TD 1: Коначне разлике - Вежбе и нумеричке шеме

TD 1 : Diff´erences Finies
TD 1 : Diff´erences Finies
UF Mod´elisation et calcul scientifique 
Formation ModIA Mod´elisation et Intelligence Artificielle 
Nicolas Bertier ([email protected])
INSA, 4A
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TD 1 : Diff´erences Finies
Etude du sch´ema Leapfrog
Enonc´e
Exercice 1 : Etude du sch´ema Leapfrog pour l’´equation
d’advection
Equation d’advection discr´etis´ee `a l’aide du sch´ema Leapfrog :
un+1
i−un−1 i
2∆t+aun
i+1 −un i−1
2∆x= 0
1Quels sont les ordres en espace et en temps de ce sch´ema ?
2´ Etudiez la stabilit´e de ce sch´ema.
3Quels sont les avantages et inconv´enients de ce sch´ema ?
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TD 1 : Diff´erences Finies
Etude du sch´ema Leapfrog
Analyse de stabilit´e
Analyse de stabilit´e
Ecriture explicite de un+1
ien fonction des autres ´etats :
un+1
i=un−1 i−Cun
i+1 −un i−1
Analyse de Von Neumann pour l’´etude de stabilit´e :
•domaine p´eriodique ;
•d´ecomposition de la solution discr`ete en s´erie de Fourier finie,
chaque terme ´etant de la forme Anejiϕ.
En r´einjectant ce mode dans le sch´ema discret en espace et en temps on
obtient successivement :
An+1 ejiϕ=An−1ejiϕ−CAnej(i+1)ϕ−Anej(i−1)ϕ
An+1 =An−1−CAnejϕ−Ane−jϕ
An+1 =An−1−CAnejϕ−e−jϕ3/18

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Etude du sch´ema Leapfrog
Analyse de stabilit´e
Equation du facteur d’amplification
Par d´efinition, on a :
G=An+1
An
Or, le facteur d’amplification ne d´ependant pas de n, on a ´egalement :
G=An
An−1=An+1 An
En divisant l’expression pr´ec´edente par Anon obtient successivement :
An+1
An=An−1 An−Cejϕ−e−jϕ
G=1
G−Cejϕ−e−jϕ
En multipliant cette ´equation par G, on obtient l’´equation du second
degr´e :
G2+GCejϕ−e−jϕ
| {z }
B
−1=0
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Etude du sch´ema Leapfrog
Analyse de stabilit´e
R´esolution de l’´equation du facteur d’amplification
Soit l’´equation du second degr´e pour G:
G2+BG − 1 = 0
avec :
B=Cejϕ−e−jϕ= 2jCsin ϕ
Le discriminant ∆de l’´equation s’´ecrit :
∆=B2+ 4 = −4C2sin2ϕ+ 4 = 4 1−C2sin2ϕ
Les racines de l’´equation sont alors :
G1=−jCsin ϕ+q1−C2sin2ϕ
G2=−jCsin ϕ−q1−C2sin2ϕ
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