Nepravi Integrali: Konvergencija i Divergencija - Matematika ECE 2

Lyc´ee Dominique Villars COURS
ECE 2
INTEGRALES IMPROPRES ou GENERALISEES
Jusqu’`a pr´esent la notion d’int´egrale d’une fonction fse limite au cas d’une fonction continue sur un intervalle
ferm´e, appel´e segment, [a, b] avec aet bdeux r´eels. Ce compl´ement de cours a pour but de g´en´eraliser la notion
d’int´egrale d’une fonction continue sur un intervalle ouvert c.a.d. du type : ]a;b[, ]a;b], [a;b[, [a; +∞[,
]− ∞ ;b], ] − ∞ ;∞[.
1 Int´egrales impropres (ou g´en´eralis´ees)
Soit une fonction fcontinue sur un intervalle I1= [a;b[ avec a∈Ret b∈R∪{+∞} ou I2=]a;b] avec
a∈R∪ {−∞} et b∈R, on dit que les int´egrales
b
Z
a
f(t)dt
a
Zb
f(t)dt
sont des int´egrales impropres ou g´en´eralis´ees en bdans le cas de I1et en adans le cas de I2.
D´efinition.
✖Lorsque que la fonction fn’est continue que sur ]a, b[ alors l’int´egrale est impropre aussi bien en aqu’en b. On
l’´etudiera en la d´ecomposant en la somme de deux int´egrales `a l’aide de la relation de Chasles et d’une valeur
quelconque c∈]a, b[ :
b
Z
a
f(t)dt =
c
Z
a
f(t)dt +
b
Zc
f(t)dt
Exercice 1.
Entourer les int´egrales impropres dans la liste suivante :
(i)Z1
0
1
1−tdt (ii)Z1
0
t
1 + tdt (iii)Z+∞
0
(t2+ 3t)dt (iv)Z3
1
ln t dt
(v)Z1
−2
1−t2
ln(3 + t)dt (vi)Z1
−∞
e−tdt (vii)Z1
0
1
t2(1 −t)2dt (viii)Z+∞
1
1
√et−edt
2 Nature (convergence ou divergence) d’une int´egrale impropre
2.1 Int´egrale impropre en b∈R∪ {+∞}
Soit fune fonction continue sur [a;b[ avec a∈Ret b∈R∪ {+∞}.
On dit que l’int´egrale impropre
b
Ra
f(t)dt est convergente lorsque la
fonction F:
[a;b[→R
x→
x
Ra
f(t)dt admet une limite finie lorsque xtend vers b−.
Si tel est le cas, la valeur de cette int´egrale est :
b
Z
a
f(t)dt = lim
x→b−
F(x) = lim
x→b−
x
Z
a
f(t)dt
Dans le cas contraire, l’int´egrale
b
Ra
f(t)dt est dite divergente.
D´efinition.

Exemples :
1. L’int´egrale
+∞
R0
e−tdt est convergente car t→e−test continue sur [0 ; +∞[ et pour tout x>0 :
x
Z
0
e−tdt =−
x
Z
0
−1)e−tdt =−e−tx
0=−e−x−e−0= 1 −e−x
et ainsi
lim
x→+∞
x
Z
0
e−tdt = lim
x→+∞1−e−x= 1
On d´eduit donc que :
+∞
Z
0
e−tdt = 1
2. L’int´egrale
+∞
R1
1
tdt est divergente car mˆeme si t→e−test continue sur [1 ; +∞[, on a pour tout x>0 :
x
Z
1
1
tdt = [ln(t)]x
1= ln(x)
et ainsi
lim
x→+∞
x
Z
0
1
tdt = lim
x→+∞ln(x) = +∞
Exercice 2.
D´eterminer la nature et ´eventuellement la valeur de chacune des int´egrales suivantes :
I1=
1
Z
0
etdt
et−eI2=
4
Z
1
1
(t−4)2dt I3=
2
Z
1
1
√t−2dt
I4=
+∞
Z
1
1
t2dt I5=
+∞
Z
0
te−t2dt I6=
+∞
Z
2
1
tln(t)dt I7=
+∞
Z
2
t
ln(t)dt
2.2 Int´egrale impropre en a∈R∪ {−∞}
Soit fune fonction continue sur ]a;b] avec a∈R∪ {−∞} et b∈R.
On dit que l’int´egrale impropre
b
Ra
f(t)dt est convergente lorsque la
fonction F:
]a;b]→R
x→
b
R
x
f(t)dt
admet une limite finie lorsque xtend vers a+.
Si tel est le cas, on la valeur de cette int´egrale est :
b
Z
a
f(t)dt = lim
x→a+F(x) = lim x→a+
b
Z
x
f(t)dt
Dans le cas contraire, l’int´egrale
b
Ra
f(t)dt est dite divergente.
D´efinition.

