Cours-Integration

Int´egration TaleS
I - Aire sous une courbe :
Int´egrale d’une fonction continue positive
Soit fune fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
On note Cfsa repr´esentation graphique dans un rep`ere ortho-
normal (O;~ i,~ j).
On cherche `a d´eterminer l’aire du domaine Dsitu´e sous la
courbe repr´esentative Cfde f.
L’unit´e d’aire est donn´ee par le rep`ere (O;~ i,~ j) : l’unit´e d’aire
est l’aire du rectangle OIKJ.
Plus pr´ecis´ement, le domaine Dest l’ensemble des points
M(x;y) tels que a≤x≤b, et 0 ≤y≤f(x). a b
Cf
~
i
~
j
O
K
I
J
Cette aire s’appelle l’int´egrale de la fonction fde a`a b; on la note Zb
a
f(x)dx.
Les graphiques suivants donnent la courbe repr´esentative d’une fonction f. D´eterminer dans chacun
des cas un encadrement de l’int´egrale Z6
2
f(x)dx.
2
2
4
4
6
6
8
8
Cf
~
i
~
j
O
2
2
4
4
6
6
8
8
Cf
~
i
~
j
O
··· ≤ Z6
2
f(x)dx ≤...
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1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
Cf
~
i
~
j
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
Cf
~
i
~
j
O
··· ≤ Z6
2
f(x)dx ≤...
2
2
4
4
6
6
8
8Cf
~
i
~
j
O
2
2
4
4
6
6
8
8Cf
~
i
~
j
O
··· ≤ Z6
2
f(x)dx ≤...
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La situation pr´ec´edente est g´en´eralisable : soit fune fonction continue et positive sur [a;b].
On d´ecoupe l’intervalle [a;b] en nintervalles de longueurs ∆x=b−a
n:
[x0;x1] ; [x1;x2] ; [x2;x3] ; ... ; [xn−1;xn]
avec x0=a,x1=a+ ∆x,x2=x1+ ∆x, . . .La suite (xp) des abscisses est une suite arithm´etique de
raison ∆x. En particulier, pour tout entier k, la k`eme abscisse est xk=x0+k∆x.
Cf
~
i
~
j
O
f(x0)
f(x1)
f(x2)
f(xn−1)
x0 =ax1x2x3xn−1xn =b
∆x∆x∆x∆x
Cf
~
i
~
j
O
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(xn−1)
f(xn)
x0 =ax1x2x3xn−1xn =b
∆x∆x∆x∆x
Dans les deux cas, l’aire gris´ee est la somme des aires de chaque rectangle qui la compose :
sn=f(x0)∆x+f(x1)∆x+... +f(xn−1)∆x
=
n−1
X
k=0
f(xk)∆x
Sn=f(x1)∆x+f(x2)∆x+... +f(xn)∆x
=
n
X
k=1
f(xk)∆x
L’aire hachur´ee est comprise entre ces deux aires gris´ees : sn≤Zb
a
f(x)dx ≤Sn
Ces deux suites (sn) et (Sn) sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune qui est
l’aire recherch´ee : l’int´egrale de fde a`a b.
Remarque 1 : La notation Zb
a
f(x)dx (introduite par Leibniz, et/ou Newton, au XVIIesi`ecle) s’explique
`a partir des calculs d’aire pr´ec´edents, `a la limite o`u ∆x→0, et donc n→+∞, not´ee finalement dx
(largeur infinit´esimale), et le symbole Xse transformant en Z:
Zb
a
f(x)dx = lim
∆x→0
n
X
k=1
f(xk) ∆x
Remarque 2 : La variable xest dite muette. La lettre qui la d´esigne n’a pas d’importance :
Zb
a
f(x)dx =Zb
a
f(t)dt =Zb
a
f(u)du =Zb
a
f(α)dα =...
Exercice 1Calculer les int´egrales suivantes : I=Z1
0
x dx,J=Z3
1
(2t+ 1) dt, et K=Z3
−2|x|dx.
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Exercice 2Calculer l’int´egrale I=Z4
0
E(x)dx, o`u E(x) d´esigne la partie enti`ere de x.
