Performances des SLIT asservis

Introduction
Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Performances des SLIT asservis
Mohammed TALEB
Année universitaire : 2024/2025
Mohammed TALEB
Automatique: chapitre 1
2024/2025
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Introduction
Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Introduction
Un SLIT asservi est un système mis en boucle fermée telle que son entrée dépend de sa
sortie. Le schéma d’asservissement le plus simple consiste à mettre le système seul en
boucle fermée à retour unitaire. Dans ce cas, l’entrée du système e(t) est tout simplement
la différence entre la sortie y (t) et l’entrée de la boucle yref (t)
yref (t)
+
−
e(t)
G(p)
y (t)
En réalisant une boucle d’asservissement, on s’attend à ce que la boucle fermée soit
stable (Stabilité) et à ce que la sortie y (t) converge vers l’entrée de la boucle yref (t)
(Précision) le plus rapidement possible (Rapidité).
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Introduction
Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Stabilité
Définition
Un système est dit stable si en l’absence de l’entrée, la sortie convergera asymptotiquement
vers 0 quelques soient les conditions initiales.
e(t)
y (t)
t0
t
t0
t
L’exemple ci-dessus montre la réponse d’un système stable à un signal carré. En effet, à
partir de l’instant t = t0 l’entrée est nulle, et on remarque bien que la sortie y (t) tend vers
0. Par contre le système ci-dessous est instable, puisque la sortie ne converge pas vers 0
lorsque l’entrée devient nulle après l’instant t0 .
e(t)
y (t)
t0
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t
Automatique: chapitre 1
t0
t
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Introduction
Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère de stabilité : calcul explicite des pôles
On considère un SLIT de fonction de transfert décrit par une équation différentielle d’ordre
n:
n
X
ak y (k) =
m
X
bl e (l)
l=0
k=0
Supposons qu’à l’instant t = 0 le système n’a plus d’entrée (évolution par inertie), alors à
partir de cet instant là, le comportement dynamique du système est régi par l’ED
n
X
ak y (k) = 0
k=0
avec les conditions initiales y (0), ẏ (0), . . . , y (n−1) (0).
La transformée de Laplace de cette équation permet d’exprimer la sortie Y (p) sous forme
de fraction de polynômes en p
N(p)
Y (p) = n
X
ak p k
k=0
tels que N(p) est un polynôme dépendant des conditions initiales de degré au plus égal à
n − 1 et
n
X
ak p k est le dénominateur de la fonction de transfert H(p) du système.
k=0
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Automatique: chapitre 1
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère de stabilité : calcul explicite des pôles
On pose D(p) =
n
X
ak p k . Les racines de D(p) sont les pôles de la fonction de transfert
k=0
H(p). On note :
p1 , p2 , . . . , ps les pôles réels de multiplicités respectives α1 , α2 , . . . , αs .
(ps+1 , p̄s+1 ), . . . , (pl , p̄l ) les pôles complexes (2 à 2 conjugués) de multiplicités respectives
αs+1 , . . . , αl .
alors la sortie y (t) s’écrit
y (t) =
s
X
p t
l
X
k=1
k=s+1
e k Pk (t) +
e Re(pk )t [cos(Im(pk )t)Qk (t) + sin(Im(pk )t)Rk (t)]
avec Pk , Qk et Rk des polynômes réels de degré inférieur ou égal à αk − 1.
Il est clair d’après l’expression de y (t) que la convergence asymptotique vers 0 n’est possible
que si
pk < 0
si pk est un pôle réel
Re(pk ) < 0
si pk est un pôle complexe
d’où le théorème suivant :
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Automatique: chapitre 1
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Rapidité des SLIT
Critère de stabilité : calcul explicite des pôles
Théorème
Soit H(p) la fonction de transfert d’un SLIT ayant n pôles. Une condition nécessaire et
suffisante pour que le système soit stable est
∀k ∈ [1, . . . , n]
Re(pk ) < 0
Exemples
G(p) =
p+2
(p + 3)(p + 5)
Im(p)
-5
×
-3 -2
×
y (t)
Re(p)
t
2 pôles stables
Système stable
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Réponse indicielle
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Rapidité des SLIT
Critère de stabilité : calcul explicite des pôles
G(p) =
0.0005(p + 2)
(p + 3)(p − 1)
Im(p)
-3
×
-2
pôle stable
1
×
y (t)
Re(p)
t
pôle instable
Système instable
Réponse indicielle
Remarque
Un pôle est dit stable si sa partie réelle est strictement négative. Dans le cas contraire, il
est dit instable.
Ce critère nécessite le calcul explicite des pôles. Ce calcul devient difficile lorsqu’il s’agit
d’un système d’ordre 3 ou plus. D’où la nécessité d’un autre critère.
