Annales Mathématiques Bac Tchad C & E 1989-2023

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EXTRAIT D’ANNALES DES ÉPREUVES DE
MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT
DU TCHAD SÉRIE C & E DE 1989 - 2023
Mathématiques au Bac Tchad Série C et E 2023
Session de : Juin 2023 Durée : 4 heures Coefficients : 5 (C), 4 (E)
Exercice 1
Une urne contient 3 boules noires, 4 boules rouges et 5 boules blanches indiscernables au toucher. On
tire successivement et sans remise 2 boules de l’urne.
1. Calculer la probabilité de tirer :
a) A : « deux boules rouges ».
b) B : « deux boules de couleurs différentes ».
2. On inscrit sur chaque boule noire le numéro 1, sur chaque boule rouge le numéro 0et sur chaque
boule blanche le numéro 1.
On considère la variable aléatoire Xqui, chaque à paire de boules tirées, fait correspondre la somme
des chiffres inscrits sur les deux boules.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X, la variance et l’écart-type.
c) Définir et représenter la fonction de répartition de X.
Exercice 2
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O,
u,
v(unité graphique : 4 cm).
Soit A le point d’affixe zA=i et B le point d’affixe zB=ei5π
6.
1. Soit rla rotation de centre O et d’angle 2π
3.On appelle C l’image de B par r.
a) Déterminer une écriture complexe de r.
b) Montrer que l’affixe de C est zC=eiπ
6.
c) Écrire zBet zCsous forme algébrique.
d) Placer les points A, B et C.
2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2,1et 2.
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a) Montrer que l’affixe de D est zD=3
2+1
2i.Placer le point D.
b) Montrer que les points A, B, C et D sont situés sur un même cercle.
3. Soit hl’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h.
a) Déterminer une écriture complexe de h.
b) Montrer que l’affixe de E est zE=3. Placer le point E.
4. a) Calculer le rapport zDzC
zEzC
.On écrira le résultat sous forme exponentielle.
b) En déduire la nature du triangle CDE.
Problème
On considère la fonction numérique fdéfinie sur Rpar :
f(x) =
ln x
1+xsi x>1
e1
x1si x<1
On note (C)la courbe représentative de fdans un plan muni du repère orthonormal O,
ı,
tel
que :
ı
=1cm et
=2cm.
Partie A
Soit g, la fonction définie sur I= [1 ; +[par g(x) = 1+xxln x.
1. Calculer les limites de gaux bornes de I.
2. Étudier le sens de variation de get dresser son tableau de variation.
3. Démontrer l’équation g(x) = 0admet une unique solution αsur I.Vérifier que α]3,5 ; 4[.
4. Déduire de ce qui précède le signe de gsur I.
Partie B
1. Calculer les limites de fen et en +.
2. Étudier la dérivabilité de fen 1. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3. Calculer f(x)pour xR− {1}et vérifier que pour tout xI,f(x) = g(x)
x(1+x)2.
4. En déduire le signe de f(x)pour tout xR− {1}puis dresser le tableau de variation de f.
5. Montrer que f(α) = 1
α
.
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6. Construire (C), ses tangentes et ses asymptotes.
Partie C
On pose Jn=Ze
1x2(ln x)ndxpour tout nN.
1. Calculer J0.
2. Montrer que Jn>0pour tout nN.
3. Montrer que (Jn)est décroissante.
4. Montrer que (Jn)est convergente.
5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n:
3Jn+1+ (n+1)Jn=e3.
6. En déduire les valeurs exactes de J1et J2.
Données : ln(3,5)1,25 ;ln 2 0,7 ; e10,37
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