arith cours

Cours d’arithm´etique
Premi`ere partie
Pierre Bornsztein
Xavier Caruso
Pierre Nolin
Mehdi Tibouchi
D´ecembre 2004
Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-
parant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :
1. Premiers concepts
2. Division euclidienne et cons´equences
3. Congruences
4. ´ Equations diophantiennes
5. Structure de Z/nZ
6. Sommes de carr´es
7. Polynˆomes `a coefficients entiers
8. Fractions continues
Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres
forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours.
Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire
possible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees
lorsqu’elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons
au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture du second.
Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour
traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.
Vous trouverez `a la fin de chaque chapitre une s´erie d’exercices de difficult´e variable mais
indiqu´ee par des ´etoiles1. Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.
Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture.
1Plus nous avons jug´e l’exercice difficile, plus le nombre d’´etoiles est important.
1

Liste des abbr´evations :
AMM American Mathematical Monthly
APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad
CG Concours g´en´eral
OIM Olympiades Internationales de Math´ematiques
SL Short List
TDV Tournoi Des Villes
Liste des notations :
∅ensemble vide
Nensemble des entiers naturels (positifs ou nuls)
N?ensemble des entiers naturels strictement positifs
Zensemble des entiers relatifs
Qensemble des nombres rationnels
Rensemble des nombres r´eels
Psymbˆole de sommation2
Qsymbˆole de produit3
a|b a divise b
[x] partie enti`ere de x
{x}partie d´ecimale de x
pgcd plus grand commun diviseur
a∧bpgcd (a, b)
ppcm plus petit commun multiple
a∨bppcm (a, b)
a≡b(mod N)aest congru `a bmodulo N
pun nombre premier
vp(n) valuation p-adique de n
d(n) nombre de diviseurs positifs de n
σ(n) somme des diviseurs positifs de n
ϕfonction indicatrice d’Euler
sb(n) somme des chiffres de nen base b
π(n) nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a n
an. . . a0b´ecriture en base b
n! factorielle de n:n! = 1 ×2× ··· × n
Ck
ncoefficient binomial : Ck n=n!
k!(n−k)!
un∼vnles suites (un) et (vn) sont ´equivalentes
2Une somme index´ee par l’ensemble vide est ´egale `a 0.
3Un produit index´e par l’ensemble vide est ´egale `a 1.
2

Table des mati`eres
1 Premiers concepts 4
1.1 Divisibilit´e..................................... 4
1.2 Nombrespremiers................................. 9
1.3 Valuation p-adique ................................ 12
1.4 Quelques fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Nombresrationnels................................ 15
1.6 Exercices...................................... 17
2 Division euclidienne et cons´equences 24
2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en base b................ 24
2.2 Algorithmed’Euclide............................... 27
2.3 Algorithme d’Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Exercices...................................... 32
3 Congruences 37
3.1 D´efinition, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ordred’un´el´ement................................ 39
3.4 Th´eor`emechinois................................. 40
3.5 Congruences modulo p.............................. 43
3.6 Congruences modulo pn............................. 45
3.7 Coefficientsbinomiaux .............................. 47
3.8 Exercices...................................... 51
4´ Equations diophantiennes 56
4.1 Quelquesr´eflexes ................................. 56
4.2 Utilisation des congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Descenteinfinie.................................. 62
4.4 ´ Equationsdedegr´e2 ............................... 65
4.5 ´ Equationsdedegr´e3 ............................... 68
4.6 Exercices...................................... 70
5 Corrig´e des exercices 75
5.1 Exercices de «Premiers concepts »....................... 75
5.2 Exercices de «Division euclidienne et cons´equences »............. 103
5.3 Exercices de «Congruences ».......................... 118
5.4 Exercices de «´ Equations diophantiennes »................... 143
3

