Série N°2 Dynamique des Fluides parfaits - Corrections

Mécanique des Fluides
Série N°2 : Dynamique des Fluides parfaits
Pr. EL MGHOUCHI Youness
ENSAM MEKNES
A.U. 2023-2024
Correction pour l’Exercice 1 : Fluide dans un canal souterrain
1. Les équations d’Euler pour cet écoulement s’écrivent comme :
dv
⃗
∂v
⃗
̿v
⃗ p + ρg
ρ
= ρ( + v
⃗∇
⃗ ) = −∇
⃗ →
dt
∂t
dU
∂U
∂p
= ρ( + v
⃗ ⃗∇U) = −
dt
∂t
∂x1
du
∂u
∂p
ρ
= ρ( + v
⃗ ⃗∇u) = −
− ρg
{ dt
∂t
∂x2
ρ
2. Pour un écoulement permanant d’un fluide parfait, les équations précédentes deviennent :
dU
∂U
∂U
∂U
∂p
= ρv
⃗(
x⃗1 +
x⃗2 ) = ρu
=−
dt
∂x1
∂x2
∂x2
∂x1
du
∂u
∂u
∂p
ρ
= ρv
⃗(
x⃗ +
x⃗ ) = 0 = −
− ρg
{ dt
∂x1 1 ∂x2 2
∂x2
ρ
∂p
∂x
Le gradient de pression est donc : { ∂p1
∂x2
∂U
= −ρu ∂x
(1)
2
= −ρg
(2)
3. D’après l’équation (2), on tire : p(x1 , x2 ) = −ρgx2 + f(x1 )
∂p
∂f
1
1
Pour déterminer f(x1 ), il suffit de faire dériver la pression par rapport à x1 : ∂x = ∂x
∂U
∂p
2
1
En plus, d’après l’équation (1), on a : ρu ∂x = − ∂x = k = cte
Car le 1er terme à gauche de cette équation fonction seulement de x2 tandis que le 2ième terme
à droite fonction seulement de x1. Cette égalité implique que les deux termes doivent être
constants.
∂f
D’après cette dernière expression, on tire donc : ∂x = k → f(x1 ) = kx1 + a
1
∂U
k
Et : −ρu ∂x = k → U(x2 ) = − ρu x2 + b
2
k
Finalement : p(x1 , x2 ) = −ρgx2 + kx1 + a et U(x2 ) = − ρu x2 + b
Avec a et b sont des constantes d’intégration.
Correction pour l’Exercice 2 : Tubes piézométriques et de Pitot
Il faut tout d’abord comprendre que le fluide dans les deux tubes de mesure est immobile
(verticalement c’est l’hydrostatique), ce qu’ils sentent en général bien intuitivement.
Plusieurs éléments de réponse :
• Si le fluide était mobile, on ne serait pas en régime permanent. Effectivement au démarrage
de la manip les tubes sont vides.
• Ce qui maintient le fluide à ces hauteurs, c’est la pression correspondante à l’entrée du tube
(point A’ et S).
En conclusion : On peut utiliser les lois de l’hydrostatique dans les tubes. On a donc entre S
et la surface libre du tube :
pS − patm = ρghB
(1)
En plus, pour le tube piézométrique, entre A’ et A, on peut aussi écrire la loi de
l’hydrostatique, car on traverse un écoulement parallèle perpendiculairement à la direction
de la vitesse. Finalement tout se passe comme si on écrivait la loi de l’hydrostatique
directement entre A” et A :
pA − patm = ρg(zA′′ − zA ) = ρghA
(2)
Ensuite pour le tube de Pitot, il faut évaluer pS. C’est un point d’arrêt (vS = 0) de
l’écoulement (si on vous demande pourquoi, on voit que c’est lié à l’immobilité
du fluide dans le tube), par conséquent en supposant l’´écoulement de fluide
parfait
entre
un
point
A
et
S,
on
peut
appliquer
la
formule
de Bernoulli (en incompressible et hypothèse stationnaire) :
On peut utiliser tout simplement Bernoulli entre l’entrée et la sortie sur la ligne de courant :
1
1
pA + 2 ρvA2 = pS → pS − pA = 2 ρvA2
(3)
D’après l’ensemble de ces équations, on tire :
1 2
vA2
pS − pA = ρg(hB − hA ) = ρvA → hB − hA =
2
2g
La différence de hauteur entre les deux tubes, s’ils sont voisins, donne donc
une information sur la vitesse, et donc sur le débit si on connaît la section.
