experiemental physik 1 für ingenieur

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Die meisten Abbildungen im Skript wurden folgenden Büchern entnommen:
H.J. Paus: Physik - in Experimenten und Beispielen, Hanser-Verlag.
W. Demtröder: Experimentalphysik 1 & 2 , Verlag Springer Spektrum.
Experimentalphysik 1
für angehende Ingenieur*innen
(nach Themenumstellung)
Prof. Dr. Henning Fouckhardt
14. Juli 2023
Inhaltsverzeichnis
I. Mechanik starrer Körper
1
1. Grundbegriffe der Kinematik
1.1. Was ist Physik ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Grundgrößen und Winkelmaße . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Winkelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Messgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Mittlerer Messfehler / Abweichung vom Mittelwert
1.4.3. Fehlerverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . .
1.4.5. Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Massepunkt und Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
18
2.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Bewegungsgleichung - gleichförmig beschleunigte Bewegung . . . . 20
2.3. Bewegungsgleichung - Bew. mit nicht-konstanter Beschleunigung
(geradlinig oder krummlinig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Grundbegriffe der Dynamik: Masse und Kraft
32
3.1. Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Grundgln. der Mechanik - die Newtonschen Axiome . . . . . . . . 33
3.3. Reduzierte Masse (mehrere Massen, z.B. zwei) . . . . . . . . . . . 35
4. Übergeordnete Begriffe: Arbeit und Energie
4.1. Energie, Arbeit und Leistung . . . . . .
4.2. Konservative Kraftfelder . . . . . . . . .
4.3. Potenzielle und kinetische Energie . . . .
4.4. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Impuls
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5.1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
V
Inhaltsverzeichnis
5.2. Beschreibung in verschiedenen Bezugssystemen . . . . . . . . . . .
6. Anwendungen von Impuls- und Energiesatz: Stöße
6.1. Stöße zwischen zwei Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Beispiele für Stöße in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Generelles zum Impulsübertrag . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4. Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5. Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.6. Beispiel: (vollständig) inelastischer Stoß . . . . . . . . . .
6.3. Beispiel zur Warnung vor Problemen mit veränderlichen Massen
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7. Drehbewegungen
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7.1. Drehmoment, Drehimpuls, Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . 51
7.2. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8. Trägheitsmoment
8.1. Modell des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Kräfte und Kräftepaare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Bewegung eines starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Trägheitsmoment und Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Definitionen und Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Korrespondierende Größen bei Translation und Rotation
8.4.3. Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Beispielaufgabe zur Berechnung von Trägheitsmomenten . . . .
8.6. Bewegungsgleichung der Rotation eines starren Körpers . . . . .
8.6.1. Parabelförmiges Winkel-Zeit-Gesetz . . . . . . . . . . . .
8.6.2. Jojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.3. Zylinder auf schiefer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9. Kreisel
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9.1. Kreiseltypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2. Kräfte-/drehmomentenfreier Kreisel - Nutation . . . . . . . . . . . 73
9.3. Kreisel mit äuß. Kräften/Drehmom. - Präzession . . . . . . . . . . 74
10.Bezugssysteme
10.1. Relativbewegung, Inertialsysteme & Galilei-Transform. . . . . .
10.2. Beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Geradlinig, gleichförmig beschl. Vergleichs-Bezugssystem
10.2.2. Rotierendes Vergleichs-Bezugssystem . . . . . . . . . . .
VI
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Inhaltsverzeichnis
10.2.3. Bezugssysteme bei der Beschreibung von Rotationen um
nicht-festgehaltene Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
11.1. Invarianz der Lichtgeschw. & Lorentz-Transform. . . . . . .
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten . . . . . . . . . .
11.2.1. Der Begriff „Inertialsysteme“ . . . . . . . . . . . . .
11.2.2. Postulat 1 - Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . .
11.2.3. Postulat 2 - Invarianz der Lichtgeschwindigkeit . . . .
11.2.4. Additionsregeln für Geschwindigkeiten dazu . . . . .
11.2.5. Konsequenz 1 - Relativität der Gleichzeitigkeit . . . .
11.2.6. Licht oder nicht Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.7. Konsequenz 2 - Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . .
11.2.8. Konsequenz 3 - Längenkontraktion . . . . . . . . . .
11.2.9. Sein oder Schein, „ist“ oder „scheint“ . . . . . . . . .
11.2.10. Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.11. Vermischtes, Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.Gravitation
12.1. Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1. Näherung: homogenes Gravitationsfeld . .
12.1.2. Gravitation als Zentralkraft . . . . . . . .
12.2. Radialabhängigkeit von Zentralkräften . . . . . .
12.3. Planetenbewegungen, Keplersche Gesetze . . . . .
12.3.1. Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . .
12.3.2. Beispielaufgabe zum 3. Keplerschen Gesetz
12.3.3. Minimal- und Fluchtgeschwindigkeiten . .
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II. Mechanik deformierbarer Körper
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13.Volumenmaterial und Oberflächen
13.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Moleküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1. Bindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2. Zustände mehratomiger Moleküle, Hybridisierung
13.3. Kristallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1. Die 7 Kristallsysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2. Die 14 Translationsgitter / Bravais-Gitter . . . .
13.3.3. Millersche Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.4. Zinkblende-Struktur am Beispiel von GaAs . . . .
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VII
Inhaltsverzeichnis
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit . . 130
13.4.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13.4.2. Oberflächenspannung und -energie . . . . . . . . . . . . . 132
14.Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
14.1. Deformierbare feste Körper . . . . . . . . . . . . .
14.2. Tendenz zur Volumenerhaltung . . . . . . . . . .
14.3. Härte einer Festkörperprobe . . . . . . . . . . . .
14.4. Reibung zwischen festen Körpern . . . . . . . . .
14.5. Fluide - innere Wechselwirkungen . . . . . . . . .
14.5.1. Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2. Luftdruck und barometrische Höhenformel
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15.Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.1. Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2. Grundbegriffe und Strömungstypen . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1. Vorüberlegung: eine Vorstufe der Kontinuitätsgleichung
15.3.2. Herleitung der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . .
15.4. Inkompressibilität von Gasen ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5. Laminare Strömung, Geschwindigkeitsprofile . . . . . . . . . .
15.6. Reibung beim Fall einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7. der Vollständigkeit halber: Euler- und Navier-Stokes-Gleichung
15.7.1. Euler-Gleichung für ideale Flüssigkeiten . . . . . . . . .
15.7.2. Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.8. Wirbel, laminare versus turbulente Strömungen . . . . . . . .
15.9. Helmholtzsche Wirbelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.10. Aerodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.10.1. Magnus-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.10.2. Dynamischer Auftrieb am Tragflügel . . . . . . . . . .
15.10.3. Kraftverhältnisse am umströmten Körper . . . . . . .
15.10.4. Profilpolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.10.5. Gleitflug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.11. Ähnlichkeitsgesetze; Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . .
III. Schwingungen und Wellen
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16.Freie Schwingungen
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16.1. Freier ungedämpfter Oszillator; Darstellung von Schwingungen . . 183
16.2. Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
16.2.1. 2 Schwingungen gleicher Frequenz in 1D-Überlagerung . . . 187
VIII
Inhaltsverzeichnis
16.2.2. 2 Schwingungen leicht unterschiedl. Freq. in 1D-Überlag.
16.2.3. Überlag. mehrerer Schwing., Fourier-Synthese/-Analyse .
16.2.4. 2D-Überlagerung → Lissajous-Figuren . . . . . . . . . .
16.3. Freier gedämpfter Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
17.1. Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . .
17.2. Energiebilanz eines Federpendels (exemplarisch)
17.3. Parametrischer Oszillator . . . . . . . . . . . . .
17.4. Gekoppelte Oszillatoren im engeren Sinne . . .
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos .
17.5.1. Grundbegriffe und -aussagen . . . . . . .
17.5.2. Iterierte nichtlineare Abbildungen . . . .
17.5.3. Dynamische Systeme . . . . . . . . . . .
17.5.4. Singuläre Punkte . . . . . . . . . . . . .
17.5.5. Nichtlineare dynamische Systeme . . . .
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18.Wellen - allgemeine Eigenschaften
18.1. Mechanische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2. Energieflussdichte = Intensität einer Welle . . . . . . . . . . .
18.3. Wellentypen (teilweise wiederholt) . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4. Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.5. Dispersion, Gruppen- und Phasengeschwindigkeit . . . . . . .
18.6. Stehende Wellen (räumliche Resonanzen) . . . . . . . . . . . .
18.7. Wellen bei bewegten Quellen oder Beobachter*in/Zuhörer*in
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IV. Kalorik
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19.Temperatur und 0. Hauptsatz
19.1. Temperatur und Temperaturmessungen . . . . . . . . .
19.2. Wärmemenge und Wärmekapazität, 0. Hauptsatz . . .
19.3. Mischungskalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4. einige Aussagen zur Wärmekapazität / spez. Molwärme
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20.Der 1. Hauptsatz
20.1. Makroskopische Betrachtung . . . . . . . . . .
20.2. Kinetische Gastheorie, p-V -Zustandsdiagramm
20.3. p-T -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4. 1. Hauptsatz und Zustandsgleichungen . . . .
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IX
Inhaltsverzeichnis
21.Wärmekraftmaschinen
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21.1. Der (hypothetische) Carnotsche Kreisprozess, der 2. Hauptsatz . . 246
21.2. Der Stirling-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
22.Die Entropie, der 3. Hauptsatz
22.1. Reduzierte Wärmemenge (Entropieänderung)
22.2. Beispielaufgabe zur Entropieänderung . . . . .
22.3. Weitere, neue Größen/Begriffe . . . . . . . . .
22.4. Der 3. Hauptsatz - das Nernstsche Theorem .
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23.Statistisch-mikroskopische Betrachtungen; Gase
259
24.Transportvorgänge
24.1. Transportprozesse . . . . . . . . . .
24.2. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . .
24.2.1. Gleichungen . . . . . . . . .
24.2.2. Technisch wichtige Lösungen
24.3. Wärmetransport/-leitung . . . . . .
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der Diffusionsgleichung
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V. Elektrik
268
25.Strom, Spannung, Ladung
25.1. Elektrische Ladungen, Coulomb-Gesetz . . . . . . . .
25.2. Coulombsches Kraftgesetz und elektrisches Feld . . .
25.3. Elektrostatisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . .
25.4. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.5. Elektrischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.6. Poisson- und Laplace-Gleichung; Äquipotenzialflächen
25.7. Stromdichte und Kontinuitätsgleichung . . . . . . . .
25.8. Stromleistung und Joulesche Wärme . . . . . . . . .
25.9. Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . .
25.10. Netzwerke; Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . .
25.11. Messverfahren für elektrische Ströme . . . . . . . . .
269
269
270
273
273
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26.Multipol-Potenziale
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285
27.Kräfte und Drehmomente im elektrischen Feld
288
27.1. Elektrischer Dipol im homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . 288
27.2. Elektrischer Dipol im inhomogenen elektrischen Feld . . . . . . . 288
28.Materie im elektrischen Feld (I. Leiter)
290
28.1. Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
X
Inhaltsverzeichnis
28.2. Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2.1. Ladungsspeicher - Sammeln und Sortieren . . . . . . . . .
28.2.2. Parallel- und Hintereinanderschaltung von Kondensatoren
28.2.3. Kondensatorauf- und -entladung . . . . . . . . . . . . . . .
29.Materie im elektrischen Feld (II. Isolatoren)
29.1. Dielektrika im elektr. Feld, dielektrische Polarisation . . .
29.2. Polarisationsladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.3. Dielektrische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.4. Dielektrische Verschiebungsdichte, Stetigkeit, Energiedichte
30.Magnetisches Feld und Induktion
30.1. Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . .
und magn. Induktion B
. . . .
30.2. Magn. Feldstärke H
30.3. Magnetfelder stationärer Ströme . . . . . . . . . . .
30.4. Faradaysches Induktionsgesetz und Lenzsche Regel
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31.Inhomogene Magnetfelder - das Durchflutungsgesetz
31.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . .
31.1.1. Vorläufige Formulierung . . . . . . . . . . . . .
31.1.2. Endgültige Formulierung . . . . . . . . . . . . .
31.1.3. Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . .
31.2. Vektorpotenzial der Magneto„statik“ . . . . . . . . . .
31.2.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2.2. Coulomb-Eichung (Magneto„statik“) . . . . . .
31.3. Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3.1. Vorbereitung der Herleitung . . . . . . . . . . .
31.3.2. Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.3.3. Ergebnisse für verschiedene Leiter-Beispiele . .
31.4. Maxwell-Gleichungen und elektrodynamische Potenziale
31.5. Nachtrag: Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . .
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32.Kräfte und Drehmomente im magnetischen Feld
32.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld, Lorentz-Kraft
32.1.1. Grundversuch zur Lorentz-Kraft: Leiterschaukel . . .
32.1.2. 2 stromdurchflossene, lange, parallele Drähte . . . . .
32.1.3. Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.1.4. Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.1.5. Fokussierung im magnetischen Längsfeld . . . . . . .
32.2. Drehmomente und Kräfte auf magnetische Dipole . . . . . .
33.Ergänzungen zum Induktionsgesetz
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XI
Inhaltsverzeichnis
34.Materie im magnetischen Feld
34.1. „mikroskopisch“: atomare magn. Dipolmomente (Stromschleifen)
34.2. makroskopisch: Magnetisierung analog zur diel. Polarisation . .
34.3. Stoffklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.3.1. Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.3.2. Antiferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.3.3. Ferrimagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
35.1. Wechselstrom, Phase zwischen Strom & Spannung . . . . . . . .
35.2. Wechselstromkreise mit kompl. Widerständen; Zeigerdiagramme
35.3. Impedanzanpassung bei Wechselstromkreisen . . . . . . . . . . .
35.4. Lineare Netzwerke; Hoch- und Tiefpässe; Frequenzfilter . . . . .
35.5. Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.5.1. Eine wichtige Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.5.2. Aufbau aus zwei Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.5.3. Spannungsverhältnis beim „unbelasteten“ Transformator
35.5.4. Induktive Kopplung der beiden Spulen . . . . . . . . . .
36.Gleichstrom
36.1. Leitungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36.1.1. Überblick Leitertypen . . . . . . . . . . . . .
36.1.2. Ionenleitung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . .
36.1.3. Stromtransport in Gasen; Gasentladungen . .
36.1.4. Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36.2. Gleichstromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36.2.1. Stromquellen basierend auf Ladungstrennung
36.2.2. Thermische Stromquellen (Seebeck-Effekt) . .
XII
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350
355
Teil I.
Mechanik starrer Körper
1. Grundbegriffe der Kinematik
1.1. Was ist Physik ?
• Physik nach Aristoteles (384-322 v. Chr.): Ursprung, Naturordnung, das Geschaffene (nur die materielle Wirklichkeit)
• Das Experiment entscheidet über die Qualität einer Theorie !
• Galileo Galilei (1564-1642) machte als Erster gezielte Experimente.
• Ausschluss bestimmter Einflüsse beim Experiment; z.B.: Fallexperimente: Ausschluss des Lufteinflusses auf fallende Feder (offensichtlich aus Alltagserfahrung),
im Fall mit Luft Berücksichtigung der Temperatur (weniger offensichtlich)
• Ziel: komplexe Naturvorgänge auf wenige einfache Gesetzmäßigkeiten zurückführen, also Suche nach wenigen Grundprinzipien !
• Zusammenfassung mehrerer physikalischer Gesetze und Prinzipien zu einer
Theorie (geschlossen und in sich widerspruchsfrei (auch wenn sie vielleicht bestimmte Aspekte der Wirklichkeit (noch) nicht berücksichtigt))
• Formulierung der Theorie oft mathematisch - insbesondere durch und seit Newton (1643-1727)
• Unerwartete neue Versuchsergebnisse erzwingen eine Erweiterung der alten
Theorie oder sogar ein ganz neues Modell.
1.2. Physikalische Größen
1.2. Physikalische Größen
• Experiment = Messung physikalischer Größen
• Messung = Vergleich mit dem jeweiligen Standard
• Größe angegeben in Zahlenwert und Vergleichsmaß (z.B. 34 m = 34·1 m)
• Größen zurückgeführt auf Grundgrößen
1.3. Grundgrößen und Winkelmaße
1.3.1. Grundgrößen
Ab 20. Mai 2019 gibt es sieben gleichrangige physikalische Grundgrößen, deren
Einheiten jede für sich durch eine (weitere) Naturkonstante festgelegt werden:
Zeit (1 s), Länge (1 m), Masse (1 kg), Strom (1 A), absolute Temperatur (1 K),
Stoffmenge (1 mol), Lichtstärke (1 cd).
Durch diese Festlegungen sind auch die verwendeten Naturkonstanten festgelegt.
Allerdings könnten sie später auf noch mehr signifikante Stellen festgelegt werden,
wenn die Messungen der Grundgrößen noch genauer durchführbar sein sollten.
3
1. Grundbegriffe der Kinematik
4
1.3. Grundgrößen und Winkelmaße
Für die Größen Länge und Zeit wird so schon länger vorgegangen:
Länge:
Elle ... Standardmeter aus Platin-Iridium ...
VERSUCHE: Maßband, Ultraschall, Michelson-Interferometer
heute: 1 m ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während des Zeitintervalls (1 / 299 792 458) s durchläuft
(Längenmessung auf Zeitmessung zurückgeführt).
Achtung: Damit ist die Lichtgeschwindigkeit festgelegt und keine Messgröße mehr !
Zeit:
Pendel ...
VERSUCHE: Fadenpendel, Metronom
Problem (exemplarisch) beim Faden-/Stabpendel der Länge L mit der Auslenkung ϕ im Bogenmaß:
Bewegungsgleichung ohne Dämpfung1 :
m · L · ϕ̈
⇒
1
g
ϕ̈ + sin ϕ
L
=
W unsch
=
−m · g · sin ϕ ,
ϕ̈ + ω02 ϕ = 0
d2 ϕ
ϕ̈ ≡ 2 ,
dt
(1.1)
(1.2)
mit der Eigen(kreis)frequenz ω0 = 2π ν0
5
1. Grundbegriffe der Kinematik
ϕ 3 ϕ5
+
− +...
3!
5!
g
g ϕ3 g ϕ5
ϕ̈ +
ϕ−
+
− +... = 0
L ⎛L 3!
L 5!
⎞
2
4
g
ϕ
ϕ
ϕ̈ +
ϕ · ⎝1 −
+
− + . . .⎠ = 0
L
3!
5!
sin ϕ = ϕ −
⇒
⇒
(1.3)
(1.4)
(1.5)
mit der Zeit t und der Gravitations-/Erdbeschleunigung g . Daraus folgt bei
kleinen Winkeln (ca. Bogenmaß < 0,087, Winkelmaß < 5◦ ) (2) :
ω0 = 2πν0 =
g
.
L
(1.8)
heute: 1 s ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des
Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung
(Zeitmessung auf Frequenzmessung zurückgeführt).
Cäsium-Uhr:
Cäsium-Atome verdampfen aus einem Ofen ins Vakuum.
Durch Blenden wird daraus ein Atomstrahl erzeugt.
Der Atomstrahl durchquert einen Mikrowellen-Resonator mit angeschaltetem
Magnetfeld. Die Mikrowellenfrequenz ν = (E2 − E1 )/h entspricht dem Übergang
zwischen zwei Hyperfeinstruktur3 -Energieniveaus F=3 und F=4 im S1/2 -Zustand
des Cs-Atoms.
