0.1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUES OU VOCABULAIRE USUEL
Théorie sur les ensembles
Les Mathématiques reposent sur l’étude d’objets correspondant à une superposition de
concepts. Le mathématicien formule des assertions sur ces objets.
La logique mathématique diffère de la logique formelle philosophique. Science de la démonstration,
la logique mathématique consiste surtout en l’étude des rapports formels existant entre les
propositions indépendamment de toute interprétation que l’on pourrait en donner ou des
valeurs de vérité que l’on peut leur attribuer
0.1
éléments de logiques ou vocabulaire usuel
On donnera quelques définitions de certains concepts mathématiques.
0.1.1
Prédicat
Un prédicat est une relation entre plusieurs variable, par exemple l’inégalité ” ≤ ” est un
prédicat reliant deux variables.
0.1.2
Expression
Une expression est un ensemble de signes (lettres, chiffres, symboles, mots, etc.) possédant
une signification dans un contexte donné.
Exemple 0.1. • Soit un réel x, on considère l’expression : 3x2 + 4x − 5,
• Dans le plan, on considère ABC un triangle.
0.1.3
Assertion
Une assertion (ou proposition) P est une expression qui peut être vraie ou fausse. Une
proposition est synonyme de d’énoncé. On dresse ainsi la table de vérité P V F
Remarque 1. • Principe de non contradiction : p ne peut être à la fois vraie et fausse.
• Principe du tiers exclus (dualité) : soit p est vraie, soit p est fausse mais les deux à la fois.
Exemple 1. • le nombre π est un entier naturel.
• l’équation : 4x2 + 12x − 8 admet deux solutions distinctes dans R
0.1.4
Axiome, théorème,lemme, corollaire
Définition 0.1. Un axiome est une proposition supposée vraie et que l’on ne cherche pas à
démontrer.
Exple: Par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu’une parallèle.
Définition 0.2. Un théorème est une proposition dont il faut établir la véracité. Un théorème
est donc vrai s’il se déduit logiquement d’axiomes.
Définition 0.3. Un corollaire d’un théorème est un bonus qu’offre le théorème. C’est une
conséquence directe du théorème.
Définition 0.4. Un lemme est un théorème préparatoire à l’établissement d’un théorème de
plus grande importance.
Définition 0.5. Une conjecture est une proposition que l’on suppose vraie sans parvenir à la
démontrer. C’est une hypothèse plausible au vu de quelques exemples.
1
0.1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUES OU VOCABULAIRE USUEL
0.1.5
Négation, Conjonction, Disjonction,implication, équivalence
• La négation d’une assertion P est l’assertion non P ou ¬P dont la table de vérité est:
P
¬P
V
F
F
V
La négation ne signifie pas opposé.
Exple: Quelle la négation de "ce chat est noir" ?
• La proposition P ET Q notée P ∧ Q, est la proposition qui est vraie lorsque P et Q sont
simultanément vraies et fausse dans les autres cas; On parle de la conjonction de P et de Q.
• La proposition P OU Q notée P ∨ Q, est la proposition qui est fausse lorsque P et Q sont
simultanément fausses et vraie dans les autres cas, on parle de la disjonction des propositions
P et Q.
• On définit la proposition P implique Q ou si P , alors Q, notée P ⇒ Q la proposition qui est
fausse lorsque l’on a simultanément p vraie et q fausse et vraie dans les autres cas.
† Q est une condition nécessaire pour que P soit vraie: car lorsque P est vraie nécessairement
Q l’est aussi ;
† P est une condition suffisante pour que Q soit vraie: car il suffit que P soit vraie pour que
Q le soit.
Les connecteurs de logiques sont: ∨ = ou qui est la disjonction; ∧ = et qui est la conjonction;
⇒ l’implication et ⇔ l’équivalence et on établit la table vérité pour les connecteurs:
P
V
V
F
F
0.1.6
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
P ou Q
V
V
V
F
P ⇒Q
V
F
V
V
P ⇔Q
V
F
F
V
Les quantificateurs:
Un quantificateur permet de préciser le domaine de validité d’une proposition. On peut
citer le quantificateur universel ∀ lire "pour tout " ou "quelque soit" et le quantificateur
existentiel ∃ et ∃! lire "il existe au moins un" et "il existe un unique".