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Rapidité des SLIT
Critères de stabilité : critère de Routh
Critère algébrique de Routh
Soit H(p) la fonction de transfert d’un SLIT exprimée sous forme de fraction de polynômes
N et D
N(p)
H(p) =
D(p)
avec
D(p) =
n
X
ak p k
et
an > 0
k=0
Condition nécessaire de stabilité
Une condition nécessaire de stabilité est
∀k ∈ [0, . . . , n]
ak > 0
Cette condition permet de vérifier l’instabilité plutôt que la stabilité. En effet, si au moins
un coefficient du dénominateur est négatif (nul ou strictement négatif), le système est
instable. Dans le cas contraire on ne peut rien dire.
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Rapidité des SLIT
Critères de stabilité : critère de Routh
Exemple
H(p) =
1
p3 + p + 4
Le dénominateur de cette fonction de transfert s’écrit
D(p) = 1p 3 + 0p 2 + 1p + 4
Le coefficient a2 est nul. Donc le système est instable.
Remarque
Cette condition nécessaire est également suffisante pour les systèmes de 1er et de 2ème
ordre.
Condition nécessaire et suffisante de stabilité
On construit le tableau de Routh en plaçant la suite des coefficients ak sur deux lignes,
dans l’ordre des n décroissants, alternativement une ligne sur deux.
D(p) = an p n + an−1 p n−1 + . . . + a1 p + a0
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avec
an > 0
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Rapidité des SLIT
Critères de stabilité : critère de Routh
pn
an
an−2 an−4 · · ·
p n−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
p n−2 b1
b2
b3
···
p n−3 c1
c2
c3
···
···
···
···
···
···
p2
∗
∗
···
p
∗
···
1
∗
···
Les éléments de la troisième ligne se calculent comme suit :
det
an−1
b1 = −
an
an−1
b2 = −
an−4
an−5
an−6
an−7
an−1
det
Mohammed TALEB
an−2
an−3
an−1
det
b3 = −
an
an
an−1
an−1
=
an−1 an−2 − an an−3
an−1
=
an−1 an−4 − an an−5
an−1
=
an−1 an−6 − an an−7
an−1
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critères de stabilité : critère de Routh
les éléments de la quatrième ligne se calculent comme suit :
det
c1 = −
an−1
b1
an−3
b2
an−5
b3
an−7
b4
b1
det
c2 = −
an−1
b1
b1
det
an−1
b1
=
b1 an−3 − an−1 b2
b1
=
b1 an−5 − an−1 b3
b1
b1 an−7 − an−1 b4
=
b1
b1
Le système est stable si et seulement si les coefficients de la première colonne du tableau
de Routh sont tous strictement positifs.
Exemple
c3 = −
On considère le système donné par sa fonction de transfert
G(p) =
K
p(1 + p)(1 + 0.1p)
Quelle condition doit satisafaire le gain K pour que le système soit stable en boucle fermée ?
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Critères de stabilité : critère de Routh
La fonction de transfert en boucle fermée à retour unitaire s’écrit
H(p) =
G(p)
K
=
1 + G(p)
p(1 + p)(1 + 0.1p) + K
Le dénominateur est alors
D(p) = 0.1p 3 + 1.1p 2 + p + K
Tableau de Routh
p3
p2
0.1
1.1
1
K
p
1.1 − 0.1K
1.1
K
0
1
0
alors le système est stable en boucle fermée si et seulement si
0 < K < 11
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Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Critère graphique de Revers
C’est un critère graphique qui s’applique aux systèmes stables en boucle ouverte pour
étudier la stabilité en boucle fermée.
Énoncé du critère
Un système stable en boucle ouverte est stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist de sa
fonction de transfert en boucle ouverte, laisse le point critique −1 à gauche dans le sens
des pulsations croissantes.
Im(G(jω))
−1
Im(G(jω))
ω → +∞
ω → +∞
Re(G(jω))
−1
Re(G(jω))
ω→0
ω→0
Système stable en BF
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Système instable en BF
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Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Remarque
Le critère de Revers peut s’appliquer également aux systèmes ayant un seul pôle nul.
Marges de stabilité
Le comportement d’un système est déterminé par sa fonction de transfert qui est fixée
quand les valeurs des paramètres qui interviennent dans son expression ont été précisées,
calculées ou estimées. Cependant, au cours du fonctionnement du système, ces paramètres
peuvent changer et s’écarter de leurs valeurs dites nominales. Cela impose à assurer un certain degré de stabilité tel que les variations éventuelles des paramètres et les perturbations
incidentes sur le système au cours de son fonctionnement ne déstabilisent pas ce dernier.