Anregung der Cs-Atome durch Absorption der Mikrowellenstrahlung
in diesem Zustand anderes magnetisches Moment
→ Defokussierung des Atomstrahls im Magnetfeld
→ Signalabnahme am Detektor
→ Nachregelung der Mikrowellenfrequenz, um sie stabil zu halten
Frequenzmessung mit Genauigkeit Δν/ν ≤ 10−14
2
Hier ist von einem „mathematischen Pendel“ die Rede, bei dem die gesamte Masse in einem Punkt am Ende
des masselosen Fadens bzw. der masselosen Stange sitzt. Bei einem realen, sog. „physikalischen Pendel“ muss
die Masseverteilung über das Trägheitsmoment I berücksichtigt werden und es gilt:
ω0 = 2πν0 =
gmL
.
I
(1.6)
Der mathematische Extremfall ist I = m · L2 und das physikalische Pendel geht in ein mathematisches Pendel
über:
gmL
gmL
g
=
.
(1.7)
=
ω0 = 2πν0 =
2
I
m·L
L
3
6
dafür das Magnetfeld
1.3. Grundgrößen und Winkelmaße
1.3.2. Winkelmaße
• Winkel in der Ebene:
◦ Grad-Maß:
360◦ , 60’ je 1◦ , 60” je 1’ (Grad, Winkel-Minute, Winkel-Sekunde)4
◦ Bogenmaß: α = L/R
L Kreisbogen-Länge, R Kreis-Radius.
Dimension: 1 rad (Radiant)
ˆ
360◦ =
4
2πR
= 2π
R
(1.9)
Es gibt auch das wenig gebräuchliche Neugrad-Maß mit einer Einteilung in 400 gon.
7
1. Grundbegriffe der Kinematik
• Raumwinkel: Ω = A/R2
mit der ausgeschnittenen Kugel-Fläche A , dem Polarwinkel Θ & Azimut ϕ .
Dimension: 1 sr (Steradiant, Kurzform: Sterad)
mit dem Azimut ϕ in der x-z-Ebene
2π
2π
dϕ =
0
⇒
2π
1 dϕ =
0
0
1
2π
ϕ0 dϕ = [ ϕ1 ]2π
0 = [ϕ]0 = 2π − 0 = 2π (1.10)
1
Θ0 2π
Ω(Θ0 ) =
dϕ sin Θ dΘ
(1.11)
0 0
=2π
0
= 2π[− cos Θ]Θ
0 = 2π[− cos Θ0 + 1]
= 2π(1 − cos Θ0 )
voller Raumwinkel für Θ0 = 180◦ : 4π
8
(1.12)
(1.13)
1.4. Messgenauigkeit
1.4. Messgenauigkeit
1.4.1. Mittelwert
• systematische Fehler (bedingt durch Messverfahren, Messapparatur, Vernachlässigung eines Einflusses, ...) UND
• statistische (zufällige) Fehler (immer vorhanden - bedingt durch Vibrationen,
Ableseungenauigkeiten, statistische Schwankungen der Messgröße, ...)
VERSUCHE: Fadenpendel, Kugelfall
Definition des Mittelwerts x̄ aller N Messwerte xi mit dem Index i ∈ {1, . . . , N }
durch die Summe S der Quadrate aller Abweichungen:
N
!
(x̄ − xi )
2
S=
= Minimum
(1.14)
= 0
(1.15)
(x̄ − xi ) = 0
(1.16)
i=1
dS
dx̄
⇒
(zur Defintion von x̄ !)
⇒
⇒
N
2
i=1
N
N
x̄ = N x̄ =
i=1
⇒
xi
(1.17)
i=1
x̄ ≡ x
1
=
N
N
xi ,
(1.18)
i=1
das sogenannte arithmetische Mittel.
Der prinzipiell nicht erfassbare „wahre Wert“ ist:
⎛
1
xw = lim ⎝
N →∞ N
N
⎞
xi ⎠
(1.19)
i=1
bei Nicht-Berücksichtigung aller systematischen Fehler.
9
1. Grundbegriffe der Kinematik
1.4.2. Mittlerer Messfehler / Abweichung vom Mittelwert
akademische Definitionen:
mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels:
σmittel =
1 N
(xw − xi )2 ,
2
N i=1
(1.20)
mittlerer Fehler der Einzelmessung (manchmal auch Standardabweichung genannt):
1 N
σ=
(xw − xi )2 .
(1.21)
N i=1
σ
σmittel = √ ,
N
σmittel ≤ σ.
(1.22)
praktikable Definitionen:
mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels:
σmittel =
N
1
(x̄ − xi )2 ,
N (N − 1) i=1
(1.23)
Standardabweichung (meistens ist diese Größe gemeint, wenn von Standardabweichung die Rede ist):
σ=
N
1
(x̄ − xi )2 .
N − 1 i=1
(1.24)
Die Größe σ 2 heißt auch Varianz.
Angabe nach Messung meistens: x̄ ± σ.
Wurden N Messwerte aufgenommen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der (N +1)te Messwert ins folgende Intervall (in den Vertrauensbereich) fällt, so:
x̄ ± σ
x̄ ± 2σ
x̄ ± 3σ
10
→
→
→
68, 3%
95, 4%
99, 7%
1.4. Messgenauigkeit
1.4.3. Fehlerverteilung
Messwerte innerhalb eines kleinen Intervalls j von K Intervallen als konstant
xj (das ist der mittlere Wert des Intervalls j) angenommen (z.B. bei digitalen
Messinstrumenten):
x̄ =
1
N
K
(xj ·
j=1
K
Nj
) mit
Gewichtsf aktoren
Nj = N .
j=1
[Nj ] = 1
Umdefinition auf den Fall infinitesimal schmaler Intervalle:
1
N
N• (x) dx = N
⇒
mit
(1.25)
→
x · N• (x) dx
(1.26)
als Normierung.
(1.27)
x̄ =
Die Größe N• (x) ist eine Anzahldichte, i.e. eine Anzahl bezogen auf einen Bereich
der Größe x - mit der Dimension 1/[x].
[N ] = 1 , [N• ] = 1/[x] .
Mit der normierten Verteilungsfunktion
1
N• (x)
N
x · f (x) dx
x̄ =
(1.28)
f (x) =
⇒
mit
(1.29)
f (x) dx = 1.
(1.30)
analoge Umdefinition der anderen Größen !
Wenn statistische Fehler gegenüber systematischen bestimmend sind, herrscht
eine sogenannte Normal- oder Gauß-Verteilung mit dem Maximum bei x̄ und
Wendepunkten bei x̄ ± σ:
⎧
⎫
⎨ 1 (x − x̄)2 ⎬
1
f (x) = √
· exp ⎩−
2 σ2 ⎭
2π σ
(1.31)
N ormierung
(Wiederholung: σ 2 heißt auch Varianz).
11
1. Grundbegriffe der Kinematik
Abbildung 1.1.: Gauß-Verteilung [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 1.34]
12
1.4. Messgenauigkeit
1.4.4. Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
Oft kann/soll eine Messgröße x nur indirekt aus einer anderen (z.B. t) bestimmt
werden oder ist von mehreren Messgrößen abhängig (z.B. x(t, T )). Die Frage ist,
wie sich die Messfehler/Schwankungen von t und T auf die Genauigkeit der zu
ermittelnden Größe x auswirken.
Mittelwert und Standardabweichung (ohne Herleitung) - analog für mehr als
2 unabhängige Größen:
x̄(t, T ) = x(t̄, T̄ )
1
=
N t · NT
(1.32)
Nt
NT
xit iT .
(1.33)
it =1 iT =1
Die Varianzen werden gewichtet:
2
2 ∂x
σt
+ σT2
∂t
∂x
∂x
mit dx =
dt +
dT
∂t
∂T
σx =
∂x
∂T
2
,
(1.34)
(1.35)
als totales Differential.
∂x
Die Ausdrücke ∂x
∂t und ∂T sind partielle Ableitungen und fungieren hier als die
Gewichtsfaktoren entsprechend der Stärke der Abhängigkeit der abhängigen Größe von den unabhängigen Größen.
13
1. Grundbegriffe der Kinematik
1.4.5. Ausgleichsrechnung
bisher: mehrfache Messung einer Messgröße x bei (zumindest nominell) unveränderten Versuchsbedingungen,
oft aber: abhängige Messgröße x(y) an M verschiedenen Stellen yl messen (l =
1, . . . , M ), Funktionsverlauf bestimmen; die Frage ist, was ist die „richtige“ Funktion?
Um welche Abhängigkeit x(y) handelt es sich? Was ist die am besten zutreffende
Funktion?
Oft wird eine Potenzreihenentwicklung für die Funktion angenommen:
x(y) = a0 +a1 y (1) + a2 y 2 + a3 y 3 + . . .
≡a0
(1.36)
y0
Die Anpassung wird als gut bewertet, wenn die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den (schon über viele Messungen gemittelten) Messwerten xl
und den unter Annahme einer bestimmten Funktion/Potenzreihe errechneten
Werten x(yl ) minimal wird.
Ein Maß dafür (χ2 -Test):
⎛
⎞2
x − x(yl ) ⎠
1
⎝ l
χ2
χ =
oder χ2reduziert =
σxl
M −p
l=1
2
M
(1.37)
mit p als Zahl der relevanten Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung.
(M − p) wird auch Zahl der Freiheitsgrade genannt.
Die Anpassung gilt als plausibel, wenn χ2reduziert
1.
14
1.5. Massepunkt und Bahnkurve
1.5. Massepunkt und Bahnkurve
Der Massepunkt ist eine Modellvorstellung; die Masse eines ausgedehnten Körpers wird gedanklich auf einen mathematischen Punkt (den Schwerpunkt) konzentriert. Das ist erlaubt, solange Rotationen des ausgedehnten Körpers keine
Rolle spielen.
Abbildung 1.2.: (Hier mag die Rotation für die Erklärung unberücksichtigt bleiben.)
Durch Training kann der schwarze Punkt höher gesetzt werden.
15
1. Grundbegriffe der Kinematik
Beschreibung der Lage des Massepunkts im dreidim. Raum durch 3 Koord.:
• kartesisch: x, y, z → r = (x, y, z) als Ortsvektor,
• Kugel: r, Θ, ϕ (siehe Raumwinkel-Definition),
• Zylinder: r, ϕ, z .
Die Bewegung des Massepunkts im Raum wird durch zeitabhängige Koordinaten
beschrieben, z.B.:
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
(1.38)
mit der Zeit t ; die Größen x, y, z sind hier Ortskoordinaten.
Die dazu gehörende Kurve im Raum heißt Bahnkurve.
Die Bahnkurve ist ein Beispiel für eine sogenannte Parameterdarstellung; die
Koordinaten des Massepunkts hängen von dem Parameter Zeit t ab.
16
1.5. Massepunkt und Bahnkurve
Parameterelimination:
Wenn nur die Form der Bahnkurve gefragt ist, muss der Parameter „eliminiert“ werden; das ist nicht immer (einfach) möglich. Ein Beispiel, bei dem eine
Parameter-Elimination einfach möglich ist:
=
=
=
=
a · cos(2πν · t),
a · sin(2πν · t),
const = 0
a2 (cos2 (2πν · t) + sin2 (2πν · t))
⇒
x(t)
y(t)
z(t)
x2 + y 2
⇒
x 2 + y 2 = a2 ,
=1
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
ein Kreis mit dem Radius a in der (x-y)-Ebene um den Nullpunkt des Koordinatensystems - ein Kreis als Form der Bahnkurve.
17
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit &
Beschleunigung
2.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung
Geschwindigkeit (Vektor):
v =
allgemeiner: v (t) =
Δr
Δr
≡
,
Δt
Δt
(2.1)
dr
(t) ≡ r˙ (t) ,
dt
(2.2)
die Momentangeschwindigkeit, und
v = | v | ;
(2.3)
die Dimension von v ist 1 m/s .
Wenn v = const (i.e. nach Betrag und Richtung), wird von einer „gleichförmiggeradlinigen Bewegung“ gesprochen.
allgemein auch bei nicht geradlinigen Bewegungen:
Da die Ableitung der Kurve r(t) ihre Steigung angibt, hat die Geschwindigkeit
r˙ (t) in jedem Punkt der Bahnkurve r(t) die Richtung der Tangente in diesem
Punkt:
v dr Tangente .
(2.4)
2.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung
r =
dr =
dr
dt =
dt
v dt .
(2.5)
Bei einer „gleichförmigen Kreisbewegung“ gilt v = const, aber die Richtung von
v ändert sich ständig - und damit auch v selbst.
Änderung der Geschwindigkeit über der Zeit = (Momentan-) Beschleunigung
(Vektor):
dv
d2r
a(t) = (t) ≡ v˙ (t) = 2 (t) ≡ r¨(t) ;
(2.6)
dt
dt
die Dimension von a ist 1 m/s2 .
VERSUCHE: V-Scope - geradlinig gleichförmige Bewegung
geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung
19
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
2.2. Bewegungsgleichung - gleichförmig beschleunigte
Bewegung
a = r¨ = const Differentialgleichung
⇒
v (t) =
a(t) dt
=const
= a 1 dt = a
= a · t +
(2.8)
t0 dt
(2.9)
(2.10)
b
≡v0 ≡v (0)
= at + v (0)
⇒
r(t) =
=
(2.7)
(2.11)
v (t) dt
(2.12)
1
c
a · t2 + v0 · t + 2
≡r ≡r(0)
(2.13)
0
⇒
r(t) − r0
1
= at2 + v0 t + r0
2
1
= at2 + v0 t ;
2
1 2
gt , g = | g | = | a |
2
m ˆ
genauer: a ≡ g = −9, 81 2 · n
Erde
s
1. Beispiel - freier Fall: s =
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
ˆ Erde als
mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 , dem Anfangsort/-ortsvektor r0 und n
Normalenvektor (senkrecht) von der Erdoberfläche nach außen.
VERSUCHE: Fallrohr und g-Bestimmung aus dem freien Fall: g = 2s/t2
20
2.2. Bewegungsgleichung - gleichförmig beschleunigte Bewegung
2. Beispiel: der schräge Wurf (nach oben):
x(t) = v0x · t mit v0x = v0 · cos ϕ
⇒
t=
x
v0x
(2.18)
y(t) = 0 Bewegung bleibt in Ebene
1
z(t) = − | g | ·t2 + v0z · t + h mit v0z = v0 · sin ϕ ,
2 (2.19)
(2.20)
≡g
Parameterelimination durch Einsetzen von Gl. (2.18) in Gl. (2.20):
1 x2
v0z
z(x) = − g 2 +
x+h
2 v0x v0x
(2.21)
Scheitelwert xs (Bahnkurvenmaximum) für dz/dx = 0:
xs
v0z
−g 2 +
=0
v0x
v0x
1
1
1
⇒ xs = v0z v0x = v02 sin ϕ cos ϕ = v02 sin(2ϕ) ,
g
g
2g
(2.22)
(2.23)
also wird xs maximal für 2ϕ = 90◦ bzw. ϕ = 45◦ .
Wegen der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung (Gl. (2.18)) folgt daraus - für
h(Ende) = h(Anfang) - auch die maximale Wurfweite für einen Abwurfwinkel
von 45◦ . Allgemeiner (ohne Herleitung):
⎛
⎞
1
⎠;
ϕoptimal = arcsin ⎝ 2
2 + 2gh/v0
1
1√
= arcsin
2
für h = 0 : arcsin √
2
2
π
=
=
ˆ 45◦ = ϕoptimal .
4
SIMULATION: Wurfweite = 2xs für Δh = 0
VERSUCHE: Kugel in Sandbett,
waagerechter Wurf & freier Fall
(2.24)
(2.25)
(2.26)
21
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
mathematischer Einschub I :
Linearität der Integraloperation:
(a · f (x) + b · g(x)) dx =
a · f (x) dx +
= a
f (x) dx + b
b · g(x) dx
(2.27)
g(x) dx
(2.28)
Beispiel für nichtlineare Operation - Quadrierung:
(2.29)
(a · f (x) + b · g(x))2 = a2 f 2 (x) + b2 g 2 (x) + 2abf (x)g(x)
2
2
2 2
2 2
= (af (x)) + (bg(x)) = a f (x) + b g (x) (2.30)
a dt =
ax · eˆx + ay · eˆy + az · eˆz dt
= eˆx ax dt + eˆy ay dt + eˆz az dt
= eˆx · (vx + Cx ) + eˆy · (vy + Cy ) + eˆz · (vz + Cz )
⎛
=
⎜
⎜
⎝
vx + Cx
vy + Cy
vz + Cz
⎞
⎟
⎟
⎠
= v + C
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
mit den Einheitsvektoren eˆx , eˆy , eˆz entlang der drei Raumrichtungen und den
Integrationskonstanten Cx , Cy , Cz .
22
2.2. Bewegungsgleichung - gleichförmig beschleunigte Bewegung
mathematischer Einschub II :
Unabhängigkeit der Koordinaten bei Verknüpfung durch einen Skalar:
w
= l · v
⎞
⎛
wx
l · vx
⎟
⎜
⎜
⎜ w ⎟ = ⎜ l·v
y ⎠
y
⎝
⎝
wz
l · vz
d.h. wx = l · vx
wy = l · vy
wz = l · vz ;
⎛
z.B.: r =
⎛
⇔
⎜
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎟
⎠
=
1 2
t · a
2
⎛
1 2 ⎜
t ·⎜
⎝
2
(2.35)
⎞
⎟
⎟,
⎠
(2.36)
(2.37)
0
0
−g
⎞
⎟
⎟
⎠
.
(2.38)
Modelleisenbahnversuch (Unabhängigkeit der Koordinaten),
Abhängigkeit der Koordinaten bei Verknüpfung durch eine Matrix:
=
D
=
eigentlich: D
⎛
⎞
Dx
⎜
⎟
⎜ D ⎟ =
y
⎝
⎠
Dz
d.h. z.B. Dx =
·E
r·E
0 r
0
⎛
⎞
⎛
⎞
Ex
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ · ⎜ E ⎟,
yy
yz ⎠ ⎝
y ⎠
0 ⎝ yx
Ez
zx
zy
zz
0 ( xx · Ex + xy · Ey + xz · Ez ) .
xx
xy
(2.39)
(2.40)
xz
(2.41)
23
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
Beispielaufgabe zum schrägen Wurf :
Ein Ball wird von einer 100 m hohen Klippe (direkt an der Kante) mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v0 = 30 m/s unter einem Winkel von 45◦ nach oben auf
das Meer hinausgeschossen. (Aspekte des Umweltschutzes sollen hier ausnahmsweise außer Acht gelassen werden. Und der Ballradius wird vernachlässigt, i.e.
der Ball wird als punktförmig angenommen.) Wann wird der Ball auf der ebenen Wasseroberfläche auftreffen ? Wie weit entfernt von der Klippe wird der Ball
auftreffen ?
Bei der Berechnung der Zeit bis zum Auftreffen wird Ihnen eine 2. mögliche Lösung über den Weg laufen, die hier aber nicht relevant ist; für welche Situation
steht diese Lösung ? √
(sin 45◦ = cos 45◦ = 2/2 ≈ 0, 7)
Annahmen/Anfangsbedingungen:
Erdbeschleunigung: g ≈10 m/s2 ,
Koordinatenursprung im Ausgangspunkt: r(t = 0) = 0, x0 = 0, z0 = 0
Bewegung in der (x-z)-Ebene, d.h. y = 0 überall,
positive z-Richtung nach oben,
der 1. Aufschlagpunkt hat als z-Koordinate: z = h = −100 m
⎛
⎜
r(t) = ⎜
⎝
x(t)
0
z(t)
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
vx · t (+x0 )
0
1 2
− 2 gt + vz · t (+z0 )
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
v0 · cos 45◦ · t
0
1 2
− 2 gt + v0 · sin 45◦ · t
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.42)
nach der Zeit bis zum Aufschlagen: i.e. ta :
⎛
⎜
r(ta ) = ⎜
⎝
x(ta )
0
z(ta )
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
x(ta )
0
h
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
v0 · cos 45◦ · ta
0
1 2
− 2 gta + v0 · sin 45◦ · ta
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.43)
Berechnung von ta aus der z-Koordinate:
1
h = − gt2a + v0 · sin 45◦ · ta (quadratische Gl.)
