Calculs Intégrales : Exercices et Solutions 2BAC SM

Prof/ATMANI NAJIB http://www.xriadiat.com 1
CALCULS INTEGRALES : Exercices d’applications et de réflexions avec solutions
PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM
http:// www.xriadiat.com
Exercice1 :Calculer les intégrales suivantes :
1)
4
23=
I xdx
2)
( )
1
023J x dx=+
3)
21
e
e
K dt
t
=
4)
( )
4
0cos 2Ld
=
Solution :1)la fonction
3xx
est continue sur
24;
Une primitive sur
24;
est :
2
3
2
xx
Donc :
4
42 2 2
22
3 3 3
3 4 2 18
2 2 2
= = =  −  =
I xdx x
2)
( ) ( ) ( )
1
12
00
2 3 3 1 3 0 4J x dx x x
= + = + = + − =
3)
222
1ln ln ln 2 1 1
ee
e
e
K dt t e e
t
= = = − = − =
4)
( ) ( )
4
4
00
1 1 1 1
cos 2 sin 2 sin sin0
2 2 2 2 2
Ld = = = − =
Exercice2 :Calculer les intégrales suivantes :
1)
( )
2
1021I x dx=−
2)
( )
143
2142I x x dx
−
= − +
3)
2
32
1
1
I dx
x
=
4)
ln 2 2
40
t
I e dt=
5)
2
ln2
50
t
I te dt
−
=
6)
2
61
ln
ex
I dx
x
=
7)
n2
701
x
l
x
e
I dx
e
=+
8)
n3
8n2
xx
l
xx
l
ee
I dx
ee
−
−
+
=−
9)
91
ln
ex
I dx
x
=
10)
3
10 22
23
34
x
I dx
xx
+
=+−
11)
1
11 021I x dx=+
12)
3
2
12 0cos sinI x xdx
=
13
( )
2
13 5
1
3
34
I dx
x
=−
14)
( )
3
14 02 cos3I x dx
=−
15)
2
4
15 0cosI xdx
=
16)
( )
1
16 2
0
11
21
1
I dx
x
x
=+
+
+
17)
3
17 1
ln
ex
I dx
x
=
18)
( )
( )
2
11
18 01x
I x e dx
−
=−
19)
( )
2
19 1
1
1 ln
I dx
xx
=+
20)
( )
2
4
20 0tanI x dx
=
21)
9
21 18 4 2−+
=exx
I dx
x
Solution :1)
( )
2
2
22
2
10
00
2 1 2 2
x
I x dx x x x
= − = − = −
( ) ( )
22
12 2 0 0 4 2 2I= − − − = − =
( )
11
14 3 5 4 5 4
2111
1 4 1
4 2 2 1 2
5 4 5
I x x dx x x x x x x
−−−
= − + = − + = − +
( ) ( )
154
5 4 5 4
21
1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2
5 5 5
I x x x
−
= − + = − + − − − − −
21 1 1 1 2 22
1 2 1 2 1 2 1 2 4
5 5 5 5 5 5
I   
= − + − − − − = − + + + + = + =
3)
2
2
32
11
1 1 1 1 1 1
1
2 1 2 2
I dx x
x
= = − = − − − = − + =
4)
( )
ln 2
ln 2 ln 2
2 2 2 2ln 2 2 0
400 0
1 1 1 1
2
2 2 2 2
t t t
I e dt t e dt e e e 
= = = = −
2
ln 2 0 0
41 1 1 1 1 3
42
2 2 2 2 2 2
I e e e= − = − = − =
5)
( )
2 2 2 ln 2
ln 2 ln 2 2
500 0
11
22
t t t
I te dt t e dt e
− − −
= = − − = −
( ) ( )
22
22
ln 2 ln 2 ln 2
0
50
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
t
I e e e e
−−
−−
= − = − + = − +
ln 2
5ln 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 4
Ie e
−
= − + = − + = −  + =
CALCULS INTEGRALES : Exercices avec solutions

Prof/ATMANI NAJIB http://www.xriadiat.com 2
6)
222
61 1 1
ln 1 ln ln ln
e e e
x
I dx xdx x xdx
xx 
= =  = 
2 1 3 3
61
1 1 1 1
ln ln ln 1
2 1 3 3 3
e
I x e
+
= = − =
+
7)
( )
n2
n 2 n 2
700 0
1ln 1
11
x
xl
ll x
xx
e
e
I dx dx e
ee
+
= = = +
++
n 2 0
73
ln 1 ln 1 ln 3 ln 2 ln3 ln2 ln 2
l
I e e 
= + − + = − = − = 