Exemple:∀x ∈ E, P (x) se lit "pour tout x appartenant à E, on a P (x)".
∃ se lit "il existe au moins un élément "
Exemple:∃x ∈ E, P (x) se lit "il existe au moins un élément x appartenant à E tel que on a
P (x) "
∃! il existe un et un seul élément.
Remarque 2. La lettre affectée par un quantificateur est muette.
∀x ∈ E, P (x) ⇔ ∀y ∈ E, P (y)
∃x ∈ E, P (x) ⇔ ∃y ∈ E, P (y)
Une proposition et sa négation s’écrivent ainsi:
¬(∀x ∈ E, P (x)) = (∀x ∈ E, P (x)) ⇔ (∃x ∈ E, ¬P (x)) = (∃x ∈ E, P (x))
¬(∃x ∈ E, P (x)) = (∃x ∈ E, P (x)) ⇔ (∀x ∈ E, ¬P (x)) = (∀x ∈ E, P (x))
On ne peut pas changer l’ordre des quantificateurs:
∀x ∈ E, ∃y ∈ N; x ≤ y 6= ∃y ∈ N, ∀x ∈ N; x ≤ y est fausse.
2
0.2. THÉORIE SUR LES ENSEMBLES
0.2
Théorie sur les ensembles
Définition 0.6. Un ensemble est une collection d’objets qu’on peut soit énumérer ou définir
à√travers des propriétés établies.
Enumération ou extension: lorsqu’on peut citer les éléments de l’ensemble.
A : ensemble des chif f res impairs : A = {1, 3, 5, 7, 9}
√
Compréhension ou caractérisation: lorsqu’on se base sur un ensemble existant pour définir
le nouveau ensemble.
D = {∀x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 45}
Définition 0.7. Soit E un ensemble non vide.
• Si un élément a appartient à l’ensemble E, on écrit : a ∈ E et son contraire est n’appartient
pas ∈
/
• Si un ensemble A est inclus dans l’ensemble E, on dit que A est un sous ensemble de
l’ensemble E. On écrit alors : A ⊂ E ⇔ ∀a ∈ A, a ∈ E
Définition 0.8. Ensemble des parties d’un ensemble
Soit E un ensemble. On appelle ensemble des partie de E, l’ensemble noté P(E) constitué de
tous les sous-ensemble de E.
P(E) = {F |F ⊂ E}
Le nombre d’éléments d’un ensemble E est appelé Cardinal de E se note Card(E) et vaut 2n .
√
Remarque
3.
Si A ∈ P(E) alors A ⊂ E
√
P(E) n’est jamais vide car il contient l’ensemble vide ∅
0.2.1
Complémentaire
Soit A un sous-ensemble de E; A ⊂ E, l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent
pas à A est appelé complémentaire dans E de A ou de A dans E.
On note A = E \ A = {A
E = {E (A).
E \ A = A = {x ∈ E/x 6∈ A}
Figure 1 – Complémentaire
0.2.2
Intersection-Union
⇒ Intersection: L’intersection de A et de B est constituée des éléments communs à la
fois dans A et B. On note A ∩ B.
Ainsi, A ∩ B = {x ∈ A ∩ B|x ∈ A et x ∈ B}
⇒ Réunion ou union:L’union de A et de B constituée des éléments qui appartiennent soit
à A, soit à B. On note A ∪ B.
3
0.2. THÉORIE SUR LES ENSEMBLES
Ainsi, A ∪ B = {x ∈ A ∪ B|x ∈ A et x ∈ B}
Figure 2 – Intersection-Union
⇒ Disjoints: Deux ensembles A et B sont disjoints lorsqu’ils n’ont pas d’éléments
communs. On note A ∩ B = .
0.2.3
Différence-symétrique
Soient A et B deux sous-ensembles de E.
