DM3 SII - PTSI 3h DM 3 | Système de stabilisation pour navire à grande vitesse Consignes & conseils 3 Ce devoir est composé d’un unique problème mobilisant les connaissances des 1ers chapitres. 3 La clarté et la précision des raisonnements entreront en compte pour une part importante dans la notation. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. 3 La formulation des hypothèses nécessaires pour répondre aux questions posées est laissée, le cas échéant, à l’initiative du candidat. 3 Il est conseillé d’apporter un soin particulier à l’écriture des di↵érentes grandeurs et de préciser leurs unités. 3 La présentation, la lisibilité, l’orthographe et la qualité de la rédaction sont des éléments déterminants pour évaluer votre capacité à communiquer. Les résultats non encadrés ou non ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, soulignés ne seront pas évalués. I Mise en situation I.1 Contexte ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2000 ÉPREUVE DE SCIENCES INDUSTRIELLES Filière : PSI Dans un souci de rentabilité, les compagnies assurant le transport de passagers cherchent conti(Durée de l'épreuve : 4 HEURES) Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP nuellement à optimiser le débit de clients transportés, c’est-à-dire le nombre de personnes déplacées en Cet énoncé comporte 15 pages de texte et 8 pages de documents annexes. Le travail doit être reporté une copie de 12 un temps donné. C’est notamment pages le cas de la Société Nationale maritime Méditerranée sur ferry Corse distribuée avec le sujet. Pour valider cette copie, chaque candidat doit obligatoirement y inscrire à l'encre, à l'intérieur du rectangle d'anonymat situé en première page, ses nom, prénoms (souligner le prénom usuel), numéro d'inscription et signature, (SNCM), assurant la liaison maritime dud'avoir continent avec la Corse. Dans ce but, deux voies peuvent avant même commencé l'épreuve. Il est conseillé de lire la totalité de l'énoncé avant de commencer l'épreuve. Si au cours de l’épreuve le candidat repère ce qui être explorées : lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Les questions sont organisées au sein d'une progression logique. Il est donc préférable de les traiter dans l'ordre proposé. — augmenter le nombre de passagers par voyage enparties augmentant la capacité d’accueil des navires ; Toutefois, ce sujet comporte plusieurs indépendantes. L’usage d’ordinateur et de calculatrice est interdit. — diminuer le temps de parcours en augmentant la vitesse de pointe des navires. ystème de stabilisation pour navire à grande vitesse L’un des résultats du développement de La la photographie seconde ci-contre so(Figure 1) représente un lution à amener à la réalisation de Navires navire à Grande Vi- de à grande vitesse la SNCM qui assure la tesse (NGV), comme celui de la photographie ci-contre. Il en liaison entre la Corse et le continent 3 heures 30 minutes (au lieu de 5 assure la liaison entre le continent etheures la Corse en 3 heures pour un ferry* classique). La vitesse de croisière de ce navire; est 30 minutes au lieu de 5 heures pourde 37 unnœuds ferry classique * (70 Km/h). Cette vitesse exceptionnelle un ce navire sa vitesse de croisière est de 37 nœuds, soit 70pour km/h, commercial est impulsée par quatre : l’eau, aspirée dans les qui est exceptionnel pour un navire hydrojets commercial. Le NGV3 de la SNCM Figure 1 turbines, est éjectée sous pression Figure 1 – Le NGV3 de la SNCM créant ainsi une poussée qui propulse le navire. Cette technologie, empruntée aux scooters des mers, permet d’abandonner les hélices classiques et ainsi de réduire considérablement Figure 2 le tirant d’eau. Cet « hydrodynamisme » est renforcé par la longueur et la finesse de la Ce bateau est propulsé par quatre hydrojets : l’eau, aspirée par des turbines, est« semi-planante éjectée »sous coque (forme en V profond) qui évoque les bateaux Maquette du NGV3empruntée aux pression induisant ainsi la poussée motrice. Cette technologie, scooteurs des mers, de course off-shore. Utilisée en bassin des carènes Le mode propulsion utilisé etCet les permet