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Universit´e Alioune Diop de Bambey Ann´ee acad´emique 2024-2025
UFR SATIC, D´epartement de Math´ematiques
Licence 1 MPCI Premier Semestre
Travaux dirig´es 3
Exercice 1(TPE) Dans l’ensemble des entiers naturels, on consid`ere les trois ensembles suivants:
A={1; 3; 5; 7; 9}B={1; 2; 3; 4; 5; 6}et C={5; 6; 7; 8; 9; 10}.
D´eterminer les ensembles suivants: A;B\A;A∪B∪C;C∩Bet A∪(B∩C).
Exercice 2 Dans l’ensemble des nombres r´eels, on consid`ere les trois ensembles suivants:
A= [4; 12]; B={x∈R/|x| ≤ 5}et C=N.
Donner l’expression la plus simple possible pour chacun des ensembles suivants:
A∪B;A∩C;A∩C;R\B; (A∪B)∩C;A∪(B∩C) et A∩(B∪C).
Exercice 3 Soient A, B et Ctrois parties d’un ensemble E. Montrer que
1. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
2. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble E. Montrer que
3. A∪B=A∩B.
4. A∩B=A∪B..
Exercice 4 Soit Eun ensemble non vide.
1. Soient Aet Bdeux parties de E.
(a) D´emontrer que A⊂B⇔A∪B=B.
(b) D´emontrer que A=B⇔A∩B=A∪B.
2. Soient A, B et Ctrois parties de E.
(a) D´emontrer que A∪B=A∩C⇔B⊂A⊂C.
(b) D´emontrer
A∪B=A∪C
A∩B=A∩C⇔B=C.
Exercice 5(TPE) Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble E. On appelle diff´erence de Aet B
l’ensemble
A\B={x∈E/x ∈Aet x6∈ B}=A∩CEB.
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1. Justifier que CEA\CEB=B\A.
2. D´emontrer que pour tous A, B, C parties de E, on a:
(a) (A∪B)\C= (A\C)∪(B\C)
(b) (A∩B)\C= (A\C)∩(B\C)
(c) (A\B)\C=A\(B∪C).
Exercice 6 Soient Aet Bdeux parties d’un ensemble E. On appelle diff´erence sym´etrique de A
et Bl’ensemble
A∆B= (A\B)∪(B\A).
1. Montrer que: A∆B= (A∩B)∪(A∩B) = (A∪B)\(A∩B).
2. D´eduire A∆A,A∆∅,A∆Eet A∆CEA.
3. D´emontrer que pour tous A, B, C parties de E, on a:
(a) (A∆B)∩C= (A∩C)∆(B∩C)
(b) (A∆B)∪C= (A∪C)∆(B∪C)
Exercice 7 Dans N×N, on d´efinit la relation ≺par:
∀(a, b)∈N2,∀(a0, b0)∈N2,(a, b)≺(a0, b0)⇔a≤a0et b≤b0.
1. Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. Cet ordre est-il total?
2. Soit A={(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5)}.
(a) D´eterminer des minorants de A, des majorants de A.
(b) A admet-il un plus grand ´el´ement ? un plus petit ´el´ement ? une borne sup´erieure ? une
borne inf´erieure ?
Exercice 8 Dans N∗, on d´efinit une relation Ren posant pour tout m, n ∈N∗:
mRns’il existe k∈N∗, n =km.
1. Montrer que Rest une relation d’ordre partiel sur N∗.
2. Soient (N∗,R) un ensemble partiellement ordonn´e et A={4,5,6,7,8,9,10}une partie de
N∗.
(a) Rappeler la d´efinition du plus petit ´el´ement et du plus grand ´el´ement de A.
(b) L’ensemble Aposs`ede-t-il un plus grand ´el´ement ? Un plus petit ´el´ement ?
Exercice 9 Soit α∈Ndonn´e, on d´efinit la relation Rdans Npar:
∀(x, y)∈N2, xRy⇔(x+y=αou x=y).
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1. Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
2. Pour x∈N, d´eterminer la classe d’´equivalence de x.
Exercice 10(TPE) Soient Eun ensemble fini non vide et xun ´el´ement fix´e de E. Les relations
Rd´efinies ci-dessous sont-elles des relations d’´equivalences sur P(E)?
1. ∀A, B ∈ P(E), ARB⇔A=B.
2. ∀A, B ∈ P(E), ARB⇔A⊂B.
3. Soit x∈E, ∀A, B ∈ P(E), ARB⇔x∈A∪B.
4. Soit x∈E, ∀A, B ∈ P(E), ARB⇔(x∈A∩Bou x∈A∩B).
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