Les polynômes

UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI, TIZI-OUZOU
FACULTE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT INFORMATIQUE
Alg`ebre 1 : Les polynˆomes
Polycopi´e r´edig´e pour les 1`ere ann´ee Ing´enieur Informatique :
Mme Lynda GOUMEZIANE
[e-mail]
´ecrit le : 21/09/2022

TABLE DES MATI` ERES
4 Les polynˆomes. 2
4.1 D´efinitions et notations ........................... 2
4.2 Op´erations sur les polynˆomes ....................... 4
4.2.1 Addition de polynˆomes ....................... 4
4.2.2 Structure de groupe commutatif sur K[X] : ............ 4
4.2.3 Multiplication par un scalaire ................... 5
4.2.4 Multiplication de polynˆomes .................... 6
4.2.5 Structure d’anneau commutatif sur K[X]............. 6
4.2.6 Notion d’ind´etermin´ee et notation. ................ 7
4.3 Arithm´etique des polynˆomes. ....................... 8
4.3.1 Division euclidienne ......................... 8
4.3.2 Divisibilit´e dans K[X]....................... 9
4.3.3 Polynˆome irr´eductible ....................... 9
4.4 D´erivation de polynˆome .......................... 10
4.5 Z´eros d’un polynˆome ............................ 11
4.6 Factorisation irr´eductible .......................... 14
4.6.1 Factorisation irr´eductible dans C[X]............... 14
4.6.2 Factorisation irr´eductible dans R[X]............... 14
1

CHAPITRE 4
LES POLYN ˆ OMES.
4.1 D´efinitions et notations
D´efinition 4.1.1 Un polynˆome formel :
Un polynˆome formel `a coefficients dans K(K´etant un anneau com-
mutatif int´egre.) est une suite (an)n∈Nsur K(i.e. d’´el´ements de K) dont
les termes sont tous nuls `a partir d’un certain rang N.
i.e. : il existe un N∈Ntel que : n>N=⇒an= 0.
On note :
Pnot. = (a0, a1, a2, a3, , ....., aN,0,0,0,0,0, ......)
o`u les aise nomment les coefficients du polynˆome et on note P∈K[X].
Remarque 1
1. On appelle polynˆome nul le polynˆome dont tous les coefficients sont
nuls et on le note 0K[X]= (0,0,0, ..........)
2. Deux polynˆomes sont ´egaux s’ils ont les mˆemes coefficients.
2

4.1. D´ efinitions et notations Chapitre 4. Les polynˆ omes.
D´efinition 4.1.2 Fonction polynomiale :
Pour tout polynˆome P∈K[x] : P= (a0, a1, a2, a3, ..., aN,0,0,0,0,0, ...)
on associe l’application ˜ P, de Kdans K, d´efinie par :
x7−→ ˜ P(x) = n
X
i=0
aixi
appel´ee fonction polynˆomiale associ´ee `a P.
D´efinition 4.1.3 Degr´e et valuation d’un polynˆome :
Soit Pun polynˆome non nul de K[X].
– Le plus grand entier naturel ntel an6= 0 est appel´e le degr´e de P.
Il se note deg(P).
– Le plus petit entier naturel ntel an6= 0 est appel´e la valuation de
P. Elle se note val(P).
D´efinition 4.1.4
Soit P= (an)n∈Nun polynˆome non nul de K[X].
– Le coefficient adeg(P)se nomme coefficient de plus haut degr´e de P.
– Le polynˆome Pest dit normalis´e si adeg(P)= 1.
Remarque 2
XPar convention deg(0K[X])=+∞et val(0K[X]) = −∞.
XOn a val(P)≤deg(P)pour tout P∈K[X]non nul.
D´efinition 4.1.5 Monˆome d’un polynˆome :
Un polynˆome P∈K[X]non nul est appel´e un monˆome si
val(P) = deg(P).
La fonction polynomiale ˜ Pde Kdans Kassoci´ee `a un monˆome Ps’ap-
pelle fonction monˆome.
3Charg´ee de cours L.Goumeziane—cours Alg`ebre 1— 1´ere ann´ee Ing´enieur Informatique

4.2. Op´ erations sur les polynˆ omes Chapitre 4. Les polynˆ omes.
4.2 Op´erations sur les polynˆomes
4.2.1 Addition de polynˆomes
D´efinition 4.2.1
Soient P= (an)n∈Net Q= (bn)n∈Ndeux polynˆomes de K[X].
On d´efinit le polynˆome P+Qde K[X]comme suit :
P+Q= (an+bn)n∈N.
Exemple
Soient P= (1,1,1,0,0, ...) et Q= (0,2,3,−1,0,0, ...), alors :
P+Q= (1,3,4,−1,0,0, ...).
Remarquons que l’on a :
^
(P+Q)(x) = 1+3x+4x2−x3= (1+x+x2)+(2x+3x2−x3) = f P(x)+ f Q(x).
Proposition 4.2.2
Soient Pet Qdeux polynˆomes de K[X].Ona:
–deg(P+Q)≤max{deg(P), deg(Q)}.
–val(P+Q)≥min{val(P), val(Q)}.
Remarque 3
– Si deg(P)6=deg(Q)alors deg(P+Q) = max{deg(P), deg(Q)}.
– Si val(P)6=val(Q)alors val(P+Q) = min{val(P), val(Q)}.
4.2.2 Structure de groupe commutatif sur K[X]:
On v´erifie les points suivants :
∗Pour tout P, Q, R ∈K[X], (P+Q) + R=P+ (Q+R).
∗Pour tout P∈K[X], P + 0K[X]= 0K[X]+P=P.
4Charg´ee de cours L.Goumeziane—cours Alg`ebre 1— 1´ere ann´ee Ing´enieur Informatique