cours BA adams

Année académique 2013-2014
BACHELOR
Dr. Adamah P.-S. MESSAN
BETON ARME
|
Novembre 2013
Sommaire
Chapitre 1 : BASE DE CALCUL ..................................................................................................................................... 5
1.
OBJET DES JUSTIFICATIONS DE CALCUL.............................................................................................. 5
2.
METHODES DES ETATS LIMITES ............................................................................................................. 6
2.1.
Les ACTIONS ............................................................................................................................................ 6
2.2.
Les SOLLICITATIONS ............................................................................................................................ 7
2.3.
Les ETATS LIMITES E.L.U. et E.L.S. .................................................................................................. 7
3.
PRINCIPE GENERAL DE CALCUL AUX ETATS LIMITES : ................................................................ 7
3.1.
m .................................. 8
3.2.
COEFFICIENT PARTIEL DE SECURITE SUR CHAQUE ACTION INDIVIDUELLE :
 G et  Q .................................................................................................................................................................... 8
4.
SOLLICITATIONS DE CALCUL :.................................................................................................................. 8
4.1.
GENERALITES : ....................................................................................................................................... 8
4.2.
SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.U. DE RESISTANCE : ............................ 9
4.3.
SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.S. ................................................................. 9
5.
VALEURS NUMERIQUES DES ACTIONS ................................................................................................. 9
5.1.
Actions permanentes dans le bâtiment ......................................................................................... 9
5.2.
Charges d’exploitation dans le bâtiment ................................................................................... 10
CHAPITRE2 : PRINCIPE ET FONCTIONNEMENT DU BETON ARME ......................................................... 12
1 PRINCIPE:............................................................................................................................................................ 12
2.
FONCTIONNEMENT DU BETON ARME :............................................................................................. 13
2.1.
EN FLEXION : (sous l'effet du moment de flexion Mf) .......................................................... 13
2.2. AU CISAILLEMENT : (sous l'effet de l'effort tranchant V) ........................................................... 14
2.3.
EN COMPRESSION SIMPLE ............................................................................................................. 16
2.4.
CAS PARTICULIER DES DALLES DE PLANCHER : .................................................................. 16
CHAPITRE 3 : CARACTERISQUES DES MATERIAUX ....................................................................................... 17
1.
Le BETON :...................................................................................................................................................... 17
1.1.
Résistances caractéristiques du béton : .................................................................................... 17
1.2.
Diagramme déformations-contraintes du béton :................................................................. 18
1.3.
Déformations du béton ..................................................................................................................... 19
2.
LES ACIERS : ................................................................................................................................................. 20
2.1.
Prescriptions générales .................................................................................................................... 20
2.2.
Diagramme déformations-contraintes à l'E.L.U. ..................................................................... 21
2.3.
Diagramme de calcul des aciers à l'E.L.S. Etat limite d'ouverture des fissures ......... 21
3 - Fonctionnement de l'association acier-béton [A.4.3,3]...................................................................... 22
Diagramme des 3 pivots ........................................................................................................................................ 22
3.1) Hypothèses : ................................................................................................................................................. 22
3.2) Ce diagramme définit 3 domaines : ..................................................................................................... 23
CHAPITRE 4 DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES DIVERSES ........................................................................... 25
CHAPITRE 5 ASSOCIATION ACIER – BETON: L'ADHERENCE .................................................................... 27
1.
ADHERENCE DES ACIERS EN BARRES: .............................................................................................. 27
1.1.
CONTRAINTE D'ADHERENCE: ....................................................................................................... 27
1.2. VALEUR LIMITE DE LA CONTRAINTE ULTIME D'ADHERENCE : ............................................ 27
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1.3. ANCRAGE RECTILIGNE : ........................................................................................................................... 28
1.4.
LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT D'UNE BARRE ISOLEE : ......................................... 28
1.5.
ANCRAGE PAR COURBURE D'UNE BARRE TENDUE: ........................................................... 28
1.6.
ANCRAGE D'UNE BARRE PAR CROCHET : ................................................................................ 29
1.7.
VISUALISATION DE LA CHUTE DE L'EFFORT DE TRACTION DANS LA BARRE
COURBE : ................................................................................................................................................................. 29
1.8.
ANCRAGE PAR CROCHET NORMAL : BAEL A.6.1,253 ........................................................ 29
1.10. ANCRAGES NORMALISES ...................................................................................................................... 29
ANCRAGES DES CADRES, ETRIERS, EPINGLES : ............................................................................. 30
JONCTION DES BARRES : .......................................................................................................................... 30
3.1.
JONCTION PAR RECOUVREMENT : .............................................................................................. 30
3.2. RECOUVREMENTS SIMPLES DES ARMATURES TENDUES :....................................................... 31
3.3.
COTATION DES CROCHETS : .......................................................................................................... 31
3.4.
RECOUVREMENTS DES ARMATURES COMPRIMEES :......................................................... 31
CHAPITRE 6. SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS NORMALES ............................................. 34
I. LA TRACTION SIMPLE ............................................................................................................................................. 34
1.
DEFINITION : ................................................................................................................................................. 34
2.
HYPOTHESES – NOTATIONS : ................................................................................................................ 34
3.
JUSTIFICATION DES ARMATURES LONGITUDINALES :............................................................... 35
3.1.
SOLLICITATIONS DE CALCUL : ...................................................................................................... 35
3.2.
CONDITIONS D'EQUILIBRE : .......................................................................................................... 35
3.3.
SECTIONS D'ARMATURES TENDUES : ....................................................................................... 35
3.4.
CONDITION DE NON-FRAGILITE : ............................................................................................... 35
3.5.
SECTION D'ACIER : ............................................................................................................................. 35
4.
DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES: ......................................................................................................... 35
5.
DIMENSION DE LA SECTION DE BETON :.......................................................................................... 36
6.
ARMATURES TRANSVERSALES :........................................................................................................... 36
II. LES POTEAUX EN "COMPRESSION CENTREE"............................................................................................. 37
1.
DEFINITION: .................................................................................................................................................. 37
2.
HYPOTHESES : .............................................................................................................................................. 37
3.
COMBINAISONS D'ACTIONS A CONSIDERER: .................................................................................. 38
3.1.
COMBINAISON DE BASE: ................................................................................................................. 38
4.
LONGUEUR DE FLAMBEMENT lf ET ELANCEMENT  : ............................................................ 38
4.1.
LONGUEUR DE FLAMBEMENT:..................................................................................................... 38
4.2.
ELANCEMENT  ................................................................................................................................. 39
5.
JUSTIFICATION DES POTEAUX : ............................................................................................................ 40
5.1.
DETERMINATION FORFAITAIRE DE L'EFFORT NORMAL RESISTANT DES POTEAUX
SOUMIS A UNE COMPRESSION "CENTREE".............................................................................................. 40
6.
DETERMINATION DES ARMATURES : ................................................................................................ 41
6.1.
ARMATURES LONGITUDINALES : ................................................................................................ 41
6.2.
ARMATURES TRANSVERSALES : .................................................................................................. 41
7.
DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES REGLEMENTAIRES : ................................................................ 42
7.1.
DISTANCE MAXI ENTRE LES ACIERS LONGITUDINAUX : .................................................. 42
8.
DIMENSIONNEMENT D'UN POTEAU COURANT : ........................................................................... 42
8.1.
DONNEES ............................................................................................................................................... 42
2.
3.
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8.2.
INCONNUES........................................................................................................................................... 42
9.
EVALUATION DES CHARGES SUR LES POTEAUX ........................................................................... 43
CHAPITRE 7 ..................................................................................................................................................................... 43
Fondations superficielles ........................................................................................................................................... 43
1.
Définitions : .................................................................................................................................................... 43
1.1. Différentes formes : .................................................................................................................................... 44
1.2. Documents de référence : ........................................................................................................................ 44
2.
Descente de charges ................................................................................................................................... 45
2.1. But ..................................................................................................................................................................... 45
2.2. Méthodes de calcul ..................................................................................................................................... 45
3.
Dimensionnement des semelles ............................................................................................................ 45
3.1.
Semelle sous mur ................................................................................................................................ 45
3.2.
Semelle sous un poteau .................................................................................................................... 46
4.
Calcul des armatures .................................................................................................................................. 47
4.1.
Semelle sous mur ................................................................................................................................ 47
4.2.
Semelle sous poteau........................................................................................................................... 49
4.3.
Dessin des fondations ....................................................................................................................... 49
CHAPITRE 8 ..................................................................................................................................................................... 51
ETAT LIMITE ULTIME EN FLEXION SIMPLE : LES POUTRES A SECTION RECTANGULAIRE ......... 51
1. RAPPEL – HYPOTHESES : ................................................................................................................................ 51
2.
EQUILIBRE D'UNE SECTION : ................................................................................................................. 51
3.
REGLE DES 3 PIVOTS : ............................................................................................................................... 52
3.1.
DIAGRAMME IDEAL :......................................................................................................................... 52
3.2.
REGLE DES PIVOTS : .......................................................................................................................... 52
3.3.
PIVOT A : DOMAINE [1b] ................................................................................................................. 53
3.4.
PIVOT B : DOMAINE 2 - UTILISATION MAXIMUM DU BETON : ....................................... 53
4. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A SIMPLES ARMATURES : ............................................. 54
4.1. DONNEES : ..................................................................................................................................................... 54
4.2.
RECHERCHE DU PIVOT: ................................................................................................................... 54
4.3.
PARAMETRES DE DEFORMATION : ............................................................................................ 54
4.4. DEFORMATION DE L'ACIER : ................................................................................................................. 54
4.5.
EFFORTS NORMAUX .......................................................................................................................... 55
4.6.
SECTION D'ACIER ............................................................................................................................... 55
5.
CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A DOUBLES ARMATURES ...................................... 55
5.1.
DONNEES ............................................................................................................................................... 55
5.2.
DIAGRAMME DE DEFORMATION ................................................................................................. 55
5.3.
MOMENT RESISTANT DU BETON Mrub ; MOMENT RESIDUEL Mres ............................... 55
5.4.
SCHEMA DE CALCUL ......................................................................................................................... 55
5.5.
DEROULEMENT DES CALCULS...................................................................................................... 57
6.
BAEL A.4.2 : CONDITION DE NON FRAGILITE ................................................................................. 58
7. PREDIMENSIONNEMENT DE SECTIONS RECTANGULAIRES ............................................................ 58
CHAPITRE 9 : FLEXION SIMPLE ARMATURES TRANSVERSALES DES POUTRES
RECTANGULAIRES JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DES SOLLICITATIONS TANGENTES ....................... 60
A - Comportement d'une poutre sous l'action de l'effort tranchant..................................................... 60
B - Hypothèses et prescriptions réglementaires .......................................................................................... 60
C - Conduite des calculs .......................................................................................................................................... 62
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Chapitre 1 : BASE DE CALCUL
1. OBJET DES JUSTIFICATIONS DE CALCUL :
Les ouvrages et éléments d'ouvrages en béton armé doivent être conçus et réalisés de manière :
- à pouvoir résister avec une sécurité appropriée à toutes les sollicitations prévues,
- à présenter une durabilité satisfaisante durant toute la période d'exploitation.
Le calcul permet de justifier qu'une sécurité appropriée est assurée :
- vis-à-vis de la ruine de l'ouvrage et (ou) de ses éléments constitutifs,
- vis-à-vis d'un comportement non satisfaisant en service (aspect, durabilité, confort des usagers, ...)
NOTA : pour le béton armé, les vérifications du comportement en service concernent les ouvertures de
fissures (danger de corrosion des armatures) et les déformations des éléments porteurs.
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2. METHODES DES ETATS LIMITES :
2.1.
Les ACTIONS
TYPE DE CHARGES
On distingue :
G
actions permanentes
Q
FA
actions variables
actions accidentelles
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OBSERVATIONS
dont l'intensité est constante, ou très peu variable dans le
temps
dont l'intensité varie de façon importante dans le temps
provenant de phénomènes rares (séismes, action du feu .)
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Les actions sont les forces et les couples appliqués à une structure. Ces forces et ces couples sont :
• Actions permanentes (notées G) :
- Poids propre de la structure : charges 1, 2, 8 et 12.
- Poids des autres éléments de la construction : charges 9 et 11.
- Poussées des terres, pression des liquides : 7 et 14
- Actions dues aux déformations différées : raccourcissement par retrait du béton dans le plancher 8.
• Actions variables (notées Q) :
- Charges d’exploitation : 3, 5, 6 et 13
- Charges climatiques : 4
- Action de la température climatique due aux variations d’ambiance au cours de la journée : 10.
- Actions appliquées en cours de construction qui proviennent des équipements de chantier.
- les conséquences des modifications statiques ou d'état (variations de températures, retraits, tassements
d'appuis, etc ...).
2.2.
Les SOLLICITATIONS
Les sollicitations sont les efforts (effort normal N, effort tranchant V) et les moments (moment de flexion Mf,
moment de torsion MT) calculés à partir des actions par des méthodes appropriées issues de la Résistance
des Matériaux.
2.3.
Les ETATS LIMITES E.L.U. et E.L.S.
Les calculs justificatifs sont conduits suivant la théorie des états-limites.
Un état limite est un état au-delà duquel la structure (ou un élément de la structure) mise hors service, ne
répond plus aux fonctions pour lesquelles elle a été conçue.
Ces fonctions sont :
- la résistance (à la rupture)
- la stabilité statique (au basculement)
- la stabilité élastique (au flambement)
Le BAEL distingue : - Les "états-limites ultimes" : (indice "u") qui correspondent à la limite :
- soit de l'équilibre statique ;
- soit de la résistance de l'un des matériaux ;
- soit de la stabilité de forme.
- Les "états-limites de service" : (indice "ser") qui sont définis compte tenu :
- des conditions d'exploitation
- ou des conditions de durabilité.
NOTA : Il s'agit surtout d'états limites de déformation (instantanée ou différée) et d'ouvertures des fissures.
3.
PRINCIPE GENERAL DE CALCUL AUX ETATS LIMITES :
Les justifications produites doivent montrer, pour les divers éléments constitutifs et pour l'ensemble de la
structure, que les sollicitations de calcul définies dans la suite ne provoquent pas le phénomène que l'on veut
éviter.
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E.L.U.
Combinaisons
ACTIONS
d'actions
SOLLICITATIONS
Coefficient de sécurité partiel
3.1.
Résistance
de calcul
Q
G
E.L.S.
MATERIAUX
de sécurité partiel
m Coefficient
sur les matériaux
COEFFICIENT PARTIEL DE SECURITE SUR LES MATERIAUX : m
Les propriétés de chacun des matériaux constitutifs de la structure sont minorées par un coefficient partiel de
sécurité m qui dépend du matériau et de l'état limite considéré.
 s  1,15 (  s  1 en cas de combinaisons accidentelles)
 Béton :  b  1,50 (  b  1,15 en cas de combinaisons accidentelles)
 Acier :
EXEMPLE
3.2.
E.L.U.
COEFFICIENT PARTIEL DE SECURITE SUR CHAQUE ACTION INDIVIDUELLE :
 G et  Q
Pour tenir compte des incertitudes relatives, soit aux actions, soit aux sollicitations, chaque action est affectée
d'un coefficient de sécurité partiel  G ou  Q qui dépend de la nature de l'action, de la combinaison dans
laquelle elle intervient et de l'état limite considéré.
A chaque combinaison d'actions affectées de leur coefficient  G ou  Q respectif, correspond une sollicitation
agissante de calcul S obtenue par une méthode de calcul (RdM par exemple).
Pour chaque état limite, il existe une sollicitation résistante de calcul S obtenue par une méthode calcul des
sections, en supposant que l'un des matériaux constitutifs a atteint une certaine déformation limite (cas de l'état
limite ultime) ou une certaine contrainte limite (cas des états limites de service).
Pour chaque état limite et pour le cas de charge le plus défavorable sous la combinaison d'actions considérée,
on doit vérifier : S  S .
4.
SOLLICITATIONS DE CALCUL :
4.1.
GENERALITES :
On désigne par :
Gmax
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Gmax
Gmin
l'ensemble des actions permanentes défavorables
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Page 8
Gmini
Q1
une action variable dite de base
Qi
les autres actions variables dites d'accompagnement avec i > 1
0 , 1 , 2
4.2.
l'ensemble des actions permanentes favorables
les coefficients définis en A.3.1,31
SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.U. DE RESISTANCE :
La combinaison fondamentale s'écrit :
expression dans laquelle :
 Q1  1,50
1,35.Gmax  Gmin   Q1 .Q1  1,3 .
.Qi
dans le cas général
NOTA : Dans le cas courant où il n'y a qu'une action variable à considérer,
la seule combinaison à étudier à l'E.L.U. est:
4.3.
Qi
1,35.G 1,50.Q
SOLLICITATIONS DE CALCUL VIS-A-VIS DES E.L.S.
Elles résultent des combinaisons d'actions, dites combinaisons rares :
NOTA : Dans le cas courant où il n'y a qu'une action variable à considérer,
la seule combinaison à étudier à l'ELS est:
G Q
Les coefficients  relatifs aux charges d'exploitation sont fixés par l'annexe 1 à la norme NFP06-001.
0.77 tous les locaux à l ' exception des archives * , parkings, vent et neige