d’abandonner les hélices classiques et ainsi de réduire considérablement le detirant d’eau. formes de la coque ne peuvent assurer seuls ce niveau de vitesse. hydrodynamisme est renforcé par la longueur et la finesse de la coque, dont la forme semi-planante en Pour l’atteindre, il est nécessaire de * réduire surface mouillée de la carène en générant une sustentation dynamique du navire et en minimisant V profond évoque celles des bateaux de lacourse o↵-shore. Mais ce mode de propulsion et cette forme les mouvements parasites de rotation de lacet*, roulis* et tangage*, ceci que la mer soit formée ou non. de coque ne suffisent pas pour atteindre une telle vitesse. Pour l’obtenir, il appendices faut aussi : ». Sur le NGV3, on Un système de stabilisation active équipe ces navires. Il utilise des ou « Foils I.2 Présentation * Voir glossaire en « ANNEXE 1 » PSI 1 Page 1/15 Tournez la page S.V.P. Ferry (ou Ferry-boat) navire spécialement conçu le transport véhicules et de leurs Ferry (ou Ferry-boat) : :navire spécialement pour le transport desdes véhicules de leurs Ferry (ou Ferry-boat) : navire spécialement conçuconçu pour le pour transport des véhicules et de et leurs ANNEXE 1 passagers. passagers. passagers. Devoir 2 S.I.I Nœud :unité de : 1nœud 1marin mille marin (1852 m) heure. Nœud : de vitesse :de1nœud = 1=d’un mille marin (1852 m)heure. parpar heure. : unité deunité vitesse :vitesse 1nœud 1 mille (1852 m) par DM3 SII Nœud - PTSI Carène : surface immergée la= coque navire. 3h Proue : avant du navire. Carène surface immergée de lad’un coque d’un navire. Carène : :surface immergée la coque d’un navire. Carène : surface immergée de la de coque navire. Poupe : arrière du navire. — réduire la surface de la carène 1 en générant une sustentation du bateau ; Bâbord gauche du navire en regardant vers l’avant, la proue. Proue navire. Proue :: :coté avant dudu navire. Proue : avant duavant navire. — minimiser les mouvements parasites de rotation du navire, en lacet 2 , roulis 3 et tangage 4 (cf. Tribord : coté droit du navire en regardant vers l’avant. Poupe arrière du navire.de stabilisation active. figure 2), au: moyen d’un Poupe : :arrière dusystème navire. Poupe arrière du navire. Ce système de stabilisation garantitdelerotation confort des passagers et la stabilité du navire, que la Lacet, Roulis, Tangageactive : mouvements autour de 3 axes orthogonaux du navire Bâbord coté gauche navire regardant vers l’avant, la proue. Bâbord : :gauche coté gauche dudu navire en en regardant vers l’avant, la proue. Bâbord : coté du navire en regardant vers l’avant, la proue. représentés par le repère (GN ; i N , j N , k N ) par rapport au repère terrestre local (GN ; i G , j G , k G ) . mer soit calme ou formée. Tribord coté navire regardant vers l’avant. Tribord : :droit coté droit dudu navire en en regardant vers l’avant. Tribord : coté dudroit navire en regardant vers l’avant. Lacet, Roulis, Tangage Lacet, Roulis, Tangage Lacet, Roulis, Tangage : :: kG kG kG mouvements rotation d’axes mouvements de derotation d’axes mouvements de rotation d’axes kN kN kN orthogonaux navire représenté orthogonaux dudunavire représenté orthogonaux du navire représenté r r r rr r r r par repère ; i, ,Nj,k Nj ,NN)k, kN) N) le le repère par leparrepère (G i (G N N; (G N;, Nij NN rapport repère terrestre local parpar rapport au au repère terrestre par rapport au repère terrestre locallocal r rr r r r r r iG iG iG (G ; i , , k ) . j N G G G (GN; (G i GN,; ji G, kj GG,) .k G) . jN jG jG rotations ainsi que les vecteurs jG iN iN iN CesCes rotations que les vecteurs Ces rotations ainsi ainsi que les vecteurs r rr r r rr , etr nr sont intermédiaires intermédiaires n sont intermédiaires u , vu ,,uet,v , vnet sont définis par les les figures figures de définis définis par par les figures de deLe NGV2 de SNCM LeLe NGV2 la la SNCM NGV2 de lade SNCM changements de base suivantes : changements de base suivantes : changements de base suivantes : jN jN (a) Paramétrage jG k n njG jGainsi nCes rotations iN ivNde v v u u ukG u k, Gv Get n sont définis par lesiNfigures que les vecteurs intermédiaires θ L θ θ θ v L T θ L θT T θR θRθR kN changements de vbase vsuivantes : jN jN jN kG kN kN θL θLθL θT θTθT θR θRθR kG kG v v jN jN iG iG iG v n n n jN u u u en trouve sept (voir les figures de 2 à 4): un (b) Angle (c) θ de tangage ✓T de de ✓R «θ T-foil »lacet à l’avant, deux « Flaps » arrières L Lacet :de Angle :et Angle Tangage θ Angle :de Angle Roulis θ de de✓de Lacet θT Angle :TAngle dede Tangage θ(d) de roulis Roulis Lacet θ : Angle de Tangage θR : Angle Roulis θL : Angle L :LAngle R :RAngle quatre safrans inclinés ou « Fins T». Tous ces appendices garantissent la stabilité du navire et Figure des mouvements parasites de rotation du navire capteur délivrant une tension proportionnelle la variation direction angulaire leGyromètre confort passagers. Ils délivrant sont en pilotés Gyromètre :–:Définition capteur une tension proportionnelle à laà variation de de direction angulaire Gyromètre :des2capteur délivrant uneeffet tension proportionnelle à la variation de direction angulaire de de de en « temps réel » par un ordinateur à partir des son axe de montage par rapport à une direction galiléenne. sonde axe de montage par rapport une direction galiléenne. son axe montage par rapport à uneàdirection galiléenne. informations fournies par un ensemble de Gyromètre : capteur délivrant une tension proportionnelle à la vitesse de rotation du (le système sensoriel) et permettent de I.3 Rôle descapteurs appendices Figure 3 Accéléromètre Accéléromètre capteur tension proportionnelle à d’un l’accélération galiléenne référentiel duactions capteur par à délivrant undélivrant référentiel galiléen autour de la direction axe. Accéléromètre : :rapport capteur uneune tension proportionnelle à l’accélération galiléenne de de sonson : mécaniques capteur délivrant une tension proportionnelle à l’accélération galiléenne de son créer des hydrodynamiques support dans une direction. qui vont s’opposer à celles qui provoquent les :proportionnelle support dans une direction. dans une direction. Accéléromètre : sept capteur délivrant une à l’accélération pointarrière du Sur le support NGV3, on trouve appendices ou tension foils un T-foil à l’avant, deuxd’un Flaps et quatre e réduisant ainsi leur amplitude. référentiel du capteur par rapport à un référentiel galiléen suivant la direction d’un axe. safrans inclinés ou Fins. Entrée T.O.R. : entrée Tout Ou Rien, entrée binaire. Entrée T.O.R. : entrée Tout Ou binaire. Entrée T.O.R. : entrée Tout Ou Rien, entrée binaire. navire se joue aussi aux escales : les manœuvres portuaires sont facilitées parRien, deux entrée et par deux hydrojets t orientable sert de Flap arquement et le 0 passagers et de 148 quatre autocars) Fin nutes. constitue le NGV3, e isolera la fonction abiliser le navire ». La e fonction peut être Figure 4 FP1.1 EXERCER des Actions Mécaniques antagonistes à celles provoquant les mouvements du Navire .2 URER ouvements du e 1.2 ERMINER nsigne αic pour en trouve se « T-foil » à Tournez page S.V.P. quatre safran Tournez S.V.P. Tournez page page S.V.P. appendices g le confort des en « temps ré informations capteurs (le Figure 3 créer des ac qui vont s’op Figure 3 – Les appendices du NGV3 mouvements du navire réduisant ainsi leur amplitude. T-foil » de cerecevant navire se joue aux escales du : les manœuvres Tous ces appendices sont pilotés en temps réel par Laun« vitesse ordinateur des aussi informations propulseurs d’étrave et par deux hydrojets système sensoriel (un ensemble de capteurs). Ils créent des actions mécaniques hydrodynamiques qui latéraux dont le jet orientable sert de Système sensoriel s’opposent aux mouvements indésirables du navire pourgouvernail. en réduire L’embarquement les amplitudes. et le débarquement des 500 passagers et de 148 1. Carène : surface immergée de la coque d’un navire. véhicules (dont quatre autocars) FP1.1.2.1 Gyromètre* et 2. LacetMESURER : mouvement de rotation autour de l’axe vertical. s’effectuent en 20 minutes. Accéléromètre* de Lacet le mouvement de LACET 3. Roulis : mouvement de rotation autour de l’axe longitudinal du navire. 