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IMSP-UPN D´ecembre 2015
Classes Pr´eparatoires 2.
Syllabus: Suites et S´eries de Fonctions
L’objectif de ce cours ...
1. Introduction.
2. Quelques rappels sur les suites et les s´eries num´eriques.
2.1 D´efinitions.
2.2 Notations.
2.3 Limite inf´erieure et limite sup´erieure d’une suite num´erique.
2.4 Op´erations sur les s´eries: Addition; Multiplication externe; Multiplication de
Cauchy.
2.5 Notions de Convergence et de Convergence absolue pour les s´eries num´eriques.
2.6 Crit`ere de convergence de Cauchy.
2.7 Test de comparaison. Test du quotient. Test int´egral.
2.8 Th´eor`eme d’Abel.
2.9 Traduction de la convergence d’une suite par la convergence d’une sertaine s´erie:
un=u0+ (u1−u0)+(u2−u1) + . . . + (un−un−1).
3. Suites de fonctions num´eriques.
3.1 D´efinition.
3.2 Notions de Convergence simple, Convergence uniforme, Convergence compacte.
3.3 Th´eor`eme: N´ec´essit´e de la convergence simple pour la convergence uniforme.
3.4 Th´eor`eme: Continuit´e de toute limite uniforme de suites de fonctions continues.
3.5 Th´eor`eme de Dini : Convergence uniforme de toute suite monotone de fonctions
continues convergeant simplement vers une fonction continue sur un compact.
3.6 Crit`eres de convergences de Cauchy pour les suites de fonctions.
3.7 Th´eor`eme: Int´egrabilit´e au sens de Riemann et formule d’int´egration de la lim-
ite uniforme d’une suite de fonctions int´egrables au sens de Riemann sur un
intervalle born´e.
3.8 Th´eor`eme de la convergence domin´ee: Int´egrabilit´e au sens de Riemann et for-
mule d’int´egration de la limite simple d’une suite de fonctions int´egrables au sens
de Riemann et uniformement born´ee sur un intervalle born´e.
3.9 Th´eor`eme: D´erivabilit´e et formule de d´erivation de la limite simple d’une suite
de fonctions d´erivables dont la suite de fonctions d´eriv´ees converge uniformement
sur un intervalle non vide.
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4. S´eries de fonctions num´eriques.
4.1 D´efinition.
4.2 Notions de Convergence simple, Convergence absolue, Convergence normale,
Convergence uniforme.
4.3 Crit`eres de convergences de Cauchy pour les s´eries de fonctions.
4.4 Th´eor`eme: Int´egrabilit´e au sens de Riemann et formule d’int´egration terme par
terme d’une s´erie de fonctions int´egrables au sens de Riemann qui converge
uniformement sur un intervalle born´e.
4.5 Th´eor`eme: D´erivabilit´e et formule de d´erivation terme par terme de la limite
simple d’une s´erie de fonctions d´erivables dont la s´erie de fonctions d´eriv´ees
converge uniformement sur un intervalle non vide.
5. S´eries enti`eres.
5.1 D´efinition.
5.2 Rayon de Convergence. Domaine de convergence.
5.3 Op´erations alg´ebriques sur les s´eries enti`eres.
5.4 Th´eor`eme d’Abel.
5.5 Th´eor`emes d’int´egration terme par terme d’une s´erie enti`ere dans son domaine
de convergence.
5.6 Th´eor`emes d´erivation terme par terme d’une s´erie enti`ere dans son domaine de
convergence.
5.7 Fonctions d´eveloppables en s´eries ent`eres.
5.8 Applications.
6. S´eries de Fourier.
6.1 G´en`ese de l’analyse de Fourier: Corde vibrante; Equation de la chaleur; Formu-
lation du probl`eme.
6.2 Int´egration de fonctions p´eriodiques. Produit scalaire de L2. Syst`eme orthonor-
mal. Syst`eme orthonormal complet (base hilbertienne).
6.3 D´efinitions et exemples.
6.4 Unicit´e de la s´erie de Fourier.
6.5 Notion de convergence en moyenne quadratique des s´eries de Fourier.
R´esultat global.
In´egalit´e de Bessel. Identit´e de Parseval.
6.6 Crit`ere(s) de convergence simple pour une s´erie de Fourier.
Conditions de Dirichlet. R´esultat ponctuel ou local.
Existence d’une fonction continue et p´eriodique qui admet une s´erie de Fourier
divergente.
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Exemple d’une fonction continue et nulle part d´erivable: la s´erie de Fourier
lacunaire:
x7−→
∞
X
n=1
4−ncos (32nπx).
6.7 Th´eor`eme: Convergence absolue de la s´erie de Fourier de toute fonction p´eriodique
de classe C1par morceaux.
6.8 Th´eor`eme de Bernstein: Convergence absolue de la s´erie de Fourier de toute
fonction p´eriodique de H¨
older Cαavec α > 1
2.
6.9 Applications.
R´ef´erences
1. Guinin, D. et Joppin, B.: Pr´ecis de Math´ematiques. Tome 3. Analyse et G´eom´etrie.
MPSI 1`ere ann´ee. Br´eal, Paris 2014.
2. Freslon, J.; Poineau, J.; Fredon, D. et Morin, C. : Math´ematiques. Exercices incon-
tournables MP. Dunod Paris 2010.
3. Riley, K.F.; Hobson, M.P. and Bence, S. J.: Mathematical Methods for Physics and
Engineering. 2nd Edition. Camgbridge 2002.
4. Ross, K.A. : Elementary Analysis. The Theory of Calculus. Springer 2013.
5. Stein, E.M. and Shakarchi, R. : Fourier Analysis. An introduction. Princeton Uni-
versity Press 2003.
6. Godement, R. : Analyse Math´ematique I. Convergence, Fonctions ´el´ementaires.
Springer 1998.
7. Amann, H. and Escher, J. : Analysis II. Birkhauser 1999.
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“ Some years ago, the mathematician J. Hubbard was asked to testify before a sub-
committee of the U.S. House of Representatives concerned with science and technology.
He was preceded by a chemist from DuPont who spoke of modeling molecules, and by an
official from the Geophysics Institute of California, who spoke of exploring for oil and
attempting to predict tsunamis.
When it was his turn, he explained that when chemists model molecules, they are solving
Schr¨
odinger’s Equation. that exploring for oil requires solving Gelfand-Levitan Equation,
and that predicting tsunamis means solving Navier-Stokes equation. Astounded, the chair-
man of the committee interrupted him and turned to the previous speakers. “Is that true,
what Prof. Hubbard says?” he demanded. “Is it true that what you do is to solve equa-
tions? ”
In basic (advanced) Mathematics, apart from “solving equations” by applying (proving)
suitable existence theorems, an another crucial work is to find limits of which concepts
were rigorously formalized by Cauchy. In fact
“Cauchy established in 1821 new requirements of rigor in his celebrated Cours d’Analyse.
The questions he raised are the following:
- What is a derivative really? Answer: a limit.
- What is an integral really? Answer: a limit.
- What is an infinite series really? Answer: again a limit.
...”
If you are not aware that these three notions are really limits, it is just because you are
used to applying corresponding theorems!
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