8)
( )
n3
n3 n3
8n 2 n 2 n2
ln
xx
xx l
ll xx
x x x x
ll l
ee
ee
I dx dx e e
e e e e
−
−−
−−
−
+
= = = −
−−
n 3 n3 n 2 n 2 n 2
8n 3 n 2
11
ln ln ln 3 ln
l l l l l
ll
I e e e e e
ee
−−
= − − − = − − −
8
8
1 1 8 3 16
3
ln 3 ln 2 ln ln ln ln
3
3 2 3 2 9
2
I
= − − − = − = =
9)
( ) ( ) ( )
1 1 1
911 1
11
ln ln ln ln
11
e
ee
I xdx x x dx x
x
+
= = = 
+
( ) ( )
22
91
1 1 1
ln ln ln1
22
e
I xdx e
x
= = −
91
1 1 1
ln 0
22
e
I xdx
x
= = − =
( )
23
33 2
10 22
22 2
34
23 2 2 3 4
3 4 2 3 4
xx
x
I dx dx x x
x x x x
+−
+
= = = + −
+ − + −
( )
3
2
10 2
2 3 4 2 14 6I x x
= + − = −
( ) ( ) ( )
1
11
11 1
22
11 00
0
11
2 1 2 1 2 1 2 2 1
1
21
2
I x dx x x dx x + = + = + + = +
+
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
3 3 3 3
2 2 2
11 0
2 4 4 4 4
2 2 1 3 1 3 1 3 3 1
3 3 3 3 3
Ix = + = − = − = −
12)
( )
2
3 3 3 1
22
12 00 0
1
cos sin sin sin sin
4
I x xdx x xdx x
+
= = = 
44
12 1 1 1 1
sin sin 0 0
4 2 4 4 4
I = − = − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
55
13 5
1 1 1
33 3 4 3 4 3 4
34
I dx x dx x x dx
x
−−
= = − = − −
−
( ) ( ) ( ) ( )
22
5 1 4 4 4
13 11
1 1 1 1
3 4 3 4 2 1
5 1 4 4 4
I x x
− + − − −
= − = − = − −
− + − − −
13 1 1 1 1 16 15
4 16 4 64 64 64
I=  + = − + =
−
14)
( )
3
3
14 00
1
2 cos3 2 sin3
3
I x dx x x
= − = −
14 12
2 sin 0
3 3 3
I
= − − =
15)
2
4
15 0cosI xdx
=
(on a :
21 os2
cos 2
ca
a+ =
: linearization) Donc:
( )
2
4 4 4
15 0 0 0
1 os2 1
cos 1 os2
22
cx
I xdx dx c x dx
+
= = = +
( )
4
4
15 00
1 1 1 1 1
1 os2 sin2 sin
2 2 2 2 4 2 2
I c x dx x x
= + = + = +
15 2
8
I
+
=
16)
( )
( )
( )
( )
11
16 22
00
1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 1
11
xx
I dx dx
xx
xx
++
= + = +
++
++
1
0
1 1 1 1 1 1 1
ln 2 1 ln 3 1 ln 1 ln3
1 2 2 2 2 2 2
x
x
= − + + = − + + − = +
+
17)
333
17 1 1 1
ln 1 ln ln ln
e e e
x
I dx xdx x xdx
xx 
= =  = 
3 1 4 4
17 1
1 1 1 1
ln ln ln 1
3 1 4 4 4
e
I x e
+
= = − =
+
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 1
11
2
1 1 1
18 00 0
11
11
22
x x x
I x e dx x e dt e
− − −
= − = − = 
( )
01
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
e e e e= − = − = −
19)
( ) ( )
22
19 11
1
1
1 ln 1 ln
x
I dx dx
x x x
==
++
( )
( )
( )
22 2
19 1
11
1 ln
1ln 1 ln
1 ln 1 ln
x
I dx dx x
x x x
+
= = = +
++

Prof/ATMANI NAJIB http://www.xriadiat.com 3
( )
19 ln1 ln2 ln1 ln1 ln 1 ln2 ln 1 ln2I= + − + = + = +
20)
( ) ( )
22
44
20 00
tan 1 tan 1I x dx x dx
= = + −
( )
( )
()
2
44
20 0
01 tan 1 tanI x dx x x
= + − = −
20 tan 1
4 4 4
I
= − = −
21)
98
21 11
99
1
8 4 2 2
84
8 8 46
4 2 4
9 9 9
−+ 
= = − +
= − + = − + ln
ee
e
xx
I dx x dx
xx
x x x e e
Formules importantes :
2
os(2 ) 1 2sinc a a=−
22
os(2 ) cos sinc a a a=−
;
21 os2
cos 2
ca
a+ =