4. Tangage : mouvement de rotation autour de etl’axe transversalDudu système navire. que constitue le NGV3, FP1.1.2.1 Gyromètre* MESURER Accéléromètre* de Roulis l’étude qui va suivre isolera la fonction le mouvement de ROULIS principale FP1 : « Stabiliser le navire ». La composition de cette fonction peut être FP1.1.2.1 MESURER le mouvement de TANGAGE Gyromètre* et Accéléromètre* de Tangage Module du Calculateur de Consignes : « Modèle 2 FP1 STABILISER le Navire FP1.1 EXERCER des Actions Mécaniques antagonistes à celles provoquant les mouvements du Navire Figure 4 A - ANALYSE FONCTIONNELLE ET STRUCTURELLE DM3 SII - PTSI I.3.1 1- Analyse de la Partie Opérative : fonction composante FP1.1 : « Exercer des actions mécaniques antagonistes à celles provoquant les mouvements du navire » 3h ‹ Objectifs: ƒ mettre en évidence le rôle de chaque appendice ; ƒ identifier les mécaniques appendices (ou effecteurs) à activer pour chaque mouvement à stabiliser ; Modélisation des actions hydrodynamiques ƒ mettre en évidence les couplages de mouvements générés par les effecteurs. Chaque appendice est soumis, de la part de l’eau de mer, à une action mécanique modélisable par A bassin - ANALYSE ET »STRUCTURELLE Un d’essai des FONCTIONNELLE carènes ou « bassin des carènes est constitué d’un plan d’eau instrumenté sur lequel une force. La vitesse de déplacement de l’écoulement de l’eau paril rapport navire N lié au ou est possibleau de repère tester desRappendices des !Analyse de la Partie Opérative : fonction composante FP1.1 : « Exercer 1des actions mécaniques maquettes de navire comme celle du NGV3 est notée V sur la figure 4. Le support de l’action de l’eau sur l’appendice passe par le centredede antagonistes à celles provoquant les mouvements du navire » kA la figure 2. F : Action « de poussée P . iA jA portance » sur ! ! ! Dans un tel bassin, auquel ‹ Objectifs: APaction sous la l’appendice On exprime la résultante de cette forme F eau!appendice = FPl’appendice kN + FT ci-contre rjN r où r: P ƒ mettre en évidence le rôle de chaque appendice ; est associé le repère RA : (AP; i A, j A, k A) est ƒ identifier les appendices (ou effecteurs) stabiliser ; — Fp est l’action mécanique de portance ; à activer pour chaque mouvement placé dansà un écoulement d’eau de mer dont la ƒ mettre en évidence les couplages de mouvements générés par les vitesse effecteurs. de déplacement par rapport au repère r → r r P j N, k N) liésur au lequel navire est V . N : (Gd’eau N; i N,instrumenté Un bassin d’essai des carènes ou « bassin des carènes » est constitué d’unRplan Lesdeessais alors qu’il il est possible testermontrent des appendices ou est dessoumis de la V part de l’eau à une action mécanique maquettes de navire comme celle du NGV3 de modélisée FT : Action « de kA la figure 2. par un glisseur que l’on peut exprimer dans la traînée » sur — FT est l’action mécanique de trainée. iA jA l‘appendice jN FP : Action « de portance » sur l’appendice k Dans un tel bassin, l’appendice ci-contre rauquel r Nr r r r Re → 1 = FP.kN + FT. j N est associé le repère RA : (AFP; i A, j A, kj A) est A P base BN sous la forme r où : dans un écoulement r placé de mer dont la kA d’eau M (P, e → 1) = 0 P vitesse de déplacement par rapport au repère r → α0 r r P V RN : (GN; i N, j N, F k N) lié au navire est V . q P est le « centre de poussée » ; T q FP est l’action mécanique de portanceLes (valeur essais montrent alors qu’il Pest soumis de la jN algébrique) ; V part de l’eau à une action mécanique modélisée FT : Action q « de F est l’action mécanique de traînée (valeur T par un glisseur que l’on peut exprimer dans la traînée » sur jN l‘appendice algébrique). La section de l’appendice (obtention du « profil » kN r r hydrodynamique de l’appendice) d’incidence α0 mesuré r r par le plan (P; j A, k A), met en évidence l’angle r (a) Vue générale (b) Section Re →B1 =etFPB.kN. + FT. j N j les bases F A N A P base BN sous laentre forme r où : r AT| = K. Cy avec : Les lois Pde que |FP| = K. Cz etk|F M (P, e → 1) = 0 montrent l’hydrodynamique Figure 4q– Représentation de l’action mécanique l’eauet sur appendice K : coefficient numérique dépendant de la