)
{
La résolution du système donne la solution :
𝑥1∗ = 36/11 et 𝑥2∗ = 6/11 les points critiques
′′
′′
′′
b)𝑭′′
𝑥1 = 16 ; 𝑭𝑥2 = 20 ; 𝑭𝑥1 𝑥2 = 𝑭𝑥2 𝑥1 = 12
La matrice Hessienne se présente de la manière suivante :
H=(
16
12
12
)
20
|𝐻1 | = 16> 0 et |𝐻2 | = 320 – 144 = 176 > 0
c)La matrice est définie positive donc la fonction atteint un minimum ou convexe.
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