1 Premiers concepts
Cette section, comme son nom l’indique, pr´esente le concept de base de l’arithm´etique,
`a savoir la divisibilit´e. On introduit ensuite les nombres premiers ce qui permet d’´enoncer le
th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique (c’est-`a-dire la d´ecomposition en facteurs premiers)
dans lequel les nombres premiers jouent le rˆole de briques ´el´ementaires pour la fabrication
des nombres.
1.1 Divisibilit´e
D´efinition 1.1.1 Si aet bsont deux entiers, on dit que adivise b, ou que best divisible
par a, s’il existe un entier qtel que b=aq. On dit encore que aest un diviseur de b, ou que
best un multiple de a. On le note a|b.
Propri´et´es
☞Si aet bsont deux entiers avec b6= 0, bdivise asi et seulement si la fraction a
best un
entier.
☞Tous les entiers divisent 0, et sont divisibles par 1.
☞Un entier nest toujours divisible par 1, −1, net −n.
☞Si a|b, et b|c, alors a|c.
☞Si a|b1, b2, . . . , bn, alors a|b1c1+b2c2+. . .+bncn, quels que soient les entiers c1, c2, . . . , cn.
☞Si adivise bet b6= 0, alors |a|6|b|.
☞Si adivise bet bdivise a, alors a=±b.
☞Si aet bsont deux entiers tels que an|bnpour un entier n>1, alors a|b.
Toutes les propri´et´es list´ees pr´ec´edemment sont imm´ediates, `a l’exception de la derni`ere dont
la d´emonstration n’est pas triviale sans bagage arithm´etique. Une preuve possible consiste
`a utiliser la caract´erisation de la divisibilit´e par les valuations p-adiques (voir paragraphe
1.3).
Voyons imm´ediatement deux exercices qui montrent comment on peut manipuler la no-
tion de divisibilit´e :
Exercice : Soient xet ydes entiers. Montrer que 2x+ 3yest divisible par 7 si et seulement
si 5x+ 4yl’est.
Solution : Supposons que 7 divise 2x+ 3y, alors il divise 6 (2x+ 3y)−7 (x+ 2y) = 5x+ 4y.
R´eciproquement si 7 divise 5x+ 4y, il divise 6 (5x+ 4y)−7 (4x+ 3y) = 2x+ 3y.√
Exercice : Pour quels entiers nstrictement positifs, le nombre n2+ 1 divise-t-il n+ 1 ?
Solution : Si n2+ 1 divise n+ 1, comme tout est positif, on doit avoir n2+ 1 6n+ 1, ce qui
n’est v´erifi´e que pour n= 1. On v´erifie ensuite que n= 1 est bien solution. √
4

Parties enti`eres
D´efinition 1.1.2 Si xest un r´eel, on appelle partie enti`ere de x, et on note [x], le plus
grand entier inf´erieur ou ´egal `a x. Ainsi, on a [x]6x < [x] + 1.
Remarque. On d´efinit aussi la partie d´ecimale de x, comme la diff´erence x−[x]. La partie
d´ecimale de xest souvent not´ee {x}. Cette notion est moins utilis´ee que la notion de partie
enti`ere et les conventions de notations sont moins usuelles `a ce propos : lors d’un exercice,
ou d’un expos´e, il est toujours de bon goˆut de commencer par pr´eciser les notations qui vont
ˆetre employ´ees par la suite.
Notons qu’il faut ˆetre prudent avec les nombres n´egatifs : autant pour les nombres positifs,
la partie enti`ere correspond au nombre auquel on retire ses chiffres apr`es la virgule, autant
ce n’est pas le cas pour les nombres n´egatifs. En effet, si on suit la d´efinition, on voit par
exemple que [−3,5] = −4.
Les parties enti`eres et parties d´ecimales ob´eissent `a quelques propri´et´es ´el´ementaires que
nous listons ci-dessous :
Propri´et´es ´el´ementaires
☞On a toujours x= [x] + {x}.
☞Pour tout r´eel x, on a x−1<[x]6x
☞Si xest entier, [x] = xet {x}= 0. Et r´eciproquement si l’une des deux ´egalit´es est
v´erifi´ee, alors xest entier.
☞[−x] = −[x]−1 sauf si xest entier, auquel cas [−x] = −[x].
☞Si xet ysont deux r´eels, [x]+[y]6[x+y]6[x]+[y] + 1.
☞Si m > 0 est un entier, alors il y a exactement [ x
m] multiples de mcompris entre 1 et
x.
La d´emonstration des propri´et´es consiste en de simples manipulations de la d´efinition et
principalement de l’in´egalit´e [x]6x < [x] + 1. Elle est laiss´ee au lecteur. On remarquera
que tr`es souvent les questions faisant intervenir des parties enti`eres se r´esument `a de la
manipulation d’in´egalit´es comme le montre par exemple l’exercice suivant :
Exercice : On suppose que 4n+ 2 n’est pas le carr´e d’un nombre entier. Montrer que pour
n>0, on a :
h√n+√n+ 1i=h√4n+ 2i
Solution : Remarquons tout d’abord que l’on a toujours l’in´egalit´e :
√n+√n+ 1 <√4n+ 2
En effet, en ´elevant au carr´e, on a `a comparer 2n+ 1 + 2√n2+net 4n+ 2, soit 2√n2+n
et 2n+ 1 et l’in´egalit´e devient ´evidente apr`es une nouvelle ´el´evation au carr´e.
Il reste `a prouver qu’il n’existe aucun entier ktel que :
√n+√n+ 1 < k 6√4n+ 2
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