2
1
⇒ − gt2a + v0 · sin 45◦ · ta − h = 0
2
2
2
⇒ t2a − v0 · sin 45◦ · ta + h = 0
g
g
⇒ Viëta :
ta1,2
1
= + v0 · sin 45◦ ±
g
1
v
g 0
·
sin 45◦
(2.44)
(2.45)
(2.46)
2
2
− h,
g
>0
letzteres auch „pg“-Formel genannt.
24
(2.47)
2.2. Bewegungsgleichung - gleichförmig beschleunigte Bewegung
Da h < 0, steht ta2 für eine Lösung zu negativen Zeiten (also vor dem Wegschießen des Balls), ist hier also irrelevant. Sie entspricht dem Fall, dass der Ball
landauswärts von der Höhe -100 m schräg nach oben geschossen wird (falls das
ginge) und im Koordinatenursprung gerade die Geschwindigkeit v0 und einen
Winkel von 45◦ landauswärts nach oben innehat.
ta1
1
= v0 · sin 45◦ +
g
1
=
30 · 0, 7 s +
10
= 2s +
⇒
√
1
v0
g
·
sin 45◦
2
2
1
30 · 0, 7 s
10
2
− h
g
−
2
(−100) s2
10
4 s2 + 20 s2 ≈ 2 s + 5 s = 7 s
x(ta1 ) = v0 · cos 45◦ · ta = 30
(2.48)
m
· 0, 7 · 7 s ≈ 150 m .
s
(2.49)
(2.50)
(2.51)
25
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
mathematischer Einschub III :
Betrag eines Vektors p :
⎛
⎜
p = (px , py , pz ) ≡ ⎜
⎝
p ≡ | p | =
p2x
+
p2y
+
p2z
px
py
pz
⎞
⎟
⎟
⎠
(2.52)
= p · p = p 2
(2.53)
(Pythagoras in 3D; rechtes Teilbild perspektivisch gezeichnet)
Skalarprodukt zweier Vektoren s und q:
⎛
⎜
s = ⎜
⎝
sx
sy
sz
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
, q = ⎜
⎝
⎜
qx
qy
qz
⎞
⎟
⎟
⎠
⇒
s · q = sx · qx + sy · qy + sz · qz .
(2.54)
Das Skalarprodukt verschwindet nicht, wenn die Vektoren von Null verschiedene
Komponenten in derselben Richtung haben; sonst z.B.:
⎛
⎜
s = ⎜
⎝
sx
0
0
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
, q = ⎜
⎝
⎜
0
qy
0
⎞
⎟
⎟
⎠
⇒
(2.55)
s · q = s · q =| s | · | q | · cos ϕ
(2.56)
s · q = s · q = | s | · cos ϕ · | q | .
(2.57)
26
s · q = 0 ;
=|s |
=|q |
2.2. Bewegungsgleichung - gleichförmig beschleunigte Bewegung
27
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
2.3. Bewegungsgleichung - Bew. mit nicht-konstanter
Beschleunigung (geradlinig oder krummlinig)
für krummlinige Bewegungen: gedankliche Zerlegung der Bahnkurve in Kreisanteile
VERSUCH: Veranschaulichung Kreisbewegung
sin(dϕ) ≈ tan(dϕ) ≈ dϕ
Einführung einer Momentan-Winkelgeschwindigkeit ω :
ω=
dϕ ds/R
1 ds
v
=
=
=
,
dt
dt
R dt
R
v =ω·R
mit der Bahngeschwindigkeit v . Die Dimension von ω ist 1 s1 ≡ 1 rad
s .
28
(2.58)
2.3. Bewegungsgleichung - Bew. mit nicht-konstanter Beschleunigung (geradlinig oder krumm
Das bedeutet für die Beschleunigung mit dem zeitlich veränderlichen tangentialen
Einheitsvektor eˆt und dem zeitlich veränderlichen radialen Einheitsvektor eˆr ≡
eˆn :
dv
d
a =
= (v · eˆt )
dt
dt
Nebenrechnungen: eˆ 2t
deˆt
Ableitung: 2 · eˆt ·
dt
P roduktregel
=
=
=
dv ˆ
deˆt
· et + v ·
dt
dt
ˆ
ˆ
et · et = 1 = const
deˆt
0 ⇒ eˆt ⊥
dt
(2.59)
(2.60)
(2.61)
=eˆr ≡eˆn
und dϕ = ω · dt
⇒
deˆt
v·
dt
Zeichnung
=
=
Gl. (2.62)
=
⎛
| deˆt |
dϕ
deˆt
ˆ
= | det | ⇒
=|
| (2.62)
dt
dt
| eˆt |
deˆt ˆ
(2.63)
v· |
| ·er
dt
dϕ ˆ
v·
(2.64)
· er = v · ω · eˆr
dt
⎞
⎜
⎟
⎜ d
eˆt ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ dt ⎟
⎝ ⎠
=eˆr ≡eˆn
gibt an, mit welcher Winkelgeschwindigkeit sich die Tangente dreht.
29
2. Kinematische Begriffe: Geschwindigkeit & Beschleunigung
a
Gl. (2.59)
=
dv ˆ
deˆt
dv ˆ
· et + v ·
=
· et + v · ω · eˆr ;
dt
dt
dt at
v
=
⇒
const
(2.65)
ar
nur ar = 0 .
(2.66)
Die Größen at und ar heißen Tangential- und Radialbeschleunigung.
bei gleichförmiger Kreisbewegung (Radius jetzt „r“):
at = 0
⇒
a = ar ≡ an = v · ω · eˆr
= (ω · r) · ω · eˆr
= ω 2 · r · eˆr
= ω 2 · r · (−rˆ) Zentripetalbeschl.
| a | = ω 2 r .
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)
(2.71)
(2.72)
Die Winkelgeschwindigkeit ω kann als Vektor (Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt) aufgefasst werden:
ds r · dϕ
=
= r·ω = ω ·r,
dt
dt
1
v = ω
× r , ω
= 2 (r × v ) .
r
v =
(2.73)
(2.74)
Wenn die vier Finger der rechten Hand (jenseits des Daumens) den Drehsinn der
Rotation angeben, zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung von ω
.
30
2.3. Bewegungsgleichung - Bew. mit nicht-konstanter Beschleunigung (geradlinig oder krumm
mathematischer Einschub IV :
c = a × b ,
| c | = | a | · | b | · | sin ϕ |
= a · b · | sin ϕ |
⎛
⎞
ay b z − az b y
⎜
⎟
⎟
c = ⎜
⎝ az bx − ax bz ⎠
ax by − ay bx
⎛
⎞
⎛
⎞
ax
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
Spezialfall: a = ⎜
⎝ 0 ⎠ , b = ⎝ by ⎠
0
0
⎛
⎞
0
⎜
⎟
⎟
⇒ c = a × b = ⎜
⎝ 0 ⎠
cz
(2.75)
(2.76)
(2.77)
(2.78)
(2.79)
(2.80)
31
3. Grundbegriffe der Dynamik: Masse und Kraft
3.1. Kräfte
Newton (1643-1727)
• Gründe für krummlinige Bahnkurven und beschleunigte geradlinige Bewegungen sind Kräfte auf den Massepunkt bzw. Körper.
• Kräfte sind Vektoren und addieren sich entsprechend vektoriell:
F =
Fi .
(3.1)
i
SIMULATION: vektorielle Kräfteaddition
Die Dimension der Kraft ist 1 N .
• Kräfte verursachen Beschleunigungen.
• Kräfte (Betrag und/oder Richtung) sind häufig vom Ort abhängig; es wird von
Kraftfeldern F (r) gesprochen.
• homogenes Kraftfeld: F (r) = const .
• Hat die Kraft nur eine Radialkomponente zu einem Zentrum des Kraftfelds,
wird von einem Zentral-Kraftfeld gesprochen.
• Für kleine Winkelausschnitte und kleine Unterschiede im Abstand zum Zentrum der Bewegung können Zentral-Kraftfelder als homogene Kraftfelder betrachtet und behandelt werden.
3.2. Grundgln. der Mechanik - die Newtonschen Axiome
3.2. Grundgln. der Mechanik - die Newtonschen Axiome
... zur Beschreibung der Bewegung von Körpern als Folge von Kräften
Experimente → Grundannahmen (Axiome) → Grundgln. z.B. nach Newton
• 1. und 2. Newtonsches Axiom:
zunächst - Definition des Impulses:
p = m · v
(3.2)
eines Massepunktes/Teilchens/Körpers.
Newton sah die Ursache einer Impulsänderung in der auf das Teilchen wirkenden
Kraft1 :
dp
F =
= p˙ .
(3.3)
dt
Vor der Ableitung könnte auch eine Proportionalitätskonstante stehen, die Newton aber = 1 gesetzt hat.
Fall 1 - 1. Newtonsches Axiom:
F = 0
⇒
p = const ;
(3.4)
das ist der Impuls(erhaltungs)satz.
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen (v = const),
geradlinigen (v = const) Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.
Der Impuls eines kräftefreien Massepunktes/Teilchens/Körpers ist konstant.
Die Eigenschaft des Körpers, die in diesem Axiom beschrieben wird, heißt Trägheit. Seine Masse wird „träge Masse“ genannt (VERSUCH: Tonkrüge).
Fall 2 - 2. Newtonsches Axiom:
F = 0
⇒
p = const .
(3.5)
Impulsübertrag Δp oder dp = Kraftstoß:
(2)
(2)
F dt =
(1)
1
(1)
(2)
dp
dt = dp = Δp .
dt
(1)
(3.6)
Umgekehrt führt eine Impulsänderung über das 3. Newtonsche Axiom ggf. zu einer (Gegen-) Kraft.
33
3. Grundbegriffe der Dynamik: Masse und Kraft
Die Kraft ist ggf. nicht nur mit einer Beschleunigung verknüpft, sondern auch
mit einer Masseänderung (VERSUCH: Wasserrakete):
d
dm
dv
dm
dp
= (m · v ) =
· v + m ·
≡
· v + m · a ;
F =
dt
dt
dt
dt
dt
(3.7)
nur bei zeitlich konstanter Masse:
dv
F = m ·
≡ m · a
dt
∝
proportional
m.
(3.8)
Da die Kraft für die Bewegungsänderung proportional zur Masse ist, kann die
Masse als Grund für die Trägheit gesehen werden.
Ist F die Gewichtskraft, wird m auch „schwere Masse“ genannt.
• 3. Newtonsches Axiom:
’actio = reactio’ bei zwei wechselwirkenden Körpern:
F12 = −F21 .
(3.9)
VERSUCH: zwei Leute auf zwei Wägelchen - mit Seil verbunden
= M · a (wobei a A) sind die
Bei sehr ungleichen Massen, m M , mit m · A
Beschleunigungen sehr unterschiedlich.
34
3.3. Reduzierte Masse (mehrere Massen, z.B. zwei)
3.3. Reduzierte Masse (mehrere Massen, z.B. zwei)
dv1
F12 = m1 ·
dt
F12
dv1
⇒
=
,
m1
dt
dv2
F21 = −F12 = m2 ·
dt
F12
dv2
,
⇒
= −
m2
dt
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
bei Addition der Gln. (3.11) & (3.13):
1
1 d
F12 =
+
(v1 − v2 )
m1 m2
dt (3.14)
≡v12
⇒
F12 =
1
1
m1
+
1
m2
·
d
(v1 − v2 ) .
dt (3.15)
≡v12
Ein Ausdruck von der Form
dv12
(3.16)
F12 = μ
dt
mit einer sogenannten „reduzierten Masse“ μ wäre hilfreich (Dimension von μ =
1 kg), um gewohnte Denk- und Schreibweisen beibehalten zu können;
⇒
μ≡
1
m1
1
+
1
m2
= 1/
m2 + m1
m1 · m2
=
;
m1 · m2
m1 + m2
1
1. Beispiel: m1 = m2 ≡ m ⇒ μ = m .
2
(3.17)
(3.18)
2. Beispiel - System aus Erde und Mond:
mErde = 81 · mM ond
⇒
μ ≈ 0, 99 · mM ond .
(3.19)
Die reduzierte Masse ist etwas kleiner als die kleinere der beiden Massen.
35
3. Grundbegriffe der Dynamik: Masse und Kraft
Energien im Fall von 2 Massepunkten (i = 1, 2):
1) Laborsystem,
2) Schwerpunktsystem: Schwerpunkt im Nullpunkt
Geschwindigkeitsvektoren der Massepunkte im Laborsystem: vi ,
Geschwindigkeitsvektor des Schwerpunkts im Laborsystem: vs ,
Geschwindigkeitsvektoren der Massepunkte im Schwerpunktsystem: vis ,
Geschwindigkeitsvektor des Schwerpunkts im Schwerpunktsystem: 0 ,
Relativgeschwindigkeit:
v12 = v1 − v2 = (vs + v1s ) − (vs + v2s ) = v1s − v2s ,
Gesamtmasse M = m1 + m2 .
Ennergie innerhalb des Schwerpunktsystems:
(s)
Ekin =
2
1
1
1 2
2
2
2
mi vis
= (m1 v1s
+ m2 v2s
) = μv12
,
2
2
i=1 2
(3.20)
Energie im Laborsystem:
1
1
1
1 2
(s)
Ekin = m1 v12 + m2 v22 = Ekin,aussen + Ekin = M vs2 + μv12
2
2
2
2
36
(3.21)
4. Übergeordnete Begriffe: Arbeit und Energie
4.1. Energie, Arbeit und Leistung
Ein Körper werde längs eines im Allgemeinen gekrümmten Weges verschoben.
Dazu wird an dem Körper Arbeit (Wi , dW, W ) als skalare Größe geleistet; Fi
seien die Kräfte auf den Teilstrecken Δri :
ΔWi = Fi · Δri
,
W =
ΔWi =
i
(4.2)
für Δri → dr :
dW (r) = F (r) · dr ,
(4.3)
(4.4)
P unkt 2
F (r) · dr .
dW =
W =
(4.1)
i
Fi ⊥ Δri ⇒ ΔWi = 0 ;
P unkt 2
Fi · Δri ;
P unkt 1
(4.5)
P unkt 1
(Momentan-) Leistung (skalare Größe):
P =
dW
.
dt
(4.6)
4. Übergeordnete Begriffe: Arbeit und Energie
4.2. Konservative Kraftfelder
Kraftfelder werden konservativ genannt (dies ist eine Definition), wenn auf einem
geschlossenen Weg (→ Linienintegral ) insgesamt keine Arbeit geleistet wird:
WW eg a = −WW eg b
(4.7)
Homogene Kraftfelder sind konservativ.
Zeitunabhängige Zentralkraftfelder sind konservativ.
Zeitabhängige Kraftfelder sind nicht konservativ.
(Beispiel: elektromagnetisches Feld; Teilweg b = Rückweg von Teilweg a; beim
Rückweg einer Ladung hat sich das Feld bereits geändert)
Konservative Kraftfelder sind eine Klasse der nur vom Ort abhängigen Kraftfelder. Aber nicht jedes nur vom Ort abhängige Kraftfeld ist konservativ.
Eine reine Ortsabhängigkeit ist für konservative Kraftfelder eine notwendige, aber
keine hinreichende Bedingung.
38
4.3. Potenzielle und kinetische Energie
4.3. Potenzielle und kinetische Energie
Verlagerung eines Körpers im konservativen Kraftfeld ggf.1 mittels einer Arbeit
→ Der Körper enthält dadurch ggf. eine potenzielle Energie2 (nur in konservativen Kraftfeldern ist die Definition einer potenziellen Energie sinnvoll):
ΔEpot,i = −Fi · Δri
oder Epot =
ΔEpot,i
Minuszeichen=Konvention
=−
Fi · Δri
i
(4.9)
i
bzw. dEpot = −F (r) · dr
oder Epot =
(4.8)
dEpot = −
(4.10)
F (r) · dr
(4.11)
Die potenzielle Energie des Körpers kann in kinetische Energie (Energie der Bewegungen, i. e. Translationen oder Rotationen) umgesetzt werden3 :
Ekin =
1
1
m v 2 = m (ω · r)2 .
2
2
(4.12)
Energieerhaltungssatz der Mechanik:
Epot + Ekin = Egesamt = const .
(4.13)
1
Nur wenn die Bewegungsänderung eine Komponente parallel zur Kraft und gegen die Kraft hat, wird Arbeit
geleistet. Nur dann bedeutet die Arbeitsleistung auch den Aufbau von potenzieller Energie.
2
Arbeit wird gegen die Kraft geleistet.
3
mit der Kreisfrequenz ω (pro Zeiteinheit überstrichenes Bogenmaß) und dem Radius r
39
4. Übergeordnete Begriffe: Arbeit und Energie
F dr ,
dEpot
umgekehrt(?): F = −
.
dr
Epot = −
(4.14)
(4.15)
Vorsicht bei dieser unüblichen Schreibweise ! Besser neue Schreibweise:
Epot (r) ≡ −∇E
pot (r)
F (r) = −grad
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
⎛
⎞
⎞
∂
E
Fx
pot
⎜ ∂x
⎟
⎟
⎜ ∂
⎟
E
⎜
⎟ (
Fy ⎟
(
r
)
=
−
r)
⎠
⎝ ∂y pot ⎠
∂
Fz
∂z Epot
≡
≡ grad
Nabla-Operator ∇
⎛
⎜
F (r) = ⎜
⎝
40
(4.16)
(4.17)
(4.18)
4.4. Beispiel
4.4. Beispiel
... Atwoodsche Fallmaschine (VERSUCH)
mit der potenziellen Energie der Lage/Höhe Epot = m · g · h (homogenes Kraftfeld
angenommen)
M1 = M2 ≡ M ,
⇒ ΔEpot,M1 = −ΔEpot,M2
(4.19)
(4.20)
ΔEpot,M1 und ΔEpot,M2 brauchen daher nicht berücksichtigt zu werden.
(4.21)
Energiesatz: Epot,vorher + Ekin,vorher = Epot,nachher + Ekin,nachher ;
vorher: Egesamt = Epot,vorher = m · g · hvorher ,
(4.22)
nachher: Egesamt = Epot,nachher + Ekin,nachher
(4.23)
1
1
= mghnachher + (M1 + m)v 2 + M2 v 2
2
2
(4.24)
1
1
2
(M
+
m)v
M v2
−
h
)
=
+
(4.25)
⇒ mg(h
vorher
nachher
2
2
=Δh
1 2
v (M + m + M )
2
2mg · Δh
⇒ v = ;
2M + m
Beispiel: M = 2, 015 kg , m = 35 g , Δh = 1 m
m
⇒ v = 0, 42
laut Rechnung.
s
⇒
mg · Δh =
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
Im Experiment wird eine geringere Geschwindigkeit gemessen, weil ein Teil der
Energie in die Rotation der Aufhängerolle fließt; das wurde in der Rechnung nicht
berücksichtigt.
41
5. Impuls
5.1. Grundbegriffe
N Massepunkte im System mit den Ortsvektoren ri , i ∈ {1, ..., N }
Für den Ortsvektor des Schwerpunkts im Laborsystem gilt
(Schwerpunkt-Definition im diskretisierten Fall):
N
rs =
i=1
N
N
miri
i=1
=
i=1
miri
M
mi
1
=
M
N
miri .
(5.1)
i=1
Schwerpunktgeschwindigkeit, Einzelimpuls, Gesamtimpuls = Schwerpunktimpuls:
N
1
drs
=
dt
M
pi = mi · vi ,
vs =
Ps =
N
mivi ,
i=1
(5.3)
N
pi =
i=1
(5.2)
(mi · vi ) = M · vs .