Il est aussi important de ne pas oublier l’influence des retards : ils peuvent avoir un effet
déstabilisateur en faisant tourner le lieu de Nyquist dans le sens des phases négatives.
Le degré de stabilité est quantifié par l’éloignement du lieu de Nyquist au point critique
−1. Il est important de prendre en compte qu’on ne peut se contenter de se placer trop
près du point critique : il faut prévoir des MARGES.
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Marge de gain
On considère un SLIT de fonction de transfert G(p) dont le lieu de Nyquist est représenté
sur la figure ci-dessous.
Plus la distance OA est inférieure à 1, plus le
système est stable en BF. On définit alors la
marge de gain, qui caractérise l’éloignement
du point critique au point d’intersection du
lieu de Nyquist avec l’axe réel, par
∆GdB = 20log
1
OA
Im(G(jω))
−1
ω → +∞
A
O
Re(G(jω))
= −20log(OA)
Or OA = |G(jωπ )| avec ωπ la pulsation à
laquelle arg(G(jω)) = −π
ω→0
Donc
∆GdB = −20log (|G(jωπ )|)
avec
arg(G(jωπ )) = −π
Remarque
La marge de gain représente la valeur du gain qui, ajouté au système, fait passer le lieu de
Nyquist par le point critique −1.
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Marge de phase
Im(G(jω))
La marge de phase, notée ∆ϕ, est la phase
que l’on doit ajouter pour que le lieu de
Nyquist passe exactement par le point
critique. Cette marge est égale à la distance
en phase entre le point du lieu de Nyquist
pour lequel le gain est égal à l’unité et le point
critique.
−1
ω → +∞
O
∆ϕ
Re(G(jω))
argG(jωco )
ω→0
Alors
∆ϕ = 180◦ + arg (G(jωco ))
avec
|G(jωco )| = 1
Un système asservi (en boucle fermée) est stable si
∆GdB > 0
et
∆ϕ > 0
Remarque très importante
Les marges de stabilité se calculent en utilisant la fonction de transfert en boucle ouverte.
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Marges de stabilité sur les diagrammes de Bode
Système stable : ∆ϕ > 0, ∆G > 0
50dB
0dB0
∆G
−50
−100
−150
10−2
−90
10−1
100
101
102
103rad/s
1000
1011
1022
1033
−135
∆ϕ
−180
−180◦
−225
−2
−270
10−2
10
Mohammed TALEB
−1
10−1
10
10
10
Automatique: chapitre 1
10
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Système instable : ∆ϕ < 0, ∆G < 0
100dB
50
∆G
0dB0
−50
−100
10−2
−90
10−1
100
101
102
103rad/s
1022
1033
−135
−180
−180◦
∆ϕ
−225
−2
−270
10−2
10
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−1
10−1
10
1000
10
1011
10
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Critère graphique de stabilité
Marges de stabilité sur le diagramme de Black-Nichols
GdB
GdB
∆G
∆ϕ
−180◦
∆G
0
ϕ
Système stable en BF
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∆ϕ
−180◦
0
ϕ
Système instable en BF
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle fermée
Introduction
On considère le système linéaire asservi comme le montre la figure ci-dessous
yref (t)
+
−
(t)
G(p)
y (t)
L’objectif d’un tel schéma de commande est d’asservir la sortie y (t) au signal de référence
yref (t). L’écart qui caractérise la différence entre le signal de référence et la sortie est appelé
erreur et est noté (t). La précision sera d’autant meilleure que (t) tendra vers 0. Cette
limite sera notée ∞ et on a alors
(t)
=
∞
=
∞
=
yref (t) − y (t)
lim (t)
t→+∞
lim pε(p)
p→0
avec ε(p) la transformée de Laplace de (t).
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle fermée
Précision : expression de l’erreur en fonction de la FTBF
Le signal d’erreur s’écrit
(t) = yref (t) − y (t)
soit dans le domaine de Laplace
ε(p) = Yref (p) − Y (p)
L’erreur ∞ étant la valeur de (t) en régime permanent, on a
∞ = lim (t) = lim pε(p)
t→+∞
où
p→0
Y (p)
ε(p) = Yref (p) − Y (p) = Yref (p) 1 −
Yref (p)
= Yref (p) (1 − H(p))
avec H(p) la fonction de transfert du système en boucle fermée. L’erreur ∞ s’écrit alors
∞ = lim pYref (p) (1 − H(p))
p→0
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Précision et classe du système
On considère un SLIT asservi de fonction de transfert G(p). Cette fonction de transfert
peut toujours être mise sous la forme suivante
G(p) =
K
F (p)
pα
avec α un entier naturel appelé classe du système et F (p) une fonction telle que F (0) = 1.
