Fonctions Génératrices et Caractéristiques: Probabilités

Chapitre 6:
Fonctions Génératrices
et Fonctions Caractéristiques
Prof. Mohamed El Merouani
2019/2020
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Plan
Fonctions génératrices
Fonctions génératrices des moments
Fonctions caractéristiques
Applications
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Fonction génératrice :
Soit Xune v.a. discrète telle que pk=P(X=k); k= 0,1,2, ... avec
P∞
k=0 pk= 1
Définition :
La fonction définie par G(t) = E(tX) = P∞
k=0 pktkqui converge pour
|t| ≤ 1, est dite fonction génératrice de la v.a. X.
Conséquence :
Les moments de la v.a. Xs’ils existent peuvent être déterminés par les
dérivées de G(t)au point t= 1.
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Fonction génératrice :
En effet,
G0(t) =
∞
X
k=1
kpktk−1⇒G0(1) = E(X)si E|X|<∞.
G00(t) =
∞
X
k=2
k(k−1)pktk−2⇒G00(1) = E(X(X−1)) si E(X2)<∞.
et ainsi de suite...
E(X2) = G0(1) + G00(1)
et
V ar(X) = G00(1) + G0(1) −[G0(1)]2.
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Fonction génératrice :
Exemple :
Soit Xla v.a. de Poisson défine par : P(X=k) = e−kλk
k!;k= 0,1,2, ...
On a
G(t) =
∞
X
k=0
(tλ)ke−λ
k!=e−λetλ =e−λ(1−t);|t| ≤ 1
Donc,
G0(t) = λe−λ(1−t)
G00(t) = λ2e−λ(1−t)
E(X) = λ;
E(X2−X) = λ2;
V ar(X) = E(X2)−E(X)2=λ
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