Exercices de Géométrie dans l'Espace - 3APIC Tanger-Tétouan
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Collège Moulay
Abderrahmane
Géométrie dans l’espace
Exercices des examens régionaux
Tanger - Tétouan – el Hoceima
Pr. ESSADKI Abdeslam
3APIC
Exercice 1 : (2022)
est une pyramide de base le carré et
sa hauteur telle que : et
1) Montrer que
2) Montrer que le volume de la pyramide est
3) La pyramide est une réduction de la
pyramide .
a. Sachant que le volume de la pyramide est
, déterminer le rapport de réduction.
b. En déduire la distance
Exercice 2 : (2019)
Dans la figure ci-contre, est une pyramide régulière
de base le carré et sa hauteur telle que :
et
1) Montrer que
2) Montrer que le volume de la pyramide est :
Soit un point le milieu de segment .
On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base
et passant par le point , on obtient une pyramide qui
représente une réduction de la pyramide de rapport
3) a. Montrer
b. Calculer le volume de la pyramide
.
Exercice 3 : (2018)
Dans la figure ci-contre
un parallélépipède rectangle
tels que :
1) a. Montrer que
b. Montrer que est perpendiculaire au plan .
2) Montrer que le volume de la pyramide est
3) On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et
passant par le point tel que et , on
obtient une pyramide qui représente la réduction de la
pyramide de rapport
a. Montrer que
b. Soit le volume de la pyramide
Vérifier que
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Exercice 4 : (2017)
est une pyramide de base le carré et sa hauteur
telle que : et
1) a. Montrer que
b. Montrer que :
2) Calculer le volume da la pyramide .
3) On a agrandi la pyramide par un rapport et on a
obtenu une pyramide dont la surface de sa base est
a. Montrer que
b. Déduire ′ le volume de la grande pyramide.
Exercice 5 : (2016)
un parallélépipède tel que :
est le milieu de (voir la figure)
1) a. Montrer que la surface du triangle est :
b. Déduire que le volume de la pyramide est :
2) La pyramide est une réduction de la
pyramide tel que la surface du triangle
est
a. Montrer que le rapport de réduction est
b. Déduire le volume de la pyramide
Exercice 6 : (2015)
Soit une pyramide de base le rectangle et sa
hauteur telle que :
est un point de tel que :
1) Calculer le volume de la pyramide
2) Montrer que
3) On coupe la pyramide par un plan parallèle à la
base et passant par le point
, on obtient la pyramide
qui représente la réduction de la pyramide
.
a. Déterminer le rapport de réduction.
b. Calculer le volume de la pyramide en
fonction de
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Exercice 7 : (2014)
un cube , le centre de carrée
et .
1) a. Montrer que
b. Montrer que et sont perpendiculaires.
c. Déduire que :
2) a. Montrer que le volume de la pyramide régulière
est
b. Le cube a été agrandi de façon que le volume de la
pyramide devient
Calculer le rapport de cet agrandissement
Exercice 8 : (2013)
est une pyramide régulière de base un
carré et sa hauteur telle que :
et
1) a. Calculer
b. Déduire que
2) Déterminer le volume de la pyramide
.
3) Nous avons fait un design pour cette pyramide
avec une échelle de
, et on obtient un solide
de volume
a. Déterminer
? Justifier votre réponse.
b. Déduire
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Collège Moulay
Abderrahmane
Géométrie dans l’espace
Solutions des exercices régionaux
Tanger – Tétouan – el Hoceima
Pr. ESSADKI Abdeslam
3APIC
Exercice 1 : (2022)
Solution :
1) On a : est un carré
Alors est un triangle rectangle en
Donc d’après le théorème de Pythagore direct,
on a :
Et puisque :
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
2) On a :
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
3) a. On a : la pyramide est la réduction
de la pyramide
Alors :
Par suite :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
b. On a : la pyramide est la réduction de
la pyramide de rapport
Alors : est la réduction du segment
Par suite :
C-à-d :
D’où :
Exercice 2 : (2019)
Solution :
1) On a : est un carré
Alors est un triangle rectangle en
Par suite d’après le théorème de Pythagore direct,
on a :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
2) On sait que :
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
3) a. On a : est la réduction de
Alors :
Par suite :
b. On a : la pyramide est la réduction de
la pyramide
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
Exercice 3 : (2018)
Solution :
1) a. On a : est un rectangle
Alors est un triangle rectangle en
Donc d’après le théorème de Pythagore direct,
on a :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
b. On a : est rectangle
Alors :
Et on a : est rectangle
Alors :
Et puisque : et sont incluses dans le
plan et sécantes en
Alors :
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2) On sait que :
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
3) a. On a : est la réduction de
Alors :
Par suite :
b. On a : la pyramide la réduction de
la pyramide
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
Donc :
D’où :
Exercice 4 : (2017)
Solution :
1) a. On a : est la hauteur de la pyramide
Alors : la droite est perpendiculaire au plan
en point
Et puisque la droite est incluse dans le plan
, alors :
b. On a :
Alors est un triangle rectangle en
Donc d’après le théorème de Pythagore direct,
on a :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
2) On sait que :
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
3) a. On a : est le rapport d’agrandissement
Alors :
C.-à-d :
Par suite :
Donc :
b. On a :
est le rapport d’agrandissement
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
D’où :
Exercice 5 : (2016)
Solution :
1) a. On a : est un rectangle
Alors :
Et puisque : , alors :
Par suite : est la hauteur du triangle
Donc :
Et puisque : K est le milieu de [AE]
Alors :
Par suite :
C-à-d :
C-à-d :
Donc :
D’où :
b. On a : est la pyramide de base le
triangle , et sa hauteur est
Alors :
C-à-d :
Donc :
2) a. On a : le triangle est la réduction du
triangle
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
C-à-d :
Donc :
b. On a : est la réduction de
Alors :
C-à-d :
C-à-d :
Donc :
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