Statistique Mathématique: Maximum de Vraisemblance et Efficacité

Universit´e Clermont Auvergne, ann´ee 2022-2023
L3 MATH/MIASHS Statistique Math´ematique
Feuille 4 : Maximum de vraisemblance et efficacit´e
Exercice 1. Remplir le tableau ci-dessous (pour un n-´echantillon i.i.d.).
Xüparam`etre(s) estimateur biais variance Consistance ?
`a estimer Efficacit´e ?
B(p)p
B(N, p)p
G(p) 1/p
P(λ)λ
N(m, σ2)m
σ2connu
N(m, σ2)σ2
mconnu
N(m, σ2) (m, σ2)
E(λ) 1/λ
γ(a, λ) 1/λ
U[0, b]b
Exercice 2. (suite de l’exercice 2 de la feuille 3).
Soit Xune variable al´eatoire discr`ete `a valeurs dans {−1,0,1}telle que
P(X= 0) = 1 −2θ, P(X= +1) = P(X=−1) = θ
avec θ∈]0,1/2[. Soit X1, . . . , Xnun n-´echantillon de X.
1. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Rn=Pn
k=1 1{Xi=0}
2. Exprimer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θen fonction de Rn.
3. Etudier ses propri´et´es : biais, convergence presque sˆure et en moyenne quadratique, efficacit´e.
Comparer cet estimateur avec celui trouv´e dans l’exercice 2 de la feuille 3.
Exercice 3. (suite de l’exercice 3 de la feuille 3).
Soit Xune variable al´eatoire `a valeurs dans [−1,1] admettant pour densit´e
f(x;a, b) = a1[−1,0](x) + (1 −a)1]0,1](x)
o`u a∈]0,1[, et soit X1, . . . , Xnun n-´echantillon de X.

1. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Rn=Pn
k=1 1{Xi∈]0,1]}.
2. Exprimer en fonction de Rnl’estimateur du maximum de vraisemblance de a.
3. Etudier ses propri´et´es : biais, convergence presque sˆure et en moyenne quadratique, efficacit´e.
Comparer cet estimateur avec celui trouv´e dans la feuille 3 de l’exercice 3.
Exercice 4. On rappelle que si V1, . . . , Vnsont des V.A. ind´ependantes, avec Vi∼γ(ai, θ), alors la V.A. V=Pn
i=1 Vi
suit la loi γ(a, θ), avec a=Pn
i=1 ai.
Soit Xune variable al´eatoire de loi de Pareto de param`etres α > 0 et β > 0, ayant pour densit´e
fα,β (x) = α βα
xα+1 1{x>β},
et soit X1, . . . , Xnun n-´echantillon de X.
1. Calculer E(X), E(X2) et V(X), en indiquant les conditions d’existence de ces moments.
2. On suppose que le param`etre βest connu.
(a) ´ Ecrire la vraisemblance de l’´echantillon.
(b) D´eterminer un estimateur Tnde αpar la m´ethode du maximum de vraisemblance.
(c) Montrer que Tnest un estimateur fortement consistant de α.
(d) D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Y= log(X/β).
En d´eduire la loi de Zn=Pn
i=1 log(Xi/β).
(e) Calculer E(Tn) et V(Tn).
En d´eduire que Tnest un estimateur consistant en moyenne quadratique de α.
(f) D´eduire de Tnun estimateur sans biais T∗
nde α. Est-il efficace ?
3. On suppose que le param`etre αest connu.
(a) D´eterminer un estimateur Wnde βpar la m´ethode du maximum de vraisemblance.
(b) D´eterminer la loi de Wn.
En d´eduire que Wnest un estimateur consistant en moyenne quadratique de β.
Exercice 5. On consid`ere un n-´echantillon X1,· · · , Xnd’une V.A. Xde densit´e
f(x) = x
σ2exp −x2 2σ21R+(x)
avec σ > 0 et o`u 1R+(x) est la fonction indicatrice de R+.
1. D´eterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ=σ2, not´e ˆ θMV
n.
2. D´eterminer l’esp´erance et la variance ˆ θMV
n.
En d´eduire que ˆ θMV
nest un estimateur sans biais et convergent en moyenne quadratique.
3. D´eterminer la borne de Cramer-Rao pour les estimateurs non biais´es du param`etre θ.
L’estimateur ˆ θMV
nest-il efficace ?
Exercice 6. On consid`ere un n-´echantillon X1,· · · , Xnd’une V.A. Xde densit´e
f(x) = 1
θexp −1 θ(x−γ)1[γ,+∞[(x),
o`u θ > 0 et γ∈R. D´eterminer un estimateur de (θ, γ) par la m´ethode du maximum de vraisemblance.