masseexercée volumiquepar de l’eau de laun forme du profil ; α0 q Cz : coefficient de portance variant en fonction de l’angle d’incidence α0 (voir figures ci-dessous); V q P est le « centre de poussée » ; F q Cy : coefficient de traînée variant en fonction de T q FP est l’action mécanique de portance (valeur P La figure 4(b) metl’angle en évidence d’incidence ↵0 . La rotation de l’appendice par rapport au d’incidence l’angle α0 (voir figures ci-dessous). jN k algébrique) ; AP repère liéqauFnavire ↵0 et pardeconséquent l’action mécanique de portance. est modifie l’action mécanique traînée (valeur T N kA kN= kA algébrique). FP du « profil » jN La section de l’appendice (obtention V r r I.3.2 Mise en évidence de l’intérêt des appendices hydrodynamique de l’appendice) parF le plan (P; j A, α k A=0 ), met en évidence l’angle d’incidence α 0 mesuré P 0 T FT α0 les bases BA et BN. Sur laentre figure 13 du document réponses, on a représenté qualitativement (direction, sens) les acV F Les lois de l’hydrodynamique montrent queP|FP| = K. Cz et |FT| = K. Cy avec : P j A mouvement tions mécaniques de portance à dépendant appliquer aux appendices à profil l’amorce d’un q K : coefficient numérique de la masse depour l’eau s’opposer et de la forme du ; jvolumique N= jA ! q Cz : coefficient de portance variant en fonction de l’angle d’incidence α0 (voir figures ci-dessous); de tangage (rotation autour de l’axe (GN ; i N ) dans le sens positif). q Cy : coefficient de traînée fonctionsous de différentes directions d’observation, la maquette du NGV3 munie La figure R1 de lavariant copie, en représente l’angle d’incidence α (voir figures ci-dessous). 0 de ses appendices. Le point GN est son centre de gravité. kN v kde Q1. Représenter de Cette même, sur est la supposée figuresoumise 14 duà l’action document réponses, seules mécaniques de A actions maquette d’un courant d’eau deles direction déplacement (- j N). kN= kA concernés pour s’opposer à l’amorce du mouvement Page portance à appliquerPSIaux appendices de 3/15 roulis FP ! jNTournez la V page S.V.P. (rotation autour de l’axe (GN ; j N ) dans le sens positif). On attend une réponse qualitative (direction, F α0=0 P FT α0 sens) à l’aide des symboles T: V F pour une action dirigéePselon la normale à la feuille et sortantP de la feuille jA ; jN= jA pour une action dirigée selon la normale à la feuille et entrant dans la feuille ; La figure R1 de ladirigée copie, représente sous différentes directions d’observation, la maquette du NGV3 munie ! pour une action horizontalement vers la droite ; de ses appendices. Le point GN est son centre de gravité. v etc. Cette maquette est supposée soumise à l’action d’un courant d’eau de direction de déplacement (- j N). PSI Q2. Quel appendice n’a pas d’influence sur le roulis ? I.4 Page 3/15 Tournez la page S.V.P. Description de l’asservissement des appendices Une consigne d’attitude, ✓jc (t) (j 2 [L, R, T ] pour Lacet, Roulis et Tangage) en degré, est convertie en une tension de consigne uc (t) via un convertisseur. Celle-ci est donnée au calculateur du système 3 DM3 SII - PTSI 3h de stabilisation qui la compare à la mesure d’attitude uj (t), en Volt, fournie par le système sensoriel. À partir de cette comparaison, le calculateur détermine une consigne ↵ic (t) (i 2 [1..7] pour les sept appendices), en degré, pour la chaine fonctionnelle des appendices. Ceux-ci délivrent des angles ↵i (t), en degré, aux sept appendices, qui fournissent alors les actions mécaniques de correction, notées AM C(t), en Newton. Les actions mécaniques globales qui s’exercent sur le navire sont alors la somme des actions mécaniques de correction, apportées par les appendices, et des actions mécaniques extérieures perturbatrices, notées AM EP (t), en Newton, s’exerçant sur la coque provenant des vagues, de Analyse de l’architecture fonctionnelle : fonction FP1 « Stabi la houle, etc. Le navire prend alors un angle ✓j (t) (j 2 [L, R, T ]), en degré. Objectif : Établir le diagramme fonctionnel du système de stabilisat Une consigne d’attitude, (j∈[L,R,T] pour Lacet, Roulis Q3. À l’aide du texte précédent, établir le schéma-blocs fonctionnel du système de consθj stabilisation active. calculateur du système de stabilisation qui la compare à la mesu système sensoriel. À partir de cette comparaison, le module « Q4. Quelle valeur numérique doit être imposée en consigne pour ✓Lc (t), le les sept ap détermine une✓consigne ∈ [1 .. 