Correction pour l’Exercice 3 : Venturi
1. Perpendiculairement à la direction de l’écoulement, on peut considérer la loi de
l’hydrostatique entre 1 et B1 (respectivement entre 2 et B2) puis entre B2 et B2 :
•
•
•
pB1 − p1 = ρgh1B1
pB2 − p2 = ρgh2B2
pB1 − pB2 = ρHg gh
D’après ces expressions, on tire : p1 − p2 = gh(ρHg − ρ)
2
(1)
En plus, c’est un écoulement irrotationnel (fluide incompressible), on peut donc appliquer la
formule de Bernoulli entre deux points de l’écoulement se trouvant sur la même ligne de
courant :
1
1
1
1
1
1
2
1
p1 + 2 ρv12 = p2 + 2 ρv22 → p1 − p2 = 2 ρ(v22 − v12 ) = 2 ρQ2v (S2 − S2)
1
1
1
2
1
(2)
2. D’après (1) et (2), on tire : gh(ρHg − ρ) = 2 ρQ2v (S2 − S2)
1
1
1
2gh(dHg −1)
2
1
1
1
− 2
S2
S
2
1
Ou bien : gh(dHg − 1) = 2 Q2v (S2 − S2) → Qv = √
3. A.N. : Qv = 9.83 10-5 m3/s
Correction pour l’Exercice 4 : Division d’un écoulement.
1. C’est très semblable au Venturi. On applique Bernoulli deux fois entre un point 1 au centre
de l’écoulement à l’aplomb de A1 et un autre 1 au centre de l’écoulement de l’une des sections
à l’aplomb de A2 :
1
1
p1 + 2 ρv12 = p2 + 2 ρv22
(1)
Q
Q
En plus, d’après la conservation du débit : Qv = v1 S1 = 2v2 S1 → v1 = S v et v2 = 2Sv
1
1
1
1
(1) devient alors : p1 − p2 = 2 ρQ2v (4S2 − S2)
2
1
(2)
1
Ensuite on fait de l’hydrostatique perpendiculairement à la direction de l’écoulement entre 1
et B1 (respectivement entre 2 et B2) puis entre B2 et B2 :
•
•
•
pB1 − p1 = ρgh1B1
pB2 − p2 = ρgh2B2
pB1 − pB2 = ρHg gh
D’après ces expressions, on tire : p1 − p2 = gh(ρHg − ρ)
(3)
Q2
1
1
En combinant les deux expressions de p1 − p2, on obtient donc : h = 2g(d v −1) (4S2 − S2)
Hg
2
1
2. La hauteur h est nulle si S1 = 2S2, auquel cas il n’y a pas de changement de section donc
pas de changement de vitesse, donc pas de changement de pression.
3
Correction pour l’Exercice 5 : Siphon
Σ
1. La conservation de débit se traduit par : Qv = vD Σ = vC s → vC = vD s ≫ vD
2. Il faut donc appliquer la formule de Bernoulli entre deux points de l’écoulement se
trouvant sur la même ligne de courant (entre D la surface libre du réservoir et C la sortie du
siphon) :
1
1
patm + ρgzD + ρvD2 = patm + ρgzC + ρvC2
2
2
1
En négligeant vD devant vc , cette équation devient : 2 ρvc2 = ρg(zD − zC )
Soit : vC = √2g(zD − zC )
(Formule de Torricelli)
La condition pour que le siphon fonctionne est que zC < zD . Si ce n’est plus le cas, la vitesse
du fluide s’annule et le siphon se désamorce.
