Analiza współczynników a,b,c funkcji kwadratowej.Daria Włodarczyk

1/21
Analiza geometryczna własności
współczynników a, b, c funkcji liniowej i
kwadratowej.
Analiza własności i możliwego
matematycznego zastosowania
ortocentrum oraz trójkątów związanych z
parabolą.
Daria Katarzyna Włodarczyk (Kujawa)
29.09.2024
Basa, Francja

2/21
Spis treści
1. Wstęp ................................................................................................................................................... 3
2. Przegląd literatury ............................................................................................................................... 4
3. Opis metody ........................................................................................................................................ 5
3.1 Wykreślanie wykresu funkcji y=ax+b ............................................................................................. 5
3.2 Wykreślanie wykresu funkcji y=ax2+bx+c ...................................................................................... 8
3.2 Cztery trojkąty związane ze współczynnikami funkcji kwadratowej. ........................................... 12
3.3. Parabola: skalowanie, własności, denicja, wykorzystanie. ....................................................... 14
3.4. Ortocentrum - własności i wykorzystanie. ................................................................................. 19
4. Informacja o źródłach ........................................................................................................................ 21

3/21
1. Wstęp
W ramach moich prywatnych badań matematycznych rozważałam problematykę konstrukcyjnej
trysekcji dowolnego kąta. Zagadnienie to, choć udowodnionie jako problem niemożliwy do rozwiązania,
pzoostaje świetnym sposobem na ćwiczenie rozumowania i myślenia geometrycznego. Doprowadziło
mnie to do przeprowadzenia dogłębnej analizy własności trójkątów równoramiennych oraz do
postawienia hipotezy, że opisy własności geometryczne trójkątów, a przede wszystkim opisy relacji
między położeniem pewnych szczególnych punktów trójkąta, są bezpośrednim źródłem formuł funkcji
y=ax2+bx+c, y=ax+b, y=a. Założyłam, że współczynniki a, b i c są realnymi wymiarami trójkątów, których
właściwości generują wykres funkcji i podjęłam poszukiwań tych trójkątów na wykresach funkcji.
Poszukiwania zakończyły się sukcesem, a analiza problematyki pozwoliła na opracowanie nowego
rozumienia wykresu funkcji kwadratowej.
Najbardziej interesującym wynikiem analizy jest powiązanie konstrukcji paraboli i trójkątów
równoramiennych. Pozwala to na opisanie własności paraboli z użyciem trójkątów szczególnych z nią
powiązanych, wyznaczających miejsca szczególne paraboli.
W wyniku analizy utworzyłam geometryczny sposób porządkowania zbioru nieskończonego trójkątów
na paraboli.
W wyniku analizy znalazłam nowe geometryczne obszary analizy rozkładów zmiennych wartości.
W wyniku analizy utworzyłam ogólną koncepcję trójukładu współrzędnych, na którym hipotetycznie
możliwe jest opracowanie analogicznych do funkcji kwadratowej dwuukładu współrzędnych,formuł
funkcyjnych, opisujących arytmetycznie wykresy określonych form geometrycznych, których
poszczególne punkty są wyznaczane zależnością trzech zmiennych. Trójukład współrzędnych i związana
z nim trójka uporządkowana współrzędnych, to interesujące kierunki rozwoju matematyki w dziedzinie
geometrii analitycznej.

4/21
2. Przegląd dotychczasowej wiedzy
Standardowy proces wyznaczania wykresu funkcji na kartezjańskim układzie współrzędnych polega na
przyjmowaniu wartości x i obliczaniu zwracanej przez daną funkcję wartości y dla przyjętego x. W ten
sposób otrzymuje się współrzędne punktów, które znajdują się na linii obrazującej funkcję (na wykresie
funkcji). Następnie nanosi się wyniki obliczeń dla jednego lub kilku takich punktów.
Obliczanie współrzędnych i umieszczanie na układzie współrzędnych kolejnych punktów daje coraz
wyraźniejszy obraz wykresu funkcji.
Metoda ta skupia uwagę użytkownika układu współrzędnych na wartościach x i y, zawężając
postrzeganie funkcji poprzez pryzmat jej współrzednych opisujących poszczególne punkty jej wykresu
względem przyjętej skali.
Wszystkie trzy wzory funkcji w postaciach ogólnych: y=ax2+bx+c, y=ax+b, y=a, mogą być wyrażone
wzorem funkcji kwadratowej o trzech współczynnikach, który przyjmuje wartość zero dla
poszczególnych z nich:
y=ax2+bx+c dla a≠0, funkcja kwadratowa,
y= ax2+bx+c dla a=0, b≠0 funkcja liniowa,
y=ax2+bx+c dla a=0, b=0, funkcja stała.
Dwa spośród trzech różnych współczynników, a oraz b, są nazywane tak samo „współczynnikiem
kierunkowym” w zależności od przyjmowanych wartości.
Nie udało mi się odnaleźć w literaturze źródeł opisujących współczynniki a,b,c w powiązaniu z trójkątem
wpisanym w wykres funkcji, na którym to trójkącie wykres ten jest budowany geometrycznie. Nie
znalazłam interpretacji wskazującej, że wymiary współczynników są zycznie zawsze obecne na
wykresie funkcji oraz że to własności jakiegokolwiek trójkąta decydują o własności wykresu paraboli.
Takie podejście to inny punkt widzenia na wykresy funkcji, to postrzeganie tego wykresu jako wyniku
własności geometrycznych trójkąta, nie zaś jako wyniku wzajemnych relacji par uporządkowanych (x,y).

5/21
3. Opis metody
Wykresy funkcji y=ax+c oraz y=ax2+bx+c mogą być nanoszone na kartezjański układ wspórzędnych bez
wykonywania standardowych obliczeń arytmetycznych dla poszczególnych punktów wykresu, jak to
odbywa się do tej pory.
Możliwe jest wykreślenie wykresu funkcji na układzie dwóch osi z podziałką lub, stosując jedynie
klasyczną konstrukcję geometryczną z użyciem cyrkla i lineału, na układzie dwóch prostych
prostopadłych, których punkt przecięcia przyjmujemy jako punkt zero obu osi.
Przyjmowana jednostka długości dla klasycznej konstrukcji geometrycznej jest dowolna, gdyż cała
konstrukcja jest doskonale proporcjonalna i oparta na opisanych przez wzór funkcji własciwościach
określonych trójkątów powiązanych z daną formułą oraz jej wykresem.
3.1 Wykreślanie wykresu funkcji y=ax+b
Wykres funkcji y=ax+c to wykres budowany na trójkącie prostokątnym, którego jedna
z przyprostokątnych jest równoległa do osi X, druga do osi Y, a przeciwprostokątna i jej przedłużenia
stanowią wykres funkcji.
Współczynnik a to długość przyprostokątnej trójkąta, równoległej do osi X, a współczynnik c to
odległość tej przyprostokątnej od osi X.
Długość drugiej przyprostokątnej, równoległej do osi Y, przyjmuje zawsze wartość a2.
W takiej interpretacji wzoru y=ax+c współczynnik a to innymi słowy punkt, którego odległość pozioma
od osi Y wynosi określoną przyjętą wartość, a odległość, równoległa do osi Y, do linii wykresu funkcji
wynosi kwadrat tej wartości.
Rysunek 1: Wykres funkcji y=1,5x-2 ze wskazanym trójkątem o wymiarach związanych ze współczynnikiem a, wykres
wygenerowany na stronie hps://www.desmos.com/calculator?lang=pl, wskazanie trójkąta: opracowanie własne.