Signaux : L'essentiel du cours (ENSIP 1)

ENSIP 1 – Signaux 1
L’essentiel du cours de Signaux
Nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme z=a+b, ou aet bsont
des nombres réels, et est une solution de l’équation x2=−1:
—aest la partie réelle de z,i.e.,a= Re(z),
—best la partie imaginaire de z,i.e.,b= Im(z)
Im(z)
Re(z)
a
b
0
Figure 1 – Plan complexe
Pour tout nombre complexe z=a+b =ρeϕ, le module (ou l’amplitude) de zsatisfait
|z|=ρ=pa2+b2,
|z|2=zz,
et son argument
arg (z) = ϕ=
arctan b
asi a > 0,
arctan b
a+πsi a < 0et b≥0,
arctan b
a−πsi a < 0et b < 0,
π
2si a= 0 et b > 0,
−π
2si a= 0 et b < 0,
indéfini si a= 0 et b= 0.
.
Alors,
z=ρeϕ,
Le complexe conjugué du nombre complexe z=a+b est z=a−b.

2ENSIP 1 – Signaux
Im(z)
Re(z)
a
b
0
ρ
ϕ
Figure 2 – Plan complexe
On obtient
Re(z) = z+z
2,
Im(z) = z−z
2,
z1+z2=z1+z2,
z1−z2=z1−z2,
z1z2=z1z2,
z1/z2=z1/z2.
et donc
z=ρe−ϕ
Pour deux nombres complexes z1=ρ1eϕ1et z2=ρ2eϕ2,
z1z2=ρ1ρ2e(ϕ1+ϕ2)
z1
z2
=ρ1
ρ2
e(ϕ1−ϕ2)
Trigonométrie
On rappelle que
cos(x) = ex +e−x
2sin(x) = ex −e−x 2
sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b) cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) cos(2a) = 2 cos2(a)−1 = 1 −2 sin2(a)
cos2(a) = 1 + cos(2a)
2sin2(a) = 1−cos(2a) 2.
De même
d
dx (cos(ax +b)) = −asin(ax +b)Zcos(ax +b)dx =sin(ax +b) a
d
dx (sin(ax +b)) = acos(ax +b)Zsin(ax +b)dx =−cos(ax +b) a
d
dx eax+b=aeax+bZeax+bdx =eax+b a

ENSIP 1 – Signaux 3
Le sinus cardinal : sinc(x) = sin(x)
x
— Si x= 0 alors sinc(0) = 1,
—sinc(x) = 0 si x=kπ
✲
✻
5.0-5.0
0.2
0.4
0.8
-0.2
sinc(x)
x
1
-0,21
0,12
3,14
06,28
-3,14-6,28
Série de Fourier
Soit f(t)une fonction périodique de période T0telle que ω0=2π
T0= 2πF0. Alors, la décomposition
en série de Fourier classique est :
f(t) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nω0t) + bnsin(nω0t))
avec
a0=1
T0ZT0
0
f(t)dt an=2
T0ZT0
0
f(t) cos(nω0t)dt bn=2
T0ZT0
0
f(t) sin(nω0t)dt
mais cette décomposition ne permet pas de tracer les spectres d’amplitude et de phase de f(t).
Pour tracer les spectres d’amplitude et de phase de f(t), on utilise une autre forme de la décompo-
sition en série de Fourier classique :
f(t) = A0+
+∞
X
n=1
Ancos(nω0t−ϕn)
avec
A0=a0An=pa2
n+b2 nϕn= arctan( bn
an
)
La composante continu du signal f(t)est A0. Les amplitudes des harmoniques sont déterminées
par An. Les phases des harmoniques sont déterminées par ϕn. Le fondamental ou premier harmonique
est A1.Anpermet de tracer le spectre d’amplitude de f(t);ϕnpermet de tracer le spectre de phase
de f(t)). Les spectres d’amplitude et de phase sont des spectres de raies et monolatéraux.

4ENSIP 1 – Signaux
An
n
ω
f
0 1 2 3
ω02ω03ω0
F02F03F0
ϕn
0n
ω
f
123
ω02ω03ω0
F02F03F0
Figure 3 – Spectres d’amplitude et de phase de raies et monolatéraux.
La décomposition en série de Fourier complexe est donnée par :
f(t) =
+∞
X
n=−∞
cnenω0t
avec
cn=1
T0ZT0
0
f(t)e−nω0tdt =ρn.e−jϕn
cnest un nombre complexe ; ρnest son amplitude et ρnpermet de tracer le spectre d’amplitude de
f(t)(on remarque que pour n > 0alors ρn=An
2) ; ϕnest sa phase et ϕnpermet de tracer le spectre
de phase de f(t)). Les spectres d’amplitude et de phase sont des spectres de raies et bilatéraux.
1 2
−1−21 2 −1−2ω02ω0
−ω0
−2ω0F02F0
−F0 −2F0f
ω
n
01 2
−1−2ω02ω0
−ω0
−2ω0F02F0
−F0 −2F0
ϕn
f
ω
0n
ρn
Figure 4 – Spectres d’amplitude et de phase de raies et bilatéraux.
Transformée de Fourier
Soit f(t)une fonction non périodique définie sur R. Sa transformée de Fourier s’écrit
T F {f(t)}=F(ω) = Z+∞
−∞
f(t)e−ωtdt =ρ(ω).ejφ(ω).
On remarque que F(ω)est un nombre complexe ; ρ(ω)est son amplitude et ρ(ω)permet de tracer
le spectre d’amplitude de f(t);φ(ω)est sa phase et φ(ω)permet de tracer le spectre de phase de f(t)).
Les spectres d’amplitude et de phase sont des spectres continus et bilatéraux.
Connaissant F(ω), la transformée de Fourier inverse s’écrit
T F −1{F(ω)}=f(t) = 1
2πZ+∞
−∞
F(ω)eωtdω.

ENSIP 1 – Signaux 5
ω
0
φ(ω)
0ω
ρ(ω)
Figure 5 – Spectres d’amplitude et de phase continus et bilatéraux.
Soit f(t)une fonction périodique de période T0telle que ω0=2π
T0= 2πF0. Sa transformée de
Fourier s’écrit
T F {f(t)}=F(ω) = 2π
+∞
X
n=−∞
cnδ(ω−nω0).
avec
cn=1
T0ZT0
0
f(t)e−nω0tdt =ρn.e−jφn
Impulsion de Dirac
L’impulsion de Dirac, notée δ(x), peut être "considérée" comme une fonction qui prend une "valeur"
infinie en zéro, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l’intégrale sur l’ensemble des réels est égale à
1 :
δ(x) = 0pour x6= 0
∞pour x= 0 et sa définition en terme de fonction est Z∞
−∞
δ(x)dx = 1.
δ(x)
x
1
0
Figure 6 – Impulsion de Dirac.
On rencontre des impulsions de Dirac dans le domaine temporel δ(t)comme dans le domaine pul-
sationnelle δ(ω)(ou fréquentiel δ(f)).
On définit aussi l’impulsion de Dirac, notée δ(x), comme la distribution qui fait correspondre à
toute fonction s(x)continue à l’origine sa valeur à l’origine
Z+∞
−∞
s(x)δ(x)dx =s(0).
La transformée de Fourier d’une impulsion de Dirac est
T F {δ(t)}= 1.
Elle vérifie les propriétés suivantes :