;
21 os2
sin 2
ca
a− =
sin(2 ) 2sin cosa a a=
Exercice3 : Calculer les intégrales suivantes :
1)
3
01I x dx=−
2)
( )
0
21J x x dx
−
=+
Solution :1)on a
0,3x
1 0 1xx− =  =
on va étudier le signe de :
1x−
la Relation de Chasles donne :
3 1 3
0 0 1
1 1 1I x dx x dx x dx= − = − + −
( ) ( )
13
01
11I x dx x dx= − + −
13
22
01
1 9 1 5
1 3 1
2 2 2 2 2 2
xx
I x x = − + − = − + − − − =
2)
( )
0
21J x x dx −
=+
( )
1 0 0x x x+ =  =
ou
1x=−
on va étudier le signe de :
( )
1xx+
a)si
2; 1x − −
alors :
( )
10xx+
donc :
( ) ( )
11x x x x+ = +
b)si
1;0x−
alors :
( )
10xx+
( ) ( )
11x x x x+ = − +
La Relation de Chasles donne :
( ) ( ) ( )
0 1 0
2 2 1
1 1 1J x x dx x x dx x x dx
−
− − −
= + = + + +
( ) ( )
10
21
²²J x x dx x x dx
−
−−
= + + − −
10
3 2 3 2
21
1 1 1 1
3 2 3 2
J x x x x
−
−−
= + + − −
1 2 1
01
6 3 6
J   
= − − + − − =
Exercice4 : on pose:
2
4
0cosI xdx
=
et
2
4
0sinJ xdx
=
Calculer
IJ+
et
IJ−
et en déduire
I
et
J
Solution :
( )
2 2 2 2
4 4 4
0 0 0
cos sin cos sinI J xdx xdx x x dx
+ = + = +
44
0
010
44
I J dx x
+ = = = − =
( )
2 2 2 2
4 4 4
0 0 0
cos sin cos sinI J xdx xdx x x dx
− = − = −
44
0
0
1 1 1
cos2 sin2 sin 0
2 2 2 2
I J xdx x − = = = − =
4
1
2
IJ
IJ
+=
−=
par sommation on trouve:
1
242
I
=+
donc :
2
8
I
+
=
et on replace dans dans la 1ére
équation et on trouve:
2
84
J
++=
Donc:
2 2 2 2
4 8 8 8
J
+ − − −
= − = =
Exercice5 : Calculer les intégrales suivantes :
1)
( )
3
2
12
2
4
x
I dx
xx
−
=−
2)
ln3
02x
I e dx=−
3)
22
02I x x dx= − −

Prof/ATMANI NAJIB http://www.xriadiat.com 4
Solution : 1)
2 0 2xx− =  =
étude du signe de:
2x−
La Relation de Chasles donne :
( ) ( ) ( )
3 2 3
2 2 2
1 0 2
2 2 2
2 2 2
4 4 4
x x x
I dx dx dx
x x x x x x
− − −
= = +
− − −
( )
( ) ( )
23
22
02
22
22
44
xx
dx dx
x x x x
−− −
=+
−−
( )
( )
( )
( )
22
23
22
02
22
44
11
22
44
x x x x
dx dx
x x x x
− − −
=+
−−
23
22
12
1 1 1 1
22
44
Ix x x x
=−
−−
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1
2 4 3 2 3 4 6 8 3 4 12
I   
= + − − + = − = − =
−
2)
ln3
02x
I e dx=−
2 0 2 ln2
xx
e e x−     
ln2 ln3
0 ln2
22
xx
I e dx e dx= − + −
( )
ln2 ln3
0 ln2
22
xx
I e dx e dx= − + −
ln2 ln3
0 ln2
122
2xx
I x e e x = − + −
( )
( )
( ) ( )
( )
16
2ln2 2 1 3 2ln3 2 2ln2 ln 9
I = − + + − − − = 
Exercice 6: Calculer l’ intégrale suivante :
1
2
0
14
I dx
x
=−
Solution : On remarque que :
21 1 1 1
4 4 2 2x x x
=−
− − +
donc :
11
2
00
1 1 1 1
4 4 2 2
I dx dx
x x x
= = −
− − +
et la linéarité de l’intégrale donne :
11
00
1 1 1 1
4 2 4 2
I dx dx
xx
=−
−+
11
00
1 1 1 1
4 2 4 2
I dx dx
xx
=−
−+
11
00
11
ln 2 ln 2
44
I x x
= − − +
( )
1 1 1
ln2 ln3 ln2 ln3
4 4 4
I= − − − = −
Exercice7 :on pose :
4
2
0cosI xdx
=
1)montrer que :
( )
