Série N°2 Dynamique des Fluides parfaits - Corrections

Pr. EL MGHOUCHI Youness
Mécanique des Fluides
Série N°2 : Dynamique des Fluides parfaits
ENSAM MEKNES
A.U. 2023-2024
Correction pour l’Exercice 1 : Fluide dans un canal souterrain
1. Les équations d’Euler pour cet écoulement s’écrivent comme :
2. Pour un écoulement permanant d’un fluide parfait, les équations précédentes deviennent :
Le gradient de pression est donc : 
3. D’après l’équation (2), on tire : 
Pour déterminer , il suffit de faire dériver la pression par rapport à x1 : 
En plus, d’après l’équation (1), on a : 
Car le 1er terme à gauche de cette équation fonction seulement de x2 tandis que le 2ième terme
à droite fonction seulement de x1. Cette égalité implique que les deux termes doivent être
constants.
D’après cette dernière expression, on tire donc : 
Et : 
Finalement :  et 
Avec a et b sont des constantes d’intégration.
Correction pour l’Exercice 2 : Tubes piézométriques et de Pitot
Il faut tout d’abord comprendre que le fluide dans les deux tubes de mesure est immobile
(verticalement c’est l’hydrostatique), ce qu’ils sentent en général bien intuitivement.
Plusieurs éléments de réponse :

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• Si le fluide était mobile, on ne serait pas en régime permanent. Effectivement au démarrage
de la manip les tubes sont vides.
• Ce qui maintient le fluide à ces hauteurs, c’est la pression correspondante à l’entrée du tube
(point A’ et S).
En conclusion : On peut utiliser les lois de l’hydrostatique dans les tubes. On a donc entre S
et la surface libre du tube :
 (1)
En plus, pour le tube piézométrique, entre A’ et A, on peut aussi écrire la loi de
l’hydrostatique, car on traverse un écoulement parallèle perpendiculairement à la direction
de la vitesse. Finalement tout se passe comme si on écrivait la loi de l’hydrostatique
directement entre A” et A :
  (2)
Ensuite pour le tube de Pitot, il faut évaluer pS. C’est un point d’arrêt (vS = 0) de
l’écoulement (si on vous demande pourquoi, on voit que c’est lié à l’immobilité
du fluide dans le tube), par conséquent en supposant l’´écoulement de fluide
parfait entre un point A et S, on peut appliquer la formule
de Bernoulli (en incompressible et hypothèse stationnaire) :
On peut utiliser tout simplement Bernoulli entre l’entrée et la sortie sur la ligne de courant :
 (3)
D’après l’ensemble de ces équations, on tire :
La différence de hauteur entre les deux tubes, s’ils sont voisins, donne donc
une information sur la vitesse, et donc sur le débit si on connaît la section.
Correction pour l’Exercice 3 : Venturi
1. Perpendiculairement à la direction de l’écoulement, on peut considérer la loi de
l’hydrostatique entre 1 et B1 (respectivement entre 2 et B2) puis entre B2 et B2 :
• 
• 
• 
D’après ces expressions, on tire :  (1)

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En plus, c’est un écoulement irrotationnel (fluide incompressible), on peut donc appliquer la
formule de Bernoulli entre deux points de l’écoulement se trouvant sur la même ligne de
courant :
 (2)
2. D’après (1) et (2), on tire : 
Ou bien : 
3. A.N. : Qv = 9.83 10-5 m3/s
Correction pour l’Exercice 4 : Division d’un écoulement.
1. C’est très semblable au Venturi. On applique Bernoulli deux fois entre un point 1 au centre
de l’écoulement à l’aplomb de A1 et un autre 1 au centre de l’écoulement de l’une des sections
à l’aplomb de A2 :
 (1)
En plus, d’après la conservation du débit : 
 et 
(1) devient alors : 
 (2)
Ensuite on fait de l’hydrostatique perpendiculairement à la direction de l’écoulement entre 1
et B1 (respectivement entre 2 et B2) puis entre B2 et B2 :
• 
• 
• 
D’après ces expressions, on tire :  (3)
En combinant les deux expressions de , on obtient donc :  
2. La hauteur h est nulle si S1 = 2S2, auquel cas il n’y a pas de changement de section donc
pas de changement de vitesse, donc pas de changement de pression.

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Correction pour l’Exercice 5 : Siphon
1. La conservation de débit se traduit par : 
2. Il faut donc appliquer la formule de Bernoulli entre deux points de l’écoulement se
trouvant sur la même ligne de courant (entre D la surface libre du réservoir et C la sortie du
siphon) :
En négligeant  devant , cette équation devient : 
Soit :  (Formule de Torricelli)
La condition pour que le siphon fonctionne est que . Si ce n’est plus le cas, la vitesse
du fluide s’annule et le siphon se désamorce.
3. Il suffit d’appliquer Bernoulli entre A et C (respectivement B et C) avec 
(section constante) :
• 
• 
D’où :
• 
• 
D’après ces dernières expressions, on remarque que . B est toujours en dépression
par rapport à et ceci quelle que soit la vitesse. C’est la dépression que le siphon impose
en inspirant le fluide.
En plus,  peut être > ou < à . Une mauvaise intuition pousse souvent à dire que 
 à cause de la colonne d’eau . Ici, c’est bien sûr faux car il y a un écoulement
de fluide (on n’est pas en hydrostatique).
4. Le temps de vidange du réservoir est déterminé par : 
Après avoir remplacé  par son expression, on trouve :

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Soit, après intégration : 
Ou bien : 
En fin, le temps de la vidange est pour , autrement dit à t = tA.
Correction pour l’Exercice 6 : Manomètre à mercure
1. Problème hydrostatique dans le tube : 
Et puisque la pesanteur est négligeable dans l’épaisseur du tube, on a : 
Ensuite, Bernoulli entre S’ et T : 
En plus, d’après la conservation du débit :  et 
Finalement : 
Soit :  
2. Si on avait , on aurait le résultat :  
Le manomètre indique la hauteur de la colonne d’eau au-dessus du
mercure. La présence du terme en 
 augmente cette pression mesurée. Cette contribution
serait nulle si on avait D1 = D2. Cette surpression en S est liée à la survitesse en T à cause de
la buse. La hauteur supplémentaire 
 est la différence de hauteur à laquelle
monte le jet avec la buse et celle à laquelle il montrerait sans la buse.
3. h = 26.3 cm et Δhjet = 1.02 m
4. Parce qu’il est très dense et que la hauteur h reste raisonnable ce qui permet d’avoir des
tubes de hauteur modérée.
Avec un liquide léger, on aurait un truc>0 et la branche gauche devrait monter
plus haut que la buse.