(5.4)
i=1
Wenn keine äußeren Kräfte wirken (F = 0), also nur innere Wechselwirkungen
vorliegen, wird von einem „abgeschlossenen System“ gesprochen.
Wegen des Newtonschen Axioms ’actio = reactio’ heben sich alle inneren Wechselwirkungen insgesamt auf; damit gilt:
Ps =
N
pi = const .
(5.5)
i=1
Im Fall mit äußerer Kraft (F = 0) gilt:
˙
F = M · as = Ps
mit as als Schwerpunktbeschleunigung.
(5.6)
5.2. Beschreibung in verschiedenen Bezugssystemen
5.2. Beschreibung in verschiedenen Bezugssystemen
1) Laborsystem,
2) Schwerpunktsystem: Schwerpunkt im Nullpunkt
Ortsvektoren der Massepunkte im Laborsystem: ri ,
Ortsvektor des Schwerpunkts im Laborsystem: rs ,
Ortsvektoren der Massepunkte im Schwerpunktsystem: ris ,
Ortsvektor des Schwerpunkts im Schwerpunktsystem: 0 .
ri = ris + rs ,
1 N
miri ,
rs =
M i=1
1 N
0 =
miris im Schwerpunktsystem
M i=1
⇒
⇒
N
0 =
miris
i=1
N
N
mivis =
i=1
(5.7)
pis = 0 ;
(5.8)
i=1
Die Summe aller Impulse im Schwerpunktsystem ist immer null.
bei 2 Teilchen: m1 · v1s = −m2 · v2s .
43
6. Anwendungen von Impuls- und Energiesatz:
Stöße
6.1. Stöße zwischen zwei Teilchen
Impulserhaltungssatz & Energieerhaltungssatz
VERSUCH: Perkussionspendel
1. Fall: Perkussionspendel, experimentell:
vnachher = vvorher
mnachher = mvorher
Impulserh.satz: (2m) · v
1
Energieerh.satz:
(2m) · v 2
2
≡ v
≡ 2m
√
= (2m) · v
√
1
= (2m) · v 2
2
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
2. Fall: Perkussionspendel, hypothetisch:
vnachher = 2vvorher
1
mnachher = mvorher
2
Impulserh.satz: (2m) · v
1
(2m) · v 2
Energieerh.satz:
2
≡ 2v
(6.5)
≡ m
(6.6)
√
= m · (2v)
1
1
= m · (2v)2 = 4mv 2
2
2
(6.7)
(6.8)
6.1. Stöße zwischen zwei Teilchen
allg. Impulserh.satz:
p + p 1 2
nachher
= p1 +
p
2
(6.9)
vorher
1 2
1 m2 v 2
1 p2
Energie:
mv =
=
,
2
2 m
2m
1 p2
1 p2
1 p21
1 p22
1
2
Energieerh.satz:
+
=
+
+
2 m1 2 m2
2 m1 2 m2
(6.10)
Q
inn. Energie
(6.11)
(oft Massengleichheit vorher nachher)
Q = 0 : elastischer Stoß,
Q < 0 : inelastischer Stoß,
Q > 0 : superelastischer Stoß.
45
6. Anwendungen von Impuls- und Energiesatz: Stöße
6.2. Beispiele für Stöße in 1D
... hauptsächlich vollständig elastische Stöße
VERSUCHE dazu
6.2.1. Beispiel 1
m1 = m2 , m2 ruht vor dem Stoß
v2 = 0 , v1 = 0
v2 = v1 ;
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Impulsübertrag 100%, Energieübertrag 100%.
6.2.2. Beispiel 2
(elastischer Stoß gegen Wand)
m M , M → ∞ , M ruht
Beobachtung: vm = −vm , vM ≈ 0
m · vm + M · 0 = m · vm + [M · vM ]
(6.15)
(6.16)
(6.17)
⇒
P latzhalter
m · vm + 0 = −m · vm + [
⇒
M · vM = +2m · vm
m
⇒ vM = +2 · vm
M
lim vM = 0 ;
2m · v
]
m
muss hier stehen
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)
M →∞
Impulsübertrag | 2 m vm | = 200%, Energieübertrag 0 .
6.2.3. Generelles zum Impulsübertrag
Newton 3 (actio = reactio):
Newton 2:
⇒ beim Stoß:
ein dt
⇒
F1 = −F2 ,
F = p˙
p˙1 = −p˙2
dp1 = −dp2
Kraftstoß: p =
46
dp =
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(Impulsübertrag) .
F (r) dt .
(6.25)
(6.26)
6.2. Beispiele für Stöße in 1D
Abbildung 6.1.: („dp“ hier „Δp“ genannt)
47
6. Anwendungen von Impuls- und Energiesatz: Stöße
6.2.4. Beispiel 3
(leichte Masse ruht zunächst)
m1 = 2m2
Impulserh.satz m1 · v1
⇒ 2m2 · v1
1
Energieerh.satz
m1 · v12
2
1
⇒
(2m2 ) · v12
2
/(2m2 )
(6.29) ⇒ v1
/m2
(6.31) ⇒ v12
1
1
(6.32) → (6.33) ⇒ v12 + 2 v1 v2 + v22
2
4
⇒
v1 · v2
⇒
v1
(6.36) → (6.32) ⇒ v1
⇒
v2
(6.36) → (6.38) ⇒ v1
, m2 ruht vor dem Stoß (6.27)
= m1 · v1 + m2 · v2 ,
(6.28)
= 2m2 · v1 + m2 · v2 ,
(6.29)
1
1
m1 · v12 + m2 · v22 , (6.30)
=
2
2
1
1
(2m2 ) · v12 + m2 · v22 ;(6.31)
=
2
2
1
= v1 + v2
(6.32)
2
1
= v12 + v22
(6.33)
2
1
= v12 + v22
(6.34)
2
1
= v22
(6.35)
4
1
= v2 ,
(6.36)
4
1
1
3
= v2 + v2 = v2
(6.37)
4
2
4
4
= v1 ,
(6.38)
3
1
1
= v2 = v1 .
(6.39)
4
3
6.2.5. Beispiel 4
(schwere Masse ruht zunächst)
1
m1 = m2 , m2 ruht vor dem Stoß
2
2
1
1
v2 = + v1 , v1 = − v2 = − v1 .
3
2
3
6.2.6. Beispiel: (vollständig) inelastischer Stoß
VERSUCH dazu: Schlitten mit Klebeband auf Luftkissenschiene
48
(6.40)
(6.41)
6.3. Beispiel zur Warnung vor Problemen mit veränderlichen Massen
6.3. Beispiel zur Warnung vor Problemen mit veränderlichen
Massen
Schüttvorgang: Verhältnisse bei der Befüllung eines fahrenden Güterzuges von
oben;
Lösung über den Impulssatz mit der Massenänderungsrate A :
dpZug
=
dt
=
0
Faussen =0 in F ahrtr.
⇒
t
0
v(t)
⇒
v0
⇒
(6.42)
v̇
ṁ
= −
v
m
(6.43)
t
1 dv
1 dm
dt = −
dt
v dt
m
dt
0
⇒
⇒
d
[m(t) · v(t)] = ṁ · v + m · v̇
dt
(6.44)
m(t)
1
1
dv = −
dm
v
m m
(6.45)
0
[ln v]v(t)
v0
m(t)
= −[ln m]m
0
(6.46)
ln v(t) − ln v0 = −[ln m(t) − ln m0 ]
(6.47)
v(t)
m(t)
m0
m0
v(t)
⇒ ln
= − ln
= ln
=
⇒
(6.48)
v0
m0
m(t)
v0
m(t)
m0
m0
1
⇒ v(t) = v0 ·
= v0 ·
= v0 ·
m(t)
m0 + A · t
1 + mA · t
0
(6.49)
Falsche Herleitung über den falsch formulierten Energiesatz1 :
!
(falsch:)
/v
⇒
1
"
dE
1
d 1
=0 =
m(t)v 2 (t) = (ṁv 2 + m2v v̇)
dt
dt 2
2
1
(ṁ · v + m · 2v̇) = 0
2
v̇
1 ṁ
⇒
= − ·
⇒
v
2 m
1
= − [ln m]m(t)
⇒ [ln v]v(t)
v0
m0
2
(6.50)
(6.51)
t
0
v̇
1 t ṁ
dt = −
dt
v
20 m
(6.52)
(6.53)
Potenzielle Energie der Höhenlage wird hier allerdings sowieso nicht berücksichtigt, da sie nur mit der Höhendimension zu tun hat, die für diese Aufgabe keine Rolle spielt.
49
6. Anwendungen von Impuls- und Energiesatz: Stöße
1
ln v(t) − ln v0 = − [ln m(t) − ln m0 ]
2
m
1
v(t)
ln 0 ;
=
⇒ ln
v0
2 m(t)
# $a
Nebenbemerkungen: ea·b = (ea )b = eb ,
√
#
$1/2
1
= b1/2 ≡ b ;
e 2 ·ln b = eln b
m
v(t)
= 0
⇒
v0
m(t)
m
falsch!
⇒ v(t) = v0 · 0
m(t)
⇒
(6.54)
(6.55)
(6.56)
(6.57)
(6.58)
(6.59)
Richtige Anwendung des Energiesatzes bedeutet, dass die nur vertikal fallende
eingeschüttete Masse kinetische Energie für die Bewegung in Schienenrichtung
mitbekommen muss, die dem Güterzug mit der bisher schon eingeschütteten
Masse entzogen wird:
t
ΔE =
0
1
1
1 2
Av dt = m0 v02 − mv 2 .
2
2
2
(6.60)
Eine ähnliche Überlegung muss für die Impulsübertragung an die gerade herab
rieselnde Masse gelten. Wegen des Prinzips ’actio = reactio’ bedeutet das aber
gleichzeitig einen entsprechenden zweiten zusätzlichen Term mit umgekehrtem
Vorzeichen; die Impulserhaltung ist also automatisch berücksichtigt, selbst wenn
man nicht an sie denkt.
50
7. Drehbewegungen
7.1. Drehmoment, Drehimpuls, Drehimpulserhaltung
VERSUCH: Auslenkung einer Torsionsfeder mit Federwaage
wichtig, mit
Bei Rotationsbewegungen ist statt der Kraft das Drehmoment D
dem berücksichtigt wird, an welchem Hebelarm und in welcher Richtung zum
:1
Hebelarm die Kraft angreift; an die Stelle des Impulses tritt der Drehimpuls L
Drehmoment: D
Drehimpuls: L
D
=0
Drehimpulserh.satz: D
= r × F = −F × r ,
= r × p = m · r × v ;
˙ ,
= L
= const ;
⇒ L
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Drehimpulsübertrag = Drehmomentenstoß:
(2)
(2)
dt =
D
(1)
(1)
(2)
dL
= ΔL
.
dt = dL
dt
(1)
⊥ r , L
⊥ v ,
L
⎛
ypz − zpy
⎜
⎜
L = ⎝ zpx − xpz
xpy − ypx
1
Reihenfolge der Vektoren wichtig; denn: b × a = −a × b .
⎞
⎟
⎟
⎠
(7.5)
(7.6)
(7.7)
7. Drehbewegungen
bei einer gleichförmigen Kreisbewegung:
= m (r × ( vr +vt )) = m (r × vr +r × vt ) = m r × v
L
(=0)
≡v
=0
| = m· | r | · | v | · | sin ∠(r, v ) |
L ≡| L
=1
2
= mrv = mr(ωr) = mr ω = mr2 ϕ̇ ;
= mr2 ω
.
L
VERSUCHE zum Drehimpulserhaltungssatz:
Drehschemel und Fahrradfelge (nur qualitativ)
52
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
7.2. Beispiel
7.2. Beispiel
... zur momentanen Drehachse und zum Angriffspunkt der Kraft
.
r × F = D
= dL ,
D
dt
;
D dL
vorher Null ⇒ dL
L
neue Bewegung
L
dL
ω
⇒ D
.
(7.12)
(7.13)
(7.14)
(7.15)
Garnrolle: (VERSUCH)
• Die momentane Drehachse ist zu beachten (Auflagelinie der Rolle auf der Unterlage) ! Und der Angriffspunkt der Kraft ist zu beachten !
immer in die Nor• Bei jeder Bewegung in einer Ebene zeigt der Drehimpuls L
ω
malenrichtung, also senkrecht zur Ebene; denn dann: L
.
53
8. Trägheitsmoment
8.1. Modell des starren Körpers
N
Volumen: V =
ΔVi ,
(8.1)
Δmi .
(8.2)
i=1
N
Masse: M =
i=1
Einführung einer (Massen-) Dichte mit der Dimension 1 kg/m3 :
Δm
,
ΔV
ρ ≡
bei Orstabh.: ρi =
N
⇒
N
Δmi =
M =
i=1
Δmi
ΔVi
ρi · ΔVi .
(8.3)
(8.4)
i=1
Grenzübergang für sehr, sehr viele Masseelemente:
⎛
V =
M =
V
⎞
lim
⎝
lim
i=1
⎛
N
⎝
ρ
N →∞,ΔVi →0
N →∞,ΔVi →0
dV =
mit
N
ΔVi ⎠ =
i=1
dx dy dz .
z y x
dV ,
(8.5)
V
⎞
i
· ΔVi ⎠ =
ρ dV
(8.6)
V
(8.7)
8.1. Modell des starren Körpers
Masseschwerpunkt:
mit Einzel-Masseelementen Δmi :
N
rs =
(ri · Δmi )
i=1
N
i=1
=
Δmi
1
M
N
ri · ρi · ΔVi ;
(8.8)
i=1
jetzt Grenzübergang:
rs =
1
M
r ρ(r) dV =
=dm
1
M
r dm .
(8.9)
bei homogenen Körpern:
ρ(r) = const =
⇒
rs =
ρ
M
M
V
r dV =
(8.10)
1
V
r dV .
(8.11)
55
8. Trägheitsmoment
8.2. Kräfte und Kräftepaare
Der Schwerpunkt S sei der Drehpunkt.
Der Angriff einer Kraft führt im Allg. zu einer Rotation um den Drehpunkt.
Bei Angriff der Kraft im Schwerpunkt ist das Drehmoment null,
weil der Hebelarm dann keine Länge hat;
= r × F = 0 × F = 0 .
D
(8.12)
8.3. Bewegung eines starren Körpers
im Schwerpunktsystem:
ris = ri − rs ,
dris
= vis = vi − vs ,
dt
vis = ω
× ris
(8.13)
vis ⊥ ris ,
(8.14)
(8.15)
als momentane Winkelgeschwindigkeit.
mit vis als Bahngeschwindigkeit und ω
Noch - wie bisher: ri ist der Ortsvektor zum i-ten Masseelement im Laborsystem.
Daraus folgt für das Laborsystem:
vi = vs + vis = vs + ω
× ris .
Es gibt 6 Freiheitsgrade der Bewegung:
3 Translationen und
Rotationen um 3 Drehachsen.
56
(8.16)
8.4. Trägheitsmoment und Rotationsenergie
8.4. Trägheitsmoment und Rotationsenergie
8.4.1. Definitionen und Zusammenhänge
Drehung des starren Körpers um eine feste Drehachse A, keine Translation
Der Vektor ri hat ab hier eine neue Bedeutung; es handelt sich nun um den
Abstandsvektor von der Drehachse zum i-ten Masseelement,
senkrecht zur Drehachse (ri ≡ ri⊥ ).
Die Energie eines Masseelements Δmi ist:
1
1
Ekin,i ≡ Erot,i = Δmi · vi2 = Δmi · ri2 ω
2 .
2
2
(8.17)
Die gesamte Rotationsenergie ergibt sich im Grenzübergang für extrem viele
Masseelemente - zu jedem festen Zeitpunkt - wie folgt:
⎞
⎛
Erot
1 N
1 2
⎝
=
lim
Δmi · ri2 ω
2⎠ = ω
r2 dm ;
N →∞,Δmi →0 2 i=1
2 M
≡I
(8.18)
I ist das Trägheitsmoment relativ zur Drehachse A.
Mit der Massendichte ρ und dm = ρ dV :
r2 dm =
I =
M
⇒
Erot
1
= Iω 2 .
2
r2 ρ dV
(8.19)
V
(8.20)
57
8. Trägheitsmoment
8.4.2. Korrespondierende Größen bei Translation und Rotation
Beispiel: Torsionspendel mit dem „Richtmoment“ Dr :
VERSUCHE: Torsionspendel mit Massestück, Federpendel
| ≡ D = −Dr ϕ
|D
Drehmoment
Eigenfrequenz ω0 =
Dr
I
(8.21)
(8.22)
analog zur Translation beim Federpendel der Masse m :
ω0 =
D̃
m
(8.23)
mit D̃ als Federkonstante.
Der Drehimpuls des Masseelements - bei raumfester Drehachse:
i = ri × (Δmivi ) = r2 · Δmi · ω
L
i
(8.24)
Daraus folgt für den Drehimpuls des ganzen Körpers:
und für das Drehmoment:
= Iω = I ϕ
L
˙
(8.25)
=L
˙ = I ϕ
D
¨
(8.26)
und für die Gesamtrotationsenergie:
Erot =
2
L2
L
≡
.
2I
2I
nochmals VERSUCH Drehschemel mit Hanteln
58
(8.27)
8.4. Trägheitsmoment und Rotationsenergie
8.4.3. Steinerscher Satz
VERSUCH zum Steinerschen Satz
IB = IS + (BS)2 M
(8.28)
bei parallelen Drehachsen durch B und durch den Schwerpunkt S.
Das heißt, das Trägheitsmoment eines Körpers bei Rotation um eine beliebige
Achse B ist gleich IS um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt S plus
dem Trägheitsmoment der Gesamtmasse in S bezüglich B.
59
8. Trägheitsmoment
8.5. Beispielaufgabe zur Berechnung von Trägheitsmomenten
Abbildung 8.1.: zum Trägheitsmoment eines (Hohl-) Zylinders [Giancoli: Physik, Abb. 10.25]
Leiten Sie die Formel für das Trägheitsmoment I eines Hohlzylinders bei Drehung um seine Symmetrieachse mit seinem Innenradius R1 und seinem Außenradius R2 her!
Lösung:
m Masse allgemein, M Zylindermasse,
V Volumen, ρ Dichte (hier: const),
R Radius, R1 < R2
h Zylinderhöhe .
Die Masse des dR dicken Rings ist:
dm = ρ dV = ρ · (2πR · dR · h) = 2π · ρhR · dR .
(8.29)
Daraus folgt für das Trägheitsmoment:
R2
2
Ihohl =
R dm =
R1
Hohlzyl.
= 2π · ρh
2π · ρhR3 dR
R2
R1
⎡
⎤R
R4 ⎦ 2
3
⎣
R dR = 2π · ρh
4 R1
1
= 2π · ρh [R24 − R14 ]
4
1 2
= 2π · ρh (R2 + R12 )(R22 − R12 )
4
1
1
=
ρ (π(R22 − R12 ) ·h) ·(R22 + R12 ) = M (R22 + R12 ) .
2 2
60
=A
=A·h=V
=ρV =M
(8.30)
(8.31)
(8.32)
(8.33)
(8.34)
8.5. Beispielaufgabe zur Berechnung von Trägheitsmomenten
bei einem Vollzylinder:
⇒
R1 = 0
1
2
Ivoll = M R(2)
2
(8.35)
(8.36)
bei einem dünnen Ring:
R1 ≈ R 2 ≡ R
1
⇒ Iduenn = M (R2 + R2 ) = M R2
2
(8.37)
(8.38)
61
8. Trägheitsmoment
8.6. Bewegungsgleichung der Rotation eines starren Körpers
8.6.1. Parabelförmiges Winkel-Zeit-Gesetz
... bei Drehung um eine raumfeste Achse A - bei konstanter Winkelbeschleunigung infolge eines konstanten Drehmoments
D.h. ein konstantes Drehmoment erzeugt eine beschleunigte Rotationsbewegung
(Richtungsänderung!) mit linear mit der Zeit ansteigender1 Winkelgeschwindigkeit mit parabelförmigem Winkel-Zeit-Gesetz:
D ≡ D = ϕ̈I
D
⇒ ϕ̈ =
I
D
t + Cϕ̇
⇒ ϕ̇ =
I
D 2
⇒ ϕ =
t + Cϕ̇ t + Cϕ .