Exemples :
1. L’int´egrale
2
R1
1
t−1dt est divergente car t→1 t−1est continue sur ]1 ; 2] et on a pour tout x > 1 :
2
Z
x
1
t−1dt = [ln(t−1)]2
x= ln(1) −ln(x−1) = −ln(x−1)
or limx→1+ln(x−1) = limh→0+ln(h) = −∞ ainsi
lim
x→1+
2
Z
x
1
t−1dt = +∞
2. L’int´egrale
1
R0
1
√tdt est convergente car t→1 √test continue sur ]0 ; 1], on a pour tout x > 0 :
1
Z
x
1
√tdt =
1
Z
x
t−1
2dt ="t1
2
1
2#1
x
=h2√ti1
x= 2 −2√x
et ainsi
lim
x→0+
1
Z
x
1
√tdt = lim
x→0+2−2√x= 2
On d´eduit donc que :
1
Z
0
1
√tdt = 2
Exercice 3.
D´eterminer la nature et ´eventuellement la valeur de chacune des int´egrales suivantes :
J1=
1
Z
0
ln(t)dt JI2=
4
Z
1
1
tln(t)dt J3=
1
Z
0
1
t2dt
J4=
−2
Z
−∞
1
t2dt J5=
1
Z
−∞
tetdt J6=
0
Z
−∞
etdt J7=
0
Z
−∞
ln(1 −t)dt
2.3 Int´egrale impropre en a∈R∪ {−∞} et en b∈R∪ {+∞}
☛Il s’agit du cas o`u la fonction n’est continue uniquement que sur ]a, b[ avec a∈R∪ {−∞} et b∈R∪ {+∞}.
Soit fune fonction continue sur ]a;b[ avec a∈R∪ {−∞} et b∈R∪ {+∞}.
Soit un r´eel quelconque c∈]a, b[.
On dit que l’int´egrale de fest convergente sur ]a;b[ ou que l’int´egrale
b
Ra
f(t)dt est convergente
lorsque
les int´egrales
c
Ra
f(t)dt et
b
Rc
f(t)dt sont toutes les deux convergentes.
Si tel est le cas, alors :
b
Z
a
f(t)dt =
c
Z
a
f(t)dt +
b
Zc
f(t)dt
D´efinition.