7] pour ic (i d’assurer Rc (t), ✓TConsα c (t) afin Ceux-ci délivrent des angles αic?, en degré, aux sept appen confort optimal des passagers ? Par quel terme qualifier alors le système asservi associé mécaniques de correction, notées AMC, en Newton. Les actions navire sont alors la somme des actions mécaniques de correcti actions mécaniques extérieures perturbatrices, notées AMEP I.5 Performances et cahier des charges provenant des vagues, de la houle, etc. Objectif Q3. À l’aide des informations fournies, établir le schéma top On se propose dans ce devoir d’étudier l’asservissement de active. l’un des et de vérifier que les Pourappendices cela : utiliser une représentation constituée de schéma-blocs mon exigences présentées ci-après sont respectées. - utiliser la variable consθj pour désigner les trois consignes consθj et la sortie l’attitude réelle du navire θj, - faire intervenir la perturbation à l’aide d’un sommateur et le « requirement » Précision Id=”2.1.1” Text=”L’erreur statique en réponse à un échelon doit rester inférieure à 0,5°. L’amplitude des oscillations en régime permanent doit rester inférieur à 0,02°.” « requirement » Q4. Stabiliser le navire « requirement » Quelles valeurs numériques des consignes consθL, consθ Rapidité confort optimal des passagers ? Id=”2.1” Id=”2.1.2” Text=”Les posiText=”Le Étude retard de de la chaîne fonctionnelle a tions des appendices trainage pour une doivent être correcconsigne en rampe doit Le « T-foil » en forme de T renversé (voir les figures 7 et 8) est l’a tement asservies.” être inférieur à 0,05s.” l’avant du navire, dans son plan de symétrie. Il est en liaison piv axe est possible) avec la carène du navire. Un vérin dit « véri Deux volets en liaison pivot avec le «T-foil» sont actionné Figure 5 – Extrait du diagramme liaison. des exigences embarqué sur le «T-foil», non étudié ici. II Étude de l’asservissement en position du T-foil II.1 Présentation de la structure Le T-foil doit son nom à sa forme de T renversé. Il est l’appendice actif le plus massif. Situé à l’avant du navire, dans son plan de symétrie, il peut tourner par rapport à la carène du navire ; on parle de liaison pivot (cf. figure ci-contre). Un vérin dit principal permet l’animation de cette liaison. Deux volets, en liaison pivot avec le T-foil, sont actionnés simultanément par un vérin secondaire embarqué, non étudié ici. L’architecture fonctionnelle associée au T-foil répond à la structure définie ci-après. La perturbation F (t) représente le déplacement imposé au vérin par les actions hydrodynamiques s’exerçant Figures sur le T-foil. 7 et 8 4 Figure 6 – Structure du T-foil DM3 SII - PTSI 3h F (t) (m) ↵c (t) (°) Adaptateur c (t) (V ) + "(t) (V ) Correcteur i(t) (mA) m (t) (V ) Servo-valve q(t) (m /s) 3 Vérin Q (t) (m) + + (t) (m) Chaîne cinématique ↵(t) (°) Capteur Figure 7 – Schéma-blocs fonctionnel de l’asservissement du T-foil II.2 Modélisation de l’asservissement II.2.1 Modèle de comportement de la chaine cinématique (a) Sur un tour (b) Zoom sur la plage d’évolution réelle Figure 8 – Loi d’évolution de la chaine cinématique La figure 8 donne la courbe représentative de la loi = f (↵). Le domaine utile d’évolution est [-5° ;9°]. Sur cette plage, la chaine cinématique peut alors être modélisée par un gain pur KT . Q5. Déterminer la valeur du gain KT . Préciser son unité. II.2.2 Modèle de connaissance du vérin Les phénomènes hydrauliques liés à l’écoulement du fluide à travers les orifices de la servovalve, les canalisations et le vérin ont un caractère fortement non-linéaire. Néanmoins, moyennant certaines hypothèses, le comportement du vérin peut être caractérisé par un modèle linéaire. Le modèle continu associé à cette chaine est alors donné par le schéma de la figure 16 du document réponses, où apparaissent