Circuits RC et RL : Analyse des circuits de premier ordre

CIRCUITS -I
Leçon 10 :.
Circuits de premier ordre
Sources d'information
Circuits électriques, James W. Nilsson, Susan A. Riedel
(Circuits électriques (Traduction de la huitième édition), Adnan Köksal, Cenk Toker, Hıdır Aşkar, Sevda Özdemir, Şölen Kumbay Yıldız, Gürhan Bulu, Haluk
Doğuş Sezer)
Principes fondamentaux des circuits électriques, C.K. Alexander, M.N.O. Sadiku
(Principes fondamentaux des circuits électriques (Traduction de la cinquième édition), Uğur Savaş Selamoğulları)
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Introduction
Jusqu'à présent, nous avons analysé des éléments passifs tels que des résistances, des condensateurs et des inductances, ainsi qu'un élément
actif (ampli-op). À partir de maintenant, nous allons considérer des circuits contenant des combinaisons binaires ou ternaires de ces éléments
passifs. Dans un premier temps, nous analyserons des circuits avec des résistances et des condensateurs (RC) ou des résistances et des
inductances (RL).
Dans l'analyse des circuits RC et RL, les lois de Kirchhoff sont utilisées comme dans l'analyse des circuits de résistance. Lorsque les lois de
Kirchhoff sont appliquées à des circuits composés uniquement de résistances, on obtient des équations algébriques, alors que des équations
différentielles, plus difficiles à résoudre que les équations algébriques, sont obtenues dans les circuits RC et RL. Les équations différentielles
obtenues lors de l'analyse des circuits RC et RL sont des équations du premier ordre. C'est pourquoi ces circuits sont appelés circuits du premier
ordre.
Il existe deux façons d'exciter les circuits RL et RC. La première concerne les conditions initiales des éléments de stockage dans le circuit.
Dans ces circuits, définis comme des "circuits sans source", que l'énergie est initialement stockée dans les éléments capacitifs et inductifs. Cette
énergie fait circuler le courant dans le circuit et l'énergie est progressivement dissipée dans les résistances. Bien que les circuits sans sources
n'aient pas de sources indépendantes par définition, il peut y avoir des sources dépendantes dans le circuit. La deuxième façon d'exciter les
circuits du premier ordre consiste à utiliser des sources indépendantes. Les sources indépendantes dont il sera question dans cette section sont des
sources de courant continu.

Circuit RC sans source
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Un circuit RC sans source se forme lorsque la source de courant continu qui alimente le circuit est soudainement déconnectée du
circuit. L'énergie stockée dans le condensateur est dissipée dans les résistances. Considérons la combinaison d'un condensateur initialement
chargé et d'une résistance connectée en série comme indiqué sur la figure.
Comme le condensateur a une charge initiale, on peut supposer qu'il existe une tension initiale à t=0. L'énergie
stockée correspondant à cette tension
est égal à Selon les directions de courant données dans le circuit de la figure peut être écrit. et
car
cela arrive.
Dans l'expression ci-dessus, les deux côtés de l'équation sont divisés par est obtenu.
Comme il n'y a ici que la dérivée du premier ordre de v, l'équation est une équation différentielle du premier
ordre.

Circuit RC sans source
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Une fois les ajustements nécessaires effectués, l'équation différentielle
peut s'écrire comme suit En prenant l'intégrale des deux côtés de cette équation,
est trouvé. Ici, le terme (ln A) est la constante intégrale.
peut s'écrire. Ici, les deux côtés de l'équation sont rendus exponentiels (sous la forme de ex),
s'écrit sous la forme La condition initiale A=Vo.
En conséquence, les
est obtenue. Cette solution montre que la réponse en tension du circuit RC est une tension initiale décroissant exponentiellement. Étant donné
qu'elle dépend de l'énergie initialement stockée et des caractéristiques physiques du circuit et qu'elle n'est pas due à une source de tension ou de
courant externe, cette réponse est appelée "réponse naturelle" du circuit.

Circuit RC sans source
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La réponse naturelle d'un circuit est le comportement du circuit lui-même (en termes de courants ou de tensions) sans excitation externe. La
réponse naturelle est représentée graphiquement ci-dessous. La tension, dont la condition initiale est t=0, diminue vers zéro au fur et à mesure que
le temps augmente. Le taux de diminution de la tension est exprimé en termes de "constante de temps" et est désigné par τ.
Pour que la constante de temps d'un circuit diminue jusqu'à 1/e fois ou 36,8 % de la valeur initiale de la réponse du circuit
est le temps nécessaire. Cette définition permet de trouver t=τ comme et τ =RC. Le tableau ci-dessous
montre que la valeur de v(t) est inférieure à 1 % de la valeur initiale de Voaprès cinq constantes de temps (5τ). Par conséquent, on suppose
généralement que le condensateur est entièrement déchargé (ou chargé) après 5τ de temps.