Les polynômes

UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI, TIZI-OUZOU
FACULTE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT INFORMATIQUE
Algèbre 1 : Les polynômes
Polycopié rédigé pour les 1ère année Ingénieur Informatique :
M Lynda GOUMEZIANE
[email protected]
me
écrit le : 21/09/2022
TABLE DES MATIÈRES
4 Les polynômes.
4.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Addition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Structure de groupe commutatif sur K[X] : . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Multiplication de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Structure d’anneau commutatif sur K[X] . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Notion d’indéterminée et notation. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Arithmétique des polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Divisibilité dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Polynôme irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Dérivation de polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Zéros d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Factorisation irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Factorisation irréductible dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Factorisation irréductible dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
4
4
4
5
6
6
7
8
8
9
9
10
11
14
14
14
CHAPITRE 4
LES POLYNÔMES.
4.1
Définitions et notations
Définition 4.1.1 Un polynôme formel :
Un polynôme formel à coefficients dans K (K étant un anneau commutatif intégre.) est une suite (an)n∈N sur K (i.e. d’éléments de K) dont
les termes sont tous nuls à partir d’un certain rang N .
i.e. : il existe un N ∈ N tel que : n > N =⇒ an = 0.
On note :
P not.
= (a0, a1, a2, a3, , ....., aN , 0, 0, 0, 0, 0, ......)
où les ai se nomment les coefficients du polynôme et on note P ∈ K[X].
Remarque 1
1. On appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficients sont
nuls et on le note 0K[X] = (0, 0, 0, ..........)
2. Deux polynômes sont égaux s’ils ont les mêmes coefficients.
2
4.1. Définitions et notations
Chapitre 4. Les polynômes.
Définition 4.1.2 Fonction polynomiale :
Pour tout polynôme P ∈ K[x] : P = (a0, a1, a2, a3, ..., aN , 0, 0, 0, 0, 0, ...)
on associe l’application P̃ , de K dans K, définie par :
x 7−→ P̃ (x) =
n
X
i=0
ai xi
appelée fonction polynômiale associée à P .
Définition 4.1.3 Degré et valuation d’un polynôme :
Soit P un polynôme non nul de K[X].
– Le plus grand entier naturel n tel an 6= 0 est appelé le degré de P .
Il se note deg(P ).
– Le plus petit entier naturel n tel an 6= 0 est appelé la valuation de
P. Elle se note val(P ).
Définition 4.1.4
Soit P = (an)n∈N un polynôme non nul de K[X].
– Le coefficient adeg(P ) se nomme coefficient de plus haut degré de P .
– Le polynôme P est dit normalisé si adeg(P ) = 1.
Remarque 2
X Par convention deg(0K[X]) = +∞ et val(0K[X]) = −∞.
X On a val(P ) ≤ deg(P ) pour tout P ∈ K[X] non nul.
Définition 4.1.5 Monôme d’un polynôme :
Un polynôme P ∈ K[X] non nul est appelé un monôme si
val(P ) = deg(P ).
La fonction polynomiale P̃ de K dans K associée à un monôme P s’appelle fonction monôme.
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Chargée de cours L.Goumeziane—cours Algèbre 1— 1ére année Ingénieur Informatique
4.2. Opérations sur les polynômes
Chapitre 4. Les polynômes.
4.2
Opérations sur les polynômes
4.2.1
Addition de polynômes
Définition 4.2.1
Soient P = (an)n∈N et Q = (bn)n∈N deux polynômes de K[X].
On définit le polynôme P + Q de K[X] comme suit :
P + Q = (an + bn)n∈N.
Exemple
Soient P = (1, 1, 1, 0, 0, ...) et Q = (0, 2, 3, −1, 0, 0, ...), alors :
P + Q = (1, 3, 4, −1, 0, 0, ...).
Remarquons que l’on a :
f
(P^
+ Q)(x) = 1+3x+4x2 −x3 = (1+x+x2)+(2x+3x2 −x3) = Pf(x)+ Q(x).
Proposition 4.2.2
Soient P et Q deux polynômes de K[X]. On a :
– deg(P + Q) ≤ max{deg(P ), deg(Q)}.
– val(P + Q) ≥ min{val(P ), val(Q)}.
