analyse SMPC S2

D´ EPARTEMENT DE MATH ´ EMATIQUES
FACULT ´ E DES SCIENCES
UNIVERSIT ´ E MOULAY ISMA¨ IL-MEKN ` ES
Cours d’analyse 2
Fili` ere : SMPC
(Semestre II)
(Ce document ne peut en aucun cas remplacer les s´ eances de cours en pr´ esentiel)
Mohamed ZITANE
Ann´ ee universitaire :2018–2019

2018-2019 SMPC/Cours d’analyse II
Table des mati` eres
1 Int´ egrale Simple 1
1.1 Primitived’uneFonction ................................ 1
1.2 Int´ egrale d’une Fonction Continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Interpr´ etation G´ eom´ etrique............................... 3
1.4 Propri´ et´ es de l’Int´ egraleSimple ............................ 3
1.4.1 Lin´ earit´ e .................................... 3
1.4.2 RelationdeChasles............................... 3
1.4.3 Int´ egrales et In´ egalit´ es ............................. 4
1.4.4 In´ egalit´ e de la Moyenne - Formule de la Moyenne . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 SommesdeRiemann .................................. 8
1.6 Calcul Int´ egral ..................................... 9
1.6.1 Primitives des Fonctions Usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Int´ egrationparParties ............................. 9
1.6.3 Int´ egration par Changement de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.4 Int´ egrale des Fonctions Rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Applications....................................... 13
1.8 Exercices ........................................ 16
2 Int´ egrales G´ en´ eralis´ ees 18
2.1 D´ efinitions........................................ 18
2.2 Propri´ et´ es des Int´ egrales G´ en´ eralis´ ees ......................... 20
2.3 Calcul Pratique des Int´ egrales G´ en´ eralis´ ees ...................... 21
2.3.1 Utilisation des Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Int´ egrationparParties ............................. 21
2.3.3 Int´ egration par Changement de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Int´ egrales G´ en´ eralis´ ees des Fonctions ` a Signe Constant . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Crit` ere de la Convergence Major´ ee....................... 22
2.4.2 Crit` eredeCauchy ............................... 23
2.4.3 Crit` eredeComparaison ............................ 23
2.4.4 Crit` ere de N´ egligeabilit´ e............................ 23
2.4.5 Crit` ered’Equivalence ............................. 24
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2.4.6 Integrales de R´ ef´ erence............................. 24
2.5 Int´ egrales Absolument Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Exercices ........................................ 27
3 Equations Diff´ erentielles Lin´ eaires 29
3.1 Equations Diff´ erentielles du Premier Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 D´ efinition.................................... 29
3.1.2 Equation ` a Variables S´ epar´ ees ......................... 29
3.1.3 Equation Lin´ eaire................................ 30
3.1.4 ´ Equations Diff´ erentielles Particuli` eres..................... 32
3.2 Equations Diff´ erentielles Lin´ eaire du Second Ordre ` a Coefficients Constants . . . . 34
3.2.1 D´ efinition ................................... 34
3.2.2 R´ esolution de l’ ´ Equation Homog` ene ..................... 35
3.2.3 R´ esolution de l’ ´ Equation avec Second Membre . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Exercices ........................................ 41
4 S´ eries Num´ eriques 42
4.1 G´ en´ eralit´ es sur les S´ eries Num´ eriques ......................... 42
4.1.1 D´ efinitions ................................... 42
4.1.2 Nature d’une S´ erie Num´ erique......................... 42
4.1.3 Exemples.................................... 44
4.1.4 Crit` eredeCauchy ............................... 45
4.1.5 S´ eries Absolument Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 S´ eries ` aTermesPositifs................................. 47
4.3 S´ eries ` a Termes R´ eels de Signe Quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1 ProduitdeCauchy ............................... 53
4.4 Exercices ........................................ 54
5 Suites de Fonctions 55
5.1 Convergence d’une Suite de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1 ConvergenceSimple .............................. 55
5.1.2 ConvergenceUniforme............................. 56
5.2 Propri´ et´ es de la Convergence Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.1 Convergence Uniforme et Continuit´ e ..................... 57
5.2.2 Convergence Uniforme et Int´ egration ..................... 58
5.2.3 Convergence Uniforme et D´ erivation ..................... 58
5.3 Exercices ........................................ 59
6 S´ eries de Fonctions 60
6.1 Les Quatre Modes de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.1 D´ efinition ................................... 60
6.1.2 Convergence Simple d’une S´ erie de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1.3 Convergence Absolue d’une S´ erie de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 61
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6.1.4 Convergence Uniforme d’une S´ erie de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.5 Convergence Normale d’une S´ erie de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Les Grands Th´ eor` emes ................................. 63
6.2.1 Le Th´ eor` eme d’Interversion des Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.2 Continuit´ e de la Somme d’une S´ erie de Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.3 Int´ egration Terme ` aTerme........................... 65
6.2.4 D´ erivation Terme ` aTerme ........................... 66
6.3 Exercices ........................................ 68
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Chapitre 1
Int´ egrale Simple
1.1 Primitive d’une Fonction
D´ efinition 1.1. Soit fune fonction d´ efinie sur un intervalle Ide R.
On appelle primitive de fsur I,toute fonction Fd´ efinie sur Itelle que Fest d´ erivable et F0(x)=
f(x) pour tout x∈I.
Exemple 1.2. On a :
1. La fonction x7→ ln x+x3+x+1 est une primitive de x7→ 1
x+3x2+1 sur ]0,+∞[.
2. La fonction x7→ ex−1 est une primitive de x7→ exsur R.
Th´ eor` eme 1.3 (Existence de Primitives)
Soit fune fonction continue sur un intervalle I. Alors,
1. fadmet une infinit´ e de primitives sur I.
2. Si F1et F2sont deux primitives de f, alors la fonction F1−F2est constante.
Proposition 1.4
Soit fune fonction admettant une primitive Fsur un intervalle I. Soit aappartenant ` aIet
bun r´ eel. Alors il existe une et une seule primitive Gtelle que G(a)=b.
D´emonstration. On a vu qu’il existe une constante ktelle que pour tout x∈I,G(x)=F(x)+k. D’o` u
G(a)=bsi et seulement si F(a)+k=bc’est ` a dire k=b−F(a).
Exemple 1.5. : Il existe une unique primitive Fde x7→ xsur Rtelle que F(1) =2. En effet, les
primitives de x7→ xsont de la forme x7→ x2
2+ko`
ukest un r´ eel. F(1) =2 impose donc 1
2+k=2
d’o` uk=3
2.
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