Université Claude Bernard, Lyon 1 43, boulevard du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex, France Licence Sciences & Technologies Spécialité : Mathématiques Analyse 1- Automne 2014 Série d’exercices no 3 Limites et fonctions usuelles 1. Calculez les limites suivantes : (a) limx→∞ 2x+5 3x−4 (f) limx→∞ √ x2 + 2x + 5 − x √ (g) limx→−∞ x2 + 2x + 5 − x √ (h) limx→∞ ( x2 + x + 1 − (x + 1)) √ √ (i) limx→∞ x + 5 − x − 3 � √ √ (j) limx→∞ x + x − x 2 −4 (b) limx→2 xx−2 3 (c) limx→1 xx2 −1 −1 1 1 (d) limx→1 ( 1−x − 1−x 2) 1 (e) limx→0 √1+x−1 2. Fonctions circulaires (a) Quelle est la limite en 0 de sinx x ? (b) La fonction f (x) = sin(1/x) admet elle une limite en 0 ? (c) Calculez limx→0 x sin(1/x). (d) Calculez les limites suivantes : √ i. limx→0 sin(2x) x v. limx→1/2 cos(πx) 1−2x ii. limx→0 sin(2x) sin(3x) vi. limx→1/2 (2x2 + x − 1) tan(πx) vii. limx→0 ln(sin(3x)) ln(sin(2x)) iii. limx→0 tanx x 2 iv. limx→0 x sin(1/x) sin x viii. limx→0 cosxx−1 2 3. Exponentielle et logarithme (a) Rechercher dans R les solutions de 2 ln( x+3 ) = ln x + ln 3. 2 (b) Résoudre dans R2 le système suivant x + y = 55 et ln x + ln y = ln 700 (c) limx→∞ ln(x) − x. √ (d) limx→∞ ln2 (x) − x. (e) limx→∞ ln(x+1) . ln x √ 3 (f) limx→0 x ln (x). (g) limx→∞ exp x − x. 1 4. Montrez les équivalents suivant : (a) ln(1 + x) �0 (ex − 1) (c) x (b) 1−cos � 0 x2 2 √ x3 +4x2 �0 |x| x+2 (d) E(x) �∞ x 5. (a) Soit f une fonction telle que ∀n ∈ N, f (x) < 1/n. Montrez que limx→∞ f (x) = 0. (b) Soit f une fonction périodique qui admet une limite en +∞. Que peut on dire de f ? 6. Les fonctions suivantes sont elles continues ? (a) f (x) = xE(1/x) et f (0) = 1. (b) f (x) = x2 si 0 ≤ x < 1, f (x) = 2x − 1 si 1 ≤ x ≤ 2. (c) f (x) = x + √ x2 et f (0) = 1. x 7. On considère les fonctions fn (x) = xn sin(1/x). (a) Pour quel n a t-on fn continue en 0 ? (b) Pour quel n a t-on fn dérivable en 0 ? (c) Pour quel n a t-on fn C 1 en O ? 8. Soit f une fonction continue sur [0, 1] et telle que 0 ≤ f (x) ≤ 1 pour tout x ∈ [0, 1]. Montrez qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = x0 . 2 Exercice 9 1) Donner un équivalent simple de ch x quand x tend vers +∞. 2) Vérifier que x ∼ x + 1 mais que ex #∼ ex+1 quand x tend vers +∞. ln x 3 2 3) Donner un équivalent raisonnablement simple de e(x+ x + x ) quand x tend vers +∞. √ √ h 4) Montrer que 3 1 + h − 1 ∼ quand h tend vers 0. En déduire un équivalent simple de 3 x3 + x − x quand 3 x tend vers +∞. Exercice 10 Quel est le domaine de définition de la tangente hyperbolique ? Rappeler la forme de son graphe. Résoudre 1 les équations suivantes, d’inconnue réelle x : th x = 4 puis th x = . 2 Exercice 11 Montrer que pour tous u et x réels : ! x = sh u ⇐⇒ u = ln(x + x2 + 1). Exercice 12 Donner un exemple d’angle ϕ pour lequel Arcsin(sin(ϕ)) #= ϕ. Exercice 13 On s’intéresse aux deux fonctions à valeurs réelles : f : x (→ cos(Arccos(x)) et g : ϕ Arccos(cos(ϕ)). Préciser leurs ensembles de définitions respectifs Df et Dg , puis les ensembles image f (Df ) et g(Dg ). Les applications f et g sont-elles injectives ? Exercice 14 # "π π − ϕ , montrer que pour tout x ∈ [−1, 1], Arccos x + Arcsin x = . En utilisant la relation sin ϕ = cos 2 2