Introduction
Le but de la théorie des probabilités est de fournir un modèle
mathématique pour décrire les phénomènes aléatoires. Sous sa forme
moderne, la formulation de cette théorie contient trois ingrédients :
l’univers, les événements, et la mesure de probabilité.
Dans ce chapitre introductif nous rassemblons les notions basiques
de théorie des probabilités qui seront utilisées dans la suite du cours.
Tarek ZARI (FSJES DE AÏN SEBAA) S5-MASS 2016-2017 2 / 125
L’univers- Evenement - tribu
I. L’univers - Evenement - tribu
Définition
- Une expérience aléatoire est un processus (opérations) dont les
résultats sont imprévisibles et dépendent du hasard (l’aléa).
-L’univers est un ensemble dont les éléments correspondent à tous
les résultats possibles de l’expérience aléatoire que l’on cherche à
modéliser. On l’appelle également l’espace des observables, ou
encore l’ensemble fondamental.
Notation : L’ univers (ou l’ensemble fondamental) est généralement
noté par Ω.
Tarek ZARI (FSJES DE AÏN SEBAA) S5-MASS 2016-2017 3 / 125
L’univers- Evenement - tribu
I. L’univers- Evenement - tribu
Exemple 1 :Univers de quelques expériences aléatoires
1Lancer un dé : Ω = {1,2,3,4,5,6}.
2Un tirage à pile ou face : Ω = {P,F}.
3Deux tirages à pile ou face : Ω = {PP,PF ,FP,FF }.
4Taille d’une personne : Ω = R+.
5Durée de vie d’une ampoule : Ω = R+.
6Le cours d’une action sur un intervalle de temps [s,t]:
Ω = C([s,t]; R+),
où C([s,t]; R+)est l’ensemble des fonctions continues de [s,t]
vers R+.
Tarek ZARI (FSJES DE AÏN SEBAA) S5-MASS 2016-2017 4 / 125
L’univers- Evenement - tribu
I. L’univers- Evenement - tribu
Définition
Un événement est un sous ensemble de Ω.
Il peut être réalisé ou non une fois le résultat de l’expérience est connu.
Exemple 2 :On lance successivement deux dés non truqués.
L’univers : Ω = {(m,n)∈ {1,2,3,4,5,6} × {1,2,3,4,5,6}}
Les événements qui peuvent être réalisés, sont :
1L’événement “ le premier et le second lancer sont pairs” :
{(m,n)∈ {2,4,6} × {2,4,6}}
2L’événement “ le second lancer est un 6 ” : {(m,6) : m∈ {1,2,3,4,5,6}}
3L’événement “ le premier lancer est supérieur au second ” : {(m,n)∈Ω : m>n}
4L’événement “ la somme des deux lancers est paire” :
{(m,n)∈Ω : m+n=2k,k∈N}
Tarek ZARI (FSJES DE AÏN SEBAA) S5-MASS 2016-2017 5 / 125
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
1
/
125
100%
