Université Claude Bernard, Lyon 1 Licence Sciences & Technologies
43, boulevard du 11 novembre 1918 Spécialité : Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, France Analyse 1- Automne 2014
Série d’exercices no3
Limites et fonctions usuelles
1. Calculez les limites suivantes :
(a) limx→∞
2x+5
3x−4
(b) limx→2x2−4
x−2
(c) limx→1x3−1
x2−1
(d) limx→1(1
1−x−1
1−x2)
(e) limx→01
√1+x−1
(f) limx→∞ √x2+2x+5−x
(g) limx→−∞ √x2+2x+5−x
(h) limx→∞(√x2+x+1−(x+1))
(i) limx→∞ √x+5−√x−3
(j) limx→∞ �x+√x−√x
2. Fonctions circulaires
(a) Quelle est la limite en 0de sin x
x?
(b) La fonction f(x)=sin(1/x)admet elle une limite en 0?
(c) Calculez limx→0xsin(1/x).
(d) Calculez les limites suivantes :
i. limx→0sin(2x)
√x
ii. limx→0sin(2x)
sin(3x)
iii. limx→0tan x
x
iv. limx→0x2sin(1/x)
sin x
v. limx→1/2cos(πx)
1−2x
vi. limx→1/2(2x2+x−1) tan(πx)
vii. limx→0ln(sin(3x))
ln(sin(2x))
viii. limx→0cos x−1
x2
3. Exponentielle et logarithme
(a) Rechercher dans Rles solutions de 2ln(x+3
2)=lnx+ln3.
(b) Résoudre dans R2le système suivant x+y=55et ln x+lny=ln700
(c) limx→∞ ln(x)−x.
(d) limx→∞ ln2(x)−√x.
(e) limx→∞
ln(x+1)
ln x.
(f) limx→0√xln3(x).
(g) limx→∞ exp x−x.
1
4. Montrez les équivalents suivant :
(a) ln(1 + x)�0(ex−1)
(b) 1−cos x
2�0x2
(c) √x3+4x2
x+2 �0|x|
(d) E(x)�∞x
5. (a) Soit fune fonction telle que ∀n∈N,f(x)<1/n. Montrez que limx→∞ f(x)=0.
(b) Soit fune fonction périodique qui admet une limite en +∞. Que peut on dire de f?
6. Les fonctions suivantes sont elles continues ?
(a) f(x)=xE(1/x)et f(0) = 1.
(b) f(x)=x2si 0≤x<1,f(x)=2x−1si 1≤x≤2.
(c) f(x)=x+√x2
xet f(0) = 1.
7. On considère les fonctions fn(x)=xnsin(1/x).
(a) Pour quel na t-on fncontinue en 0?
(b) Pour quel na t-on fndérivable en 0?
(c) Pour quel na t-on fnC1en O?
8. Soit fune fonction continue sur [0,1] et telle que 0≤f(x)≤1pour tout x∈[0,1].
Montrez qu’il existe x0∈[0,1] tel que f(x0)=x0.
2
Exercice 9
1) Donner un ´equivalent simple de ch xquand xtend vers +∞.
2) V´erifier que x∼x+ 1 mais que ex#∼ ex+1 quand xtend vers +∞.
3) Donner un ´equivalent raisonnablement simple de e(x+ln x
x+3
x)2quand xtend vers +∞.
4) Montrer que 3
√1+h−1∼h
3quand htend vers 0. En d´eduire un ´equivalent simple de 3
√x3+x−xquand
xtend vers +∞.
Exercice 10
Quel est le domaine de d´efinition de la tangente hyperbolique ? Rappeler la forme de son graphe. R´esoudre
les ´equations suivantes, d’inconnue r´eelle x:thx= 4 puis th x=1
2.
Exercice 11
Montrer que pour tous uet xr´eels :
x=shu⇐⇒ u= ln(x+!x2+1).
Exercice 12
Donner un exemple d’angle ϕpour lequel Arcsin(sin(ϕ)) #=ϕ.
Exercice 13
On s’int´eresse aux deux fonctions `a valeurs r´eelles :
f:x(→ cos(Arccos(x)) et g:ϕArccos(cos(ϕ)).
Pr´eciser leurs ensembles de d´efinitions respectifs Dfet Dg, puis les ensembles image f(Df)etg(Dg). Les
applications fet gsont-elles injectives ?
Exercice 14
En utilisant la relation sin ϕ=cos"π
2−ϕ#,montrerquepourtoutx∈[−1,1], Arccos x+ Arcsin x=π
2.
1
/
3
100%