 Qi  0.90 parcs de stationnem ent et archives
0.60 var aitions uniformes de la températur e

5.
VALEURS NUMERIQUES DES ACTIONS
Les charges couramment utilisées sont tirées des normes NF P 06-001, NF P 06-004.
5.1.
Actions permanentes dans le bâtiment
Matériau
poids
volumiques
3
(kN/m )
béton armé
25
béton non armé
22
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Revêtement
chape en mortier, dalle flottante (par
cm d’épaisseur)
carrelages y compris mortier de
pose :
grès cérame 4,5 mm
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poids
surfacique
(kN/m²)
0,2
0,5
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plâtre
mortier aux liants hydrauliques
briques pleines
briques creuses
parpaings pleins
parpaings creux porteurs
10
18
19
9
21
9
chêne
8
sapin
pierre tendre
pierre dure
sables et argiles secs
sables et argiles humides
verre
acier
5.2.
5,5
15 à 19
22 à 25
14 à 16
17 à 19
25
78,5
grés cérame 9 mm
dallage céramique
Toitures :
0,6
0,7 à 1
Terrasses :
étanchéité multicouche
0,12
asphalte coulé sablé
0,5
gravillon de protection/cm
0,2
Couverture métallique
zinc (voligeage et tasseaux compris)
0,25
alu 8/10 (plaque ondulées sans support)
0,03
alu 8/10 (voligeage et tasseaux compris)
0,17
acier inox (voligeage et tasseaux compris)
0,25
tôle ondulé d’acier galvanisé 8/10
0,06
Couverture en tuiles (liteaux, voliges ou support compris)
tuiles mécaniques à emboitement
0,35 à 0,45
tuiles plates
0,55 à 0,75
tuiles canal
0,4 à 0,6
tuiles béton
0,45
Charges d’exploitation dans le bâtiment
Nature du local
Hébergement en chambre, salles de jeux et repos des crèches
Hébergement collectif (dortoirs)
Salles de restaurants, cafés, cantines (nombre de places assises ≤ 100)
Salles de réunions avec tables de travail
Halls divers (gares, etc.) où le public se déplace
Salles d’exposition de moins 50 m²
Salles d’exposition de plus de 50 m²
Salles de réunion et lieux de culte avec assistance debout
Salles, tribunes et gradins des lieux des lieux de spectacles et de sport
avec place debout
Salles de théâtre, de conférences, amphithéâtres, tribunes avec sièges
Cuisines de collectivités, non compris gros matériel
Boutiques et annexes
Balcons
Balcons de bâtiments recevant du public
charges
d’exploitation (kN/m²)
1,5 **
2,5 **
2,5 **
2,5 **
4,0 *
2,5 *
3,5 *
5,0
6,0
4,0
2,5
5,0 **
3,5
6
Remarque
Les valeurs mentionnées dans le tableau ci-dessus sont susceptibles de minoration lorsqu’elles sont appliquées
à des grandes surfaces, et éventuellement de majoration pour de petites surfaces :
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
Garages et parcs de stationnement pour les véhicules légers, de surface S en m²
S ≤ 20m²: q=2,5 kN/m² ; 20m²≤S≤60m² : q=(3,0-0,025S)kN/m²; S≥60m²:q = 1,5kN/m²

Charges repérées par * dans le tableau ci-dessus
La valeur de base du tableau est à multiplier le cas échéant par le coefficient µ tel que :
S≤15m²:µ=1; 15m²≤S≤50m² :µ=(190-S)/175 ; S≥50m² : µ=0,8
 Charges repérées par ** dans le tableau ci-dessus
La valeur de base du tableau est à multiplier le cas échéant par le coefficient µ tel que :
S≤15m² : µ=1,5 – S/30 ; 15m²≤S≤50m² : µ=(190-S)/175 ; S≥50m²: µ = 0,8
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CHAPITRE2 : PRINCIPE ET FONCTIONNEMENT DU BETON ARME
1
PRINCIPE:
Le BETON
L'ACIER
Mêmes coefficient de dilatation
Bonne résistance en compression
Bonne résistance en compression
Faible résistance en traction
Très bonne résistance en traction
Matériau assez bon marché
Coûteux et oxydable
L'idée du béton armé consiste à combiner acier et béton dans une même pièce, de façon à ce que le béton
absorbe les efforts de compression et l'acier les efforts de traction.
Résiste à la compression
Béton
Protège les armatures
BETON
ARME
L'adhérence acier-béton doit être parfaite
Les armatures métalliques
Acier
compensent la faible résistance
du béton en traction
Le béton armé est donc l'association de ces deux matériaux, basée essentiellement sur leur possibilité
d'adhérence et sur les deux propriétés suivantes qui ont permis ce mariage :
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-
leurs coefficients de dilatation très proches, ce qui accroît l'adhérence normale,
la disparité des modules d'élasticité des deux matériaux associés, ce qui a pour effet de limiter les
déformations du béton.
2.
FONCTIONNEMENT DU BETON ARME :
2.1.
EN FLEXION : (sous l'effet du moment de flexion Mf)
CAS D'UNE POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUIS SIMPLES :
- Le
moment
fléchissant
provoque
une
déformation de la poutre ; dans ces conditions
nous avons les fibres supérieures comprimées
et les fibres inférieures tendues.
Poutre sur deux appuis simples
et sollicitée en flexion simple
- Il
apparaît très rapidement, dans cette zone
tendue, des fissures dues à la mise en traction
du béton.
Rupture par "traction" du béton
- La
présence d'armatures, judicieusement
placées près des fibres tendues, empêche ou
retarde l'apparition de ces fissures.
Rupture
Rupture
Rupture d'une poutre console non "armée" par traction excessive du béton
Résistance en flexion de la même poutre "armée"
Les armatures empêchent l'ouverture des fissures
Fissuration
Fissuration
Les armatures doivent être placées le plus proche possible des fibres tendues
La disposition et les longueurs des barres constituant le ferraillage longitudinal d'une poutre sont directement
liées au diagramme enveloppe des moments fléchissants.
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FERRAILLAGE LONGITUDINAL D'UNE POUTRE CONSOLE
Chapeau sur appui de rive
Aciers "Chapeaux sur appui"
Aciers de construction
Aciers tendus en travée
Aciers transversaux
ADFER par P.Deguette
2.2. AU CISAILLEMENT : (sous l'effet de l'effort tranchant V)
CISAILLEMENT VERTICAL
- Dans les zones voisines des appuis
Bielle de "compression"
les efforts tranchants sont maximaux;
- Ces efforts tranchants engendrent
des contraintes de "cisaillement" v et
des contraintes de traction dont la
valeur maximale correspond à la
contrainte "principale" de traction
pouvant entraîner une fissuration
à 45 °.
- Selon le principe du béton armé, il
faudra donc prévoir des armatures
empêchant l'ouverture de ces
fissures.
Appui
CISAILLEMENT LONGITUDINAL
Appui
Appui
Contrainte principale de traction "à 45°"
Appui
Zone de cisaillement maxi
Détail
Fissure "à 45°"
Appui
Contrainte principale
de traction
Vu
Appui
- Ces armatures dites "de couture" ou "transversales" sont en général placées verticalement et se présentent
sous forme de cadres, étriers, ou épingles en nappes successives dont l'espacement sera d'autant plus
faible que l'effort tranchant est plus important.
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FERRAILLAGE DE PRINCIPE D'UNE POUTRE ISOSTATIQUE EN BETON ARME
1
130
3
2
4*200
5*250
4 5
3*300
3
130
3*200
70
ht
5
(d - y) z d
e
(ht - d)
bo
1
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2

Code
1 HA 20
Type d'acier
Armatures longitudinales
2 HA 16
de traction (flexion)
0000
3 HA 10
Armatures de montage
0000
4 HA 10
Armatures transversales
5201
5 HA 10
Cadres, épingles, étriers
2201
N°
y
4
5*250
70
ht : hauteur totale de la poutre
d : hauteur "utile" de la poutre
y : hauteur de la zone de béton comprimé
(d - y) : hauteur de la zone de béton tendu
bo : largeur de la poutre
z : bras de levier
Dr Adamah MESSAN
2200
Longueur
totale
Schéma
22
22
576
26
26
400
573
55
LT
25
8
8
56
LT
ADFER
P Deguette
Page 15
2.3.
EN COMPRESSION SIMPLE :
FERRAILLAGE D'UN POTEAU ET DE SA SEMELLE
Dans les poteaux comprimés, le béton résiste
bien à la compression; les armatures sont
donc théoriquement inutiles.
RECAPITULATIF ACIER
HA 6
3,0 m
0,7 kg
HA 12 13,6 m 12,0 kg
HA 16 11,6 m 18,2 kg
TOTAL
30,9 kg
Diamètre moyen: 13,01 mm
En fait, sous l'effet des charges, le poteau
peut céder par :
N° Nu
- Expansion latérale du béton (traction) ;
- Cisaillement à 45°;
- Flambage (ou flambement) dans le cas d'un
poteau élancé (flexion) ;