⇒ Différence: L’ensemble {x ∈ E/x ∈ A etx 6∈ B} est appelé différence des ensembles A et
B. On note A − B ou A \ B A \ B = {x ∈ E/x ∈ A ∧ x 6∈ B}.
⇒ Différence symétrique: La réunion d’ensembles (A\B)∪(B \A) est appelée la différence
symétrique des ensembles A et B. On note A∆B se lit "A delta B telle que:
A∆B = {x ∈ E/(x ∈ A et x 6∈ B) ou (x 6∈ A et x ∈ B)}
Figure 3 – Différence-Différence symétrique
0.2.4
Partition-Produit cartésien
Définition 0.9. Soient E un ensemble et A1 , A2 , · · · , An des sous-ensembles de E.
On dit que ces sous-ensembles forment une partition de E si les trois conditions suivantes sont
vérifiées:
1) Leur réunion est égale à E: E = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An
2) Ils sont deux à deux disjoints: si i, j ∈ 1, 2, ..., n et i 6= j alors Ai ∩ Aj = ∅
3) Chacun de ces ensembles est non vide : pour tout i ∈ {1, 2, · · · , n}, Ai 6= ∅ .
Figure 4 – Partition
4
0.3. APPLICATIONS- FONCTIONS:
Exemple 2. Soient a, b et c des réels, avec a ≥ 0. A quelle condition les sous-ensembles
]0, a[, ] − ∞, b] et [c, +∞[ forment-ils une partition de R ?
Définition 0.10. Soient A et B deux ensembles, x ∈ A et y ∈ B.
Le produit cartésien A × B est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ A et y ∈ B.
0.2.5
Propriétés
Soient A,B,C trois parties de E
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A
∩
A
=
A
;
A
∪
A
=
A
;
A
=
A
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ E = A; A ∪ E = E
;
A∪B =E ⇔B ⊂A
A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A
B∪A=E ⇔A⊂B
A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ B = A ∪ B;
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A∪B =A∩B
A ∩ B = ⇔ A ⊂ B ou B ⊂ A
Loi de M organ
A = B ⇔ (A ⊂ B) et (B ⊂ A)
A∆B = B∆A; A∆A = ∅; A∆E = A
(A ∪ B) ⊂ C ⇔ A ⊂ C et B ⊂ C
A∆∅ = A
;
A ⊂ (B ∩ C) ⇔ A ⊂ B et A ⊂ C
A∆(B∆C) = ((A∆B)∆C)
A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C)
A⊂B⇒B⊂A
0.3
Applications- Fonctions:
Définition 1. Soient E et F deux ensembles non vides.On appelle application de E dans F
la donnée de E,F et d’un sous-ensemble A de E × F vérifiant:
a. ∀x ∈ E, ∀y ∈ F ; (x, y) ∈ A;
b. ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, ∀y 0 ∈ F ; (x, y) ∈ A et (x, y 0 ) ∈ A =⇒ y = y 0
On note
f : E −→ F
x 7−→ f (x)
On dit que:
1. y = f (x) est appelé image de x par f et x est un antécédent de y par f .
2. E est l’ensemble de départ de l’application f ,
F est l’ensemble d’arrivé de l’application f .
Exemple. L’application
idE : E −→ E
x 7−→ x
est appelée application identique sur E, pour tout x ∈ E
Soit E un ensemble. On appelle fonction caractéristique de E, la fonction χE à valeurs rélles
définie par :
1 si x ∈ E
χE (x) =
0 si x ∈
/E
Définition 2. Soient E, F et G trois ensembles non vides, on définit deux applications
f : E −→ F et g : F −→ G sur Eet F .
→ égalité:Les applications f et g sont égales ssi: elles ont même ensembles de départ,même
ensemble d’arrivé et de plus pour tout x ∈ E, f (x) = g(x)
5
0.3. APPLICATIONS- FONCTIONS:
→ Graphe: On appelle graphe d’une application f : E −→ F , le sous-ensemble
Γf = {(x, f (x)); x ∈ E}
Exemple 3. Soit A = {−1; 0; 2} un sous-ensemble de E, on donne l’application f
f : A −→ E
définie par
. Déterminer le graphe Γf dans A.
x 7−→ −3x2 + 5x − 2
→ Composition d’applications:
Soient f : E −→ F et G : F −→ G deux applications. On appelle application composée
de f et de g, l’application définie par:
g ◦ f : E −→ G
x 7−→ g [f (x)]
Proposition:Soient f, g, h trois applications définies respectivement sur E, F, G.
