Équations Exactes et Facteurs Intégrants - Cours

Équation différentielles Chapitre 3
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3 ÉQUATIONS EXACTES ET FACTEURS INTÉGRANTS
3.1 Les équations exactes :
Dans le cas de fonctions à 2 variables ),( yxu possédant des dérivées partielles continues, sachant que la
différentielle totale ou exacte de est :
Il s’ensuit que si (,)uxy Cte=, alors .
EXEMPLE :
Si :
Alors :
Et donc :
On voit alors qu’une équation différentielle ordinaire peut être résolue en procédant à l’inverse.
3.2 Méthode des équations exactes :
Soit une équation différentielle de la forme :
Si on peut trouver une fonction (,)uxyqui fasse en sorte que l’on ait : (,)
et
u
Mxy
x
u
N(x,y) y
∂
⎧=
⎪∂
⎪
⎨∂
⎪=
⎪∂
⎩
Alors on peut poser l’équation sous la forme d’une différentielle totale ou exacte:
Et alors (,)uxyest la solution cherchée est sous forme implicite :
Pour cela il faut prouver que les dérivées et sont effectivement égales, puisque dans le
cas d’une fonction aux dérivées partielles continues, les dérivées secondes croisées sont égales :
Donc ici, une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation soit une
équation exacte est de prouver que :
u
dy
y
u
dx
x
u
du ∂
∂
+
∂
∂
=
0
=
du
Cyxxu =+= 32
03)21( 223 =++= dyyxdxxydu
22
3
3
21
'yx
xy
y+ −=
0),(),(
=
+
dyyxNdxyxM
0=
∂
∂
+
∂
∂
=dy
y
u
dx
x
u
du
Cteyxu
=
),(
yyxM ∂
∂
),(
x
yxN
∂
∂
),(
(,)uxy
yx yxu xy yxu yyxu xyxu ∂∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂),(),(
alors continues,
),(
et
),(
si 22
0).,().,(
=
+dyyxNdxyxM

Chapitre 3 Équations exactes et facteurs intégrants
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, Puisque :
Dès lors la fonction cherchée (,)uxy peut être devinée, ou trouvée de façon systématique par :
Dans cette intégration par rapport à
x
, ()ky joue le rôle de constante. Il suffit de dériver ensuite par rapport
à le trouvé pour déterminer ()ky :
On obtiendrait le même résultat en intégrant d’abord à et dériver ensuite par rapport à
x
.
3.3 Résumé de la procédure :
1) Vérifier si , auquel cas on a bien affaire à une équation exacte, et on peut aller à
l’étape 2) de cette procédure.
2) Évaluer .
3) Dériver ensuite pour trouver :
()
(,) (, ) '() (,) (,) () uxy
M
xy l x Nxydy Mxy lx
xx
∂∂
=⇒+ =⇒
∂∂
∫
4) Vérifier que la solution finale en redonne bien et .
EXEMPLE 1:
Soit à résoudre : .
SOLUTION :
1) Vérifions que nous avons bien une équation exacte :
2) Trouver :
()
32 422
13
(,) (,). () 3 . () ()
42
uxy Mxydx ky x xy dx ky x xy ky=+=++=++
∫∫
3) Dérivons pour déterminer :
xyxN yyxM ∂
∂
=
∂
∂),(),(
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
yx yxu xyxN
xy yxu yyxM
),(),(
),(),(
2
2
)().,(),( ykdxyxMyxu += ∫
y),( yxu
(
)
)(),().,()('
),(
),( ykyxNdxyxM
y
yk
yyxu
yxN ⇒=
∂
∂
+⇒
⎭
⎬
⎫
∂
∂
=∫
),( yxN
xyxN yyxM ∂
∂
=
∂
∂),(),(
)().,(),( xldyyxNyxu += ∫
)(xl
),( yxu ),( yxM ),( yxN
(
)
(
)
0.3.3 3223 =+++ dyyyxdxxyx
),( yxu
)(yk
Cyykyyk
yyxyxN
ykyx
yyxu ~
4
1
)()('
3),(
)('3
),( 43
32
2
+=⇒=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
+=
+=
∂
∂

