LYDEX MP1e Ondes-01 Ondes mécaniques Cours (1)

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Ondes à 1 dimension
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Table des matières
1. Introduction. ....................................................................................................................... 2
2. Etude de la corde vibrante. ................................................................................................. 2
2.1. Présentation et modélisation. ....................................................................................... 2
2.2. Etablissement de l’équation d’onde. ............................................................................ 3
2.3. Solutions de l’équation de d’Alembert : ondes progressives. ..................................... 6
2.3.1. Forme générale des solutions. .............................................................................. 6
2.3.2. Solutions harmoniques. ........................................................................................ 7
2.3.3. Superposition de solutions harmoniques. ............................................................. 9
2.4. Solutions de l’équation de d’Alembert : ondes stationnaires. ................................... 10
2.4.1. Présentation. ....................................................................................................... 10
2.4.2. Forme générale des solutions en ondes stationnaires. ........................................ 10
2.4.3. Cas où la corde est fixée à ces deux extrémités. ................................................ 11
2.4.4. Cas où la corde est forcée à osciller sinusoïdalement. ....................................... 14

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1. Introduction.
➢ L’objectif de ce chapitre est d’introduire la notion d’onde et de propagation sur des
exemples concrets. Nous verrons que ces phénomènes issus de différents domaines de
la physique sont liés à une équation (équation de d’Alembert) dont on étudiera les
solutions.
➢ Exemples d’ondes :
o Vagues (houle, tsunami, vaguelettes après la chute d’un caillou dans un lac,…)
o Ondes sonores
o Ondes électromagnétiques (radio, TV, GSM, rayons X,…)
o Ondes sismiques
o Ondes électriques (dans les câbles)
o Corde vibrantes (instruments de musique)
➢ Plus généralement, on appelle onde le phénomène de propagation à la suite d’une
perturbation d’une grandeur physique appelée vibration (hauteur d’eau, pression,
champ électrique ou magnétique,…). Cette propagation se fait sans transport de
matière.
2. Etude de la corde vibrante.
➢ Vidéo(s) Prépa digitale à voir pour cette partie :
• Ondes transversales sur une corde vibrante : étude de la corde vibrante :
équation d’onde
• Ondes transversales sur une corde vibrante : étude de la corde vibrante :
solution de l’équation d’onde
2.1.Présentation et modélisation.
➢ On s’intéresse aux petits mouvements transversaux d’une corde dont une extrémité est
soumise à une force T0 constante (par exemple réalisée grâce à une masse M) :

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➢ Hypothèses d’étude :
o Corde sans raideur (donc sans élasticité),
o Corde homogène, de masse linéique constante ,
o Corde de longueur L constante,
o A l’équilibre la tension T0 est suffisante pour supposer que la corde est
horizontale. On note y(x,t) la hauteur de la corde par rapport à l’équilibre à
l’abscisse x et à l’instant t.
o Les effets de la pesanteur sont négligés devant la tension T0.
o On étudie les petites variations, l’angle (x,t) entre la corde et l’horizontal est
donc toujours faible.
o On suppose le référentiel d’étude R galiléen.
o On suppose l’absence de mouvement selon l’axe (Ox).
2.2.Etablissement de l’équation d’onde.
➢ Considérons un élément de corde situé entre les abscisses x et x+dx :

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➢ Quelques remarques :
o L’équation aux dérivées partielles obtenue :
0
12
2
22
2=
−
ty
cxy
est appelée
équation de d’Alembert à une dimension (ou équation des ondes à une
dimension). La constante c>0 représente la célérité des ondes.
o La célérité
0
T
c=
est bien homogène à une vitesse, en effet :
o L’équation de d’Alembert est invariante par symétrie spatiale et par renversement
du temps : le phénomène décrit par une telle équation est par essence réversible.
C’est cohérent car dans nos deux modélisations (chaines d’oscillateurs et corde
vibrante), il n’y a pas de phénomène de dissipation d’énergie.
o L’équation de d’Alembert est une équation aux dérivées partielles linéaire : la
résolution d’un problème nouveau peut se faire par superposition de solutions
particulières connues. On peut aussi chercher à résoudre l'équation dans le plan
complexe et prendre pour solution la partie réelle de la solution complexe
trouvée.
o La déformation de la corde s’effectue perpendiculairement à la direction de
propagation. Une telle onde est dite transversale et une description complète
nécessite une représentation vectorielle de cette onde, le vecteur traduisant la
déformation étant contenu dans le plan (Myz) perpendiculaire à (Ox) (direction
de propagation).
Une onde transversale présente différents états de polarisation, caractérisant la
direction que prend la « vibration » associée à l’onde au cours de sa
propagation. Ainsi, si le vecteur décrivant la déformation de la corde :
▪ conserve au cours du temps une direction fixe, la polarisation est dite
rectiligne,
▪ conserve une norme constante mais tourne autour de l’axe (Ox) de la
corde, la polarisation est dite circulaire,
▪ tourne autour de l’axe (Ox) de la corde et de norme variable, la
polarisation est dite elliptique.