deux entrées : la consigne de position angulaire ↵c et l’e↵ort F appliqué par le T-foil sur la tige du vérin. Cet e↵ort, résultant des actions hydrodynamiques sur l’appendice, est qualifié de grandeur de perturbation alors que ↵c représente l’entrée de consigne. Le comportement du vérin hydraulique présente ainsi deux aspects : — un comportement « en position » modélisé par la fonction de transfert HV (p), définie par : HV (p) = Q (p) Q(p) = 5 KV p (1 + aV p + bV p2 ) DM3 SII - PTSI 3h — un comportement « en e↵ort » modélisé par la fonction de transfert HF (p) telle que : HF (p) = avec KV = 127m 2 .s, KF = 5.10 8 m.N 1, a F (p) F (p) = V = 3.10 KF 1 + a V p + bV p2 3 et b V = 10 4. Q6. Identifier une pulsation propre !0V et un facteur d’amortissement ⇠V en fonction de aV et bV . Faire les applications numériques. II.2.3 Modèle de connaissance de la servovalve Le fabricant de servovalves propose un modèle du premier ordre de constante de temps TS = 4.10 3 s et de gain statique KS = 1, 7.10 3 m3 .s 1 .mA 1 pour ce composant. Q7. Tracer, sur la figure 15 du document réponses, le diagramme de gain de ce composant. On représentera le tracé asymptotique puis une allure du tracé réel. Q8. À quel type de filtre a-t-on a↵aire (passe-haut, passe-bas, coupe-bande...) ? Afin que la consigne ne soit pas filtrée par la servovalve, il faut choisir une servovalve dont la bande passante soit au moins deux fois supérieure à celle du vérin. Q9. Donner la valeur (en rad/s) de la borne supérieure de la bande passante à servovalve. 3dB, notée !S , de la La pulsation !V définissant la borne supérieure de la bande passante à !V = 120rad/s. 3dB du vérin vaut Q10. Sur la figure 15 du document réponses, tracer le diagramme de Bode asymptotique du gain associé à la fonction de transfert HF (!). Ajouter l’allure du tracé réel et justifier ainsi la valeur de !V = 120rad/s. On choisira une autre couleur que celle utilisée pour répondre à la question Q7. Q11. Vérifier alors que la servovalve choisie ne filtre pas la consigne. Cette précaution étant prise, on peut désormais modéliser la servovalve par un gain pur KS : HS (p) = KS . II.2.4 Modèles de connaissance de l’adaptateur, du capteur et du correcteur L’adaptateur, le capteur et le correcteur sont modélisés par des gains purs, respectivement notés 1 KA , KC et K. On a KA = , KC = 1V /m et K = 100mA/m. KT II.2.5 Modèle global Q12. Compléter le schéma-blocs proposé figure 16 du document réponses à l’aide des fonctions de transfert HV (p), HF (p), KS , KT , KA , KC et K. 6 DM3 SII - PTSI II.3 3h Évaluation des performances du système non perturbé Dans un premier temps, on considère le système non perturbé : F = 0. Q13. Déterminer la fonction de transfert globale H(p) = KA , aV et bV . ↵(p) en fonction de K, KS , KV , KT , KC , ↵c (p) On admet que le système modélisé par cette fonction de transfert est stable. II.3.1 Validation du critère de précision Q14. Déterminer l’erreur statique du système en réponse à un échelon d’amplitude a0 . Le critère du cahier des charges associé est-il respecté ? II.3.2 Validation du critère de rapidité La loi réelle de commande est liée à un trapèze de vitesse : on cherche à atteindre un déplacement d du vérin à vitesse constante = v. Il faut bien évidemment pour cela atteindre cette vitesse, d’où dt une phase d’accélération ; puis stopper le vérin, d’où une phase de décélération. c (m) d c (m/s) dt t (s) Figure 9 – Évolution souhaitée du déplacement du vérin On assimile donc la consigne à une rampe : ↵c (t) = a.t avec a = 28, 65 /s. Le cahier des charges stipule alors un critère de rapidité, nommé retard de trainage. Le retard de trainage ⌧r est le temps représentant le retard, en régime permanent, de la réponse ↵(t) sur la consigne ↵c (t) (cf. figure 10). Q15. Donner l’expression de la transformée de Laplace du signale d’entrée ↵c (p) en fonction de a et p, la variable de Laplace. Q16. Soit µ(t) = ↵c (t) ↵(t) l’erreur. Exprimer sa transformée de Laplace µ(p) en fonction de a, H(p) et p, la variable de Laplace. 7 DM3 SII - PTSI 3h Q17. Déterminer alors l’expression de l’erreur en régime permanent µs = lim µ(t). t!