Remarque 3
– Si deg(P ) 6= deg(Q) alors deg(P + Q) = max{deg(P ), deg(Q)} .
– Si val(P ) 6= val(Q) alors val(P + Q) = min{val(P ), val(Q)}.
4.2.2
Structure de groupe commutatif sur K[X] :
On vérifie les points suivants :
∗ Pour tout P, Q, R ∈ K[X], (P + Q) + R = P + (Q + R).
∗ Pour tout P ∈ K[X], P + 0K[X] = 0K[X] + P = P .
4
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4.2. Opérations sur les polynômes
Chapitre 4. Les polynômes.
∗ Tout polynôme P = (an)n∈N ∈ K[X] admet un opposé qui est le polynôme
noté −P défini par :−P = (−an)n∈N.
En effet,P + (−P ) = (−P ) + P = 0K[X] pour tout P ∈ K[X].
∗ Pour tout P, Q ∈ K[X], P + Q = Q + P .
En résumé, on dit alors que l’ensemble K[X] muni de l’addition possède une
structure de groupe commutatif.
4.2.3
Multiplication par un scalaire
Définition 4.2.3
Soient P = (an)n∈N un polynômes de K[X] et α ∈ K.
On définit le polynôme α.P de K[X] comme suit :
α.P = (α.a0, α.a1, ....., α.an, 0, 0, .........)
Remarque 4
Pour tout P ∈ K[X] et α ∈ K∗,
deg(α.P ) = deg(P ) et val(α.P ) = val(P ).
Proposition 4.2.4
Cette loi possède les propriétés suivantes :
X Pour tout α ∈ K, P, Q ∈ K[X], α.(P + Q) = α.P + α.Q
X Pour tout (α, β) ∈ K2, P ∈ K[X], (α + β).P = α.P + β.P et
α.(β.P ) = (α.β).P
X Pour tout P ∈ K[X], 1.P = P .
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4.2. Opérations sur les polynômes
4.2.4
Chapitre 4. Les polynômes.
Multiplication de polynômes
Définition 4.2.5
Soient P = (an)n∈N et Q = (bn)n∈N deux polynômes de K[X].
On définit le polynôme P ×Q = (cn)n∈N avec cn = a0bn +a1bn−1 +...+anb0.
Proposition 4.2.6
Soient P et Q deux polynômes non nuls de K[X]. On a :
– deg(P × Q) = deg(P ) + deg(Q),
– val(P × Q) = val(P ) + val(Q).
Exemple
Soient P = (1, 0, 3, 0, 0, ...) et Q = (1, 2, , 00, ...). Alors :
P × Q = (1, 2, 3, 6, 0, 0, ...).
Remarquons que l’on a :
f
(P^
× Q)(x) = 1 + 2x + 3x2 + 6x3 = (1 + 3x2) × (1 + 2x) = Pf(x) × Q(x).
4.2.5
Structure d’anneau commutatif sur K[X]
En plus d’être un groupe commutatif pour +, l’ensemble K[X] possède
les propriétés suivantes :
Pour tous P, Q, R ∈ K[X], (P × Q) × R = P × (Q × R).
Pour tous P, Q ∈ K[X], P × Q = Q × P.
Pour tous P, Q, R ∈ K[X], P × (Q + R) = (P × Q) + (P × R).
Pour tout P ∈ K[X], P × 1K[X] = P où 1K[X] = (1, 0, 0, ....., 0, 0, .....).
En résumé (K[X], +, ×) est un anneau commutatif.
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4.2. Opérations sur les polynômes
4.2.6
Chapitre 4. Les polynômes.
Notion d’indéterminée et notation.
Définition 4.2.7
On appelle indéterminée le polynôme de K[X] noté X défini par
X = (0, 1, 0, 0, ..., 0, ...).
On vérifie alors que :
X 2 = X×X = (0, 0, 1, 0, 0, 0, ..., 0, ...) , X 3 = X 2×X = (0, 0, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...).
Par récurrence, on montre :
∀n ∈ N, X n = (0, 0, 0, ..., 0, 1, 0, ...)
où le coefficient 1 est placé au (n+1)-ième rang.
On convient que X 0 = 1K[X].
Ainsi le polynôme P = (a0, a1, a2, ..., an, ...) s’écrit aussi :
P = a0.(1, 0, 0, ...) + a1(0, 1, 0, 0..) + ... + an(0, 0, ...., 1, 0, 0, 0, .....)