2I
(8.39)
(8.40)
(8.41)
(8.42)
Bei den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ̇(0) = ω0 bedeutet das:
ϕ=
1
also nicht-konstanter
62
D 2
t + ω0 t + ϕ0 , q.e.d.
2I
(8.43)
8.6. Bewegungsgleichung der Rotation eines starren Körpers
8.6.2. Jojo
VERSUCH: Jojo ≡ Maxwellsches Rad
zum Maxwellschen Rad mit Radius R und Hebelarm/Achsenradius r :
| r | R ,
= r × Mg
D
(8.44)
(8.45)
Für die Bahnbeschleunigung folgt mit dem Steinerschen Satz für den Nenner
(Vollzylinder; momentane Drehachse am Faden-„Abwickelpunkt“)2 :
a = rϕ̈ = r
rM g
D
=
=r 1
2 + M r2
I
M
R
2
g
,
+1
(8.46)
maximal erreichbar
(8.47)
R2
2r2
die um den Nenner reduzierte Erdbeschleunigung.
2
R=r ⇒ a=g·
3
r
→ 0 ⇒ a → 0.
R
2
(8.48)
Eigentlich müsste auch die Fadendicke noch berücksichtigt werden - durch nochmalige Anwendung des Steinerschen Satzes.
63
8. Trägheitsmoment
8.6.3. Zylinder auf schiefer Ebene
VERSUCHE mit 3 oder 2 Zylindern auf schiefer Ebene
1)
m1 = m2 = m3 ≡ m , r1 = r2 = r3 ≡ r , Masseverteilung unterschiedlich
Energie E, Erdbeschleunigung g :
Eges (t = 0) = mgH = mg · h(t = 0)
Eges (t > 0) = mg · h(t) + Etrans + Erot
Energieerh.satz: Eges = mg · h(t = 0) = mgH
= mg · h(t > 0) + Etrans + Erot
1
1
= mg · h(t) + mv 2 + Iω 2
2
2
1
1
= mgh + mω 2 r2 + Iω 2
2
2
1 2
= mgh + ω (mr2 + I)
2
1 2
⇒ mgH − mgh = ω (mr2 + I)
2
⇒ mit ΔH = H − h :
1
mg ΔH = ω 2 (mr2 + I) .
2
(8.49)
(8.50)
(8.51)
(8.52)
(8.53)
(8.54)
(8.55)
(8.56)
(8.57)
(8.58)
Die linke Seite der Gleichung ist gleich für alle 3 Zylinder;
mr2 ist gleich für alle 3 Zylinder.
Also: ω muss umso größer sein, je kleiner I ist und umgekehrt.
2)
Und was passiert bei zwei Zylindern mit gleichem Radius r und gleicher Masseverteilung (z.B. Vollzylinder), aber unterschiedlicher Masse m ?
Aus Gl. (8.58) folgt:
2mg ΔH
2g ΔH
=
,
mr2 + I
r2 + I/m
1
m r2
=
2
2g ΔH
2g ΔH
=
= 2
2
r + r /2
3r2 /2
4 g ΔH
=
.
3 r2
ω2 =
Ivoll
⇒
ω2
Die Masse m ist also irrelevant.
64
(8.59)
(8.60)
(8.61)
(8.62)
8.7. Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid
8.7. Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid
bisher nur raumfeste3 Achsen, jetzt Aufhebung der Beschränkung → freie Achsen
Jeder um eine freie Achse rotierende starre Körper heißt Kreisel.
Eine Translation kann immer getrennt behandelt werden.
Drehimpuls bei Rotation des Masseelements Δmi :
i =
L
=
× (B
× C)
=
Vektortheorem: A
i =
⇒ L
Δmi (ri × vi )
Δmi (ri × (ω × ri ))
· C)
B
− (A
· B)
C
(A
[r 2i ω
− (ri · ω
)ri ]Δmi .
(8.63)
(8.64)
(8.65)
(8.66)
Gesamtdrehimpuls (also für den ganzen Körper) nach Integration über alle Masseelemente Δmi → dm :
L
ri2 ω
− (ri · ω
)ri
=
(8.67)
[r2 ω
− (r · ω
)r] dm
→Grenzwertbildung
(8.68)
Körper
⎛ 2
=
=
⎞
r ωx − (xωx + yωy + zωz )x
⎜ 2
⎟
⎜ r ω − (xω + yω + zω )y ⎟ dm
y
x
y
z
⎝
⎠
2
r ωz − (xωx + yωy + zωz )z
⎛
⎞
(r2 − x2 ) ωx − xyωy − xzωz
⎜
⎟
⎜ (r 2 − y 2 ) ω − yxω − yzω ⎟ dm
y
x
z ⎠
⎝
(r2 − z 2 ) ωz − zxωx − zyωy
⎛
ωx (r2 − x2 ) dm − ωy xy dm − ωz xz dm
⎜
2
2
⎜ −ω
x yx dm + ωy (r − y ) dm − ωz yz dm
⎝
−ωx zx dm − ωy zy dm + ωz (r2 − z 2 ) dm
linear
=
(8.69)
(8.70)
⎞
⎟
⎟ (8.71)
⎠ .
Mit den Ausdrücken (für Trägheitsmomente)
Iii = (r2 − i2 ) dm ,
V
3
Iij = Iji = −
ij dm
(8.72)
V
(ohne Translation gedacht)
65
8. Trägheitsmoment
mit i, j ∈ {x, y, z} , i = j folgt aus Gl. (8.71) :
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
⇒
=⎜
⎜
L
⎝
Lx
Ly
Lz
Lx
Ly
Lz
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎞
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎜
⎜
⎝
⎞
Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz
⎟
Iyx ωx + Iyy ωy + Iyz ωz ⎟
⎠
Izx ωx + Izy ωy + Izz ωz
⎞⎛
⎞
Ixx Ixy Ixz
ωx
⎟⎜
⎟
˜ω ;
⎜
⎟
Iyx Iyy Iyz ⎟
⎠ ⎝ ωy ⎠ = I
Izx Izy Izz
ωz
=I˜
(8.73)
(8.74)
ω
⇒ im Allg.: L
.
(8.75)
I˜ heißt Trägheitstensor oder einfacher Trägheitsmatrix.
und ω
Die Vektoren L
sind im allgemeinen Fall nicht parallel zueinander!
Die Matrixkoeffizienten Iii auf der Diagonale sind die Trägheitsmomente eines
homogenen Körpers bei Rotation um die i-Koordinatenachse; Beispiel:
(r 2 − x2 ) dm =
Ixx =
M
66
((x2 + y 2 + z 2 ) − x2 ) dm = ρ (y 2 + z 2 ) dV
M
V
(8.76)
8.7. Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid
Für die Rotationsenergie (Massestück und gesamt) gilt:
1
1
Δmiv 2i = Δmi (ω × ri ) · (ω × ri ) ;
2
2
2
2
− (A
· B)
2;
× B)
· (A
× B)
= A
B
(A
1
⇒ Erot,i = [ω 2r 2i − (ω · ri )2 ]Δmi
2
Ekin,i ≡ Erot,i =
Erot (gesamt)
⇒
(8.77)
(8.78)
(8.79)
1
1
ω
2r 2i Δmi −
(ω · ri )2 Δmi
(8.80)
2
2
1
ω
2
r 2 dm −
(ω · r)2 dm
(8.81)
→
2
2
ωx2 + ωy2 + ωz2
1
r 2 dm −
(ωx x + ωy y + ωz z)2 dm
(8.82)
=
2
2
1 2
1
1
=
ωx (r 2 − x2 ) dm + ωy2 (r 2 − y 2 ) dm + ωz2 (r 2 − z 2 ) dm
2
2
2
1
−
(2ωx ωy xy + 2ωy ωz yz + 2ωx ωz xz) dm
(8.83)
2
1 2
=
(ωx Ixx + ωy2 Iyy + ωz2 Izz ) + ωx ωy Ixy + ωy ωz Iyz + ωx ωz Ixz (8.84)
2
allg.
1
2
Imomentan · ωmomentan
=
, ωmomentan = ωx2 + ωy2 + ωz2
2
=
2
·
2
ωmomentan
1 2
·
(ω Ixx + ωy2 Iyy + ωz2 Izz ) + ωx ωy Ixy + ωy ωz Iyz + ωx ωz Ixz
2 x
(8.85)
Imomentan =
Bei beliebiger Drehachse tragen alle Komponenten des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei. - Bildet die momentane Drehachse die Winkel αx , αy , αz mit
den drei Achsen x, y, z , gilt:
ωx = ωmomentan · cos αx ⇔ cos αx =
ωy = ωmomentan · cos αy
ωz = ωmomentan · cos αz
ωx
,
ωmomentan
ωy
⇔ cos αy =
,
ωmomentan
ωz
⇔ cos αz =
ωmomentan
(8.86)
(8.87)
(8.88)
67
8. Trägheitsmoment
Gl. (8.85)
Imomentan
=⇒
=
+
cos2 αx Ixx + cos2 αy Iyy + cos2 αz Izz
2 cos αx cos αy Ixy + 2 cos αx cos αz Ixz + 2 cos αy cos αz Iyz .
(8.89)
Mit dem Hilfsvektor (mit dimensionslosen Komponenten!)
⎛
⎜
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
cos αx
cos αy
cos αz
⎞
⎟
⎟
⎠
(8.90)
in Richtung von ω
lässt sich Gl. (8.89) folgendermaßen schreiben:
mit I ≡ Imomentan
I = x2 Ixx + y 2 Iyy + z 2 Izz + 2xyIxy + 2xzIxz + 2yzIyz
x2
y2
z2
xy
xz
yz
⇒ 1 = I + I + I +2 I +2 I +2 I
Ixx
Iyy
Izz
Ixy
Ixz
(8.91)
(8.92)
(8.93)
Iyz
Dies beschreibt ein Ellipsoid. Der jeweils betrachtete Wert des Ellispoids hängt
mit dem Trägheitsmoment bei Drehung um eine bestimmte Achse zusammen.
Die Drehung wird durch ω beschrieben. Und die Richtung von ω weist auf den
Durchstoßpunkt auf dem Ellipsoid.
68
8.7. Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid
Trägheitsellipsoid bei Hauptachsentransformation x → x̂, y → ŷ, z → ẑ :
Wdh.: x2 Ixx + y 2 Iyy + z 2 Izz + 2xyIxy + 2xzIxz + 2yzIyz = I
⇒
x̂2 Ix̂x̂ + ŷ 2 Iŷŷ + ẑ 2 Iẑ ẑ = I
(8.94)
x̂2 Ix̂x̂ ŷ 2 Iŷŷ ẑ 2 Iẑ ẑ
+
+
= 1
I
I
I
(8.95)
⇒
x̂2
I
Ix̂x̂
+
ŷ 2
I
Iŷŷ
+
ẑ 2
I
Iẑẑ
= 1 . (8.96)
Alle Körper - egal wie ihre Form ist - haben ein Trägheitsellipsoid!
VERSUCH: Würfel als Torsionspendel
bei drei verschiedenen Drehachsen durch den Schwerpunkt
Einführung der sogenannten Hauptträgheitsmomente:
Ix̂
Iŷ
Iẑ
mit Ix̂
≡
≡
≡
≤
Ix̂x̂ ,
Iŷŷ ,
Iẑ ẑ
Iŷ ≤ Iẑ
laut Konvention
(8.97)
(8.98)
(8.99)
(8.100)
69
8. Trägheitsmoment
Abbildung 8.2.: Prolater & oblater Kreisel, nach [Demtröder: Exp.-Physik I]
70
8.7. Trägheitstensor, Trägheitsellipsoid
Mit den Hauptträgheitsmomenten sieht der Trägheitstensor so aus:
⎛
⎜
Iˆ˜ = ⎜
⎝
Ix̂ 0 0
0 Iŷ 0
0 0 Iẑ
⎞
⎟
⎟
⎠
.
(8.101)
Das Trägheitsmoment I(momentan) um eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt, die die Winkel α̂x̂ , α̂ŷ , α̂ẑ mit den drei Hauptachsen x̂, ŷ, ẑ bildet, ist:
I(momentan) = Ix̂ cos2 α̂x̂ + Iŷ cos2 α̂ŷ + Iẑ cos2 α̂ẑ .
(8.102)
Mit den Hauptträgheitsmomenten lassen sich der Drehimpuls und die Rotationsenergie nach Gl. (8.74) einfach schreiben:
⎛
⎞
⎛
⎞
Lx̂
ωx̂ Ix̂
⎟
⎟
⎜
⎜
= ⎜
⎟
⎟
⎜
L
⎝ Lŷ ⎠ = ⎝ ωŷ Iŷ ⎠
Lẑ
ωẑ Iẑ
im Allg.: Ix̂ = Iŷ = Iẑ = Ix̂ ,
ω
⇒ L
;
1
Erot = (Ix̂ ωx̂2 + Iŷ ωŷ2 + Iẑ ωẑ2 )
2
L2ŷ
L2x̂
L2ẑ
=
+
+
.
2Ix̂ 2Iŷ 2Iẑ
(8.103)
(8.104)
(8.105)
(8.106)
(8.107)
71
9. Kreisel
9.1. Kreiseltypen
Sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden (im Allg. z. B. bei einem Quader), wird von einem asymmetrischen Kreisel gesprochen.
Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich, heißt der Körper symmetrischer Kreisel.
Sind alle drei Hauptträgheitsmomente gleich, heißt der Körper sphärischer Kreisel. Z. B. ist ein Würfel ein sphärischer Kreisel!
Aus Gl. (8.103) folgt:
und ω
L
zeigen bei Rotation eines Körpers, dessen Drehachse nicht festgehalten
wird, nur dann in dieselbe Richtung, wenn entweder ...
◦ Ix̂ = Iŷ = Iẑ (sphärischer Kreisel)
⎛
=⎜
⎜
L
⎝
Lx̂
Lŷ
Lẑ
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
ωx̂ Ix̂
ωŷ Ix̂
ωẑ Ix̂
⎛
⎞
⎟
⎟
⎠
= Ix̂
⎜
⎜
⎝
ωx̂
ωŷ
ωẑ
⎞
⎟
⎟
⎠
(9.1)
◦ ... oder der Körper um eine Hauptträgheitsachse rotiert (i. e. wenn nur eine
der drei Komponenten von ω
von Null verschieden ist)
⎛
=⎜
⎜
z. B.: L
⎝
Lx̂
0
0
⎞
⎛
⎟
⎟
⎠
=⎜
⎝
⎜
ωx̂ Ix̂
0
0
⎞
⎟
⎟
⎠
(9.2)
◦ ... oder (nicht offensichtlich) bei einem symmetrischen Kreisel der Körper um
eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt S ⊥ zur Symmetrieachse rotiert.
In diesen drei Fällen existiert (ohne äußeres Drehmoment, so dass der Drehimpuls zeitlich konstant bleibt) eine raumfeste Drehachse, um die der Körper mit
nach Betrag und Richtung konstantem ω
rotiert - völlig analog zu einer Bewegung um eine starre Achse.
Die Hauptachsen eines Körpers werden daher auch freie Achsen genannt, weil eine einfache Rotation um diese Achsen möglich ist, auch wenn diese Achsen nicht
fest gelagert sind.
Die Achse des mittleren Hauptträgheitsmoments ist allerdings eine labile Drehachse.
9.2. Kräfte-/drehmomentenfreier Kreisel - Nutation
VERSUCH: Drehung Quader um 3 Hauptträgheitsachsen
FILM: Drehung Quader um 3 Hauptträgheitsachsen im Weltall
9.2. Kräfte-/drehmomentenfreier Kreisel - Nutation
Drei Achsen, die z. B. infolge einer Störung nicht zusammenfallen müssen, sind
zur Beschreibung einer Rotationsbewegung zu unterscheiden:
= 0 raumfeste Drehimpulsachse,
◦ die wegen D
◦ die momentane (nicht raumfeste) Drehachse ω
,
◦ die Figuren-/Symmetrieachse (= ω
-Achse !!!), die nur dann raumfest ist, wenn
der Drehimpulsvektor in der Figurenachse liegt.
aus, wobei die
Sowohl ω
als auch die Figurenachse führen eine Drehung um L
drei Achsen in einer Ebene liegen. Diese Bewegung wird Nutation genannt.
Die Wanderung der momentanen Drehachse (ω ) kann sichtbar gemacht werden.
diverse VERSUCHE zur Nutation
Abbildung 9.1.: zur Nutation [Demtröder: Experimentalphysik I]
Gangpolkegel um Figurenachse,
momentane Drehachse auf Rastpolkegel um L,
Figurenachse läuft auf Nutationskegel um.
Auf der Berührungslinie zwischen Rast- & Gangpolkegel liegt die momentane
Drehachse.
73
9. Kreisel
9.3. Kreisel mit äuß. Kräften/Drehmom. - Präzession
ω
zur Vereinfachung hier: L
Figurenachse (also ohne Nutation)
diverse VERSUCHE zur Präzession, u. a. Fahrradkreisel
=
p
Δm = r2 × Δm g , L
Δm = r1 × Δm v ;
vereinfacht: D
dL
⊥ L
, dL
D
, dL
=D
· dt .
=D
dt
(9.3)
(9.4)
ändert seine Richtung, nicht seinen Betrag !
Der Drehimpuls L
| = L dϕ ,
| dL
| dϕ = | L
|·|ω
| = | dL | = | L
p | ,
|D
dt
dt
dϕ D
D
1
=
=
∝
(VERSUCH) .
ωp =
dt
L
Iω
ω
ω
p ist die Kreisfrequenz der Präzession.
74
(9.5)
(9.6)
(9.7)
10. Bezugssysteme
10.1. Relativbewegung, Inertialsysteme & Galilei-Transform.
Für eine einfache mathematische Beschreibung eines physikalischen Vorgangs ist
es wichtig, ein geeignetes Bezugssystem zu wählen.
hier Annahmen:
◦ zwei gegeneinander bewegte Koordinatensysteme mit den Ursprüngen 0 und 0’
◦ Bewegung der Koordinatensysteme mit konstanter Geschwindigkeit u relativ
zueinander, sogenannte Inertialsysteme
Betrachtet wird die Bewegung eines Punktes A in beiden Bezugssystemen:
r A (t) = {x (t), y (t), z (t)} ,
rA (t) = {x(t), y(t), z(t)} ,
r A (t) = rA (t) − u · t .
(10.1)
(10.2)
(10.3)
Zu den Koordinaten kann auch die Zeit (als Parameter zur Beschreibung des
Zustands) hinzugenommen werden:
r A (t ) = {x (t ), y (t ), z (t ), t } ,
rA (t) = {x(t), y(t), z(t), t} ,
t = t .
(10.4)
(10.5)
(10.6)
Daraus folgt mit Gl. (10.3) für die Geschwindigkeiten:
dr
,
dt
dr =
,
dt
= v − u ,
v =
v v (10.7)
(10.8)
(10.9)
letztere Gleichung Galileische Additionsregel für Geschwindigkeiten genannt.
10. Bezugssysteme
und für die Beschleunigungen:
dv
dv a =
=
= a
dt
dt
m=const
⇒
F = F .