Nombre Nombre
/ élét
d'élét
Nombre
total
Esp.
Longueur
coupe
Code
1
HA 12
7
1
7
13
94
221219
2
HA 12
3
1
3
25
114
221219
3
HA 16
4
1
4
290
0000
4
HA 12
4
1
4
91
1042 28
5
HA
4
1
4
75
5201
6
Long.
Schéma
totale
11
11
56
19
11
11
76
11
19
6.60
3.40
290
11.60
66
3.60
21
3.00
(*): longueur moyenne
3
15 * 150
2 3 HA 12 e = 250
Il est donc indispensable de placer des
armatures :
5
1
- longitudinales,
- transversales,
50
7 HA 12 e = 250
30
3
Les armatures longitudinales sont des barres :
- disposées parallèlement à la direction de
l'effort normal,
- au voisinage des parois,
- en respectant les distances minimales
d'enrobage,
- et de telle sorte que la section des aciers et
celle du béton aient le même centre de
gravité.
5
4
1
3 * 100
50
2
ADFER
P. Deguette
Les armatures transversales sont des cadres (avec ou sans étriers ou épingles) qui doivent ceinturer
complètement les armatures longitudinales (pour que celles-ci soient prises en compte dans les calculs de
résistance), de manière à s'opposer à leur flambement.
2.4.
CAS PARTICULIER DES DALLES DE PLANCHER :
Une dalle est un élément généralement horizontal, dont l'épaisseur est relativement faible par rapport à ses
dimensions en longueur et largeur.
Si cette dalle ne porte que sur deux de ses côtés opposés, elle est calculée comme une poutre; on l'appelle
« poutre-dalle ».
On considère pour les calculs une tranche de dalle de largeur b0 = 1.00 m et de portée la portée de la dalle
entre les deux côtés sur lesquels elle est appuyée; on a alors une poutre de section rectangulaire [b0 * h]
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Page 16
- des armatures inférieures en travées ;
- des armatures supérieures sur appuis appelées "chapeaux sur appuis".
- des armatures de répartition
Les armatures comprennent donc :
Ces armatures peuvent être des barres HA ou des panneaux de treillis soudés.
CHAPITRE 3 : CARACTERISQUES DES MATERIAUX
1.
Le BETON :
1.1.
Résistances caractéristiques du béton :
1.1.1
COMPRESSION :
Pour l'établissement des projets, dans les cas courants, un béton est défini par une valeur de sa résistance à
la compression à l'âge de 28 jours, dite valeur caractéristique requise (ou spécifiée), notée fc28 .
Cette valeur est choisie compte tenu des possibilités locales et des règles de contrôle et d'acceptation qui
permettent ultérieurement de vérifier la conformité à la spécification du béton fabriqué (ou livré) sur chantier.
REMARQUE :
Le chantier doit viser en moyenne : fc28 moy  (1,15 à 1,30 ).fc28
Pour j < 28 jours, on prend
fcj 
j
* fc28 pour fc28  40 MPa
4 ,76  0 ,83 * j
fcj 
j
* fc28 pour fc28  40 MPa
1,40  0 ,95 * j
16 cm
32 cm
Dans tous les cas, la résistance à la compression est mesurée par compression axiale de
cylindres droits de révolution 200 cm² de section et d’une hauteur double de leur diamètre
(éprouvette 16 * 32 cm)
1.1.2
TRACTION :
La résistance caractéristique à la traction du béton à l’âge de j jours, notée ftj est conventionnellement définie
(pour fcj  60 MPa ), par la relation : ftj  0 ,6  0 ,06.fcj ( ftj ,fcj en MPa)
(pour
f cj  60MPa ), par la relation :ftj = 0.275fcj2/3 ( ftj ,fcj en MPa)
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Page 17
1.2.
Diagramme déformations-contraintes du béton :
fcj
1.2.1 Etat-limite ultime :
 bc
Diagramme caractéristique
Diagramme rectangulaire simplifié
Le
béton
est
défini
par
déformations (bc)-contraintes (bc)
un
diagramme
Diagramme "Parabole-Rectangle"
(adopté à l'E.L.U.)
fbu
fbu =
 appelé diagramme "parabole-rectangle",
 dans lequel la contrainte maxi est :
 b
 bc
0
fbu 
0,85.fcj
0,7
2
3,5
°/oo
0 ,85 .fcj
.  b
 b  1,50 pour les combinaisons fondamentales (Cas le plus courant)
 b  1,15 pour les combinaisons accidentelles
Le coefficient b vaut :
  1 si t  24 h (Cas courant)
Le coefficient  est fixé à :
  0 ,90 si 1h  t  24h
  0 ,85 si t  1h
t étant la durée d'application
combinaison d'actions considérée
de
la
Lorsque la section n'est pas entièrement comprimée, il est loisible d'utiliser le diagramme rectangulaire
simplifié(1) défini ci-dessous, dans lequel yu désigne la distance de l’axe neutre de la déformation à la fibre la
plus comprimée.
 bc
bo
3,5°/oo
fbu
fbu
2°/oo
yu
yu
d
0,8.yu
bc
 bc
bc
Diagramme
"parabole-rectangle"
Diagramme
des déformations
Diagramme
rectangulaire simplifié
1 Diagramme équivalent, ayant sensiblement la même surface et le même centre de gravité dont l’utilisation de ce diagramme est réservée
aux calculs en flexion simple
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Page 18
1.2.2 Etat-limite de service :
bc
Courbe expérimentale
fcj
 Le béton est considéré comme un matériau élastique linéaire, défini par son
module d'élasticité.
 La contrainte de calcul en compression est égale à : fb ser  bc  0 ,6.fcj
f bser
fbser = 0,6.fcj
 bc
1.3.
0
Déformations du béton
1
2
3
3,5 °/oo
1.3.1. Déformation longitudinale :

E ij = 11000
1
* f cj 3
Module de déformation longitudinale instantanée :
1
Eij  11000 * fcj 3 sous des contraintes normales d'une durée
d'application inférieure à 24 heures ( fcj en MPa).
Evj
Eij
1
E vj = 3700 * fcj 3
Module de déformation longitudinale différée :
1

0


Evj  3700 * fcj 3 sous
des
contraintes
de
longue
durée
d'application (permanentes) ( fcj en MPa).
Les déformations différées du béton comprennent le retrait et le fluage.
La valeur de ces modules intervient dans le calcul des flèches et des effets dus au retrait.
RETRAIT : A défaut de mesures, on estime que le raccourcissement unitaire (ou relatif) dû au retrait atteint les
valeurs suivantes dans le cas de pièces non massives, à l'air libre :
1,5*10-4 dans les climats très humides
2*10-4 en climat humide (cas de la France sauf le quart sud-est)
3*10-4
4*10-4
en climat tempéré sec (quart sud-est de la France)
5*10-4
en climat très sec ou désertique
L
d
en climat chaud et sec
1.3.1. Déformation transversale :
La déformation transversale se traduit par le coefficient de poisson  
dé formation transversale
dé formation longitudinale
Sauf cas particuliers, le coefficient de Poisson  = 0 (zéro) pour le calcul des sollicitations (E.L.U.)
du béton est pris égal à :
 = 0.2
pour le calcul des déformations (E.L.S.)
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Page 19
2.
LES ACIERS :
2.1.
Prescriptions générales
-- Le caractère mécanique servant de base aux justifications est
- Le module d'élasticité longitudinale de l'acier est :
f e (MPa)
Nuance
RL
HA
la limite d'élasticité garantie, fe
Es = 200 000 MPa.
Contrainte de
Allongement de
rupture  R (MPa)
rupture %
FeE215
215
330 à 490
22
FeE235
235
410 à 490
22
FeE400
400
480
14
FeE500
500
550
12
Remarque : On trouve des barres de longueurs variant de 6m à 12m lisse ou à haute adhérence,
pour les diamètres normalisés suivants (mm) : 5-6-8-10-12-14-16-20-25-32-40.
Sections totale d'acier en cm2
Diamètres Masse kg/m 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
0,222
0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26
2,54
2,83
8
0,395
0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02
4,52
5,03
10
0,617
0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28
7,07
7,85
12
0,888
1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31
14
1,210
1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,31 13,85 15,39
16
1,580
2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11
20
2,466
3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42
25
3,850
4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09
32
6,313
8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42
40
9,864
12,57 25,13 37,70 50,26 62,83 75,40 87,96 100,53 113,09 125,66
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Page 20
2.2.
Diagramme déformations-contraintes à l'E.L.U.
s
fe
- Le diagramme expérimental déformations (s) -contraintes (s)
à considérer pour l'application de l'article A.4.3 concernant
l'état limite-ultime de résistance est défini conventionnellement
ci-contre :
est cependant loisible d'utiliser une forme de courbe se
rapprochant du diagramme réel de l'acier employé à condition :
Traction
s
- 10 °/oo
fe
Es
- Il
- et de contrôler la résistance prise en compte pour l'allongement
de 10 °/oo
Le diagramme de calcul des aciers se déduit du précédent en effectuant une
affinité parallèlement à la tangente à l'origine (droite de HOOKE) dans le
rapport 1/s.
-
fe
s
E s  200000 MPa
 sl 
°/oo
Compression
- de se référer à la valeur garantie de la limite d'élasticité fe
fsu 
10 °/oo
-fe

s
fe
fsu
fe
 s * Es
 s : coefficient partiel de sécurité : s = 1.15 pour les cas courants ; sauf


sl
10 °/oo
s
°/oo
vis-à-vis des combinaisons accidentelles définies pour lesquelles on
adopte s = 1 (unité).
2.3.
Diagramme de calcul des aciers à l'E.L.S. Etat limite d'ouverture des fissures
Dans le calcul à l'ELS, les actions ne sont pas majorées ; les aciers sont donc moins sollicités qu'à l'ELU et ils
doivent être dimensionnés de telle sorte que leurs déformations restent suffisamment faibles en service pour
que les contraintes ne dépassent pas leur limite d'élasticité.
La loi de HOOKE est toujours applicable ; ==> on pourra écrire :  s  Es . s
NOTA : En général ce sont les conditions de fissuration qui déterminent les valeurs des contraintes à prendre
en compte.
2.3.1. Principe de la justification :
- Les formes et dimensions de chaque élément, ainsi que les dispositions des armatures, sont conçues de
manière à limiter la probabilité d'apparition de fissures d'une largeur supérieure à celle qui serait tolérable en
raison du rôle et de la situation de l'ouvrage.
- Les règles BAEL définissent dans leur article B.2.4 trois degrés de nocivité des ouvertures des fissures
en fonction des caractéristiques d'une construction par rapport à son environnement et de la situation de
l'élément considéré par rapport à l'enveloppe de celle-ci.
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Page 21
[BAEL A.4.5,32]
FISSURATION PEU PREJUDICIABLE (F.P.P.)
Le règlement ne demande aucune vérification particulière en dehors des prescriptions
générales et de la condition de non fragilité.
 st  fe (MPa)
FISSURATION PREJUDICIABLE (F.P.)
La contrainte de traction des aciers est limitée à  (dzéta) :
[BAEL A.4.5,33)
2