3. Il suffit d’appliquer Bernoulli entre A et C (respectivement B et C) avec vC = vA = vB
(section constante) :
•
•
pA + ρgzA = patm + ρgzC
pB + ρgzB = patm + ρgzC
D’où :
•
•
pA = patm + ρg(zC − zA )
pB = patm + ρg(zC − zB )
D’après ces dernières expressions, on remarque que pB < patm . B est toujours en dépression
par rapport à patm et ceci quelle que soit la vitesse. C’est la dépression que le siphon impose
en inspirant le fluide.
En plus, pA peut être > ou < à patm . Une mauvaise intuition pousse souvent à dire que pA >
patm à cause de la colonne d’eau ρg(zC − zA ). Ici, c’est bien sûr faux car il y a un écoulement
de fluide (on n’est pas en hydrostatique).
dz
dz
s
4. Le temps de vidange du réservoir est déterminé par : dtD = −vD → dtD = −vC Σ
Après avoir remplacé vC par son expression, on trouve :
dzD
s
dzD
s
= − √2g(zD − zC ) →
= − √2g dt
dt
Σ
Σ
√(zD − zC )
4
s
Soit, après intégration : 2 [√(zD − zC ) − √(zD0 − zC )] = − Σ √2g t
2
s
Ou bien : zD − zC = [√(zD0 − zC ) − 2Σ √2g t]
En fin, le temps de la vidange est pour zD = zA , autrement dit à t = tA.
2 [√(zA − zC ) − √(zD0 − zC )]
tA =
s
− Σ √2g
Correction pour l’Exercice 6 : Manomètre à mercure
1. Problème hydrostatique dans le tube : ps + ρghe = patm + ρHg gh
Et puisque la pesanteur est négligeable dans l’épaisseur du tube, on a : ps = ps′
1
1
Ensuite, Bernoulli entre S’ et T : ps′ + 2 ρvs2 = patm + ρgH + 2 ρvT2
En plus, d’après la conservation du débit : vs S1 = vT S2 et vs = v1
1
2
S
Finalement : ps′ − patm = ρgH + 2 ρv12 [(S1) − 1] = ρHg gh − ρghe
2
1
Soit : h = d
Hg
v2
2
S
v2
1
{he + H + 2g1 [(S1 ) − 1]} = d
2
Hg
D
4
{he + H + 2g1 [(D1 ) − 1]}
2
1
2. Si on avait v1 = 0, on aurait le résultat : h = d
Hg
(he + H)
Le manomètre indique la hauteur de la colonne d’eau au-dessus du
mercure. La présence du terme en v12 augmente cette pression mesurée. Cette contribution
serait nulle si on avait D1 = D2. Cette surpression en S est liée à la survitesse en T à cause de
v2
D
4
la buse. La hauteur supplémentaire 2g1 [(D1 ) − 1] est la différence de hauteur à laquelle
2
monte le jet avec la buse et celle à laquelle il montrerait sans la buse.
3. h = 26.3 cm et Δhjet = 1.02 m
4. Parce qu’il est très dense et que la hauteur h reste raisonnable ce qui permet d’avoir des
tubes de hauteur modérée.
Avec un liquide léger, on aurait h ≈ (he + H) +un truc>0 et la branche gauche devrait monter
plus haut que la buse.
5
Correction pour l’Exercice 7 : Effort sur un coude
En cours
Correction pour l’Exercice 8 : Effort sur une tuyauterie
En cours
Correction pour l’Exercice 9 : Pommeau de douche
En cours
Correction pour l’Exercice 10 : Force sur un cône
En cours
Correction pour l’Exercice 11 : Réaction d’un jet d’eau
En cours
Correction pour l’Exercice 12 : Jet incident sur un plan incliné
En cours
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