(10.10)
(10.11)
Zusammengefasst - die Galilei-Transformationen:
r
v
a
t
=
=
=
=
r + ut ,
v + u ,
a (F = F ) ,
t .
(10.12)
(10.13)
(10.14)
(10.15)
Wiederholung: Mit konstanter Geschwindigkeit u gegeneinander bewegte Bezugssysteme heißen Inertialsysteme.
Inertialsysteme sind für die Beschreibung physikalischer Gesetze äquivalent ! Das
drückt sich in den Galilei-Transformationen und insbesondere in Gl. (10.14) aus.
76
10.2. Beschleunigte Bezugssysteme
10.2. Beschleunigte Bezugssysteme
Wenn u = u(t) zeitlich nicht konstant ist, werden in beiden Bezugssystemen unterschiedliche Beschleunigungen und Kräfte gemessen (Bsp.: bremsender Bus).
VERSUCH mit 4 Playmo-Figuren auf und neben rollender Plattform (Bus)
Die Beschreibung hat nicht nur etwas mit dem Bezugssystem, sondern auch mit
der Ankopplung des beobachteten Objekts an die Bezugssysteme zu tun.
Was ist ein/e mitbewegte/r Beobachter/in?
A) Erinnerung und Vorrede: Schlitten auf Luftkissenschiene
a) Sobald der Schlitten auf die Schiene drückt (Schlitten und Schiene eine Wechselwirkung haben), wird über das 3. Newtonsche Axiom (actio = reactio) das
Gewicht des Schlittens kompensiert. Dann wirkt auf ihn netto keine Kraft mehr.
Der Schlitten ist gewichtslos!
b) Die übliche Sprechweise ist (leider) umgekehrt:
Wenn der Schlitten zunächst in Richtung Erde und Luftkissenschiene fällt, sprechen wir von Schwerelosigkeit, obwohl dann ja gerade das Gewicht nicht kompensiert wird. Das liegt daran, dass wir persönlich Gewicht nur „merken“, wenn
wir die „reactio“ in den Füßen mitbekommen.
B) Betrachten wir einen Fahrgast im Bus, der „vollkommen“ festgeschnallt ist.
Aber einen Menschen kann man nicht vollkommen festschnallen. Nicht jede Zelle
kann festgeschnallt werden. Und die Organe im Körper können sich leicht bewegen. Der Mensch wird also spüren, wenn Kräfte auf ihn wirken, selbst wenn die
Gesamtkraft auf den Körper insgesamt durch eine Gegenkraft kompensiert wird.
Deswegen sollten wir vielleicht eher einen ganz festen Würfel betrachten, der
festgeschnallt wird.
Als Beispiel für Kräfte nehmen wir Fliehkräfte in dem kurvenfahrenden Bus.
Die Fliehkräfte auf den Fahrgast bzw. Würfel werden durch die Anschnallgurte
vollkommen kompensiert. Die Fliehkräfte sind ausgeschaltet.
Der Fahrgast bzw. Würfel ist dann ein mitbewegter, unwissender Beobachter.
C) Nun soll der Fahrgast bzw. Würfel (ideale) Schmierseife an den Füßen bzw.
an der Unterseite haben.
Er „merkt“ keine Fliehkräfte; aber er „merkt“ an seiner Bewegung
relativ zum Bus, dass Kräfte wirken müssen (Scheinkräfte).
Der Fahrgast bzw. Würfel ist dann ein nicht mitbewegter, wissender Beobachter,
der sich an dem Koordinatensystem des Busses orientiert.
77
10. Bezugssysteme
10.2.1. Geradlinig, gleichförmig beschl. Vergleichs-Bezugssystem
a = const
VERSUCH: Pappkarton als Fahrstuhl (+ ’slow motion’-Video)
Bsp. Beobachter in einem Fahrstuhl;
eine Probemasse im Fahrstuhl hängt an einer Federwaage1 und ist zunächst in
Ruhe. Der Beobachter sieht an der Auslenkung der Federwaage die Auswirkung
der Gewichtskraft der Probemasse:
F = mg
mit g = (0, 0, −g) .
(10.16)
Setzt sich der Fahrstuhl mit der Beschleunigung a nach unten in Bewegung, misst
die Federwaage die reduzierte Kraft
F = m(g − a) .
(10.17)
Ist die Fahrstuhlbeschleunigung gleich der Erdbeschleunigung ist die gemessene
Kraft null:
a = g ⇒ F = m(g − a) = 0 .
(10.18)
Die Kraft/Scheinkraft (−ma) hebt die Gewichtskraft auf.
Jeder Beobachter, der die Beobachtungen in den Koordinaten des bewegten Fahrstuhls beschreiben möchte, muss diese Kraft einführen. Für den „wissenden“ Beobachter (nicht mitbewegt / nicht verkoppelt; aber die Koordinaten des bewegten
Systems verwendend) ist diese Kraft eine Scheinkraft, i. e. eine nur rechnerisch
einzuführende Kraft, um die Beobachtungen zu beschreiben.
Nur bei Inertialsystemen, also zwei zueinander mit konstanter Geschwindigkeit
relativ zueinander bewegten Bezugssystemen, sind die Beschleunigungen und
Kräfte vom System unabhängig.
Bei Nicht-Inertialsystemen, also relativ zueinander beschleunigten Systemen, sind
die Kräfte abhängig vom Bezugssystem.
Der wissende Beobachter sagt, die gemessene Kraft ist null, weil sich der Fahrstuhl unter der Probemasse mit derselben Beschleunigung (hier Erdbeschleunigung) quasi wegbewegt (genauso beschleunigt).
1
Die Federwaage zeigt das Gewicht an, kompensiert es gleichzeitig aber auch.
78
10.2. Beschleunigte Bezugssysteme
10.2.2. Rotierendes Vergleichs-Bezugssystem
... - hier speziell mit ω
= const (0 = 0 , t = t )
◦ Beobachter im rotierenden System (mit Index
(unwissender Beobachter - feste Achsen):
x y z )
mit dessen Koordinaten
r ≡ rx y z (x , y , z , t) = rx (t) · eˆx + ry (t) · eˆy + rz (t) · eˆz ,
drx ˆ
dry ˆ
drz ˆ
· ex +
· ey +
· ez ,
v ≡ vx y z (x , y , z , t) =
dt
dt
dt
dvy ˆ
dvx ˆ
dvz ˆ
a ≡ ax y z (x , y , z , t) =
· ex +
· ey +
· ez .
dt
dt
dt
(10.19)
(10.20)
(10.21)
◦ Beobachter im ruhenden System (mit Index xyz ), aber mit den Koordinaten
des rotierenden Systems (wissender Beobachter - rotierende Achsen):
vxyz (x , y , z , t) = v(wissend) (x , y , z , t)
=
⎛
⎞
dry ˆ
drz ˆ
drx ˆ
deˆx
deˆy
deˆz ⎟
⎜
⎠
ex +
ey +
ez + ⎝rx
+ ry + rz dt
dt
dt
dt
dt
dt
=v (unwissend)
wg. Drehung Koord.kreuz
(10.22)
deˆi
deˆi
= ω
× eˆi ⇒ ri ·
= ri · (ω × eˆi ) = ω
× (rieˆi ) (10.23)
dt
dt
⇒ in 3D: ω
× rxyz , nicht ω
× rx y z (wiss. Beob. !) ;
(10.24)
denn es geht um die Beschreibung durch den Beobachter im ruhenden System,
aber mit den Koordinaten des bewegten Systems.
⇒
vxyz (x , y , z , t) = v (unwissend) + ω
× rxyz (x , y , z , t) ;
(10.25)
79
10. Bezugssysteme
für Beschleunigungen:
dv (x , y , z , t)
axyz (x , y , z , t) = a(wissend) (x , y , z , t) =
dt
analog (10.25)
=
=
a + ω
× vxyz
⎡
⎤
d
v
(x
,
y
,
z
,
t)
⎣
⎦ +
ω × vxyz (x , y , z , t)
dt
=
(10.26)
⎡
⎢
⎢
analog (10.22) ⎢
⎢ ⎢
=
⎢a (unwissend)
⎢
⎢
⎣
⎛
⎝vx
+⎜
⎤
deˆx
deˆy
+ vy +
dt
dt
⎞⎥
⎥
ˆz ⎥⎥
d
e
⎟⎥
⎠⎥ +
ω
vz dt ⎥⎥
⎦
× vxyz (x , y , z , t)
wg. Drehung Koord.kreuz
(10.27)
deˆi
= vi · (ω × eˆi ) = ω
·
× v i ,
(10.28)
dt
ω
× v x + ω
× v y + ω
× v z = ω
× (v x + v y + v z ) = ω
× v . (10.29)
vi
⇒
a
a + ω
× v (x , y , z , t) + ω
× v (x , y , z , t)
(10.30)
=
=
=
a + ω
× v + ω
× (v + ω
× r)
a + ω
× v + ω
× v + ω
× (ω × r)
a + 2(ω × v ) + ω
× (ω × r)
(10.31)
(10.32)
(10.33)
=
a + 2(v × ω
)+ω
× (r × ω
)
(10.34)
=
a + ac + azf
(10.35)
=
Gl. (10.25)
⇒
a Coriolis
Zentrif ugal
Beispiel für eine typische Bewegung auf der Erdoberfläche:
| ac |= 2 · 5
m
1
m
· 7, 3 · 10−5 · sin(49◦ ) = 5, 5 · 10−4 2
s s
s
=ωErde ·sin ϕBreite
diverse VERSUCHE zur Zentrifugal- und zur Coriolis-Kraft
80
10.2. Beschleunigte Bezugssysteme
81
10. Bezugssysteme
82
10.2. Beschleunigte Bezugssysteme
BILD: Tiefdruckwirbel (Nordhalbkugel)
83
10. Bezugssysteme
Bei Systemen mit zeitlich veränderlichem ω und zeitlich veränderlicher Relativgeschwindigkeit des Nullpunkts des Vergleichssystems treten weitere Trägheitskräfte auf.
zum ersten Aspekt:
10.2.3. Bezugssysteme bei der Beschreibung von Rotationen um
nicht-festgehaltene Achsen
Für die Beschreibung von Rotationen kommen sinnvollerweise drei Bezugssysteme in Frage:
◦ das Laborsystem,
◦ das nicht mitrotierende Schwerpunktsystem (es könnte auch als eine Variante
des Laborsystems aufgefasst werden, solange es keine Translationen gibt) und
◦ das mitrotierende Schwerpunktsystem,
i. e. am besten das körperfeste Haupt(trägheits)achsen-System.
Und für das mitrotierende Schwerpunktsystem könnte ein unwissender oder ein
wissender Beobachter die Beschreibung übernehmen. Wir nehmen jetzt den wissenden Beobachter!
... Eulersche Gleichungen (mitrotierendes Schwerpunktsystem):
Dî = Iî
dωî
+ (I
− I
) ω
ωi−1 .
i−1
i+1
i+1 dt
(10.36)
mit î ∈ {x̂, ŷ, ẑ} bei zyklischer Vertauschung der Indizes. Der zweite Term auf
der rechten Seite der Gleichung steht für „Scheindrehmomente“.
84
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher
Relativgeschwindigkeit)
11.1. Invarianz der Lichtgeschw. & Lorentz-Transform.
Nach den Galilei-Transformationen sollte auch Licht eine andere Geschwindigkeit
haben, je nachdem, ob letztere in dem ruhenden oder einem dazu mit der Geschwindigkeit u gleichförmig geradlinig bewegten Bezugssystem gemessen wird.
Diverse Experimente ergeben aber, dass Licht (in demselben Medium) immer
dieselbe Phasengeschwindigkeit hat. Das bedeutet, dass hier die Galilei-Transformationen ungültig sind ! Vermutung: t = t et al. ↔
Lorentz-Transformationen (1890 Hendrik Lorentz (1853-1928)):
u eˆx , u ≡ ux ,
x − ut
x + ut
x =
, x=
,
u2
u2
1 − c2
1 − c2
Zeitpunkte: t =
t−
1
ux
c2
2
− uc2
, t=
(11.1)
y = y , z = z ,
ux
c2
2
− uc2
t +
1
(11.2)
(11.3)
bei Inertialsyst. mit zueinander par. Achsen x, x . Für die Geschwindigkeiten1 :
v −u
vx = x vx u
1 − c2
,
vx =
vx + u
1+
vx u
c2
, vM H =
vM Z + uZH
,
vM
u
Z ZH
c2 f ür später
1+
(11.4)
i. e. die sogenannte Einsteinsche Additionsregel für Geschwindigkeiten;
außerdem: vy =
vz =
u2
c2
vx u
c2
vy 1 −
1−
u2
c2
vx u
c2
vz 1 −
1−
, vy =
, vz =
u2
c2
vx u
c2
,
(11.5)
u2
c2
vx u
c2
,
(11.6)
vy 1 −
1+
vz 1 −
1+
d. h. es gelten andere Transformationsformeln für die Dimension, in der die
Relativbewegung der beiden Bezugssysteme stattfindet, und die anderen beiden.
1
Für u c oder vx c erfolgt der Übergang von den Lorentz- zu den Galilei-Transformationen.
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
Der Wurzelausdruck impliziert auch, dass c die maximale (informationstragende) Geschwindigkeit ist. Negative Ausdrücke unter der Wurzel würden u. a. zu
imaginären Geschwindigkeiten führen, was unphysikalisch wäre.
Für vx = c gilt, wie wegen der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit „gewünscht“:
Gl. (11.4)
⇒
vx =
c−u
c−u
c(c − u)
= c.
=
=
1 − cu
1 − uc
c−u
c2
(11.7)
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten
11.2.1. Der Begriff „Inertialsysteme“
Einzahl oder Mehrzahl
In manchen Büchern wird von dem oder einem Inertialsystem gesprochen. Da
es bei dem Konzept aber immer darum geht, dass die physikalischen Gesetze
vergleichbar bzw. identisch sein sollen, macht der Singular keinen Sinn. Es können
nur zwei (oder mehr) Bezugssysteme Inertialsysteme zueinander sein.
Newton 1 ohne oder mit Kraft
In manchen Büchern (meistens denselben, die oben erwähnt wurden) wird ein
(einzelnes) Inertialsystem mit dem 1. Newtonschen Axiom (im Fall ohne Krafteinwirkung) definiert:
schlechter TEST2 : wenn man einen Körper nacheinander in verschiedene Richtungen werfe und er jeweils eine Bewegung innerhalb einer Ebene im Raum
ausführe, habe man es mit einem Inertialsystem zu tun.
Aber der Fall mit Krafteinwirkung gehört ja auch zum 1. Newtonschen Axiom
und damit zur Physik. Warum sollte der ausgeklammert werden.
Und tatsächlich: In zwei Bussen, die gerade synchron eine völlig gleichartige
Kurve fahren - aber auf zwei verschiedenen Kontinentalplatten, die sich gerade
mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, sind die physikalischen Gesetze völlig gleichwertig; d. h. es existieren dieselben Kräfte und
Beschleunigungen. (Trotzdem ergäbe der obige TEST ein negatives Ergebnis.)
Also selbst zwei sich synchron gleichartig kompliziert bewegende Bezugssysteme
mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit sind Inertialsysteme (füreinander).
2
schlecht, weil er nicht weit genug greift
86
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten
11.2.2. Postulat 1 - Relativitätsprinzip
Das Relativitätsprinzip besagt, dass es keinen absoluten Raum - im Sinne eines absoluten Bezugssystems - gibt. Es ist prinzipiell nicht möglich festzustellen,
welches System absolut ruht und ob es überhaupt ein Bezugssystem gibt, dass
absolut ruht.
Das bedeutet, dass jede Bewegung prinzipiell nur relativ zu (irgend)einem Bezugssystem beschrieben werden kann (→ Begriff „Relativitätsprinzip“).
In Inertialsystemen gelten die Grundgesetze der Physik in gleicher Form (gleiche
Kraftterme!).
1905 Einstein (1879-1955): Alle Inertialsysteme sind (weiterhin) gleichwertig,
wenn statt der Galilei- die Lorentz-Transformationen verwendet werden.
11.2.3. Postulat 2 - Invarianz der Lichtgeschwindigkeit
Die Lichtgeschwindigkeit (ihr Betrag) hängt nicht vom Bezugssystem ab. Das
Licht schert sich nicht um Bezugssysteme.
Gedankenexperimente:
1) Eine Maus (M) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit nur vorwärts
oder nur rückwärts innerhalb eines Modelleisenbahn-Zuges (Z), der sich selbst
wiederum innerhalb des Hörsaals (H) auf einer geraden Linie bewegt.
2) ein Lichtpuls statt der Maus
Die Maus, die mit der Geschwindigkeit3 vM Z geradeaus in dem fahrenden Modelleisenbahn-Zug mit der Geschwindigkeit uZH läuft, hat relativ zum Hörsaal
die Geschwindigkeit (uZH + vM Z ) , wenn sie nach vorne läuft,
und (uZH − vM Z ) , wenn sie nach hinten läuft - laut Alltagsvorstellung.
Wenn die Maus gedanklich durch den Lichtpuls ersetzt wird, verhält es sich so:
Sowohl im Zug, als auch vom Hörsaal aus und sowohl wenn der Lichtpuls nach
vorne als auch wenn er nach hinten läuft, wird für den Lichtpuls bzw. das Licht
immer dieselbe Geschwindigkeit c gemessen.
11.2.4. Additionsregeln für Geschwindigkeiten dazu
Die Additionsregeln für die Geschwindigkeiten lauten:
nach Galilei: vM H
nach Einstein: vM H
=
vM Z + uZH ,
(11.8)
Gl. (11.4)
vM Z + uZH
(11.9)
=
1+
vM
·u
Z ZH
c2
mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c .
3
MZ = Maus-Zug, ZH = Zug-Hörsaal, MH = Maus-Hörsaal
87
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
Die Einstein-Additionsregel für Geschwindigkeiten müsste für alle „Objekte“ angewendet werden, aber beinhaltet für die meisten realistischen Fälle nur eine
kleine Korrektur (aber auch schon bei der Maus).
11.2.5. Konsequenz 1 - Relativität der Gleichzeitigkeit
Man könnte auch von dem Problem der Gleichzeitigkeit oder besser noch von
dem Problem der Ungleichzeitigkeit sprechen.
Diese Aussage soll hier für den Fall des Lichtpulses genauer erläutert werden:
1) im Zug betrachtet:
Zwei Lichtpulse (v ≡ c) werden aus der Mitte des schon erwähnten Modellzugs
zum selben Zeitpunkt in beide Richtungen (nach vorne und nach hinten im Zug)
abgeschickt. Beide Pulse kommen vorne und hinten gleichzeitig an.
2) vom Hörsaal aus betrachtet, relativ zu dem sich der Modellzug mit der Geschwindigkeit u = const geradlinig bewegt:
dieselbe Lichtgeschwindigkeit wird gemessen (nach Postulat 2);
aber die Zugfront bewegt sich vor dem einen (näheren) Lichtpuls weg, das Zugende bewegt sich auf den anderen (hierzu näheren) Lichtpuls zu. Die Lichtpulse
haben also bis zu ihrem jeweiligen Ziel ungleiche Wegstrecken zurückzulegen. Die
beiden Pulse treffen nicht gleichzeitig ein (siehe Abb.).
Abbildung 11.1.: zum Problem der (Un-) Gleichzeitigkeit [Demtröder: Experimentalphysik I].
Bei Auftragung von ct über x wird vom Minkowski-Diagramm gesprochen; die
Linien heißen dann Weltlinien
88
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten
Zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem gleichzeitig eintreten, sind in einem
anderen Bezugssystem (auch bei zwei Inertialsystemen) nicht gleichzeitig, finden
also je nach der Stärke des Ausdrucks u/c zu mehr oder weniger unterschiedlichen Zeitpunkten statt. Die Unterschiede wären bei u ≡ c am größten. Je näher u
an die Lichtgeschwindigkeit c herankommt, desto mehr nähert sich die Situation
dem Fall der maximalen Un-Gleichzeitigkeit an.