  Min .fe ; Max( 0 ,5.fe ; 110. .ftj  (MPa)
3


[BAEL A.4.5,34]
FISSURATION TRES PREJUDICIABLE (F.T.P.)
La contrainte de traction des aciers est limitée à : 0 ,8. (MPa)
avec le coefficient
(éta)
Coefficient de fissuration qui dépend de l'adhérence :
 = 1,0 pour les ronds lisses, et les TS formés de fils tréfilés lisses
 = 1,3 pour les fils HA  < 6 mm
 = 1,6 pour les barres HA et fils HA   6 mm
3 - Fonctionnement de l'association acier-béton [A.4.3,3]
Diagramme des 3 pivots
3.1) Hypothèses :
HU 1
les sections droites restent planes (NAVIER-BERNOUILLI)
HU 2 il n'y a pas glissement entre les armatures et le béton,
HU 3 la résistance du béton à la traction est négligée,
HU 4
le diagramme déformation du béton est défini aux paragraphes précédents: diagramme
“rectangulaire simplifié” si la section est partiellement comprimée
HU 5
le diagramme déformation de l’acier est défini par une affinité de rapport 1
HU 6
on suppose concentrée en son c.d.g. la section d’un groupe de plusieurs barres
HU 7
les déformations se font selon le diagramme des 3 pivots avec comme limites:
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s
Page 22
10 ‰ pour l'allongement de l'acier
3,5 ‰ pour le raccourcissement du béton en flexion
2 ‰ pour le raccourcissement du béton en compression simple
3.2) Ce diagramme définit 3 domaines :
Allongements
BAEL [A.4.3,3]
Raccourcissements
-3,5‰
-2‰
B
D
Fibre comprimée
0,259d
3h/7
2
C
d
h
1
3
Ast
Fibre tendue
ou
la moins comprimée
A
+10‰
E
-2‰
Domaine 1 : le diagramme des déformations passe par le pivot A.
L'acier est utilisé au maximum (allongement 10 ‰)
Le raccourcissement du béton est compris entre 0 et -3,5 ‰
Ce domaine correspond à la flexion simple ou composée et à la traction simple (droite
AD).
Domaine 2 : le diagramme passe par le pivot B.
Le béton est utilisé au maximum (raccourcissement 3,5 ‰)
L'acier est tendu ou faiblement comprimé (entre A et E)
Ce domaine correspond à la flexion simple ou composée.
Domaine 3 : le diagramme passe par le pivot C.
La section est entièrement comprimée en flexion composée ou en compression simple.
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Page 23
ETAT-LIMITE ULTIME REGLE DES 3 PIVOTS
fb u
Diagramme de déformation
pour une section
Allongement
°/oo
2
0,7
3,5
Raccourcissement
3,5 °/oo
B
d'
yu
Asc
3
__.h
7
2
ht
C
d
1
3
Ast
A
bo
10 °/oo
2 °/oo
fsu
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Page 24
CHAPITRE 4 DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES DIVERSES
e Enrobage
- Protection des armatures
L’enrobage est défini comme la distance de l’axe d’une
armature à la paroi la plus voisine diminuée du rayon
nominal de cette armature.
PROTECTION DES ARMATURES
Enrobage (BAEL A.7.1)
t
l
e
L'enrobage de toute armature est au moins égal à :
5 cm
pour les ouvrages à la mer ou exposés aux embruns ou aux brouillards salins, ainsi que pour les
coffrages exposés à des atmosphères très agressives.
3 cm
pour les parois coffrées ou non qui sont soumises (ou sont susceptibles de l'être) à des actions
agressives, ou à des intempéries, ou à des condensations, ou encore, eu égard à la destination des
ouvrages, au contact d'un liquide.
1 cm
pour des parois qui seraient situées dans des locaux couverts et clos et qui ne seraient pas exposés
aux condensations.
NOTA : L’enrobage de 5 cm peut être réduit à 3 cm si, soit les armatures, soit le béton sont protégés par un
procédé dont l'efficacité a été démontrée.
NOTA : La valeur de 3 cm peut être ramenée à 2 cm lorsque le béton présente une résistance caractéristique
supérieure à 40 MPa.
A.7.2. Possibilités de bétonnage correct
e
t
e
 l < 10
BETONNAGE CORRECT
t
l
t
h
35
t
bo
10
A.7.2,1 - Le diamètre des barres employées comme
armatures de dalles ou de voiles courbes doit être au plus
égal au dixième de l'épaisseur totale de ces éléments.
e
l 
10
h
l
bo
A.7.2,2 - Le diamètre des armatures d'âme d'une poutre
est au plus égal à h/35 (h étant la hauteur totale de la poutre), ainsi qu'au diamètre des barres longitudinales et
au dixième de la largeur d'âme.
b
h
 t  min ( l ;
; o)
35 10
A.7.2,3 - Les armatures peuvent être groupées en paquets à condition de les disposer de façon compacte et
d'opposer le minimum de gêne à la
BETONNAGE CORRECT
mise en place du béton.
Sens de coulage du béton
Dans tous les cas, la hauteur
du paquet doit être au plus égale au
double de sa largeur.
Hauteur du paquet
b
Hauteur du paquet
c a eh a
c> a
b
b
D'autre part, les paquets de
plus de 3 barres ne peuvent être
utilisés que si ils ne sont soumis à
a
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Largeur du paquet
a
eh
 ou a
ev
 ou b
1,5.cg
cg
ev
b
c
Page 25
aucune sollicitation d'entraînement.
Cg désignant la grosseur du plus gros granulat ; cette même distance libre doit être au moins égale à :
Cg
dans la direction verticale
1,5.Cg dans la direction horizontale;
BAEL A.7.3
REPRISES DE BETONNAGE :
- Les dessins d'exécution doivent indiquer de façon précise l'emplacement et la configuration des surfaces de
reprise.
BAEL A.7.4
Incorrect
Correct
POUSSEE AU VIDE :
Correct
Les poussées au vide qui pourraient résulter de
la mise en jeu mécanique d'ancrages par courbure
doivent être équilibrées par des armatures de tracé et
de section appropriés.
-
La mise en jeu mécanique d'un ancrage par
courbure tend à faire fléchir la barre ancrée là où sa courbure change ; il peut en résulter des poussées au
vide susceptibles parfois de faire éclater le béton de couverture.
- L'ancrage le plus dangereux à cet égard est celui qui comporte un retour rectiligne parallèle à la paroi et à son
voisinage immédiat.
- Il convient soit de disposer une ligature reliant ce retour à la masse du béton, soit (solution la meilleure)
d'incliner les retours rectilignes des ancrages vers la masse du béton
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Page 26
CHAPITRE 5 ASSOCIATION ACIER – BETON: L'ADHERENCE
L’adhérence caractérise la liaison de l’acier et du béton ; elle permet l’existence du béton armé.
Un ancrage est la liaison d’une barre d’acier et d’un béton, en bout de barre.
Le présent chapitre concerne les liaisons entre le béton et les armatures ; dans le cas des barres, ces liaisons
sont mesurées par la contrainte d'adhérence  s
1.
ADHERENCE DES ACIERS EN BARRES:

1.1.

s

F
- Soit une barre noyée dans un prisme de béton, soumise à une extrémité à
un effort de traction: Ftraction
Ftraction
l
y
CONTRAINTE D'ADHERENCE:
s
dx
x
F + dF
L'équilibre du tronçon est dû aux forces d'adhérence qui
s'exercent sur une longueur dx de la barre, de périmètre u   .

dF   s .u .dx
1 dF
dF
où
est la
.
u dx
dx
variation par unité de longueur de l'effort axial exercé sur l'armature et u   . le périmètre utile de l'armature,
confondu avec le périmètre nominal d'une barre isolée.
- La liaison entre l'armature et le béton est mesurée par la contrainte d'adhérence :  s 
- L'efficacité d'une barre du point de vue de l'adhérence est caractérisée par son coefficient de scellement  s :
s 1
 s  1,5
1.2.
pour les rond lisses bruts de laminage
pour les barres à HA courantes
VALEUR LIMITE DE LA CONTRAINTE ULTIME D'ADHERENCE :
- Sur la longueur d'ancrage la contrainte d'adhérence est supposée constante et égale à
sa valeur limite ultime :
su  0 ,6 .2s .ftj
- L'ancrage de l'ensemble d'un paquet de barres n'est pas admis. Une barre est toujours ancrée
individuellement ; les paquets de plus de trois barres ne comportent aucun ancrage de barre individuelle sur
toute leur longueur.
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Page 27
1.3. ANCRAGE RECTILIGNE :
- En supposant  s   su = constante entre deux sections droites
M1 et M2 distantes de l et soumises aux efforts F1 et F2 (avec
F2  F1) :
1 dF
.
  su
 .  dx
s 
s
F1
BARRES DROITES ISOLEES
x
F2
l
s
dF  ..  su .dx
F2  F1  ..  su .l


ANCRAGE DES
y
 s su
x
- L'ancrage de la barre est assuré si l'intégralité de l'effort axial de
 . 2
traction Fs  As .fe 
.fe est transmis au béton par l'adhérence
4
1.4.
LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT D'UNE BARRE ISOLEE :

fe
x
ls
 su

Les barres rectilignes de diamètre  et de limite d'élasticité fe
sont ancrées sur une longueur l s dite "longueur de scellement droit":
(Efforts F1  0 et F2  Fs ).
Expression de la longueur
 f
de scellement :
ls  . e
4  su
A défaut de calcul précis, on adopte les valeurs forfaitaires
suivantes pour des bétons de faible résistance ( fc28  25 MPa ) :
l s  40.
400
de  s  1.5
pour les aciers HA Fe E 500
de  s  1.5
et pour les RL Fe E 215 et Fe E 235
Fs = A.fe -
- l s  50.
pour les aciers HA Fe E
Le tableau suivant donne les valeurs de ls/ pour quelques valeurs de fc28 appartenant au domaine couvert par
les règles BAEL :
fcj
ls/ pour s = 1,5
1.5.
(MPa)
Fe E 400
Fe E 500
20
25
30
35
40
45
50
55
60
41
51
35
44
31
39
27
34
25
31
22
28
21
26
19
24
18
22
ANCRAGE PAR COURBURE D'UNE BARRE TENDUE:
- Les dimensions des pièces ne sont pas toujours suffisantes pour permettre un ancrage droit de longueur l s ,
on a alors recours à un ancrage courbe (appelé crosse).
- L'effort de frottement sur le béton d'une barre courbe est supérieur à celui d'une barre droite ; à la liaison
d'adhérence s'ajoute un effet de frottement dû à la courbure (effet de courroie).
Cours de béton armé 1
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Page 28
1.6.
ANCRAGE D'UNE BARRE PAR CROCHET :
F2
l1
- Dans le crochet ci-contre, l'armature ne peut être soumise qu'à
des efforts de traction ou de compression suivant son axe.
- Etudions l'équilibre d'un tronçon de la partie courbe M1M2
d'angle au centre d :
D
M2
C
su
r
d
r

M1
B
- Soit F1 et F2 les forces qui sollicitent la barre aux points M1 et
M2 avec : F1  F2 et F1  F2  dF
A
F1
l2
F1 = F2 + dF
- On démontre que, compte tenu des conditions d'adhérence et de frottement le long de M1M2 il existe une
relation entre F1 et F2 :
F1  .F2  ' .  ..r .  su
  e .
et ' 
e
 .
 et ' coefficients fonction de l'angle 
1

et  = 0.4 (coefficient de frottement)
1.7. VISUALISATION DE LA CHUTE DE L'EFFORT DE
TRACTION DANS LA BARRE COURBE :
(1) Portion d'ancrage rectiligne  adhérence seule
(2) Portion d'ancrage courbe
 adhérence + effet de "courroie"
(3) Portion d'ancrage rectiligne  adhérence seule
l3
(3)
M3
M2
(2)
1.8. ANCRAGE PAR CROCHET NORMAL :
BAEL A.6.1,253
CROCHET NORMAL
BAEL A.6.1,253

r
r = 3. (RL)
r = 5,5. (HA)

Mo
M1
l1 (1)
A défaut de calcul plus précis, on peut admettre que l'ancrage
d'une barre rectiligne terminée par un crochet normal est assuré
lorsque la longueur de la partie ancrée mesurée hors crochet est au
moins égale à :
-
0 ,6 .l s pour les ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235
0 ,4 .l s pour les HA Fe E 400 et Fe E 500
0,4.ls (HA) ou 0,6.ls (RL)
1.9.
TYPES DE CROCH
CROCHET
D AUTRES
COURANT
l1
- Les retours d'équerres (   90 )
- Les ancrages à 45°
(   135 )
- Les ancrages à 60°
(   120 )
C
Rayon de courbure
Rayon de cintrage

Début de la zone d'ancrage
1.10. ANCRAGES NORMALISES
B
l2
A
Lorsqu'une armature est pourvue à son extrémité d'un ancrage par courbure,
celui-ci peut être réalisé par un des ancrages normalisés ci-dessous :
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Page 29
NOTA : il est d’usage que le mandrin de façonnage ait un diamètre égal à 10. 

C.N.
E.N.

Code 1032
R.N.