Exercice 3Soit fla fonction d´efinie sur IR par l’expression f(x) = 4x−3.
D´eterminer de fa¸con explicite, pour tout r´eel t≥1, la fonction F(t) = Zt
1
f(x)dx.
II - Int´egrale d’une fonction continue de signe quelconque
D’une mani`ere plus g´en´erale, l’int´egrale d’une fonction fcontinue sur un intervalle [a;b] est l’aire
alg´ebrique du domaine compris entre la courbe repr´esentative de fet l’axe des abscisses.
1) Int´egrale d’une fonction continue n´egative
Soit fune fonction continue et n´egative sur un intervalle
[a;b], et Cfsa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthogonal
(O;~ i,~ j).
Dans ce cas, l’int´egrale de fde a`a best l’oppos´e de l’aire du
domaine Dcompris entre l’axe des abscisses et Cf:
Zb
a
f(x)dx =−aire (D)
a b
Cf
~
i
~
j
O
K
I
J
2) Int´egrale d’une fonction de signe quelconque
Pour une fonction fcontinue de signe quelconque sur
un intervalle [a;b], l’int´egrale de fest la somme des
aires alg´ebriques des domaines sur lesquels fgarde
un signe constant.
Zb
a
f(x)dx = aire (D1)−aire (D2)+aire (D3)−aire (D4)
a
b
Cf
~
i
~
j
O
1
2
3
4
On convient de plus que : Za
b
f(x)dx =−Zb
a
f(x)dx.
D´efinition Valeur moyenne d’une fonction
Soit fcontinue sur [a;b], avec a < b, alors la valeur moyenne de fsur [a;b]est le nombre
r´eel : 1
b−aZb
a
f(x)dx
III - Propri´et´es de l’int´egrale
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Propri´et´e Lin´earit´e Pour toutes fonctions fet gcontinues sur [a;b]et tout r´eel λ,
•Zb
af(x) + g(x)dx =Zb
a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx
•Zb
a
λf(x)dx =λZb
a
f(x)dx
Propri´et´e Relation de Chasles Soit fune fonction continue
sur [a;c], et soit bun r´eel de [a;c], alors
Zc
a
f(x)dx =Zb
a
f(x)dx +Zc
b
f(x)dx
Cf
a b c
Propri´et´e Positivit´e
•Si f(x)≥0pour tout x∈[a;b], alors Zb
a
f(x)dx ≥0
•Si f(x)≤0pour tout x∈[a;b], alors Zb
a
f(x)dx ≤0
Propri´et´e Ordre et int´egrale
Soit fet gdeux fonctions continues sur [a;b]telles que, pour tout xde [a;b],f(x)≤g(x),
alors Zb
a
f(x)dx ≤Zb
a
g(x)dx
D´emonstration : Pour tout x∈[a;b], f(x)≤g(x), et donc, g(x)−f(x)≥0.
D’apr`es la positivit´e de l’int´egrale, Zb
ag(x)−f(x)dx ≥0, et donc, d’apr`es la lin´erarit´e de
l’int´egrale, Zb
ag(x)−f(x)dx =Zb
a
g(x)−Zb
a
f(x)dx ≥0, d’o`u l’in´egalit´e de la propri´et´e.
Propri´et´e In´egalit´es de la moyenne
Soit fune fonction continue sur [a;b], avec a < b, telle
que, pour tout x∈[a;b],m≤f(x)≤M, alors
m≤1
b−aZb
a
f(x)dx ≤M
ou, de mani`ere ´equivalente,
m(b−a)≤Zb
a
f(x)dx ≤M(b−a)
a b
Cf
~
i
~
j
m
M
A=m(b−a)
A=M(b−a)
D´emonstration : Pour tout x∈[a;b], m≤f(x)≤M, et donc, d’apr`es la propri´et´e de l’ordre des
int´egrales :
Zb
a
m dx ≤Zb
a
f(x)dx ≤Zb
a
M dx
Or, Zb
a
m dx =m(b−a) et, Zb
a
M dx =M(b−a), d’o`u l’encadrement de la moyenne.
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