=
a01K[X] + a1X + a2X 2 + ...anX n.
Remarque 5
Si λ ∈ K,
(λ, 0, 0, 0.......) + (a0, a1, ...., an, 0, 0, 0, ....) = (λ + a0, a1, ..., an, 0, 0, 0, ....)
(λ, 0, 0, 0.......) × (a0, a1, ...., an, 0, 0, 0, ....) = (λ.a0, λ.a1, ..., λ.an, 0, 0, 0, ...)
Il n’y a donc pas de contradiction à confondre le polynôme constant
(λ, 0, 0, .......) avec le scalaire λ, ce que’on va faire dorénavant.
Donc le polynôme P = (a0, a1, a2, ...., an, .....) sera noté :
a0 + a1X + a2X 2 + ...anX n =
7
i=n
X
i=0
ai X i
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4.3. Arithmétique des polynômes.
Chapitre 4. Les polynômes.
et les opérations sur les polynômes s’écrivent :
i=n
X
i=0
i
ai X +
α.
(
i=p
X
i=0
ai X i ) × (
i=n
X
i=0
i=n
X
i=0
j=q
X
j=0
i
bi X =
aiX i =
bj X j ) =
i=n
X
i=0
i=n
X
(ai + bi)X i
α.aiX i
i=0
k=p+q
X
ck X k où ck =
k=0
X
aibj
i+j=k
Exemple
(3 + 2X + 3X 2) + (7 + X − X 3) = (10 + 3X + 3X 2 − X 3)
et
(2 + 2X + 3X 2)(3 + 2X 2 + X 3) = (6 + 6X + 13X 2 + 5X 3 + 8X 4 + 3X 5).
Dans la suite nous allons considérer que (K, +, ×) n’est pas uniquement un
anneau commutatif intègre mais possède aussi une strucure de corps. Par
exemple (K, +, ×) est le corps (R, +, ×) ou (C, +, ×).
4.3
Arithmétique des polynômes.
4.3.1
Division euclidienne
Théorème 4.3.1
Soient deux polynômes A et B de K[X] avec B 6= 0.
Il existe un couple unique (Q, R) de polynômes de K[X] tels que A =
B × Q + R et deg(R) < deg(B).
– Détérminer ce couple c’est effectué la division euclidienne de A par B.
– Les polynômes A et B se nomment respectivement dividende et diviseur.
– Les polynômes Q et R se nomment respectivement quotient et reste.
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4.3. Arithmétique des polynômes.
Chapitre 4. Les polynômes.
Exemple
Soient A = X 4 + 2X 3 − X + 6 et B = X 3 − 6X 2 + X + 4 dans R[X].
La division euclidienne de A par B nous donne :
Q = X + 8 et R = 47X 2 − 13X − 26
Remarque 6
Si deg(A) < deg(B) alors Q = 0K[X] et R = A
4.3.2
Divisibilité dans K[X]
Définition 4.3.2
Soient A et B deux polynômes de K[X].
On dit que B divise A (ou que A est divisible par B) s’il existe Q ∈ K[X]
tel que A = B × Q.
Remarque 7
– Si B divise A alors deg(B) ≤ deg(A.)
– Le polynôme nul est divisible par n’importe quel polynôme de K[X].
– Pour tout α ∈ K∗, α.A divise A puisque A = (α.A). α1 .
4.3.3
Polynôme irréductible
Définition 4.3.3
Soit P ∈ K[X] tel que deg(P ) ≥ 1.
Le polynôme P est dit irréductible (ou premier) dans K[X] s’il admet
pour diviseur uniquement les polynômes de la forme α et α.P Où α ∈ K∗.
Dans le cas contraire on dit qu’il est réductible.
9
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4.4. Dérivation de polynôme
Chapitre 4. Les polynômes.
Exemple
Le polynôme X 2 + 1 est irréductible dans R[X] mais il est réductible dans
C[X] car X 2 + 1 = (X − i) × (X + i)
Remarque 8
• Si P ∈ K[X] et irréductible alors P 6= 0K[X].
• Tout polynôme P = a0 + a1X ∈ K[X] avec a1 6= 0 est irréductible dans
K[X].