Code 1012
Code 1022
135°
Crochet Normalisé
2.
Equerre Normalisée
Retour Normalisé
ANCRAGES DES CADRES, ETRIERS, EPINGLES :
Cadres
Etrier
Epingle
- On admet que les ancrages des extrémités des barres façonnées (cadres,
étriers et épingles) sont assurés par courbure suivant le rayon minimal
(= 3.), si les parties courbes sont prolongées par des parties rectilignes
de longueur au moins égale à :
- 5. à la suite d'un arc de cercle de 180 °
- 10. à la suite d'un arc de cercle de 135 °
- 15. à la suite d'un arc de cercle de 90 °



3.
JONCTION DES BARRES :
3.1.
JONCTION PAR RECOUVREMENT :
JONCTION PAR RECOUVREMENT SIMPLE

lr
c
Il s'agit d'assurer une jonction entre armatures par
recouvrement; une jonction joue un rôle mécanique de
transmission des efforts dans le cas d'armatures non
continues.
La continuité mécanique est obtenue
adhérence + frottement du béton sur l'armature.
par
jonction mécanique
La longueur de recouvrement est donc fonction de
la longueur de scellement droit pour les ancrages
rectilignes.
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Page 30
3.2. RECOUVREMENTS SIMPLES
DES ARMATURES TENDUES :
RECOUVREMENT DE CROCHETS NORMAUX

r
- Soient 2 barres de diamètre  parallèles, dont les
axes sont espacés de c
- La jonction des deux barres est assurée si la
longueur de recouvrement est au moins égale à:
l r  l s longueur de scellement droit si les barres
sont droites et si c  5. 
l r  l s  c si les barres sont droites et si c 5. 
3.3.
c
lr = 0,6.ls si c < 5.
lr = 0,6.ls + c si c > 5.
H.A.
lr = 0,6.ls si c < 5.
lr = 0,6.ls + c si c > 5.
R.L.
COTATION DES CROCHETS :

l1
- La cotation des crochets doit permettre de déterminer la longueur développée
des crochets afin d'établir la nomenclature de l'acier lors du plan de ferraillage.
l2
- d2 = Longueur utile sur appui
- ld = Longueur développée
ld  l1  l 2  r .
d2
d1
d1 = ld - d2
d2 = l2 + r +/2
3.4.
RECOUVREMENTS DES ARMATURES COMPRIMEES :
- Les jonctions des barres susceptibles d'être comprimées sont obligatoirement rectilignes. (pas de crochets)
- La longueur de recouvrement est l r  0 ,6 .l s
.
lr = 0,6.ls

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Page 31
- Les règles BAEL imposent au minimum 3 cours d'armatures transversales sur toute la longueur du
recouvrement.
NOTA :
Il en est de même pour la jonction entre les aciers d'un poteau et les attentes d'une
semelle de fondation.
0,6.ls
3 cours
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Page 32
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Page 33
CHAPITRE 6. SECTIONS SOUMISES A DES SOLLICITATIONS
NORMALES
I. LA TRACTION SIMPLE
Il s'agit du calcul :
1.
- aux états limites ultimes E.L.U.
- aux états limites de service E.L.S.
DEFINITION :
Une poutre est sollicitée en traction simple si, dans toute
section droite :
TRACTION SIMPLE
N
G
1.
l'ensemble des forces extérieures agissant à
gauche de la section se réduit à un effort normal de
traction
2.
le point d'application de cet effort coïncide avec le
centre de gravité G de la section
Ast
G
Section S d'un tirant sollicité par un effort normal N
2.
des éléments tendus, appelés tirants d'une structure
en béton armé.
HYPOTHESES – NOTATIONS :
- Le béton sollicité en traction (béton tendu) est
négligé.
- L'effort normal de traction N est équilibré par
les armatures tendues.
- Les armatures et la section droite de béton ont
même centre de gravité.
- Pour une justification vis-à-vis de l'état limite
ultime de résistance, l'acier subit un
allongement  st  10 / oo (Pivot A).
- Pour une justification vis-à-vis de l'état limite
de service, la contrainte de traction de l'acier
 st est plafonnée par les conditions de
fissuration (peu préjudiciable, préjudiciable ou
très préjudiciable).
Cours de béton armé 1
Allongement = 10 %
B
1
A
Le béton tendu est négligé; l'effort normal N est équilibré par les armatures tendues.
La justification de ces armatures doit se faire vis-à-vis de l'E.L.U. et de l'E.L.S.
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Page 34
3.
JUSTIFICATION DES ARMATURES LONGITUDINALES :
3.1. SOLLICITATIONS DE
CALCUL :
3.2. CONDITIONS
D'EQUILIBRE : Dans toute section
E.L.U.
1,35.Gmax  Gmin 1,5 .Q1
E.L.S.
Gmax  Gmin  Q1
f
Nu  Nultime  Ast . e
Nser  Nser  Ast . st
Nu
Ast 
fe  s
N
Ast  ser
 st
s
droite, l'effort de traction est équilibré par
les armatures longitudinales seules :
3.3. SECTIONS D'ARMATURES
TENDUES :
RAPPEL :
Fissuration préjudiciable :
Fissuration très préjudiciable :
E.L.S.
La contrainte de traction des aciers est limitée à :
2

  Min .fe ; Max( 0 ,5.fe ; 110. .ftj  (MPa)
3

La contrainte de traction des aciers
est limitée à :
0 ,8. (MPa)
3.4.
CONDITION DE NON-FRAGILITE :
La sollicitation provoquant la fissuration du béton ne doit pas entraîner le dépassement de la limite d'élasticité
de l'acier.
EFFORT PROVOQUANT LA
FISSURATION :
Nf  B.ft 28
3.5.
CONTRAINTE DE TRACTION
DANS LES ACIERS :
N
B.ft 28
 st  f 
 fe
Ast
Ast
SECTION D'ACIER :
CONDITION DE NON-FRAGILITE :
Ast 
Ast  Max(
B.ft 28
fe
Nu
N
B.ft 28
; ser ;
)
fe  s st
fe
 La section d'acier tendu doit être supérieure à la plus grande des
trois sections définies ci-dessus :
- E.L.U. - E.L.S. C.N.F. -
4.
DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES:
DIAMETRE MINI DES BARRES
ECARTEMENT MAXI DES BARRES
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FISS. PREJUDICIABLE
l  6 mm
eh  4. si   20 mm
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FISS. TRES PREJ.
l  8 mm
eh  3. si   20 mm
Page 35
PROTECTION DES ACIERS :
t
- L'enrobage de toute armature est au moins égal à :
l
e
e
5 cm pour les ouvrages à la mer ou exposés à des atmosphères
e
très agressives.
3 cm pour les parois soumises à des actions agressives.
1 cm pour les parois situées dans des locaux couverts et clos et non exposés aux condensations.
5.
DIMENSION DE LA SECTION DE BETON :
- Elle dépend des possibilités de bétonnage correct et des conditions d'enrobage et de protection des aciers.
Elle doit satisfaire la condition
A .f
t
B  st e
de non fragilité :
ft 28
l
st
6.
-
b
a
ARMATURES TRANSVERSALES : (Cadres et étriers)
Diamètre minimal :
Fissuration préjudiciable:
  6 mm
Fissuration très préjudiciable:   8 mm
- Ecartement des cadres ou étriers :
En zone courante : st < a (plus petite dimension du tirant)
En zone de recouvrement, st est défini par la relation suivante :
At
f et  m. . . su
St
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Page 36
II. LES POTEAUX EN "COMPRESSION CENTREE"
1.
DEFINITION:
N
G
G
Section S d'un élément sollicité par un effort normal N
Asc
Un poteau est réputé soumis à une compression
"centrée" s'il n'est sollicité en plus de l'effort normal de
compression, que par des moments dont l'existence n'est
pas prise en compte dans la justification de la stabilité et de
la résistance des éléments qui lui sont liés et qui ne
conduisent par ailleurs qu'à des petites excentricités de la
force extérieure.
 Il s'agit donc du calcul des poteaux de bâtiment, éléments verticaux porteurs, soumis à un effort normal de
compression dite "centrée".
- La justification des sections s'effectue à l'E.L.U.R.
2.
HYPOTHESES :
Raccourcissement = 2 °/oo
a
B
- L'ensemble des forces extérieures se réduit à un
effort normal N de compression dont le point
d'application est centré au centre de gravité :
- de la section de béton,
- des armatures longitudinales
C
b
- Les sections droites restent droites et planes après
déformation. (Navier et Bernouilli)
A
- Il n'y a pas de glissement relatif entre l'acier et le béton.
- Le béton et l'acier subissent le même raccourcissement  bc   sc  2  / oo
- Valeurs des contraintes normales de calcul dans une section droite:
BETON
fbu 
ACIER
0 ,85 .fc 28
fbu
f
fsu  e
s
.  b
 bc
0
0,7
2
10°/oo
.Ess
fe

st
fsu
3,5 °/oo
NOTA: Le diagramme de déformation de la section se situe donc au Pivot C
- La vérification au flambement n'est assurée que si :
- L'élancement de la pièce  est inférieur ou égal à 70
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Page 37
- La qualité de l'exécution doit être telle que l'imperfection de rectitude ea puisse être estimée à :
l
ea  Max(1 cm ;
)
500
3.
COMBINAISONS D'ACTIONS A CONSIDERER:
3.1.
COMBINAISON DE BASE:
3.1.1. POTEAUX SOUMIS UNIQUEMENT AUX ACTIONS DUES A DES CHARGES
PERMANENTES ET A DES CHARGES D'EXPLOITATION:
- Les combinaisons d'actions sont celles définies pour les poutres
- QB représente alors l'action des charges d'exploitation évaluée au niveau considéré en faisant application s'il
y a lieu de la loi de dégression dans les bâtiments à étages.
- Dans les cas les plus courants, l'unique combinaison d'actions à considérer est:
4.
LONGUEUR DE FLAMBEMENT lf ET ELANCEMENT  :
4.1.
LONGUEUR DE FLAMBEMENT:
1,35.G 1,50.QB
4.1.1. EVALUATION DE LA LONGUEUR
LIBRE:
lo
lo
lo
lo
La longueur libre d'un poteau appartenant
à un bâtiment à étages multiples est comptée
entre faces supérieures de deux planchers
consécutifs, ou de sa jonction avec la fondation à
la face supérieure du premier plancher.
La longueur libre des poteaux d'un hall ne
comportant au-dessus du sol qu'un rez-dechaussée couvert est comptée de la jonction avec
la fondation ou de la face supérieure du plancher
haut du sous-sol au sommet du poteau.
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Page 38
4.1.2. CAS DU POTEAU ISOLE :
- Si il n'existe aucun dispositif de construction susceptible
de modifier la longueur de flambement l f , cette longueur
est prise égale à :
lo
2.lo
lo
lo
0,5.lo
0,707.lo
2.l o
si le poteau est libre à une extrémité et encastré à
l'autre.
lo
si le poteau est articulé aux deux extrémités.
lo
si le poteau est encastré aux deux extrémités
dans le cas où ces extrémités peuvent se déplacer l'une par rapport à l'autre suivant une direction
perpendiculaire à l'axe longitudinal du poteau et située dans le plan principal pour lequel on étudie le
flambement.
lo
2 si le poteau est articulé à une extrémité et encastré à l'autre.
lo 2
si le poteau est encastré aux deux extrémités: dans le cas où ces deux extrémités sont empêchées de
se déplacer l'une par rapport à l'autre suivant une direction perpendiculaire à l'axe longitudinal du
poteau et située dans le plan principal pour lequel on étudie le flambement.
4.2.3. CAS DES BATIMENTS :
I1
Dalle b.a.
Poutre
lf = k.lo
I3
l'o
Poteau : I1
I3 > I1
I2 > I1 k = 0,7
Dalle b.a.
Poutre
I2
I2 > I1
Poteau : I1
lo
Poteau encastré
dans la fondation
k = 0,7
Semelle b.a.
Si ces conditions
ne sont pas
remplies
4.2.
k=1
Pour les bâtiments à étages qui sont
contreventés par un système de pans
verticaux (avec triangulations, voiles en béton
armé ou maçonnerie de résistance suffisante)
et où la continuité des poteaux et de leur
section a été assurée, la longueur de
flambement lf est prise égale à:
l f  0 ,7 .l o
si le poteau est à ses
extrémités: soit encastré dans un massif de
fondation, soit assemblé à des poutres de
plancher ayant au moins la même raideur que
lui dans le sens considéré et le traversant de
part en part.
l f  l o dans tous les autres cas.
ELANCEMENT  :
- L'élancement  d'une pièce comprimée de section constante est le rapport de sa longueur de flambement lf
définie en fonction du rayon de giration i de la section droite du béton
Expression générale
Cours de béton armé 1
Pour un poteau rectangulaire (ou carré)
de côté a
Dr Adamah MESSAN
Pour un poteau circulaire
de diamètre 
Page 39
l
i
  f avec i 
5.
Imin
B
l
et   3 ,5 . f
a
12
a
i
i

l
et   4. f

4
JUSTIFICATION DES POTEAUX :
5.1. DETERMINATION FORFAITAIRE DE
L'EFFORT NORMAL RESISTANT DES POTEAUX
SOUMIS A UNE COMPRESSION "CENTREE"
t
l
Section de béton "réduite"
st
b
- L'effort normal ultime Nu agissant dans un poteau doit être
au plus égal à la valeur suivante :
b
(
B .f
f
Nu lim   . r c28  Asc . e
0 ,9.  b
s
)
a
Br
1 cm
a
1 cm
A sc : Section d'acier comprimé prise en compte dans les
calculs.
Br :
Section réduite du poteau obtenue en déduisant de sa section réelle 1 cm d'épaisseur sur toute sa
périphérie.
Br  (( a  0,02 ).( b  0,02 )) (en m2)
:
avec
 b  1,50 et  s  1,15
Coefficient fonction de l'élancement mécanique  et qui prend les valeurs :