(a) (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
(b) f ◦ idE = idE ◦ f = f
(c) f ◦ g 6= g ◦ f
Exemple 4. On donne les applications f ,g et h définies par:
f : R −→ R
x 7−→ x2 + 1
g : R −→ R
x 7−→ x3
h : R+ −→ R
√
x 7−→
x2 − 3x + 1
Déterminer l’application composée de f par g et de f par h.
→ Restriction- Prolongement:
Soient A ⊂ E et F des ensembles telles que:f : E −→ F ;g : A −→ F
On appelle restriction (application partielle) de f à A, noté f/A ; l’application de A dans
F définie par :∀x ∈ A, f/A (x) = f (x)
→ Image directe - Image réciproque:
Soient E et F deux ensembles, A ⊂ E et M ⊂ F
(a) On appelle image de A par f , le sous-ensemble M de des images des éléments de
A noté f (A)
f (A) = {y ∈ M ; ∃x ∈ A, y = f (x)} = {f (x) ∈ F ; x ∈ A} ⊂ F
(b) On appelle image réciproque de M par f , le sous-ensemble de E noté f −1 (B) et
définie parf −1 (M )
f −1 (M ) = {x ∈ E, f (x) ∈ M } ⊂ E
Formellement on a:
(∀y ∈ F, y ∈ f (A)) ⇔ ∃x ∈ A, y = f (x)
∀x ∈ E, x ∈ f −1 (M ) ⇔ f (x) ∈ M
Proposition 1. Soient f : E −→ F ;A, B ⊂ E;M, N ⊂ F alors on a:
6
0.3. APPLICATIONS- FONCTIONS:
f −1 (M ∩ N ) = f −1 (M ) ∩ f −1 (N )
f −1 (M )
= {E
f −1 {M
F
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
f −1 (M ∪ N ) = f −1 (M ) ∪ f −1 (N )
En effet:
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
y ∈ f (A ∪ B) ⇔ ∃x ∈ A ∪ B; y = f (x)
⇔ (∃x ∈ A ou x ∈ B); y = f (x)
⇔ (∃x ∈ A ou ∃ x ∈ B); y = f (x)
⇔ (∃x ∈ A y = f (x) ou ∃ x ∈ B); y = f (x)
y ∈ f (A) ou y ∈ f (B) ⇔ y ∈ f (A) ∪ f (B)
f −1 (M ∩ N ) = f −1 (M ) ∩ f −1 (N ) pour tout x ∈ f −1 (M ∩ N ) ⇔ f (x) ∈ (M ∩ N )
⇔ f (x) ∈ M et f (x) ∈ N
⇔ (x ∈ f −1 (M )) et (x ∈ f −1 (N ))
⇔ x ∈ f −1 (M ) ∩ f −1 (N )
f −1 (M )
f −1 {M
= {E
F
x ∈ f −1 {M
⇔ f (x) ∈ {M
F
F
f −1 (M )
(f (x) ∈ F ) et (f (x) 6∈ M ) ⇔ x ∈ E et x 6∈ f −1 (M ) ⇔ x ∈ {E
0.3.1
Applications Injectives, Surjectives, Bijectives:
Définition 3. On considère une application f : E −→ F ; On dit que:
→ f est injective si tout élément y de F possède au plus un antécédent x de E.
→ f est surjective si tout élément y de F possède au moins un antécédent x de E.
→ f est bijective si tout élément y de F possède un unique antécédent x de E ou encore
f est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Proposition 2. Soit f une application de E dans F
→ f est injective ⇔ ∀x, x0 ∈ E; f (x) = f (x0 ) =⇒ x = x0
ou f est injective ⇔ ∀x, x0 ∈ E; x 6= x0 =⇒ f (x) 6= f (x0 ) par contraposition
→ f est surjective ⇔ ∀y ∈ F ∃x ∈ E, f (x) = y
→ f est bijective ⇔ ∀y ∈ F ∃! x ∈ E, f (x) = y
Application réciproque:Une application f : E −→ F est bijective.On définit alors une
application de F dans E noté f −1 par ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f (x)
7
0.4. RELATION BINAIRE:
0.4
Relation Binaire:
Définition 0.11. Soient E un ensemble non vide. On appelle relation binaire de E vers E,
toute relation entre deux objets pouvant vérifiés une certaine propriété. ∀x, y ∈ E,on note xRy
et on lit x est en relation avec y dans E × E.
