Corrige du DS 2

2022-2023 Aix-Marseille Universit´e
Analyse S4 Licence MPCI, Semestre 4
Corrig´e du devoir surveill´e 2
Exercice 1. Questions de cours[2pt]
Cf cours.
Exercice 2. On consid`ere la suite de fonction (un)n∈Nd´efinie de [0,+∞[ par un(x) = xn
1 + xn.
1. Montrer que (un)n∈Nconverge simplement vers une fonction uque l’on pr´ecisera.[1,5pt]
Pour x < 1, xn−→
n→+∞0 donc un(x)−→ n→+∞0. Pour x= 1, xn= 1 pour tout n∈Ndonc
un(x) = 1
2−→
n→+∞
1
2. Pour x > 1, xn−→
n→+∞+∞donc un(x)−→ n→+∞1.
La suite (un) converge donc simplement vers la fonction u: [0,+∞[→Rd´efinie par u(x) =
0 si x∈[0,1[
1
2si x= 1
1 si x∈]1,+∞[
.
2. Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur [0,+∞[.[1pt]
Les fonctions un´etant continues sur [0,+∞[, si la convergence ´etait uniforme, la limite userait
continue sur [0,+∞[, or un’est pas continue en 1 donc la convergence n’est pas uniforme.
3. Soit a > 1. Montrer que la convergence est uniforme sur [a, +∞[.[1pt]
Pour x≥a, on a |un(x)−u(x)|=
xn
1 + xn−1
=1
1 + xn≤1 1 + an−→
n→+∞0 car a > 1. La
convergence est donc uniforme sur [a, +∞[.
Exercice 3. On d´efinit (un) une suite de fonctions de [0,1] vers Rpar
u0(x) = 1 et un+1(x) = 1 + Zx
0
un(t−t2)dtpour tout n∈N.
1. Montrer que pour tout n∈N, on a ∀t∈[0,1] 0 ≤(t−t2)n≤tn.[0,5pt]
Pour t∈[0,1], on a (t−t2)n=tn(1−t)nd’o`u le r´esultat en multipliant les in´egalit´es 0 ≤tn≤tn
et 0 ≤(1 −t)n≤1.
2. Montrer par r´ecurrence sur n∈Nque ∀x∈[0,1] 0 ≤un+1(x)−un(x)≤xn+1
(n+ 1)!.[1pt]
Initialisation : Pour n= 0, on u1(x)−u0(x) = Zx
0
1dt=x≤x1
1! .
H´er´edit´e : Soit n≥0. On suppose que ∀x∈[0,1] 0 ≤un+1(x)−un(x)≤xn+1
(n+ 1)!.
Alors pour x∈[0,1], on a un+2(x)−un+1(x) = Zx
0
un+1(t−t2)−un(t−t2)dtdonc par hypoth`ese
de r´ecurrence,
0≤un+2(x)−un+1(x)≤Zx
0
(t−t2)n+1
(n+ 1)! dt≤Zx
0
tn+1
(n+ 1)!dt=xn+2 (n+ 2)! d’apr`es la question 1.
Conclusion : On a bien le r´esultat pour tout n∈N.
3. En d´eduire la convergence uniforme de unvers une fonction usur [0,1].[1,5pt]
On s’int´eresse `a la s´erie de fonctions X
n≥0
(un+1 −un). D’apr`es la question pr´ec´edente, sur [0,1],
on a kun+1 −unk∞≤1
(n+1)! donc la s´erie est normalement convergente donc uniform´ement
1