0
50

0.85
70
0 ,85
1  0 ,2 .(

35
)
2
0.60
  0 ,60.(
50 2
)

0.306
XXXXX
XXXXX
XXXXX
XXXXX
- Les valeurs de  sont à diviser par 1,10 si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours.
- Les valeurs de  sont à diviser par 1,20 si la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours et on
prend en compte fcj au lieu de fc28 dans le calcul de fbu
- Lorsque l'élancement  est supérieur à 35, il ne peut, sans justifications plus précises, être tenu compte que
des armatures disposées de façon à augmenter le plus efficacement possible la rigidité du poteau dans le
sens où son moment d'inertie est le plus faible.
Cours de béton armé 1
Dr Adamah MESSAN
Page 40
NOTA :
- Dans les poteaux carrés, il s'agit des
aciers disposés dans les angles.
- Dans les poteaux rectangulaires
dont le rapport des côtés est
compris entre 0,9 et 1,1 on applique
la règle des poteaux carrés.
- Dans
les
autres
poteaux
rectangulaires, il s'agit des aciers
disposés le long des grands côtés
de la section.
Fig. 1: Tous les aciers sont pris en compte dans le calcul
Fig. 2: Les aciers 1, 2, 3 et 4 ne sont pas pris en compte
Fig. 3: Les aciers 5 et 6 ne sont pas pris en compte
Fig. 1
Fig. 2
b
Fig. 3
b
b
1
a
4
a
2
Elancement < 35
6.
DETERMINATION DES ARMATURES :
6.1.
ARMATURES LONGITUDINALES :
SECTION
0,9 < a/b < 1,1
Elancement > 35
% MINI
N
B .f
1
Asc  ( u  r c28 ).(
)
fe

0 ,9 .  b
5
6
3
Amin  Max ( 4 .u ;
s
a/b < 0,9
% MAXI
0 ,2 .B
)
100
(Amin en cm²)
Amax 
5 .B
100
(Amax en cm²)
- B : Section totale de béton comprimé
- u : Longueur de paroi mesurée perpendiculairement à la direction des armatures (Périmètre de la section
exprimé en mètres)
SECTION D'ARMATURES LONGITUDINALES:
5 %.B  Asc  Max
6.2.
B .f
(4.u ; 0,2 %.B ; (N  0,9.
). 1 )
 f
u
r
c 28
b
su
ARMATURES TRANSVERSALES :
- Les armatures transversales se déterminent par des règles forfaitaires :
DIAMETRE :
ESPACEMENT DES COURS :
t  l max 3
st  Min ( 40 cm ; ( a 10 cm ) ; 15.l min )
5 mm  t  12 mm
Valeurs utilisées : t  6mm , 8mm ou 10 mm
Cours de béton armé 1
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Page 41
7.
DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES REGLEMENTAIRES :
7.1. DISTANCE MAXI ENTRE LES ACIERS
LONGITUDINAUX :
st
l
a
- Dans une pièce rectangulaire, la distance maximale entre
deux armatures longitudinales voisines sur une même face
est au plus égale à :
b
lr = 0,6.ls
l  min ( ( a 10 cm ) ; 40 cm ) )
3 nappes mini
sur la longueur
de recouvrement
Reprise
de bétonnage
- Les ancrages et recouvrements d'armatures longitudinales
sont rectilignes (crochets interdits).
8.
DIMENSIONNEMENT D'UN POTEAU COURANT :
8.1.
DONNEES: Nu , fc28 , fe d' où fsu , lo d' où l f
8.2.
INCONNUES: côtés a et b avec a  b ; section d'acier Asc
lo
-
Le choix de l'élancement  est libre ;
-
On cherche à atteindre   35 afin de respecter le 3° commentaire de
l'article B.8.4,1 (toutes les armatures participent à la résistance)
-
CONDITION A RESPECTER :
Nu  Nu lim   .(
b
Br .fc 28
 Asc .fsu )
0,9. b
-
Br section réduite de béton : Br  ( a  2 cm ).( b  2 cm )
-
COFFRAGE :
a
et
- Objectif :
a
Asc > 0
-  = 35  = 0,70
Cours de béton armé 1
3 ,5 .l f

N
B .f
1
Asc  ( u  r c 28 ).(
)
 0 ,9 .  b fsu

N
B .f
( u  r c 28 )  0
 0 ,9 .  b

N
Br  1,93 . u
fc 28

Dr Adamah MESSAN
N 0 ,9 .  b
Br  u .
 fc 28
Page 42
9.
EVALUATION DES CHARGES SUR LES POTEAUX
L’évaluation des charges verticales agissant sur les poteaux se fait :
. en tenant compte de la loi de dégression des charges pour les bâtiments à étages,
. [B.8.1,1] en admettant la discontinuité des éléments de planchers, les charges évaluées étant majorées :
 de 15 % pour les poteaux centraux dans le cas de bâtiments à 2 travées,
 de 10 % pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le cas de bâtiments
comportant au moins 3 travées.
P1
P1
P2
1,15.P2
P3
P3
Charges appliquées
P1
Charges à prendre en compte P1
P2
1,1.P2
P3
P3
Pn-2
Pn-1
Pn
Pn
Pn-2
1,1.Pn-1
CHAPITRE 7
Fondations superficielles
But de ce chapitre :
Calculer les semelles de fondation superficielles dans les cas courants.
Ces calculs sont simples et peuvent être traités sans rien connaître du béton armé.
1. Définitions :
Il s'agit d'un simple élargissement du mur ou du poteau pour répartir la
charge sur une surface de sol suffisante.
La semelle ne doit pas reposer sur un sol susceptible de geler.
La garde au gel est de 0,500 m en pays tempéré.
Les présentes règles de calcul sont applicables aux fondations sous murs
ou sous poteaux constituées par des semelles isolées, des semelles filantes, et
des massifs semi-profonds (puits courts).
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p  3m
h
a'
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Elles s'appliquent jusqu'à une profondeur de 3 m. et un rapport:
a' 1

p 6
1.1. Différentes formes :
- semelle rigide :
. pour terrain courant homogène
. charge moyenne
. calcul par la méthode des bielles
. rupture par cisaillement ou poinçonnement de la partie centrale
a
a
< 3.a
proportions courantes
- semelle large ou souple :
. pour terrain hétérogène de faible résistance ou pour de fortes charges
. calcul en poutre console
. disposition rare, à éviter
. peut être renforcé par :
- un libage (semelle en T)
- ou un glacis (semelle trapézoïdale)
a
a
>3a
semelle en T
libage
semelle trapézoïdale
glacis
1.2. Documents de référence :
DTU 13.11 : Fondations superficielles CCT et CCS
DTU 13.12 : Règles pour le calcul des fondations superficielles
DTU 20.11 : Murs enterrés en sous-sol.
BAEL 91 :
Norme P06 001 : Charges d'exploitation
Norme P06 004 : Charges permanentes
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2. Descente de charges
2.1. But
Calculer la charge supportée par la semelle.
On calcule la charge ultime Nu = 1,35 G + 1,5 QB
La neige n'est pas prise en compte.
Si le vent est une action prépondérante on prend en compte : Nv ≥ 1,33 Nu.
2.2. Méthodes de calcul
Il s'agit de "peser" le bâtiment.
- 1° méthode :
- 2° méthode :
- 3° méthode :
on peut calculer le poids total et admettre qu'il se répartit uniformément sur la fondation.
C'est un cas simple et rare.
on peut modéliser la structure et calculer les actions aux appuis. Méthode complexe qui
s'applique bien aux bâtiments ossaturés.
en général on découpe le bâtiment en zones représentatives et on "descend" les charges
sur 1 m. de mur ou sur un poteau sans se préoccuper de la continuité des éléments sauf
de manière forfaitaire pour les poteaux.
On peut appliquer la loi de dégression des charges selon la norme P 06 001.
3. Dimensionnement des semelles
[DTU 13.12]
La réaction du sol sous une structure, au moins définie dans ses grandes lignes, peut être
caractérisée par sa valeur ultime qu (en MPa)
Cette valeur est le plus souvent donnée dans le rapport de sol ou le CCTP.
Dans les cas courants (charge centrée, tassements différentiels faibles).
On en déduit la contrainte de calcul q = qu/2.
Remarque :
certains rapports de sol ne tiennent pas compte du DTU 13.12 publié en Mars 1988 et fournissent
encore la contrainte admissible du sol σs en MPa ou en bars.
Dans ce cas on peut prendre comme contrainte de calcul q = 1,35σs.
3.1.
Semelle sous mur
a - Largeur :
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Lorsqu'on connait la charge apportée par le mur et la résistance du sol on détermine la largeur de la semelle
par une relation du type :
Effort normal
contrainte du sol 
Surface
Nu
Soit q 
en considérant une longueur mur et de semelle de 1 m.
a'.1
N
ou a'  u unités : Nu en KN/m, q en MPa, 1 m.
q .1
On prendra toujours a' > 400 mm : largeur minimum d'un godet.
b - Hauteur : (DTU 13.12, Annexes 1 et 2)
do
a
do
Semelle massive sans armature transversale :
Une semelle continue sous mur peut ne pas comporter
d'armature transversale si :
-
le mur transmet à la semelle une charge verticale,
uniforme et centrée,
-
h ≥ a' - a ou h ≥ 2do
armatures
longitudinales
h
a'
2d
a
d/2
Semelle rigide :
d
( a' a )
 d  ( a' a ) ou o  d  2.d o
4
2
semelle
massive
sans arm.tr.
d : hauteur utile (h – d) = 30 à 50 mm : enrobage
d h
a'
semelle rigide
Semelle souple : do ≥ 2d
3.2.
do
Semelle sous un poteau
a - Dimensions horizontales :
Nu
q
Si le poteau est carré ou rond on en déduit a'. Sous un poteau rond il est plus facile de prévoir une semelle
carrée qu'une semelle circulaire.
Si le poteau est rectangulaire la semelle peut être :
On calcule la surface de la semelle S 
Semelle homothétique
Semelle à débord constant
a'
do
a'
a
a
b'
b
b'
b
do
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On connait S, a et b. Il faut calculer a' et b' dans chaque cas :
a a'

b b'
S  a'.b'
S
a '2
.b
b
b' 
a' 
a
.b'
b
S.b
a
S  a'.b'
S  ( a  2.d o ).( b  2.d o )
On a une équation du 2° degré dont do
est l'inconnue.
b - Hauteur :
d
( a' a )
 d  ( a' a ) ou o  d  2.d o
4
2
a est le plus grand côté si le poteau n'est pas carré ; On prend souvent d = a
Comme pour une semelle sous mur on a :
4. Calcul des armatures
[BAEL A.7.1] Position des armatures :
On doit respecter les enrobages prescrits par les règles de béton armé en
vigueur.
A défaut, la distance c sera prise égale à 4 cm.
c
c
c
4.1.
Semelle sous mur
Les armatures sont de 2 types :
a - Armatures longitudinales ou de chaînage :
Elles sont définies forfaitairement (DTU 13.12, art. 253)
Elles font le tour du bâtiment et ont les sections minimum suivantes :
. 3 cm² avec des ronds lisses FeE 215 (4 Φ 10 ou 3 Φ 12)
. 2 cm² avec des barres HA FeE 400 (4 HA 8 ou 3 HA 10)
. 1,6 cm² avec du treillis soudé ou des barres FeE 500 (4 HA 8 ou 3 HA 10)
. recouvrement 35 Φ ou 3 soudures
. il faut assurer la continuité dans les angles.
b - Armatures transversales : placées en travers de la semelle.
Pour une semelle rigide on peut calculer les armatures transversales par la méthode des bielles
c - Méthode des bielles :
La méthode consiste à supposer que les charges appliquées aux semelles par les points d’appui (murs ou
poteaux) sont transmises au sol (ou aux pieux) par des bielles obliques ; l’obliquité de ces bielles détermine à
la base des semelles des efforts de traction (dT) qui doivent être équilibrés par des armatures.
Ces bielles ont leur origine en A, intersection de BC avec l'axe du mur.
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Soit un élément de semelle de largeur dx et de longueur unité, situé à la distance x de l'axe Oy.
Le sol exerce une action élémentaire dR = q.1.dx
N
N
Or q  u
donc
dR  u .dx On peut projeter dR sur AE et Ox en :
a'
a'
dF qui comprime la bielle de béton
dT qui tend l'armature.
En comparant les triangles semblables (OEA et dR,dT) on obtient :
N
dT
x
Soit dT  u .x.dx

dR ho
a'.ho
Nu
y
bielle
de béton
comprimée
a
A
B
dR
dB
C
D
x
a'
dR
d ho
x
E dT
dx
q
O
Armature tendue
dB
dT
En intégrant de 0 à a'/2 nous obtenons l'effort de traction dans l'armature :
a'
2
a'
2
N
T   dT  u .  x.dx
a'.ho 0
0
T 
N u .a'
8.ho
( a' a )
2 
2
ho
d
a'
Les triangles ACO et BCD sont semblables :
L'effort de traction dans les armatures est : T 
Soit
( a' a )
a'

ho
d
N u .( a' a )
8.d
On calcule la section des armatures à mettre en place sur 1 m. de longueur de semelle, Ast 
Section d’acier :
Ast 
T
f su
N u .( a' a )
8.d .f su
Les armatures sont terminées par des crochets normalisés (Norme P02 016).
Barres avec crochets à 120° ou 135 ° si l s  B
4
B
B
Barres rectilignes (sans crochets) si
 ls 
8
4
Barres de longueur 0,86.B disposées en portefeuille si l s  B
8
Aciers en attente
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Lorsqu'il est prévu des aciers en attente comme amorce
de ferraillage de poteaux ou murs, ces aciers sont à
retourner en partie basse des fondations par retour
d'équerre s'ils sont calculés pour équilibrer un moment
fléchissant ou un effort normal de traction à la base du
poteau ou du mur.
Cas avec moment
ou avec traction
Cas sans moment

4.2.