+1 Angle ( ) On remarque que, d’après les résultats des questions Q13 et Q16, la droite asymptotique représentant le régime permanent de ↵(t) est parallèle à la rampe de consigne ↵c (t). Q18. Déterminer alors l’expression du retard de trainage ⌧r en fonction de a et µs , puis en fonction de K, KS , KC et KV . Q19. Faire l’application numérique et conclure vis-à-vis du cahier des charges. II.4 µs ⌧r ↵c (t) ↵(t) µ(t) Temps (s) Figure 10 – Définition du retard de trainage ⌧r Évaluation des performances du système perturbé On considère à présent le système perturbé par l’action F . On pose alors ↵c = 0, condition vérifiée dans toute cette partie. 10000 ↵(p) . F (p) 1000 100 10 1 0,1 0,01 Pour la composante de perturbation 0,001 ß 0,00001 Question 16B 0,0001 Q20. Déterminer l’expression de la fonction de transfert du système perturbé : HP (p) = ∆f1.sin(10.t).u(t), calculer 0due aux actions de trainée et à des fluctuations liées aux La perturbation F est principalement ω(rd/s) l’amplitude ∆α des oscillations mouvements du navire : 0 angulaires générées sur le «T-foil». 50 On donne (voir figure ci-contre) le F (t) = f.u(t) + f.sin(10t).u(t) avec f = 20kN et f = 100kN diagramme d’amplitude de Bode 100 de H1(jω) et l’approximation : 10 u(t) est la fonction de Heaviside (échelon -150 unitaire). 7,5 ≈ 3.10-8. On seß propose d’évaluer performances du système perturbé en deux temps : tout d’abord vis-àComparer ∆α0 à lalesprécision de -200 positionnement. Conclure surpuis vis de la partie constante F1 (t) = f.u(t), vis-à-vis de la partie sinusoı̈dale F2 (t) = f.sin(10t).u(t). l’influence de cette composante de perturbation sur le comportement -250 du navire.de la réponse indicielle|H1(j.ω)| II.4.1 Analyse dB - - -300 On sollicite le système par un échelon de perturbation : F (t) = F1 (t) = f.u(t) avec f = 20kN . La temporelle du système correspondant à une entrée de perturbation de type échelon de la forme figure La 11réponse présente la réponse simulée du système. F0 .u(t) est donnée par la figure ci-dessous. 8 . 10,02 0 -5 λ (m ) 6 . 0,015 1 0-5 ↵( ) 4 . 1 0,01 0 -5 2 . 0,005 1 0-5 00 - 2 . 1-0,005 0 -5 t(s) -5 - 4 . 1 0-0,01 0 . 0 0 0 . 5 0,5 1 . 0 1 1 . 5 t (s) 1,5 2 . 0 2 2.5 2,5 Cette courbe tracée pour F0 =1 kN, met en évidence la présence d’un régime transitoire à caractère fortement Figure 11 – Réponse simulée à une perturbation en échelon oscillant. Question 17B ß ß ß Au vu de cette courbe, évaluer l’erreur ∆λ sur la position finale. En déduire l’écart de position 8 une fois le régime transitoire éteint, ∆αP. angulaire du «T-foil» consécutif à cette perturbation Quelle particularité de Hv(p) est à l’origine de cette valeur singulière ? A l’aide de la courbe ci-dessus, évaluer l’écart de position angulaire maximal, ∆αT généré par cette perturbation au cours du régime transitoire. DM3 SII - PTSI 3h Q21. À l’aide de la courbe ci-dessus, évaluer l’erreur statique générée par cette perturbation. Le cahier des charges est-il respecté ? II.4.2 Analyse de la réponse fréquentielle On sollicite à présent le système par une perturbation sinusoı̈dale F (t) = f.sin(!.t).u(t). On donne ci-après, figure 12, le diagramme de Bode en gain obtenu par simulation. GdB (dB) α0 à la précision de nt. Conclure sur e cette composante de sur le comportement 10000 1000 100 10 1 0,1 ! (rad/s) 0,01 0,001 00 0,0001 osante de perturbation u(t), calculer ∆α0 des oscillations nérées sur le «T-foil». oir figure ci-contre) le d’amplitude de Bode l’approximation : 10- 0, 00001 0,00001 Q22. Déterminer l’amplitude ↵2max des oscillations angulaires générées sur le T-foil lorsque la sollicitation est F (t) = F2 (t) = f.sin(10t).u(t). Le cahier des charges est-il vérifié ? ω(rd/s) -50 - 100 172 -150 -200 -250 -300 516 |H1(j.ω)|dB elle du système correspondant entrée de perturbation échelon de la forme Figure à12une – Diagramme de gain simulé pour de une type perturbation sinusoı̈dale par la figure ci-dessous. λ (m ) t(s) 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2.5 9 pour F0 =1 kN, met en évidence la présence d’un régime transitoire à caractère fortement