41
cos cos4 4cos2 3
8
x x x= + +
x
(linéarisation de
4
cos x
)
2)en déduire l’ intégrale
I
Solution :1)on a :
cos 2
ix ix
ee
x−
+
=
donc :
4
4
cos 2
iX iX
ee
x−
+
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
4 3 2 2 1 3 4
14 6 4
16 ix ix ix ix ix ix ix ix
e e e e e e e e
− − − −
= +  +  +  +
( )
4 3 2 2 3 4
14 6 4
16 ix i x ix ix ix ix ix ix
e e e e e e e e
− − − −
= + + + +
( )
4 4 2 2
14 4 6
16 ix ix ix ix
e e e e
−
= + + + +
( ) ( )
( )
4 4 2 2
146
16 ix ix ix ix
e e e e
−
= + + + +
Or on sait que :
2cos ix ix x e e− =+
t
2cos inx inx nx e e− =+
Donc :
( ) ( )
( )
41
cos 2cos4 4 2cos2 6
16 xx
= + +
Donc:
( )
41
cos cos4 4cos2 3
8
x x x= + +
2)
( )
4
22
00
1
cos cos4 4cos2 3
8
I xdx x x dx = = + +
2
0
1 1 1
sin4 4 sin2 3
8 4 2
x x x
= + +
1 1 1 3
sin 2 4 sin 3
8 4 2 2 16
= + + =

Prof/ATMANI NAJIB http://www.xriadiat.com 5
Exercice8 :d’application Soit f :
²x
xe
−
→
Définie sur R.
Pour tout réel
1a
, on s’intéresse à l’intégrale
( ) ( )
1
a
F a f x dx=
1)Démontrer que pour tout réel
1x
:
( )
0x
f x e−
.
2) En déduire que pour tout réel
1a
:
( )
1
0F a e−
.
Solution :1) Une exponentielle étant toujours
positive :
( )
0fx
pour tout réel x et donc en
particulier pour tout
1x
. De plus, si
1x
, alors
2
xx
, c’est-à-dire
2
xx−  −
et donc
( )
x
e f x
−
par
croissance de la fonction exponentielle.
On en déduit donc que pour tout réel
1x
( )
0x
f x e−
2) À partir de l’inégalité obtenue, on utilise la
propriété précédente sur l’intervalle [1 ; a] et ainsi
( )
1 1 1
0
a a a x
dx f x dx e dx
−
( )
1
0a
x
F a e−
  −
Donc
( )
11
0a
F a e e e
− − −
  − + 
donc :
( )
1
0F a e−
ce qui démontre l’inégalité voulue.
Exercice9 :Montrer que :
2
1
0
11
6 1 3
x
I dx
x
 = 
+
Solution :on a
0,1 0 1xx   
1 1 2x + 
111
21x
+
Donc :
222
21
xxx
x +
Donc :
1 1 1
222
0 0 0
21
xx
dx dx x dx
x +
Donc :
11
33
00
63
xx
I
Donc :
11
63
I
Exercice10 :soit la suite numérique
( )
n
u
définie
par :
1
0
1
1
nn
u dx
x
=+
n
1)Montrer que
( )
n
u
est croissante
2) Montrer que :
11
2n
u
n
Solution :1)
11
11
00
11
11
nn nn
u u dx dx
xx
++
− = −
++
( )( )
( )
( )( )
1
11
11
00
1
11
1 1 1 1
n
nn
n n n n
xx
xx
dx dx
x x x x
+
++
−
+ − −
==
+ + + +
On sait que :
01x
donc :
01x−
Et on a:
( )( )
10
11
n
nn
x
xx
+
++
car
0x
Donc :
( )
( )( )
1
10
11
n
nn
xx
xx
+
−
++
Donc:
( )
( )( )
1
1
0
10
11
n
nn
xx
dx
xx
+
−
++
Donc:
10
nn
uu
+−
n
Donc:
( )
n
u
est croissante
2) Montrons que :
11
2n
u
n
On a :
0,1 0 1xx   
01
n
x  
1 1 2
n
x  + 
111
21
n
x
+
Donc:
1 1 1
0 0 0
111
21
n
dx dx dx
x
+
Donc:
1
11
00
0
11
21
n
x dx x
x
+
Donc :
11
2n
u
n
Exercice11 :soit la suite numérique
( )
n
u
définie par :
1
01
nx
nx
e
u dx
e
=+
n
1)Montrer que :