Semelle sous poteau
Les armatures sont "transversales" dans les 2 directions.
-
Semelle carrée : chaque nappe se calcule par la relation précédente sans se préoccuper de la différence
des valeurs de d.
Semelle
rectangulaire : on calcule les armatures dans chaque sens.
-
4.3.
Dessin des fondations
Il comprend un plan et une ou plusieurs coupes, souvent à plus grande échelle, pour définir le coffrage.
Des détails sont souvent nécessaires.
Le ferraillage qui est en général simple peut s'indiquer sommairement et dans un calepin si les armatures sont
préfabriquées.
Semelle carrée
do
a*a
Semelle rectangulaire
do
do
d
ht
do
ht
a' * b'
a' * a'
a'
a*b
b'
8 HA 12
12 HA 10
Représentations :
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Page 49
*
*
*
*
*
*
*
Pour faire ressortir les semelles on peut dessiner leur contour en traits forts et le contour des murs ou des
poteaux en traits moyens.
Les axes horizontaux des semelles sont repérés dans les 2 directions. Ces axes sont aussi ceux des murs
porteurs et se retrouvent sur tous les autres plans du projet.
La cotation d'implantation (en cotes cumulées) est préférable mais au bureau d'études on ne sait pas en
général par quel angle du bâtiment la construction va commencer.
L'indication du niveau des fondations est primordiale et il faut préciser de quel niveau il s'agit, fond de fouille
ou arase supérieure.
Sur un dessin de coffrage ou de ferraillage le béton coupé est laissé blanc. On n'utilise la représentation
symbolique du béton (pointillés et ronds) que sur des dessins de détail et jamais mélangée avec des
armatures.
Sur le plan des fondations doivent figurer les canalisations enterrées qui passent sous les semelles ou sous
le dallage ou dans le vide sanitaire car ces canalisations seront mises en place en même temps que les
fondations. Des coupes et des détails sont souvent nécessaires.
Les semelles sont coulées sur un béton de propreté de 30 à 50 mm d'épaisseur qui donne une assise plane
et horizontale et évite au béton de la semelle de se mélanger avec le terrain.
A chaque fois que possible les semelles sont coulées directement dans une rigole creusée dans le
terrain, ce qui évite le coffrage et le décoffrage mais cause de fortes imprécisions sur la largeur de
la semelle. Ce sont finalement les armatures longitudinales (et transversales si elles existent) qui
matérialiseront la largeur réelle de la semelle.
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Page 50
CHAPITRE 8
ETAT LIMITE ULTIME EN FLEXION SIMPLE : LES POUTRES A SECTION
RECTANGULAIRE
3,5 °/oo
POSITIONS DU DIAGRAMME DES DEFORMATIONS
1. RAPPEL – HYPOTHESES :
B

Combinaison d'actions :
2a
1,35.Gmaxi  Gmini 1,5 .Q1
2b
ht
d
C
1b
B.A.E.L A.4.3,42 :
Ast
A
bo
10 °/oo
 stl
Lorsque la section n’est pas entièrement
comprimée, il est loisible d’utiliser le
diagramme rectangulaire simplifié pour
les contraintes dans le béton.
2 °/oo
 Le diagramme des déformations de la section se situe dans les domaines [1b], [2a] ou [2b].
EQUILIBRE D'UNE SECTION DROITE
2.
EQUILIBRE D'UNE
SECTION :
 Efforts normaux :
 bc
Nbu
0,8.yu
yu
N bu  0,8. y u . bo . f bu
N stu  Ast . st
fbu
Mu
ht
d
 Bras de levier du couple interne :
zu
Ast
Nstu
zu  ( d  0,4. y u )  d.(1  0,4. u )
 st
 st
bo
Déformations
2.1. EQUILIBRE DES EFFORTS :
Contraintes
Nstu  N bu  Ast . st  0,8. y u . bo . fbu
2.2. EQUILIBRE DES MOMENTS :
Le couple interne équilibre le moment fléchissant ultime Mu
2.3. MOMENT REDUIT :
Nous appelons Moment réduit
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Mu  Nbu . zu  0 ,8 . bo . fbu . d 2 .  u .(1  0 ,4 .  u )
Mu  Nstu . zu  Ast .  st . d .(1  0 ,4 .  u )
Mu  0,8. bo . d 2 . fbu . u .(1  0,4. u )
u la quantité :
u 
Mu
bo . d 2 . f bu
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 0,8. u .(1  0,4. u )
Page 51
Ce moment réduit  u augmente si :
- la sollicitation Mu augmente
- les dimensions de la section (bo ou d) diminuent
Le moment réduit  u s'exprime par une équation du second degré en  :
u  0,8.  u .(1  0,4.  u )
équivalente à l’équation :
0,32.  u 2  0,8.  u  u  0 dont la racine est :
3.
 u  1,25.(1  1  2. u )
REGLE DES 3 PIVOTS :
 Cette règle se fixe comme objectif d'utiliser au mieux les matériaux acier et béton dans une poutre fléchie.
3.1.
 bc = 3,5 °/oo
B
b
Pour une poutre en flexion, le
diagramme idéal
est celui pour
lequel les limites mécaniques des
matériaux sont atteintes.
yu
G
Diagramme idéal
AB= 0,186
ht
d
Ce diagramme idéal passe par :
Ast
A
le
st  10  / oo
pivot
A:
-
le
pivot
B:
déformations
des
bc  3 ,5  / oo
 st = 10 °/oo
bo
-
a
C. d. G. des aciers tendus
Les limites des déformations des matériaux sont atteintes
matériaux étant connues, les paramètres  et  sont connus.
 AB 
DIAGRAMME IDEAL :
 bc
3 ,5  / oo

 0 ,259
 bc   st 3 ,5  / oo  10  / oo
et

Les
AB  0,8. .(1  0, 4. )  0,186
REMARQUE 1 : Les termes  AB et  AB sont indépendants de l'équarrissage de la section.
REMARQUE 2 : u 
Mu
bo . d 2 . fbu
est défini pour une section donnée;
Si le béton est connu ( f bu ), à un moment réduit  AB correspond un moment fléchissant
M AB   AB . bo . d 2 . fbu
REMARQUE 3 : Si le moment sollicitant Mu  M AB , le diagramme idéal n'est pas atteint.
3.2.
REGLE DES PIVOTS :
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Page 52
Suivant la valeur du moment sollicitant Mu , on distingue 2 possibilités :
3.2.1. Si Mu  M AB alors :
u   AB
   AB
 yu   . d diminue  2 cas possibles:
CAS [1] :  st augmente  impossible car  st  10 / oo
CAS [2] :  bc diminue  rotation du diagramme autour du pivot A
3.2.2. Si Mu  M AB alors: :
 u   AB
   AB
 y u   .d augmente  2 cas possibles:
CAS [1] :  bc augmente  impossible car  bc  3 ,5  / oo
CAS [2] :  st diminue  rotation du diagramme autour du pivot B
3.3.
PIVOT A : DOMAINE [1b] :
 Etat
limite ultime caractérisé par les
déformations suivantes :
PIVOT A : Utilisation maximum de l'acier
bo
0    0 ,259
0  u  0 ,186
B
b
yu
0  bc  3 ,5  / oo
st  10 / oo

 bc = 3,5 °/oo
O
1b
ht
0,259.d
Diagramme idéal
d
A
a
 Tous
les diagrammes de déformation
possibles vont décrire le domaine [1b]
3.4.
PIVOT B : DOMAINE 2 - UTILISATION MAXIMUM DU BETON :
 bc = 3,5 °/oo
PIVOT B: Utilisation maximum du béton
b
yu

Etat Limite ultime caractérisé par
les déformations suivantes :
B
0  st  10 / oo
bc 3,5  / oo
y1 =  l .d
0,259.d
2b
ht
Soit  sl l'allongement de l'acier
obtenu
pour
une
contrainte :
f
A
st  e  fsu
a
s
a'
3,5
 sl
bo

La
lecture
du
diagramme

l
3,5 +  sl
 st = 10 °/oo
contraintes-déformations de l'acier nous
montre qu'à partir de cette valeur, le taux
de travail de l'acier chute rapidement; la section d'acier ainsi déterminée serait excessive.
d
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
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Page 53
 Pour cette raison, nous définissons un moment réduit limite 
l au-delà duquel les aciers sont insuffisamment
sollicités en traction.
 A cette déformation unitaire limite sl
correspond un moment limite Mlim .
 Dans ces conditions, l'ensemble des diagrammes de déformations des sections soumises à un moment
fléchissant ultime M u décrira la région [2a].
Mlim  Mu  MAB
 Les caractéristiques sont donc :
sl  st  10 / oo
bc  3 ,5  / oo
B
yul = l.d
l    0 ,259
l  u  0 ,186
et
NOTA : Les grandeurs  sl , l et l sont définies par le type d'acier.
3,5°/oo
d
Pour un acier Fe E 500
 sl
s
fe = 500 MPa
DIAGRAMME DE CALCUL
fe
fsu
3,5 / oo
 sl 
 sl  3,5 / oo
 sl  0,617
 l  0 ,8 . l .(1  0 ,4 . l )
 l  0,372
pour fe = 500 MPa
fsu = 434,78 MPa
 sl = 2,17 °/oo
On peut introduire la notion de moment réduit critique c défini à partir de la
sl
s
10 °/oo
°/oo
y
  1 fcj
Mu
hauteur relative de la fibre neutre : u  u 
avec  
donc c  0,8.c .(1  0,4.c )

Mser
d
2
100
4. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A SIMPLES ARMATURES :
4.1. DONNEES :
 Equarrissage de la poutre ( b * h )
 Enrobage inférieur et Hauteur utile ( d  ht  enrobage)
 Nature des matériaux (acier et béton) utilisés
 Moment ultime M u sollicitant la section
4.2.
u 
4.3.
RECHERCHE DU PIVOT:
Mu
bo . d 2 . fbu
avec
fbu 
0,85. fc28
 . b

