1 ENSEA Niveau : IPS 2 Enseignant : Dr KOUAKOU Année Académique 2025 / 2026 Travaux dirigés d’estimation Exercice 1. Questions de cours 1 . Donner la définition d’un échantillon de X de taille n. 2 . Qu’est ce qu’une statistique exhaustive pour un paramètre θ ? 3 . Donner et expliquer le théorème de factorisation. 4 . Donner les deux formules de l’information de Fisher. Que représente l’information de Fisher ? 5 . Qu’est ce qu’un estimateur efficace ? 6 . Qu’appelle t’on estimateur convergent ? 7 . Qu’appelle t’on estimateur asymptotiquement normal ? 8 . Expliquer la méthode des moments Exercice 2. On considère un échantillon (X1 , ..., Xn ) issu de la loi exponentielle E(θ) avec θ > 0 inconnu. 1 Déterminer l’estimateur θ̂n par la méthode du maximum de vraisemblance. 2 Montrer que θ̂n peut être obtenu par la méthode des moments. 3 Déterminer les propriétés asymptotiques de θ̂n . 4 Montrer que θ̂n est un estimateur biaisé de θ. En déduire un estimateur θ̃n sans biais de θ Exercice 3. On considère le modèle statistique paramétrique dont la variable aléatoire générique X est discrète de loi définie, pour k ∈ N, par P(X = k) = θk , (1 + θ)k+1 θ est un paramètre positif. 1. Montrer que Eθ (X) = θ et V arθ (X) = θ2 + θ. On pourra utiliser la somme de la série géométrique et pour la variance calculer Eθ (X(X − 1)) 2. Donner un estimateur de θ par la méthode des moments. 3. Donner une statistique exhaustive pour le modèle. 4. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance θ̂n de θ 2 5. Cet estimateur est-il sans biais ? Consistant ? Exercice 4. Soit (X1 , ..., Xn ) un échantillon issu d’une loi exponentielle de paramètre λ > 0. 1. Déterminer l’estimateur λ̂n du maximum de vraisemblance et montrer qu’il est consistant. 2. Montrer que la variable λ max1≤i≤n Xi est pivotale. Construire un intervalle de confiance pour le paramètre λ de niveau de confiance 1 − α pour α ∈]0, 1[ 3. Construire un intervalle de confiance asymptotique pour le paramètre λ de niveau de confiance 1 − α pour α ∈]0, 1[ Exercice 5. Soit X1 ; ...; Xn n variables aléatoires i.i.d. de loi admettant la densité fθ (x) = exp (−(x − θ)) 1[θ,+∞[ , où θ est un paramètre réel 1. Montrer que pour tout θ ∈ R, fθ est une densité de probabilité. 2. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ. on le notera θ̂M V 3. Calculer la fonction de répartition de θ̂M V et en déduire que la densité de θ̂M V est donnée par fθ̂M V (x) = n exp (n(θ − x)) 1[θ,+∞[ . 4. Calculer E[θ̂M V ]. En déduire un nouvel estimateur θ̃ de θ qui soit sans biais. 5. Calculer la variance de θ̃ 6. Calculer E(X1 ). En déduire l’estimateur des moments de θ. On notera θ̂m cet estimateur 7. Calculer le risque quadratique de θ̂m . 8. Donner un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1- α pour θ Exercice 6. On considère le modèle d’échantillonnage X1 , ..., Xn de taille n de loi de densité f (x, θ) = θxθ−1 , 0 < x < 1, θ>0 1. Proposer une statistique exhaustive à valeurs dans R pour θ. Est-elle totale ? 2. Déterminer la loi − ln(Xi ). 3. Déterminer l’estimateur du maximum de θ, noté θ̂. Montrons qu’il est biaisé mais asymptotiquement sans biais. Quelle est sa loi asymptotique ? 4. Montrer que nθ̂ suit une loi γ(n, θ). 5. Montrer que 1θ̂ est un estimateur de 1θ 6. Trouver une fonction pivotale pour θ et en déduire la forme d’un intervalle de confiance pour θ de niveau 1 − α Exercice 7. On considère un échantillon (X1 , ..., Xn ) issu de la loi uniforme U [0, θ] avec θ > 0 . 1 . Trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance θ̂n . S’agit-il d’une statistique exhaustive ? d’un estimateur convergent ? 3 2 . Montrer que θ̂θn est une fonction pivot pour θ. 3 . Indiquer un intervalle de confiance pour θ de niveau 1 − α où α ∈ [0, 1] Exercice 8. Soit X1 ; ...; Xn un n échantillon composé de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées selon la loi admettant pour densité 1 f (x) = √ 1]0,θ] (x) 2 xθ où θ est un paramètre strictement positif que l’on cherche à estimer dans cet exercice. On considère l’estimateur θ̂ = max(X1 , ..., Xn ). 1. Calculer la fonction de répartition de θ̂ et en déduire la densité de θ̂. 2. Calculer le biais de θ̂ et la variance de θ̂. En déduire son risque quadratique. 3. Montrer que n(θ − θ̂) converge en loi vers une loi à préciser (indication : on pourra calculer la fonction de répartition de n(θ − θ̂)). On en déduira un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1 − α pour θ . Exercice 9. Afin de mieux gérer les demandes de crédits de ses clients, un directeur d’agence bancaire réalise une étude relative à la durée de traitement des dossiers, supposée suivre une distribution normale. Un échantillon de 30 dossiers dossiers a donné : Durée du traitement (en jours) [0,10[ [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60[ Effectif 3 6 10 7 3 1 1. Déterminer les estimateurs de la moyenne m et de la variance σ 2 par la méthode du maximum de vraisemblance. Etudier leurs propriétés. 2. Donner les estimations de la moyenne m et de la variance σ 2 . 3. Donner une estimation de m par intervalle de confiance au seuil de risque 5%. Bon courage