Exemple 5. La relation d’inclusion dans l’ensemble des parties de E:ARB ⇔ A ⊂ B.
La relation de divisibilité sur les entiers relatifs:mRn ⇔ m divise n
Dans Z, et si a 6= 0; on définie la relation de congruence modulo a mRn ⇔ m − n est divisible
par a.
Proposition 0.4.1. R une relation binaire sur un ensemble sur E ssi.
→ R est réflexive si:∀x ∈ E; xRx
Sur N, mRn ⇔ m | n est réflexive car n | n, ∀n ∈ N
→ R est symétrique si: ∀(x, y) ∈ E 2 ; xRy ⇒ yRx
Sur N,mRn ⇔ m | n car 2 | 4, 4 | 2 donc R n’est pas symétrique.
→ R est transitive si:∀(x, y, z) ∈ E 3 ; (xRy et yRz) ⇒ xRz
→ R est anti-symétrique si:∀(x, y) ∈ E 2 ; (xRy et yRx) ⇒ x = y
0.4.1
Relation d’équivalence:
Définition 0.12. On dit qu’une relation R sur E est une relation d’équivalence si R est à la
fois réflexive, symétrique, transitive.
Proposition 0.4.2. R une relation d’équivalence sur un ensemble sur Essi
→ R est réflexive si:∀x ∈ E; xRx
→ R est symétrique si: ∀(x, y) ∈ E 2 ; xRy ⇒ yRx
→ R est transitive si:∀(x, y, z) ∈ E 3 ; (xRy et yRz) ⇒ xRz
Définition 0.13. On appelle classe d’équivalence de x ∈ E, l’ensemble des éléments de E qui
sont en relation avec x, on note C(x) ou ẋ ou x telle que C(x) = ẋ = {y ∈ E, yRx}
On appelle ensemble quotient de E par la relation d’équivalence R, l’ensemble des classes
d’équivalence de tous les éléments de E. On note E/R et E/R = {ẋ/x ∈ E}
Exemple 6. Soit E = R un ensemble non vide.
On définit la relation x, y ∈ R, xRy ⇐⇒ x2 = y 2
Démontrer que la relation R est une relation d’équivalence sur R.
Déterminer l’ensemble quotient E/R.
0.4.2
Relation d’ordre:
Définition 4. Soit R une relation binaire sur E
On appelle relation d’ordre une relation binaire réflexive, transitive et antisymétrique. On
notera usuellement les relations d’ordre avec les signes ≤, 4. . . Une relation d’ordre est
essentiellement une façon de classer les éléments d’un ensemble. Un ensemble E muni d’une
relation d’ordre R est appelé ensemble ordonné, et sera noté (E, R).
Remarque 4. On note généralement une relation d’ordre: ≤; ; .; · · · .
La réflexivité est imposé dans la définition des relations d’ordre. On privilégie les relations
d’ordre " large " du type " inférieur ou égal ". La transitivité et l’antisymétrie permettent de
hiérarchiser les éléments d’un ensemble.
8
0.4. RELATION BINAIRE:
√
Exemple 7.
les relations ≤, ≥ sont des relations d’ordre sur R. Mais les relations <, > ne
sont
√ pas des relations d’ordre sur R.
la relation / ( divisibilité) sur N∗ est une relation d’ordre mais pas sur Z∗ .
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. On dit que deux éléments x et y de E sont comparables
si x ≤ y ou y ≤ x. Si deux éléments quelconques de E sont comparables, on dit que la relation
d’ordre ≤ est une relation d’ordre total ; (E, ≤) est alors dit totalement ordonné. Dans le cas
contraire on dit que ≤ est une relation d’ordre partiel et (E, ≤) est dit partiellement ordonné.
9