Remarque
La classe du système α est le nombre d’intégrateurs (ou de pôles nuls dans la fonction de
transfert en boucle ouverte).
La fonction de transfert en boucle fermée H(p) s’écrit
H(p) =
G(p)
KF (p)
= α
1 + G(p)
p + KF (p)
soit
∞ = lim pYref (p)
p→0
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pα
α
p + KF (p)
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Erreur de position
yref (t)
L’erreur de position notée p est l’erreur lorsque l’entrée (consigne) est un échelon yref (t) = E u(t). Dans
E
ce cas Yref (p) = . Alors
p
E
t
p = lim E
p→0
pα
p α + KF (p)
Cas α = 0
E
Dans ce cas
p = lim E
p→0
1
1 + KF (p)
ε
t
yref (t)
soit
p =
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E
1+K
y (t)
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Introduction
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Cas α ≥ 1
E
Dans ce cas
p = lim E
p→0
ε=0
pα
p α + KF (p)
t
yref (t)
soit
y (t)
p = 0
Erreur de vitesse
L’erreur de vitesse notée v est le nom donné à l’erreur
∞ lorsque la consigne yref (t) est une rampe.
yref (t)
yref (t) = v t u(t)
avec v la pente de la rampe.
v
alors Yref (p) = 2 et donc
p
t
v
p→0 p
v = lim
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pα
α
p + KF (p)
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Cas α = 0
Dans ce cas
v
v = lim
p→0 p
1
1 + KF (p)
t
yref (t)
soit
v = +∞
y (t)
Cas α = 1
Dans ce cas
v = lim v
p→0
1
p + KF (p)
t
yref (t)
soit
v =
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v
v
K
y (t)
Automatique: chapitre 1
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Cas α ≥ 2
Dans ce cas
v = lim v
p→0
p α−1
α
p + KF (p)
soit
v = 0
v = 0
t
yref (t)
y (t)
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Automatique: chapitre 1
2024/2025
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Tableau récapitulatif : erreur de position
Fonction de transfert du système en boucle ouverte
K
G(p) = α F (p)
p
Erreur de position p
E
t
La consigne est un échelon yref (t) = E u(t)
α=0
E
α=1
p
p =
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E
1+K
E
α=2
E
p
t
p
t
p = 0
Automatique: chapitre 1
t
p = 0
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Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Tableau récapitulatif : erreur de vitesse
Fonction de transfert du système en boucle ouverte
K
G(p) = α F (p)
p
Erreur de vitesse v
t
La consigne est une rampe yref (t) = vtu(t)
α=0
α=1
α=2
v
v
t
v = +∞
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t
v
v =
K
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t
v = 0
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Précision et fonction de transfert en boucle ouverte
Remarque
Généralement l’erreur de position peut être calaculée en pourcentage de l’entrée. Elle est
donnée par
p
p% = .100%
E
Dans le cas d’un système de classe 0, l’erreur de position calculée en pourcentage est
donnée par :
1
p% =
100%
1+K
Un système dont l’erreur vaut 20% présentera une erreur de position de 0.2 si la consigne
est un échelon unitaire. Si la consigne est un échelon d’amplitude 5, l’erreur p sera égale
à 20% de 5, c’est à dire 1.
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Automatique: chapitre 1
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Temps de réponse à 5%
Rapidité
Un système linéaire est d’autant plus rapide que son régime transitoire est court.
La durée du régime transitoire est généralement donnée par le temps de réponse à 5%.
Système linéaire de 1er ordre
Le temps de réponse à 5% est le temps au bout duquel la sortie atteint 95 % de sa valeur
finale.
y (t)
y (∞)
0.95 y (∞)
tr 5%
0
t
tr 5% = 3 T
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Temps de réponse à 5%
Système linéaire de 2ème ordre
Le temps de réponse à 5% est le temps au bout duquel la sortie rentre définitivement dans
l’intervalle [95%y (∞) 105%y (∞)].
y (t)
y (t)
1.05 y (∞)
y (∞)
0.95 y (∞)
1.05 y (∞)
y (∞)
0.95 y (∞)
0 tr5%
t
ξ≥1
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Automatique: chapitre 1
0
tr5%
0<ξ<1
t
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Stabilité des SLIT
Précision des SLIT asservis
Rapidité des SLIT
Temps de réponse à 5%
temps de réponse réduit tr5% ωn
Pour calculer le temps de réponse à 5% d’un système de deuxième ordre, on utilise l’abaque
suivant
facteur d’amortissement ξ
Exemple : Calculer le temps de réponse à 5% d’un système de 2ème ordre ayant un facteur
d’amortissement ξ = 5 et une pulsation propre ωn = 10 rad/s.
Mohammed TALEB
Automatique: chapitre 1
2024/2025
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