Exemples :
1. L’int´egrale
1
R0
1
t2(t−1) dt est elle-convergente ?
On observe que pour tout r´eel t∈]0,1[,
1
t2(1 −t)=1 t−1−t+ 1 t2=1 t−1−1 t−1 t2
R´eponse : NON. En effet, l’int´egrale
+∞
R
1/2
1
t2dt est divergente car
lim
x→1−
x
Z
1/2
1
t2(1 −t)dt = lim
x→1−
x
Z
1/21
t−1−1 t−1 t2dt = lim
x→1−ln |t−1| −ln |t|+1
tx
1/2
=−∞
Dans ce cas, nous aurions pu ´egalement v´erifier que l’int´egrale
1/2
R0
1
t2(1 −t)dt est ´egalement divergente car
lim
x→0+
1/2
Z
x
1
t2(1 −t)dt = lim
x→0+
1/2
Z
x1
t−1−1 t−1 t2dt = lim
x→0+ln |t−1| −ln |t|+1
t0
x
=−∞
2. L’int´egrale
+∞
R0
1
t2dt est elle-convergente ?
R´eponse : NON. En effet, mˆeme si l’int´egrale
+∞
R1
1
t2dt est convergente car
lim
x→+∞
x
Z
1
1
t2dt = lim
x→+∞−1
tx
1
= 1
l’int´egrale
1
R0
1
t2dt ne l’est pas car
lim
x→0+
1
Z
x
1
t2dt = lim
x→+∞
1
x−1 = +∞
3. L’int´egrale
+∞
R0
e−√t
√tdt est elle-convergente ?
R´eponse : OUI.
L’int´egrale
+∞
R1
e−√t
√tdt est convergente car
lim
x→+∞
x
Z
1
e−√t
√tdt = lim
x→+∞h−2e−√tix
1= lim
x→+∞
2
e−2e−√x=2 e
ainsi +∞
Z
1
e−√t
√tdt =2
e
De plus, l’int´egrale
1
R0
e−√t
√tdt est ´egalement convergente car
lim
x→0+
1
Z
x
e−√t
√tdt = lim
x→0+2e−√x−2
e= 2 −2 e
Ainsi, on obtient finalement que
+∞
Z
0
e−√t
√tdt =
1
Z
0
e−√t
√tdt +
+∞
Z
1
e−√t
√tdt = 2 −2
e+2 e= 2

4. L’int´egrale
+∞
R
−∞
e−tdt est elle-convergente ?
R´eponse : NON. En effet, mˆeme si l’int´egrale
+∞
R0
e−tdt est convergente car
lim
x→+∞
x
Z
0
e−tdt = lim
x→+∞−e−tx
0= lim
x→+∞1−e−x= 1
l’int´egrale
0
R
−∞
e−tdt ne l’est pas car
lim
x→−∞
0
Z
x
e−tdt = lim
x→−∞ −e−t0
x= lim
x→−∞ e−x−1 = +∞
Exercice 5.
D´eterminer la nature et ´eventuellement la valeur de chacune des int´egrales suivantes :
K1=
1
Z
0
1
tln(t)dt K2=
2
Z
1
1
(t−1)(t−2) dt K3=
1
Z
0
ln(1 −t)
tdt (utiliser IP P )
Indication : pour tout t∈]0,1[, on a
1
t2(1 −t)=t+ 1 t2−1 t
Exercice 6.
D´eterminer la nature et ´eventuellement la valeur de chacune des int´egrales suivantes :
K1=
+∞
Z1
2
2
√2t−1dt K2=
+∞
Z
0
ln(t)dt K3=
0
Z
−∞
et
et−1dt +K4=
+∞
Z
0
et
et−1dt
I1=
+∞
Z
−∞
te−t2dt I2=
+∞
Z
−∞
t
1 + t2dt
3 Conditions n´ecessaires sur fafin que
+∞
Ra
f(t)dt soit convergente
Soit un r´eel aet fune fonction continue et d´ecroissante sur [a+∞[ telle que
+∞
Ra
f(t)dt soit convergente.
❶On a alors que limt→+∞f(t) = 0. Ce qui implique notamment que fest positive sur [a; +∞[.
❷On peut ´egalement d´emontrer que
f(t) =
+∞o1
t
Th´eor`eme (Hors programme).
D´emonstration ❷: Voir Exercice TD - Th´eor`eme de Pringsheim int´egral
☛Attention cette condition n’est pas suffisante !! Contre exemple
+∞
R1
dt
tln t.
☛Lorsque fest une fonction continue de signe constant sur [a; +∞[ et que limx→+∞f(x)6= 0 alors l’int´egrale
+∞
Ra
f(t)dt est dite grossi`erement divergente.