Aus der Relativität der Gleichzeitigkeit folgen die weiteren Konsequenzen der
Einsteinschen Postulate der speziellen Relativitätstheorie. Die Relativität der
Gleichzeitigkeit ist also eine ganz fundamentale Aussage der speziellen Relativitätstheorie, so dass sie in manchen Abhandlungen (auch hier durch die Verknüpfung der beiden Abschnitte) schon fast den Postulaten zugeordnet wird,
zumindest dem Postulat von der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit, aus dem
die Relativität der Gleichzeitigkeit unmittelbar folgt.
11.2.6. Licht oder nicht Licht
Wiederholung/Betonung von oben bereits Geschriebenem:
In einigen obigen Ausführungen wurde von Lichtpulsen gesprochen. Es ist wichtig zu verstehen, dass die Ausführungen für alle bewegten Objekte gelten, selbst
für langsam bewegte (also eigentlich auch für die schon erwähnte Maus). Bei
langsam bewegten Objekten ist die Korrektur gegenüber Alltagssituationen gering. Bei schnell bewegten Objekten (mit nennenswerten Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit als Geschwindigkeit) machen sich die erwähnten Überlegungen
schon deutlich bemerkbar.
89
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
11.2.7. Konsequenz 2 - Zeitdilatation
Wir betrachten einen Lichtpuls, der im Modellzug (dessen Geschwindigkeit ist
u) an der Decke erzeugt und auf seinem Weg zum Boden des Waggons verfolgt
wird - siehe Abbildung unten.
Im Zug ist die Wegstrecke des Lichtpulses c · ΔtZ .
Vom Hörsaal aus betrachtet ist die Wegstrecke c·ΔtH des Lichtpulses länger, weil
sich der Zug bewegt, während der Lichtpuls seinen Weg zurücklegt. Und in beiden Bezugssystemen muss die Invarianz/Universalität der Lichtgeschwindigkeit
berücksichtigt werden. Nach Pythagoras gilt für die Betrachtung vom Hörsaal
aus:
(c · ΔtZ )2 + (u ΔtH )2 = (c · ΔtH )2
(11.10)
2
2
2
2
⇒ c · ΔtZ = (c · ΔtH ) − (u ΔtH )
(11.11)
⎛
⎞
u2
u2
⇒ (ΔtZ )2 = (ΔtH )2 − 2 (ΔtH )2 = (ΔtH )2 · ⎝1 − 2 ⎠(11.12)
c
c
2
(Δt )
(11.13)
⇒ (ΔtH )2 = # Zu2 $ ;
1 − c2
1
mit γ ≡
≥ 1 :
(11.14)
u2
1 − c2
⇒
Zeitdauer: ΔtH =
γ · ΔtZ ≥ ΔtZ .
(11.15)
Das heißt:
Von außen betrachtet ( ΔtH ) vergeht für ein bewegtes Objekt mehr Zeit ( ΔtH ≥
ΔtZ ), als innen betrachtet ( ΔtZ ).
Oder umgekehrt gedacht: Bewegte „Uhren“ gehen langsamer.
90
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten
Dass hier von „Uhren“ die Rede ist, stellt eine Kurzform der Formulierung dar,
um die Möglichkeit einer Zeitmessung ( ΔtZ ) gleich miteinzuschließen.
Für jeden bewegten Gegenstand und jedes bewegte Lebewesen vergeht die Zeit
langsamer als im Fall, in dem er bzw. es nicht bewegt werden würde - nicht nur
für Uhren!
Bei bewegten Gegenständen könnte man das reduzierte Altern vielleicht am langsameren Rosten (falls überhaupt möglich) erkennen - oder bei bewegten Menschen am langsameren Ergrauen der Haare.
11.2.8. Konsequenz 3 - Längenkontraktion
... wieder einen Lichtpuls angenommen!
Für die Situation in der Abbildung oben kann man eine von der Idee her ähnliche Rechnung aus der Hörsaalsicht aufstellen; dabei wird zwischen dem Hinweg
(Index h ) des Lichts zwischen Lichtquelle und Umlenkspiegel sowie dem Rückweg
(Index r ) zwischen Umlenkspiegel und Detektor unterschieden:
⇒
c ΔtHh = LH + u ΔtHh
(c − u) ΔtHh = LH
LH
⇒ ΔtHh =
c−u
(11.16)
(11.17)
(11.18)
91
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
⇒
c ΔtHr = LH − u ΔtHr
(c + u) ΔtHr = LH
LH
⇒ ΔtHr =
c+u
⇒ ΔtH = ΔtHh + ΔtHr
=
=
=
=
=
Gl. (11.15)
≡
⇒
LH
⇒
2 2
γ
c
=
LH
=
(11.19)
(11.20)
(11.21)
1
1
LH
(11.22)
+
c
−
u
c
+
u
⎞
⎛
c
−
u
c
+
u
⎠
+
LH ⎝
(c − u)(c + u) (c − u)(c + u)
(11.23)
c+u+c−u
2c
LH
=
L
(11.24)
H
c2 − u2
c 2 − u2
2c
$
LH 2 #
(11.25)
2
c 1 − uc2
2
LH γ 2
(11.26)
c
2LZ
γ ΔtZ = γ
(11.27)
c
2LZ
(11.28)
γ
c
1
u2
(11.29)
L Z = 1 − 2 · LZ ≤ L Z
γ
c
( 4)
Das heißt:
Von außen betrachtet (LH ) hat ein bewegtes Objekt eine kleinere Länge (LH ≤
LZ ), als innen betrachtet (LZ ).
Oder: Bewegte „Maßstäbe“ sind kürzer.
Dass hier von „Maßstäben“ die Rede ist, stellt wieder eine Kurzform dar, hier
um die Möglichkeit einer Längenmessung gleich miteinzuschließen.
Für jeden bewegten Gegenstand und jedes bewegte Lebewesen gilt die Aussage,
nicht nur für Maßstäbe.
Die Formel ist symmetrisch für +u und −u (Weltlinien im Minkowski-Diagramm
- siehe oben - zur anderen Seite gekippt). Das heißt, für jeden der beiden Beobachter ist der Maßstab im jeweils anderen System verkürzt.
4
Lz
Lz
92
1
(LHh + LHr ) ,
2
1
= L̄H · 1 u2
γ + c2 γ
= L̄H ≡
(11.30)
(11.31)
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten
eine interessante Konsequenz in der Elektrodynamik:
VERSUCH: 2 par. stromdurchflossene Drähte (Anziehung/Abstoßung)
AD (Atomrümpfedraht): gedanklich Draht nur aus Atomrümpfen, ohne freie
Elektronen, ED (Elektronendraht): gedanklich Draht nur aus freien Elektronen
ohne Bewegung: Ladungsneutralität des Drahts; mit Bewegung:
Fall (a): keine Kontraktion des „Elektronendrahts“ , also geringere Kontraktion
des „Elektronen-“ als des „Atomrümpfedrahts“, → geringere Elektronendichte
als Dichte positiv geladener Atomrümpfe → Anziehung
Fall (b): umgekehrt → Abstoßung
einer bewegten Ladung Q kann relativistisch erklärt werden
• Das Magnetfeld B
- als eine Änderung des elektrischen Felds. Die damit verbundene Änderung der
Coulomb-Kraft auf eine Probeladung q ergibt die Lorentz-Kraft q · (v × B)
• zitiert aus: W. Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer:
„Das Magnetfeld eines Stroms und die Lorentz-Kraft auf eine bewegte Ladung
q im Magnetfeld lassen sich mit Hilfe der Relativitätstheorie allein aus dem
Coulomb-Gesetz und den Lorentz-Transformationen herleiten.“
Das Magnetfeld ist also nicht vom elektrischen Feld unabhängig,
sondern eine Änderung des elektrischen Felds bewegter Ladungen infolge der
Lorentz-Kontraktion.
(Scheunenparadoxon)
93
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
11.2.9. Sein oder Schein, „ist“ oder „scheint“
Bewegte Uhren gehen langsamer; nicht etwa: „scheinen langsamer zu gehen“.
Bewegte Maßstäbe - von außen betrachtet - sind kürzer; nicht etwa: „scheinen
kürzer zu sein“. Man ist versucht, das Verb „scheinen“ zu gebrauchen. Denn alles
andere widerspricht der Alltagserfahrung.
Man fragt sich: Wenn aus der Sicht eines Beobachters die Zeit in dem bewegten
System langsamer zu vergehen scheint, müsste dann nicht die Zeit in dem unbewegten System des Beobachters aus Sicht des bewegten Beobachters schneller
verlaufen!? Nein, so ist es nicht!
Die Formeln sind symmetrisch für +u und −u . Das heißt, für jeden der beiden
Beobachter läuft die Uhr des anderen langsamer. Nur die Relativgeschwindigkeit
zählt.
11.2.10.
Zwillingsparadoxon
Für eine schnelle Raumfahrerin (mit konstanter Geschwindigkeit) altern die daheim gebliebenen Leute auf der Erde langsamer; für letztere altert die Astronautin langsamer.
Ist das nicht paradox?
Nein, paradox wäre es nur, wenn man fälschlicherweise von einer absoluten Zeitskala ausginge.
Und wer ist denn nun älter, wenn die Raumfahrerin zur Erde zurückkehrt - zu
ihrer Zwillingsschwester, die auf der Erde geblieben ist (eigentlich muss es kein
Zwilling sein)?
Es scheint nur ein Paradoxon zu sein!
Denn in den kurzen Phasen, in denen die Astronautin ihr Raumfahrzeug zunächst beschleunigt, dann viel später abbremst, umdreht und in Richtung auf
die Erde erneut beschleunigt sowie zurück vor der Erde abbremst, handelt es
sich nicht um zwei Inertialsysteme. Diese kurzen Phasen könnte man bei einem
langen Raumflug sogar noch vernachlässigen. Aber auf dem Rückflug dann mit
konstanter Geschwindigkeit sitzt sie in einem anderen Inertialsystem als auf dem
Hinflug mit konstanter Geschwindigkeit. D. h. die Situation ist nicht symmetrisch
für die Raumfahrerin und ihren daheim gebliebenen Zwilling, der die ganze Zeit
über sein Inertialsystem nicht verlässt.
Das führt im Endeffekt dazu, dass die rückkehrende Astronautin tatsächlich jünger als ihre daheim gebliebene Zwillingsschwester ist.
Die Situation kann man sich an Abb. 11.2 verdeutlichen. Das ist die Beschreibung
aus dem System des auf der Erde gebliebenen Zwillings. Der daheim gebliebene
Zwilling sendet 11 Lichtsignale aus, jeweils eines exakt nach 30 Tagen. Für die
94
11.2. Die Theorie in zehn gedanklichen Schritten
Raumfahrerin vergeht die Zeit langsamer und sie sendet auch alle 30 Tage ein
Lichtsignal aus - bis zur Heimkehr insgesamt nur 7’ Lichtsignale. Zum Zeitpunkt,
wenn sie ihr 4’. Lichtsignal aussendet; kehrt sie um.
Anhand der wenigen Lichtsignale, die die beiden Zwillinge zunächst vom anderen
pro Zeiteinheit erhalten, können sie erkennen, dass der andere zunächst langsamer
altert. Dann aber, nach der Umkehr der Raumfahrerin altert ihr daheim gebliebener Zwilling aus Sicht der Raumfahrerin schneller nach und überholt sie im
Alterungsprozess (unglaublich, aber wahr) bei 5-5’. Im Endeffekt ist der daheim
gebliebene Zwilling bei erneuten Treffen stärker gealtert als die Raumfahrerin.
Abbildung 11.2.: Minkowski-Diagramm zum Zwillingsparadoxon [Rebhan: Theoretische Physik:
Relativitätstheorie und Kosmologie]. Waagerechte Linien im Diagramm wären
die Gleichzeitigkeitslinien im System des daheim gebliebenen Zwillings. An ihnen kann man erkennen, dass die raumfahrende Zwillingsschwester langsamer
altert als die daheim gebliebene
95
11. Relativistik (insb. Systeme mit hoher Relativgeschwindigkeit)
11.2.11.
Vermischtes, Reste
• Lichtpuls oder Licht:
Oben war an manchen Stellen von Lichtpulsen die Rede, um damit gedanklich eine definitive Wegstrecke verbinden zu können. Eigentlich müsste man bei
Lichtpulsen statt von der (Phasen-) Lichtgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit sprechen, was die Sache wieder komplizierter machen würde. Der
Begriff des Lichtpulses sollte oben aber nur ein Hilfsmittel um der einfacheren
Darstellung willen sein.
• Raumzeit-Ereignisse und Kausalität:
Da c eine obere Grenzgeschwindigkeit ist, lassen sich alle Raumzeit-Ereignisse
danach einteilen, ob sie miteinander zusammenhängen können oder nicht.
Abbildung 11.3.: zu Vergangenheit und Zukunft, Hier und Anderswo [Demtröder: Experimentalphysik I]
• relativistische Massenzunahme:
m0
= γ · m0 ≥ m0 .
(11.32)
E = c m20 c2 + p2 = γm0 c2 = mc2 .
(11.33)
m(u) =
1−
u2
c2
• relativistische Energie:
96
12. Gravitation
12.1. Gravitationsgesetz
Beispiele im Zusammenhang mit der Gravitation ggf. mit der Erdbeschleunigung
g , der Gravitationskonstante G, der kleinen Masse m (Probemasse), der großen
Masse M (ggf. Erdmasse), dem Abstandsvektor r:
12.1.1. Näherung: homogenes Gravitationsfeld
FG = m · g
mit
| g | = 9, 81
m
.
s2
(12.1)
(12.2)
12.1.2. Gravitation als Zentralkraft
1
mM
FG (r) = −G 2 rˆ
r
mit G = 6, 67 · 10−11 Nm2 /kg2 ,
mM
Epot = − F · dr = −G
r
24
Spezialfall Erde: M ≡ MErde = 5, 98 · 10 kg ,
r = rErde
| rErde | = 6 366 km
mMErde ˆ
⇒ FG (r) = −G 2
r ,
rErde
MErde
m
g ≡ | g | = G 2
= 9, 81 2 .
rErde
s
MM ond = 0, 0122 · MErde ,
rM ond = 0, 2725 · rErde
⇒ gM ond = 0, 164 · g(Erde) = g/6 .
(12.4)
(12.5)
(12.6)
(12.7)
(12.8)
(12.9)
(12.10)
(12.11)
(12.12)
(12.13)
1
r2
FG,ISS
= 2 Erde ≈ 0, 88 = 88 %
FG,ErdOF
r+410 km
(12.3)
12. Gravitation
12.2. Radialabhängigkeit von Zentralkräften
(Die Erde und ihre Anziehungskraft dienen hier nur als Beispiel!)
Die Erdanziehungskraft Finnen auf einen Probekörper der Masse m, der in die Erdkugel eingegraben ist, ändert sich linear mit dem Abstand rinnen des Körpers vom
Erdmittelpunkt (homogene Masseverteilung, also konstante Erd-Massendichte ρ
überall angenommen); M Massen, V Volumina, rErde Erdradius:
Mgesamt
Minnen
=
Vgesamt
Vinnen
3
Vinnen
rinnen
⇒ Minnen = Mgesamt
= Mgesamt 3
Vgesamt
rErde
m · Minnen
⇒ (Gravitationsgesetz:) Finnen = G
2
rinnen
3
m · Mgesamt rinnen
= G
· 3
2
rinnen
rErde
m · Mgesamt
rinnen
= G
3
rErde
∝ rinnen , q.e.d.
ρ=
(Analoges gilt für alle Zentralkraftfelder - siehe z. B. Elektrostatik !)
98
(12.14)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
(12.18)
(12.19)
12.2. Radialabhängigkeit von Zentralkräften
Wie kann das erklärt werden ?
ΔF1 = G
m · Δm1
m · ρ · ΔR · A1
A1
=
G
∝
r12
r12
r12
(12.20)
ΔF2 = G
m · Δm2
m · ρ · ΔR · A2
A2
=G
∝ 2
2
2
r2
r2
r2
(12.21)
Strahlensatz:
d1
r1
=
d2
r2
A1 =
A2 =
A1
=
A2
A1
⇒
=
r12
⇒ ΔF1 =
⇒
(12.22)
d1 2
π
∝ d21
2
d2 2
π
∝ d22
2
(12.22)
d21 r12
=
d22
r22
A2
r22
ΔF2
(12.23)
(12.24)
(12.25)
(12.26)
(12.27)
Dieser Gedankengang gilt für jede Kugelschale und damit für die gesamte Erdkugel oberhalb des Abstands der Probemasse m zum Erdmittelpunkt.
99
12. Gravitation
12.3. Planetenbewegungen, Keplersche Gesetze
12.3.1. Keplersche Gesetze
(Kepler 1571-1630)
• 1. Keplersches Gesetz (Energieerhaltung):
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht:
x2 y 2
+
=1
a2 b 2
mit der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b.
(12.28)
• 2. Keplersches Gesetz (Drehimpulserhaltung):
Der Radiusvektor (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
SIMULATIONEN: zum 1. und zum 2. Keplerschen Gesetz
• 3. Keplersches Gesetz (Zentralkraftfeld):
Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten - innerhalb eines Systems - verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen:
T12
a31
= 3,
T22
a2
a ≡ r , i.e. der Radius, bei Kreisen.
100
(12.29)
12.3. Planetenbewegungen, Keplersche Gesetze
Abbildung 12.1.: zum 2. Keplerschen Gesetz [Demtröder: Experimentalphysik I]
101
12. Gravitation
Denn mit der Gravitation der großen Masse M als Zentripetalkraft2 und der
Umlaufzeit T gilt:
mM
v2
G 2 = m
r
r
GM
⇒ v2 =
;
r
2π r
auch: v =
T
4π 2 r2
GM
⇒
=
T2
r
2
T
r
⇒
=
4π 2 r2
GM
4π 2
⇒ T 2 = r3
GM
2
T
4π 2
⇒
= const ;
=
r3
GM
T12
T22
⇒
= 3
r13
r2
T12
r13
⇒
=
, q.e.d.
T22
r23
(12.30)
(12.31)
(12.32)
(12.33)
(12.34)
(12.35)
(12.36)
(12.37)
(12.38)
die Konstante gilt für das System mit der „dominanten“ (großen) Masse M .3
2
3
∝ ω 2 · r = v 2 /r
Sonnen-/Planetensystem: Sonnenmasse, Erdsystem mit Mond und Satelliten: Erdmasse
102
12.3. Planetenbewegungen, Keplersche Gesetze
12.3.2. Beispielaufgabe zum 3. Keplerschen Gesetz
Wie hoch über dem Erdmittelpunkt muss ein geostationärer Satellit „stehen“ ?
Bedenken Sie, dass das Licht für die Strecke von der Erde zum Mond und wieder
zurück ca. 2,5 s benötigt !
Lösung:
TSat 2/3
rErdmittelpunkt−Sat = rErde−M ond ·
.
TM ond
Umlaufdauer eines geostationären Satelliten: TSat = 1 d (ein Tag),
Umlaufdauer des Mondes um die Erde: TM ond = 28 d ≈ 27 d ,
Abstand Erde-Mond: rErde−M ond = 12 · c · 2,5 s = 375 000 km .
rErdmittelpunkt−Sat =
≈
=
=
(12.39)
TSat 2/3
rErde−M ond ·
TM ond
1 d 2/3
rErde−M ond ·
27 d
2
1
rErde−M ond ·
3
375 000 km
≈ 41 667 km .