convergente vers une limite Set comme
N−1
X
n=0
(un+1 −un) = uN−u0, la suite (un) est bien
uniform´ement convergente vers la fonction u=S+u0.
4. Montrer que uv´erifie u(0) = 1 et ∀x∈]0,1[ u(x) = u0(x−x2)[1,5pt]
Soit x∈[0,1]. Comme unconverge vers uuniform´ement sur [0,1], la fonction t7→ un(t−t2)
converge uniform´ement vers t7→ u(t−t2) sur [0, x]. On a donc Zx
0
un(t−t2)dt−→
n→+∞Zx
0
u(t−
t2)dt. De mˆeme un+1(x)−→
n→+∞u(x) donc en passant `a la limite dans la d´efinition de un, on a
u(x) = 1 + Zx
0
u(t−t2)dtet cela pour tout x∈[0,1]. On a donc u(0) = 1 et en d´erivant cette
relation u0(x) = u(x−x2) pour tout x∈]0,1[.
Exercice 4.
1. Montrer que les s´eries enti`eres X
n≥1
xnet X
n≥1
√nxnont un rayon de convergence ´egal `a 1.[1pt]
D’apr`es le cours ou le crit`ere de d’Alembert, le rayon de la premi`ere est bien ´egal `a 1.
Pour n∈N∗, on a √n+1xn+1
√nxn−→
n→+∞xdonc d’apr`es le crit`ere de d’Alembert, le rayon de conver-
gence vaut 1 ´egalement.
Pour x∈]−1,1[, on d´efinit f(x) =
+∞
X
n=1
xnet g(x) =
+∞
X
n=1
√nxn.
Attention, dans les sommes d´efinies ci-dessus les indices d´emarrent `a n =1.
2. a) Exprimer simplement f(x) pour x∈]−1,1[.[1pt]
On reconnaˆıt la somme g´eom´etrique sans le premier terme donc f(x) = 1
1−x−1 = x 1−x.
b) Montrer que gest d´erivable sur ] −1,1[ et strictement croissante sur [0,1[.[1pt]
La somme d’une s´erie enti`ere gest d´erivable sur l’intervalle ouvert de convergence ] −1,1[ et
pour x∈]0,1[, g0(x) = P+∞
n=1 √nnxn−1>0 car tous les termes de la somme sont strictement
positif. Donc gest bien strictement croissante sur [0,1[.
c) Montrer que ∀x∈[0,1[ g(x)≥f(x).[1pt]
Soit x∈[0,1[. Pour tout n∈N∗,xn≤√nxndonc en sommant puis en passant `a la limite,
f(x)≤g(x).
d) En d´eduire lim
x→1−
g(x).[0,5pt]
Comme lim
x→1−
f(x) = +∞, par th´eor`eme des gendarmes, lim
x→1−
g(x)=+∞.
3. On pose an=1
√n+√n−1et on consid`ere d´esormais la s´erie enti`ere X
n≥1
anxnde rayon de
convergence R. Pour x∈]−R, R[, on d´efinit h(x) =
+∞
X
n=1
anxn.
a) Montrer que la s´erie X
n≥1
(−1)n
√n+√n−1est semi-convergente, c’est `a dire convergente mais[1,5pt]
pas absolument convergente.
Comme 1
√n+√n−1nest d´ecroissante et tend vers 0, par crit`ere des s´eries altern´ees, la s´erie
converge vers une limite `∈Ret comme 
(−1)n
√n+√n−1
∼1
2√n, par comparaison des s´eries `a
terme positif, la s´erie n’est pas absolument convergente.
b) En d´eduire la valeur de R(on n’utilisera pas les crit`eres de d’Alembert ou de Cauchy).[1pt]
Pour x=−1, la s´erie converge donc le terme g´en´eral tend vers 0 et est born´e, d’o`u R≥1,
mais la s´erie ne converge pas absolument donc R≤1. On a donc R= 1.
2

c) Montrer que pour x∈]−1,1[, on a (1 −x)g(x) = h(x).[1pt]
Soit x∈]−1,1[, on a
(1 −x)g(x) = g(x)−xg(x) =
+∞
X
n=1
√nxn−
+∞
X
n=1
√nxn+1 =
+∞
X
n=1
√nxn−
+∞
X
p=2 pp−1xp
=
+∞
X
n=1
√nxn−
+∞
X
p=1 pp−1xp=
+∞
X
n=1 √n−√n−1xn
=
+∞
X
n=1 √n−√n−1(√n+√n−1)
√n+√n−1xn=
+∞
X
n=1
anxn=h(x).
d) En d´eduire que gadmet une limite finie pour x→ −1+.[1pt]
D’apr`es la question 3a) et le th´eor`eme d’Abel, on a lim
x→−1+h(x) = `donc d’apr`es la question
pr´ec´edente, lim
x→−1+g(x) = lim x→−1+
h(x)
1−x=` 2.
Exercice 5. On consid`ere la s´erie enti`ere X
n≥0
(−1)n−1n−1
n!x2n. Calculer son rayon de convergence[3pt]
et exprimer sa somme `a l’aide des fonctions usuelles.
Pour n∈N, on a 
(−1)nn
(n+1)! x2n+2
(−1)n−1n−1
n!x2n
−→
n→+∞0 donc par crit`ere de d’Alembert, R= +∞.
Pour x∈R, on a
+∞
X
n=0
(−1)n−1n−1
n!x2n=
+∞
X
n=1
(−1)n−11
(n−1)!x2n−
+∞
X
n=0
(−1)n−11
n!x2n
=x2
+∞
X
n=1
1
(n−1)!(−x2)n−1+
+∞
X
n=0
1
n!(−x2)n=x2e−x2+e−x2= (x2+ 1)e−x2
d’apr`es le d´eveloppement en s´erie enti`ere de l’exponentielle.
3