si:
0   u  0 ,186  Pivot A
0 ,186   u   l  Pivot B
PARAMETRES DE DEFORMATION :
 u  1,25.(1  (1  2.  u ) )
et
z  d.(1  0,4. u )
y u   u .d
Pivot A:  st  10  / oo
(1   u )
avec
Pivot B:  st 
.  bc
4.4. DEFORMATION DE L'ACIER :
 bc  3 ,5  / oo
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u
Page 54
4.5.
EFFORTS NORMAUX :
N bc  0 ,8. bo . y u . fbu ou N bc 
Mu
z
N st  N bc
4.6.
SECTION D'ACIER :
N st  Ast .fsu  Ast 
N st
fsu
ou
Ast 
Mu
z.fsu
5. CALCUL PRATIQUE POUR UNE SECTION A DOUBLES ARMATURES :
5.1.
DONNEES :
Le moment réduit  u est supérieur au moment réduit limite  l (ou c ), les aciers tendus travaillent
insuffisamment, mais le béton travaille à son maximum; on se trouve donc au pivot B et on adjoint au béton
comprimé des armatures de compression.
5.2.
DIAGRAMME DE DEFORMATION :
bc
sc
Le diagramme de déformation est tel que :
 bc  3,5  / oo et  st   sl
d'
Asc
On peut calculer :
yul =  l .d
ht
l 
d
Ast
La
compatibilité des
( y  d' )
 sc   bc . l
yl
stl
bo
5.3.
 bc
et y l   l . d
(  bc   sl )
déformations
permet
d'écrire:
MOMENT RESISTANT DU BETON Mrub ; MOMENT RESIDUEL Mres :
Le moment résistant du béton Mrub est le moment ultime pour lequel on a atteint l'état limite ultime par
compression du béton, les aciers étant trop peu sollicités en traction.
Mrub   l . bo . d 2 . fbu
5.4.
et
Mres  ( Mu  Mrub )
SCHEMA DE CALCUL :
La section réelle de béton armé est décomposée en 2 sections fictives de calcul :
 une section (1) é quilibrant le moment Mrub
 une section (2) é quilibrant le moment Mres  ( Mu  Mrub )
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Page 55
Mu
=
Mrub
+
(Mu - Mrub)
 sc
fbu
3,5 °/oo
sc
Nsc
Nbu
Asc
Asc
yl
d
ht
Ast
Ast1
bo
bo
0,8.yl
z2
z1
Nst1
Nst2
Ast2
st
l
z1 = d.(1 - 0,4.  l )
Ast = Ast1 + Ast2
z2 = (d - d')
SECTION [1]
SECTION [2]
f
z1  d .(1  0 ,4 .l ) et  st  fsu  e
s
z2  ( d  d' ) et
M rub
z .fsu
SECTION TOTALE D'ACIER TENDU : Ast 
f
 st  fsu  e
s
Section d'acier tendu : Ast 2 
Section d'acier tendu : Ast1 
st
l
Mu  M rub
( d  d' ).fsu
Section d'acier comprimé : Asc2 
Mu  M rub
( d  d' ). sc
Mrub ( Mu  Mrub )

avec Mrub   l .bo .d 2 .fbu
z .fsu ( d  d' ).fsu
IMPORTANT :
BAEL A.4.1,2
Les armatures longitudinales comprimées ne sont prises en compte dans les calculs de
résistance que si elles sont entourées tous les 15 diamètres (15.) au plus par des
armatures transversales.
BAEL B.6.6
La part de moment de flexion équilibrée en compression par
ces armatures doit être
inférieure à 40 % du moment agissant.
NOTA : Ces articles sont très pénalisants; On a intérêt à limiter l'utilisation des sections de béton armé avec
des armatures comprimées en modifiant l'équarrissage de la section de béton.
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Page 56
5.5.
DEROULEMENT DES CALCULS :
d'
Asc
5.5.1. DONNEES :




Moment ultime sollicitant Mu
Equarrissage de la section de la poutre ( bo * h )
Enrobages supérieurs et inférieurs
Natures (et caractéristiques) des matériaux employés
ht
d
Ast
Mu
 Moment réduit limite:  l  f(Type d' acier ; fc28 ;  
)
Mser
u 
5.5.2. MOMENT REDUIT :
Si u   l

yul = l .d
Mu
avec
2
bo .d .fbu
bo
fbu 
0 ,85 .fc28
.  b
nécessité d'armatures de compression
5.5.3. PARAMETRES CARACTERISTIQUES DE LA SECTION :
f
 bc  3 ,5  / oo ;  st   l ;  st   sl  e  fsu
s
l  1,25.(1  (1  2 l )

y  d'
 sc   bc .  l y    bc .  l . d.d d' 
l

l
y l   l . d et z  d. 1  0,4. l 
sc  f ( matériau)


M
5.5.4. MOMENT RESISTANT DU BETON; MOMENT RESIDUEL :  rub
  l . b. d 2 . f bu

M res  M u  M rub 
 Acier tendu : Ast 
5.5.5.
D'ACIER :
SECTIONS
M rub
M  M rub 
1 

. 
 u
fsu  d . 1  0,4. l 
d  d'  
 Acier comprimé : Asc 
 M  M rub 

.  u
 sc  d  d'  
1
sc = 9.fc28 - ’fc28 + 415)k ≤ 435 MPa pour Fe E 500 ;
sc = 9.fc28 – 0,9.’fc28 + 415)k ≤ 348 MPa pour Fe E 400
avec, k = 1 si  = 1 ; k = 1,02 si 0,9 ; k = 1,04 si  = 0,85
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Page 57
6.
BAEL A.4.2 : CONDITION DE NON
FRAGILITE :
v' = h/2
Sollicitation de fissuration du béton non armé : (Contrainte de traction
dans la section supposée non armée et non fissurée)
M
h
b .h 3
et v 
ftj  f avec M f : moment de flexion I 
12
2
I
 
v
b . h2
Sollicitation de fissuration : Mf  ftj . o
6
Armatures équilibrant ce moment sous une contrainte fe :
Sollicitation maxi : Mst  Nst .z  fe . Ast .0 ,9.d
CONDITION NECESSAIRE :
h
v = h/2
ftj
bo
avec Bras de levier : z  0 ,9.d et d  0 ,9. h
M st  M f

2 

b  d 

Ast . fe .0 ,9. d  ftj . . 
6  0 ,9 

A st min  0 ,23 . b o .d .
f t 28
fe
7. PREDIMENSIONNEMENT DE SECTIONS RECTANGULAIRES
(B.A.E.L. A.4.5,32) Cette méthode ne convient que dans le cas où la fissuration est peu préjudiciable
Quand l'équarrissage de la poutre n'est pas imposé par des considérations
architecturales, le projeteur a intérêt à se fixer des dimensions propres à éviter les
armatures comprimées.
yu
ht
HAUTEUR ECONOMIQUE :
d
 Après un prédimensionnement forfaitaire, il est possible de connaître le moment ultime
Mu
Ast
 Nous ne voulons pas d'armatures comprimées, donc : Mu  Mlu
bo

 l dé fini par le type d' acier
Mu
 u   l
 bo . d 2 

2
 l . fbu fbu dé fini par le type de bé ton
M u   l . bo . d . f bu

 Si nous choisissons à priori une des dimensions de la section, cette formule nous permet de déterminer la
seconde.
 En général la largeur bo est définie par des considérations d'effort tranchant; seule la hauteur utile d reste à
déterminer:
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Page 58
d
 Cette nouvelle hauteur utile peut modifier le poids propre de la poutre, donc la
sollicitation Mu :
Mu
 l .bo .fbu
 Il convient alors de revoir le calcul du moment ultime Mu
Cas d'une POUTRE RECTANGULAIRE : on adopte les valeurs forfaitaires suivantes :
1
h 1
 
15 L 10
Poutre continue :
Largeur de la poutre :
0 ,3 .d  bo  0 ,4 .d avec d  0 ,9.h
Poutre sur 2 appuis simples :
1
h 1
 
20 L 16
Cas particulier des DALLES DE PLANCHER :
Hourdis en continuité dans un seul sens :
petiteportée
l
 x  0 ,40
grande portée l y

1 h 1
 
35 l x 30
Hourdis prenant appui sur 4 côtés :
lx
 0 ,40
ly
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
1 h 1
 
45 l x 40
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Page 59
CHAPITRE 9 : FLEXION SIMPLE ARMATURES TRANSVERSALES DES
POUTRES RECTANGULAIRES JUSTIFICATIONS VIS-A-VIS DES
SOLLICITATIONS TANGENTES
But de ce chapitre :
Calculer les armatures transversales en se limitant au cas courant des armatures "droites".
A - Comportement d'une poutre sous l'action de l'effort tranchant
L'effort tranchant est maximum sur les appuis.
En étudiant l'équilibre d'un prisme élémentaire on constate l'existence de bielles comprimées à 45° encadrées
par des fissures.
On prend en compte ce phénomène en plaçant des armatures transversales qui vont "coudre" les fissures. Ces
armatures peuvent être inclinées à 45°.
Il est plus facile de placer des armatures perpendiculaires à la fibre neutre (armatures droites).
B - Hypothèses et prescriptions réglementaires
1) Les poutres soumises à des efforts tranchants sont justifiées vis-à-vis de l'E.L.U.
La justification concerne les armatures transversales de l’âme ainsi que la contrainte du béton.
2) Effort tranchant réduit : Pour la vérification de la résistance du béton et des armatures d’âme au voisinage
des appuis et pour tenir compte des transmissions directes des charges, l’effort tranchant Vu peut être
évalué en:
- négligeant les charges réparties situées à une distance de l’appui inférieure à h/2 soit :
V'u=Vu - 0,5.h.qu
ne prenant en compte qu’une fraction égale à 2.a/3.h des charges concentrées situées à une distance a
de l’appui comprise entre 0,5.h et 1,5.h soit :
2.a
V ' u  Vu .
3.h
V
 u  u   ul
3) Contrainte tangente conventionnelle :
bo .d
-
4) Etat limite ultime du béton de l’âme :
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Page 60
Contrainte admissible pour des armatures droites :
 ul  min(
- Fissuration est peu préjudiciable:
0 ,2.f cj
b
; 5 MPa )
- Fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable :  ul  min(
0 ,15.f cj
; 4 MPa )
b
Valeurs courantes de ul (en MPa):
fc28 en MPa (γb = 1,5)
fissuration peu préjudiciable
fissuration préjudiciable ou
préjudiciable
très
16
20
25
30
2,13
2,67
3,33
4,00
1,60
2,00
2,50
3,00
5) Section minimum et dispositions :
At : section des armatures transversales coupées par un plan horizontal.
st : écartement de 2 cours.
θt : diamètre des armatures transversales.
At .f e
 0 ,4 MPa
bo .s t
 t  min(
(1)
b
h
; o ; l )
35
10
y
st  min( 0,9.d ; 40 cm )
(3)
Etat-limite ultime des armatures d’âme :
st
st
La vérification de l’ELU des armatures d’âme consiste, une
section At étant choisie, à calculer l’espacement des nappes
d’armatures transversales pour un effort tranchant Vu donné.
Nbc
Ft
Ft
Ft
Vu
(2)
Nst
(d - d')
Nbt
X
On étudie l’équilibre d’une section de béton supposée fissurée à
45°.
( Nbt  bo .h .bt . 2
Ft  At . st )
(d - d')
Poteau
Pour "coudre" une fissure, il faut n 
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( d  d' )
cours d'armatures
st
Page 61
transversales donc une section d'acier n . At
EQUATION D'EQUILIBRE : En projection sur l'axe vertical :
V
2
Vu  n .Ft  Nbt .
 0 avec u  u
bo .d
2
2
n .Ft  Vu  Nbt .
2
( d  d' )
. At .  st  Vu  bo .h . bt
st
( d  d' ) At
h
. .   u  ( . bt )
bo .d st st
d
L'action commune du béton et des aciers transversaux doit empêcher l'apparition des fissures.
L'expression
h
.  réprésente la contrainte du béton; elle est minorée par :
d bt
k =1
k dépend de la mise
en œuvre
k =0
Nous obtenons l'inéquation :
L'inéquation devient :
h
.   0 ,3 .k .ftj où :
d bt
 dans le cas général de la flexion simple
 dans le cas de reprise de bétonnage n'ayant pas reçu
de traitement particulier ou lorsque la fissuration est
jugée très préjudiciable
A
( d  d' ) fet
. . t  u  0 ,3 .k .ftj
d
 s bo .st
avec
( d  d' )
 0 ,9 .
d
 s .( u  0 ,3 .k .ftj )
At

bo .st
0 ,9 .fet
Dans le cas courant de la flexion simple (k = 1), la relation s’écrit :
 s .(  u  0 ,3.f tj )
At

bo .s t
0 ,9.f e
C - Conduite des calculs
On fait le calcul à partir de l'appui où Vu est maximum.
1) Calcul de u : on vérifie que u  ul
Sinon il faut augmenter la section et notamment sa largeur b.
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Page 62
2) Choix d'une section At : avec des barres satisfaisant (3)  t  min(
b
h
; o ; l )
35
10
3) Calcul de l'écartement initial st0 :
On utilise sous la forme : s to 
On vérifie
0 ,9.fsu .At
(  u  0 ,3.ftj ).b
At .f e
 0 ,4 MPa
bo .s t
f
avec f su  e
s
et st  min( 0,9.d ; 40 cm )
4) Dispositions :
Pour une poutre de hauteur constante et des charges uniformément réparties :
- le premier cadre est disposé à st0/2 du nu de l'appui.
- on applique ensuite la règle de Caquot :
Les espacements successifs sont pris dans la liste suivante :
7, 8, 9, 11, 13, 16, 20, 25, 35, 40 (en cm).
Chaque valeur étant répétée autant de fois qu'il y a de mètres dans la demi-portée de la poutre (ou la portée s'il
s'agit d'une console).
Dans le cas d'une poutre sur 2 appuis on fait cette répartition de l'appui considéré jusqu'à l'abscisse où Vu = 0
et on recommence en sens inverse à partir de l'autre appui.
Si la poutre comporte des armatures comprimées il faut st < 15.l.
Exemple de poutre isostatique avec une répartition forfaitaire des armatures (méthode CAQUOT)
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