4.4
Dérivation de polynôme
Définition 4.4.1
Soient n ≥ 1 et P = a0 + a1X + a2X 2 + ... + anX n un polynôme de
K[X].
0
On appelle polynôme dérivé de P le polynôme de K[X] noté P défini
par :
0
P = a1 + 2a2X + 3a3X 2 + ....nanX n−1.
0
On convient que si P = α avec α ∈ K alors P = 0.
Exemple
0
Si P = 3 + 2X 3 + 4X 5 alors P = 6X 2 + 20X 4
Remarque 9
0
Soit n ∈ N∗. Si deg(P ) = n alors deg(P ) = n − 1.
Proposition 4.4.2
Soient P, Q deux polynômes de K[X] et λ ∈ K. On a alors :
0
0
0
– (P + Q) = P + Q .
0
0
– (λ.P ) = λ.P .
0
0
0
– (P.Q) = P .Q + P.Q
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4.5. Zéros d’un polynôme
Chapitre 4. Les polynômes.
Définition 4.4.3 Dérivée d’ordre n :
Soit P ∈ K[X]. On définit par récurrence le polynôme dérivé d’ordre
n du polynôme P comme suit :
P (0)
= P,
0

 ∀n ∈ N∗ ,
P (n+1) = (P (n))



4.5
Zéros d’un polynôme
Définition 4.5.1
Soit P un polynôme de K[X]. On dit que α est un zéro (ou racine)
de P si
Pf(α) = 0
où Pf est la fonction polyômiale associée à P.
Proposition 4.5.2
Soit P un polyôme de K[X].
L’élément α de K est une racine de P si, et seulement si X − α devise
P.
Exemple
Le polynôme P = 5X 2 − 25X + 30 de R[X] admet pour racine les deux
réels 2 et 3 puisque :
– Pf(2) = Pf(3) = 0.
– Il est donc divisible par X − 2 et par X − 3, on obtient : P = 5(X −
2)(X − 3).
Définition 4.5.3
11
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4.5. Zéros d’un polynôme
Chapitre 4. Les polynômes.
Soient P ∈ K[X] et α ∈ K.
On dit que α est une racine de multiplicité m de P s’il existe un polynôme Q de K[X] tel que P = (X − α)mQ et Q(α) 6= 0.
En particulier la racine est appelée racine simple de P lorsque m = 1,
racine multiple de P lorsque m > 1.
Exemple
Considérons le polynôme P = X 5 − X 3 − X 2 + 1 de R[X].
– Il admet une racine simple qui est −1 car il existe Q1 ∈ R[X] avec :
Q1(−1) 6= 0 tel que P = (X + 1)Q1, Q1 = (X 4 − X 3 − X + 1).
Le polynôme Q1 s’obtient en effectuant la division euclidienne de P par
X + 1.
– Il admet une racine (zéro) double qui est 1 car il existe Q2 ∈ R[X] avec :
Q2(1) 6= 0 tel que P = (X − 1)2Q2, Q2 = X 3 + 2X 2 + 2X + 1.
– Donc il existe un polynôme Q ∈ R[X] avec Q(1) 6= 0 et Q(−1) 6= 0 tel
que P = (X + 1)(X − 1)2Q.
– Le polynôme Q on l’obtient par la division eucldienne de P par le polynôme (X + 1)(X − 1)2, Q = X 2 + X + 1.
D’une manière plus générale on a la proposition suivante :
Proposition 4.5.4
Soit P ∈ K[X]. Si les scalaires α1, α2,....αk de K sont des racines
distinctes de P , de multiplicités respectives m1, m2,....mk , alors il existe
un polynôme Q de K[X] tel que :
P = (X − α1)m1 (X − α2)m2 ...(X − αk )mk Q
avec Q(αi) 6= 0 pour i = 1, k.
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4.5. Zéros d’un polynôme
Chapitre 4. Les polynômes.
Remarque 10
Si P = (X − α1)m1 (X − α2)m2 ...(X − αk )mk Q, alors ,en passant aux
degrés, on a :
deg(P ) = m1 + m2 + ...mk + deg(Q).
Ainsi, la somme des multiplicités des racines distinctes d’un polynôme
est inférieure ou égale au degré de ce dernier :
m1 + m2 + ...mk ≤ deg(P ).