Équation différentielles Chapitre 3
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4) Vérification de la solution en :
La solution étant donné sous forme implicite d’une équation entre et , il suffit de faire :
Et identifier que de nouveau on a :
(, ) (,)
(, )
uxy
M
xy
x
uxy N(x,y)
y
∂
⎧=
⎪∂
⎪
⎨∂
⎪=
⎪∂
⎩
EXEMPLE 2:
Soit à résoudre le problème suivant avec valeur initiale:
SOLUTION:
Vérifier que c’est une équation exacte :
2) Trouver
(,)uxy :
3) Dérivons pour déterminer )(yk :
Or la condition initiale veut que :
On peut fixer arbitrairement , de sorte que l’expression implicite de la solution est :
4) Vérification de la solution en (,)uxy :
et on identifie bien que de nouveau on a :
),( yxu Cyyxxyxu =++= 4224 4
1
2
3
4
1
),(
x
y
0.. =
∂
∂
+
∂
∂
=dy
y
u
dx
x
u
du
(
)
(
)
⎩
⎨
⎧
=
=−
0)0(
0.sinhcos.coshsin
y
dyyxdxyx
exacteéquation une à affaire aon donc
sinhsinsinhcos),(
sinhsincoshsin),(
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
∂
∂
→−=
=
∂
∂
→+=
yx
x
N
yxyxN
yx
y
M
yxyxM
(
)
)(coshcos
)(.coshsin)().,(),(
ykyx
ykdxyxykdxyxMyxu
+−=
+=+= ∫∫
{ 1)(0
)(
sinhcos),(
)(
sinhcos
),( teCyk
yyk
yxyxN
yyk
yx
yyxu
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧=
∂
∂
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
∂
∂
+−=
∂
∂
} 1)0cosh()0cos(1221)0cosh()0cos()0,0(0)0( =
=
−
⇒
=
+
=⇒= CteCteCteCteuy
01=Cte
1coshcos),(
=
=
yxyxu
()
(
)
0.sinhcos.coshsin
=
−
+
−= dyyxdxyxdu
yxN(x,y)
yxyxM
sinhcoset
coshsin),(
=
=

Chapitre 3 Équations exactes et facteurs intégrants
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EXEMPLE 3:
Voici un cas d’équation non exacte :
SOLUTION:
1) Vérifions si nous avons affaire à une équation exacte :
Dès lors on ne poursuit pas selon la procédure prescrite. On verra tout de suite après comment palier à cette
difficulté, sinon on va voir qu’on aboutit à une inconsistance.
2) Défaut dans la procédure :
3.4 Le facteur intégrant
Dans le cas des équations de la forme : (,). (,). 0Pxydx Qxydy
+
=
mais dont : xyxQ
yyxP ∂
∂
≠
∂
∂),(),( . C’est à dire lorsqu’il s’agit d’une équation non-exacte, on cherche alors
une fonction auxiliaire telle que :
0).,().,(
=
+
dyyxFQdxyxFP
Soit une équation exacte. Cette fonction ),( yxF est alors appelé le facteur intégrant.
EXEMPLE :
Soit à résoudre l’équation : 0..
=
−dyxdxy
SOLUTION:
Cette équation n’est pas exacte. Par contre si nous la multiplions par 2
1
),( x yxF = :
0.
1
.
2=− dy
x
dx
x
y
Alors on peut poser l’équation sous la forme :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−==
==
=+
x
FQN
x
y
FPM
dyyxNdxyxM 1 avec0).,().,( 2
Dès lors l’équation est ramenée à une forme de différentielle exacte puisque :
0..
=
−
dyxdxy
exacte-nonéquation une à affaire aon donc
1),(
1),(
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−=
∂
∂
→−=
+=
∂
∂
→+=
x
N
xyxN
y
M
yyxM
itéimpossibild' cas)('
),(
)()().,(),(
⇒−=+=
∂
∂
+=+= ∫
xykx
yyxu
ykxyykdxyxMyxu
),( yxF

Équation différentielles Chapitre 3
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exacteéquation uneest c' ,
1
1
2
2
x
N
y
M
x
x
Nx
y
M
∂
∂
=
∂
∂
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
∂
∂
=
∂
∂
On peut donc par la suite utiliser la procédure décrite au chapitre précédent pour trouver la fonction
implicite :
2
(,) (, ). () . ()
()
y
uxy Mxydx ky dx ky
x
yky
x
⎛⎞
=+=+
⎜⎟
⎝⎠
=− +
∫∫
puis:
{}{
(,) 1 '( ) '( ) 0
1
(,)
uxy ky
yx ky k Cte
Nxy x
∂⎫
=− + ⎪
∂⎪⇒=⇒=
⎬
⎪
=− ⎪
⎭
D’où la solution : (, ) yy
uxy Cte C C
xx
=
−+ = ⇒ =
%
Cette relation indique une famille de lignes passant par l’origine.
REMARQUE :
On aurait pu utiliser d’autres facteurs intégrants tels que : 222 1
,
1
,
1
),( yx
xy
y
yxF + =, de sorte qu’on
aura les équations exactes suivantes et la forme solution implicite associée :
() () ()
222
11 1
.. 0 , .. 0 ln , .. 0 arctan
x
xx
yd xdy d yd xdy d yd xdy d
yxy y yyxy
⎡
⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
−== −== −==−
⎢
⎥⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
+
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦⎣⎦
EXEMPLE :
Soit à résoudre l’équation :
(
)
(
)
0.cos.sin2 22 =+ dyyxydxy