Par conséquent : Tout polynôme P ∈ K[X] de degré n ≥ 1 possède au
plus n zéros distincts dans K.
Il peut bien sûr n’en posséder aucun zéros.
La proposition suivante met en évidence le lien entre la multiplicité d’un zéro
d’un polynôme et ses polyômes dérivés :
Proposition 4.5.5
Soit P un polynôme de K[X]. Le scalaire α ∈ K est une racine de
multiplicité m de P si et seulement si
Pf(α) = Pf(1)(α) = Pf(2)(α) = ....Pf(m−1)(α) = 0
et
Pf(m)(α) 6= 0.
Exemple
Soit P = X 3 − 3X + 2 ∈ R[X].
On a P (1) = 3X 2 − 3 et P (2) = 6X. P admet 1 pour racine double car
Pf(1) = Pf(1)(1) = 0 et Pf(2)(1) 6= 0.
Théorème 4.5.6 (D’Alembert-Gauss)
Tout Polynôme de C[X] de degré n ≥ 1 admet au moins une racine
dans C.
13
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4.6. Factorisation irréductible
Chapitre 4. Les polynômes.
Ainsi, tout polynôme de C[X] de degré n ≥ 1 admet n racines dans C, en
comptant chaque racine autant de fois que son ordre de multiplicité.
Les seuls polynômes irréductibles dans C[X] sont les polynômes de degré 1.
4.6
Factorisation irréductible
4.6.1
Factorisation irréductible dans C[X]
Soit P = a0 + a1X + a2X 2 + .... + anX n ∈ C[X].
Si α1, α2,...αk sont les k racines distinctes de P , de multiplicités respectives
m1, m2,...mn, alors :
– k ≤ n et
– m1 + m2 + ... + mk = n.
Le polynômes P se factorise alors sous la forme suivante :
P = an(X − α1)m1 (X − α2)m2 ...(X − αk )mk .
Exemple
Les racines√ de P = X 5 −√ X 3 − X 2 + 1 ∈ C[X] sont :
3
3
−1, j = −1+i
et j = −1−i
comme racines simples,
2
2
et 1 racine double.
La farctorisation dans C[X] de P en produit de polynômes irréductibles dans
C[X] s’écrit :
P = (X + 1)(X − 1)2(X − j)(X − j)
4.6.2
Factorisation irréductible dans R[X]
Puisque R ⊂ C, tout polynôme de R[X] de degré n possède n zéros
(distincts ou confondus) dans C.
Proposition 4.6.1
Soit P ∈ R[X]. α ∈ C est un zéro de multiplicité m de P dans C si,
et seulement si, le conjugué α est un zéro de multiplicité m de P dans
C.
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4.6. Factorisation irréductible
Chapitre 4. Les polynômes.
Proposition 4.6.2
Tout polynôme de R[X] de degré impair possède au moins un zéro
réel.
Dans R[X] les polynômes irréductibles sont :
– Les polynômes de degré 1.
– Les polynômes de degré 2 ne possédant aucune racine réelle.
– Tout polynôme de degré n ≥ 3 est nécessairement irréductible.
Si α1, α2,..αk sont ses racines réelles de multiplicités respective m1, m2,...mk ,
et (z1, z 1), (z2, z 2),..(zl , z l ) sont ses racines complexes calssées par couples de
zéros conjugués de multiplicités respectives n1, n2,..nl on a alors :
m1 + m2 + ...mk + 2(n1 + n2 + ...nl ) = n.
Le polynôme P ∈ R[X] se factorise alors sur C comme suit :
P = an(X − α1)m1 ...(X − αk )mk [(X − z1)(X − z 1)]n1 .....[(X − zl )(X − z l )]nl .
Le polynôme P ∈ R[X] se factorise dans R comme suit :
P = an(X − α1)m1 ...(X − αk )mk [X 2 + p1X + q1]n1 ...[X 2 + pl X + ql ]nl .
Avec p2j − 4qj < 0 et pj = −(zj + z j ), qj = zj z j pour j = 1........l..
Exemple La factorisation dans de P = X 5 − X 3 − X 2 + 1 ∈ R[X] en
polynômes irréductibles dans R[X] s’ecrit :
P = (X + 1)(X − 1)2(X 2 + X + 1).
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