9
(12.40)
(12.41)
(12.42)
(12.43)
103
12. Gravitation
12.3.3. Minimal- und Fluchtgeschwindigkeiten
• Es gibt eine minimale Start-Bahngeschwindigkeit v0 für einen Satelliten (auch
Kreisgeschwindigkeit oder 1. kosmische Geschwindigkeit genannt), unterhalb der
er wieder auf die Erdoberfläche zurückfällt; sie ergibt sich aus der Überlegung,
dass die Zentrifugalkraft mindestens die Gewichtskraft des Satelliten kompensieren muss:
FZentrif ugalkraf t = m
v02
r Erde
!
= FGewicht = G
≈
⇒
v0 =
MErde
G
rErde
mMErde
2
rErde
(12.44)
km
s
(12.45)
≈
= 7, 9
für erdnahe Bahnen;
und bei geostationären Satelliten:
v0 =
104
G
km
MErde
= 3, 1
.
41 667 km
s
(12.46)
12.3. Planetenbewegungen, Keplersche Gesetze
• Aus der zur Überwindung der Erdanziehung mindestens notwendigen kinetischen Energie folgt die sogenannte 1. Flucht-Bahngeschwindigkeit v1 (auch 2.
kosmische Geschwindigkeit genannt):
Egesamt = 0 =
⇒
v1 =
1 2
mMErde
mv1 −G
2
r
Erde =Epot
2G MErde = 11, 2
rErde
(12.47)
km
s
(12.48)
Die Startgeschwindigkeit eines Satelliten muss also oberhalb von v0 und unterhalb
dieser 1. Fluchtgeschwindigkeit liegen, wenn er auf eine stabile Bahn um die Erde
gebracht werden soll; v1 ist eine maximal zulässige Start-Bahngeschwindigkeit.
• Soll der Satellit auch das Sonnensystem verlassen, ist eine höhere Startgeschwindigkeit notwendig, um auch das Gravitationsfeld der Sonne zu verlassen,
die sogenannte 2. Fluchtgeschwindigkeit v2 :
v2 =
MErde
2G
rErde
+
MSonne
rErde−Sonne
= 43, 6
km
.
s
(12.49)
Wegen der Wechselwirkung der Planeten untereinander ist die Gesamtkraft auf
Satelliten/Planeten keine Zentralkraft. Daher können sich die Bahnebenen im
Laufe der Zeit auch ändern.
105
Teil II.
Mechanik deformierbarer Körper
13. Volumenmaterial und Oberflächen
13.1. Allgemeines
Deformationen werden jetzt berücksichtigt.
Homogenität (gleiche Eigenschaften überall im Innern des Körpers) und Isotropie (Richtungsunabhängigkeit der Eigenschaften) werden angenommen.
Bei Festkörpern wird zur Vereinfachung oft das Modell eines Einkristalls verwendet; die Abweichungen davon im Fall von polykristallinem oder amorphem
Material sind für die Zusammenhänge dieses Kapitels kaum relevant.
• Oberhalb des Schmelzpunktes ist die kinetische Energie der Atome so groß,
dass die Bindungsenergie nicht reicht, um die Atome auf den „Gitterplätzen“ des
Festkörpers zu halten.
• ... Wenn die Wärme sogar deutlich größer ist, wird die Materialprobe gasförmig
(und der zur Verfügung stehende Raum wird von der Probe eingenommen).
• Im flüssigen Zustand ist es energetisch günstig, wenn ρf luessig <≈ ρf est .
13. Volumenmaterial und Oberflächen
übliche Modelle1 :
• für Festkörper: Federn zwischen Atomen,
Federn evtl. nicht nur zu den nächsten Nachbarn
MODELLVERSUCH
Zusammenwirken
von Federpendeln mit Federkonstanten D̃ und Eigenfrequenzen
ω0 = D̃/m :
◦ in Serie:
Gesamtsystem mit Federkonstante D̃/2 ; Hookesches Gesetz:
D̃
F = x
2
(13.2)
mit der Auslenkung x = | x | . Dieselbe Gewichtskraft führt bei der halben Federkonstante zur doppelten Auslenkung.
◦ parallel:
Gesamtsystem mit Federkonstante 2D̃ ; Hookesches Gesetz:
F = (2D̃) · x .
(13.3)
Dieselbe Gewichtskraft führt bei der doppelten Federkonstante zur halben Auslenkung.
• für Flüssigkeiten: Fäden/Stäbe mit konstanter Länge, aber beliebiger Richtung
zwischen den Atomen
1
Bindungsorbitale werden gedanklich durch Federn der Federkonstante D̃ ersetzt. Zwischen einer Kraft F an
der Feder und der resultierenden Auslenkung x gilt für nicht zu große Auslenkungen das Hookesche Gesetz:
F = D̃ · x .
108
(13.1)
13.2. Moleküle
13.2. Moleküle
13.2.1. Bindungen
Bindungstypen
• Kovalente Bindung:
- Überlapp von Orbitalen verschiedener Atome,
- ggf. Hybridisierung der Bindungsorbitale,
- gemeinsame Nutzung von Elektronen, Elektronenanhäufung zwischen Kernen
• Ionenbindung:
- Abgabe von Elektronen an den Bindungspartner bzw. umgekehrt Aufnahme,
- Coulombsche Anziehung
• Metallische Bindung:
- Extremfall kovalenter und ionischer Bindung,
- sehr ausgedehnte quantenmechanische Wellenfunktionen
• Wasserstoffbrückenbindung:
Bindung zweier elektronegativer Bindungspartner über ein Wasserstoffatom
• Van der Waalssche Bindung (im engeren Sinne, dynamische el. Dipole):
- zusätzliche Bindung, die immer vorhanden ist,
- Ursache: räumliche Ladungsfluktuationen in den Atomen durch Nullpunktsunruhe und thermische Fluktuationen
• Van der Waalssche Bindung (im weiteren Sinne, bewegliche stat. el. Dipole z. B. H2 0, organische Molekülkristallhalbleiter)
109
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.1.: Lennard-Jones-Potenzial als Spezialfall interatomarer Potenziale [Hunklinger:
Festkörperphysik (2007)]
Bindungskräfte - interatomare Potenziale
⎤
⎡
⎢
⎢1
pq
εb ⎢⎢⎢
Potenzial: φ =
p − q ⎣p
a0
r
p
abstossend
φ,
Rückstellkraft: F = −grad
φ(a0 ) = −εb ,
q ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
anziehend
1
−
q
a0
r
,
(13.4)
(13.5)
(13.6)
wie in den Abb. 13.1 und 13.2 schematisch dargestellt, mit der Bindungsenergie εb
und dem Gleichgewichtsabstand a0 sowie den materialspezifischen Koeffizienten
a und b .
Dabei sind die abstoßenden Anteile nur zu einem kleinen Teil auf die Abstoßung
der Elektronenhüllen zurückzuführen, zu einem größeren Anteil auf das PauliVerbot und den Überlapp der Atomwellenfunktionen bei kleinem Abstand.
110
13.2. Moleküle
Abbildung 13.2.: Interatomares Potenzial [Kittel: Festkörperphysik (2005)]
111
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Beispiel:
schwach gebundene Atome in Edelgas-Kristallen:
das sogenannte Lennard-Jones-Potenzial mit p = 12, q = 6:
⇒
φ(r) = εb
⎡ a0 12
⎣
r
a
−2 0
r
6 ⎤
⎦
(13.7)
mit dem anziehenden van der Waals-Potenzial:
φvdW aals = −2 εb
112
a0
r
6
.
(13.8)
13.2. Moleküle
Abbildung 13.3.: zur Hybridisierung der Orbitale beim H2 O-Molekül 1, Winkel von 105◦ zwischen den H-Atomen vom O-Atom aus [Widera: EP IV Phys-Skript, TUK]
13.2.2. Zustände mehratomiger Moleküle, Hybridisierung
Alle Orbitale in nicht-abgeschlossenen Schalen können mit der Elektronenhülle
anderer Atome überlappen und beeinflussen so die Bindung.
Je größer der Überlapp der Elektronenwolken, desto stärker ist die Bindung.
Wenn keine reinen Atomorbitale für die Bindung verantwortlich sind, sondern
Linearkombinationen von Atomorbitalen, wird von Hybridisierung und (atomaren) Hybrid-Orbitalen gesprochen. Letztere können mit einem reinen Atomorbital oder aber auch mit einem Hybridorbital des anderen Atoms wechselwirken
und zur Ausbildung eines Bindungsorbitals führen.
H2 O-Molekül
Die Elektronenkonfiguration beim Sauerstoff ist 1s2 2s2 2p4 ,
wobei zwei der 2p-Elektronen alleine je ein Orbital ( 2px und 2py ) besetzen und
daher zur Bindung beitragen. Diese beiden Orbitale können mit je einem H-Atom
(1s-Zustand) überlappen und eine chem. Bindung zum H2 O-Molekül eingehen.
Diese Überlegung könnte zu der Annahme führen, dass die H-Atome unter 90◦
zueinander vom O-Atom abstehen. Experimentell wird aber ein Winkel von 105◦
festgestellt. Denn die Bindung beeinflusst auch die 2s-Orbitale im O-Atom.
Aus den beiden relevanten 2p- und dem 2s-Orbital des O-Atoms entstehen neue
Hybridorbitale
ψ = Ca φ(2s) + Cb φ(2p) ,
(13.9)
die einen größeren Überlapp mit den 1s-Orbitalen der beiden H-Atome haben Skizzen dazu in Abb. 13.3 und 13.4. Das führt zu einer Energieabsenkung und
so zu einer stärkeren Bindung. Durch diese Hybridorbitale werden die beiden
(abstoßenden) H-Atome quasi weiter auseinandergedrängt.
113
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.4.: zur Hybridisierung der Orbitale beim H2 O-Molekül 2 [Widera: EP IV PhysSkript, TUK]
114
13.2. Moleküle
Abbildung 13.5.: zur sp2 -Hybridisierung [Widera: EP IV Phys-Skript, TUK]
Kohlenstoff
Je nach Bindungspartnern können verschiedene Atomorbitale hybridisieren. Als
Beispiel dafür seien hier Kohlenstoff-Verbindungen betrachtet. Die Elektronenkonfiguration beim Kohlenstoff ist 1s2 2s2 2p2 mit einzeln besetzten 2px - und
2py -Orbitalen und einem leeren 2pz -Orbital.
sp-Hybridisierung:
Das 2s-Orbital kann mit dem leeren 2pz -Orbital hybridisieren, wenn dadurch
genügend Energie frei wird. Das führt zu zwei linearen sp-Hybridorbitalen in
z-Richtung - keulenförmig mit entgegengesetzter Ausrichtung. Die beiden spHybridorbitale und das 2px - sowie das 2py -Orbital ergeben vier freie Bindungen,
wie z. B. im CO2 -Molekül (O=C=O) oder
im Acetylen-Molekül (C2 H2 ; i. e. H-C≡C-H).
sp2 -Hybridisierung:
Ein s-Orbital und die beiden einzeln besetzten 2p-Orbitale hybridisieren zu drei
keulenförmigen sp2 -Hybridorbitalen, die in einer Ebene liegen, aber um jeweils
120◦ gegeneinander versetzt ausgerichtet sind, wie in Abb. 13.5 skizziert.
115
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.6.: zur delokalisierten π-Bindung [Widera: EP IV Phys-Skript, TUK]
Ein Beispiel bietet das Ethen-Molekül (C2 H4 ). Zwei der sp2 -Hybridorbitale eines
C-Atoms werden für Bindungen zu zwei H-Atomen genutzt, das dritte für eine
der beiden Bindungen innerhalb der Doppelbindung zu dem anderen C-Atom.
Bei einer sp2 -Hybridisierung der Atomorbitale des C-Atoms bleibt das 2pz -Orbital
zunächst ungenutzt.
Die sp2 -Hybridorbitale führen zu lokalisierten sogenannten σ-Bindungen (Bindungsorbitalen) z. B. zwischen zwei C-Atomen oder einem C- und einem H-Atom
wie beim Benzol C6 H6 nach Abb. 13.6. Diese Bindungen liegen in einer Ebene.
Das symmetrische pz -Orbital steht senkrecht auf dieser Ebene und kann zu sogenannten π-Bindungen zu den Atomen ober- und unterhalb dieser Ebene führen.
Dafür sind zwei ununterscheidbare Möglichkeiten der Anordnung der π-Bindungen
möglich, die zu einer Delokalisierung dieser Bindungen und damit auch der betreffenden Elektronen führen.
116
13.2. Moleküle
Abbildung 13.7.: zur sp3 -Hybridisierung [Widera: EP IV Phys-Skript, TUK]
sp3 -Hybridisierung:
Das 2s-Orbital des C-Atoms bildet eine Linearkombination mit allen drei 2pOrbitalen. Es entsteht eine tetraedrische Bindung mit einem Winkel von 109,5◦
zwischen je zwei sp3 -Hybridorbitalen, wie in Abb. 13.7 zu sehen. Ein Beispiel ist
das Methan-Molekül (CH4 ).
117
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.8.: zur p3 -Hybridisierung beim NH3 -Molekül [Widera: EP IV Phys-Skript, TUK]
zum Vergleich das NH3 -Molekül (mit p3 -Hybridisierung):
Stickstoff hat die Elektronenkonfiguration 1s2 2s2 2p3 . Beim NH3 -Molekül hybridisieren die drei 2p-Orbitale des N-Atoms und führen zur Bindung von drei
H-Atomen, wie in Abb. 13.8 zu sehen.
Die H-Atome liegen in einer Ebene und das N-Atom kann durch die Ebene der
drei H-Atome hindurchtunneln.
Die Kopplung dieser beiden Molekülzustände durch Tunneln führt zu einer Energieaufspaltung von h · 24 GHz. Auf dieser Linie wurde der erste MASER, der
Vorläufer des LASERs, betrieben.
118
13.3. Kristallstrukturen
13.3. Kristallstrukturen
Kristallstruktur = Punktgitter + Basis
13.3.1. Die 7 Kristallsysteme
Unterscheidung der Punktgitter nach Kantenlängen a, b, c und Winkeln α, β, γ
der Einheitszellen (sehen Sie bitte auch Abb. (13.9)):
a - kubisch (3 Var.): a = b = c , α = β = γ = 90◦ (13.10)
b - tetragonal (2 Var.): a = b = c , α = β = γ = 90◦ (13.11)
c - orthorhombisch (4 Var.):
a = b, b =
c, c = a , α = β = γ = 90◦ (13.12)
kann, muss nicht alles sein
d - monoklin (2 Var.):
a = b, b = c, c = a
kann, muss nicht alles sein
, α = β = 90◦ , γ = 90◦
e - triklin (1): a = b, b = c, c = a ,
,
f - rhomboedrisch/trigonal (1): a = b = c ,
g - hexagonal (1): a = b = c ,
(13.13)
α = 90 , β = 90 , γ = 90◦
(13.14)
α = β, β = γ, γ = α
(13.15)
◦
α = β = γ = 90 (13.16)
α = β = 90◦ , γ = 120◦
(13.17)
◦
◦
119
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.9.: Die 7 Kristallsysteme [Ashcroft/Mermin: Solid State Physics (2007)]
120
13.3. Kristallstrukturen
13.3.2. Die 14 Translationsgitter / Bravais-Gitter
Im 3D-Raum gibt es laut des letzten Abschnitts 7 Kristallsysteme. Durch Hinzufügen von Gitterpunkten durch Zentrierungen (Basis-, Flächen-, Raumzentrierung) ergeben sich 14 Translationsgitter im Raum, Bravais-Gitter genannt:
•
•
•
•
•
•
•
kubisch: primitiv, flächenzentriert und raumzentriert,
tetragonal: primitiv und raumzentriert,
orthorhombisch: primitiv, basiszentriert, flächenzentriert, raumzentriert,
monoklin: primitiv und basiszentriert,
triklin: (primitiv),
rhomboedrisch/trigonal: (primitiv),
hexagonal: (primitiv).
Nicht jede Zentrierung ist für jedes der 7 Kristallsysteme sinnvoll; ...
Beispiel 1: ein hypothetisches tetragonal-flächenzentriertes Gitter wäre einem
tetragonal-raumzentrierten mit kleinerer Zelle äquivalent;
Beispiel 2: ein hypothetisches basiszentriertes hexagonales Gitter wäre einem
monoklin-primitiven äquivalent.
121
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.10.: Die 14 Bravais-Gitter (nicht ganz exakt) [Ibach/Lüth: Festkörperphysik
(2009)]
122
13.3. Kristallstrukturen
Abbildung 13.11.:
Ein hypothetisches tetragonal-flächenzentriertes Gitter
tetragonal-raumzentrierten mit kleinerer Zelle äquivalent
wäre
einem
Abbildung 13.12.: Ein hypothetisches basiszentriertes hexagonales Gitter wäre einem monoklinprimitiven äquivalent [Kittel: Festkörperphysik (2005)]
123
13. Volumenmaterial und Oberflächen
13.3.3. Millersche Indizes
... bei kubischen Gittern
zahlenmäßige Kennzeichnung der Netzebenen des Kristallgitters;
Definition der Ebenen durch drei Punkte, nämlich die Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen (in Einheiten des Gitterabstands):
Schnittpunkte: mx · a , my · b , mz · c
1
1
1
Kehrwerte:
,
,
mx m y mz
Multiplikator p , so dass
p
p
p
, k
, l
kleinste ganze Vielfache: h
mx
my mz
Millersche Indizes: (hkl)
, 3, 1, 2
1 1 1
, ,
,
3 1 2
(13.18)
(13.19)
, p = 6 : 2 , 6 , 3 (13.20)
, (263)-Ebene
(13.21)
Alle äquivalenten Ebenen nach Vertauschung der Achsen werden mit {hkl} gekennzeichnet. Dazu gehören auch Ebenen mit negativen Achsenabschnitten, z.
B. (h̄kl); der Querstrich bedeutet „negativ“.
Richtungen werden analog gekennzeichnet und mit eckigen Klammern dargestellt. Die Ebene (hkl) hat den Normalenvektor [hkl] . Die Ebenenschar {hkl}
hat die Normalenvektorschar < hkl > .
124
13.3. Kristallstrukturen
Abbildung 13.13.: Beispiele zu Millerschen Indizes 1 [Kittel: Festkörperphysik (2005)]
Abbildung 13.14.: Beispiele zu Millerschen Indizes 2 [Kittel: Festkörperphysik (2005)] - hier (233)
125
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.15.: Kristallstruktur von GaAs, die Zinkblende-Struktur, das heißt zwei ineinander
geschachtelte kubisch-flächenzentrierte (kfz) Gitter, die auf der Hauptdiagonalen um 1/4 gegeneinander versetzt und jeweils mit den Atomen einer Sorte
besetzt sind. Man könnte die Struktur auch als ein kfz Gitter mit einer Basis
aus einem Gruppe III- und einem Gruppe V-Atom auffassen. In der Zeichnung
wird auch die tetraedrische Bindung hervorgehoben
13.3.4. Zinkblende-Struktur am Beispiel von GaAs
Kristallstruktur
Hat die Basis mehr als 1 Atom, kann die Symmetrie der Kristallstruktur anders
als die des zugrundeliegenden Bravais-Gitters sein.
Beispiel: GaAs mit Zinkblende (α-ZnS)-Struktur statt C in Diamant-Struktur:
Es handelt sich um ein kfz-Gitter mit einer zweiatomigen Basis, wobei das zweite
Atom um 1/4 auf der Raumdiagonalen gegen das erste versetzt ist. Man kann
auch sagen, es handelt sich um zwei ineinander geschachtelte kfz Gitter, die um
ein Viertel auf der Raumdiagonalen gegeneinander versetzt sind, eins für die
Gruppe III-Atome, eins für die Atome des Gruppe V-Elements. - Die DiamantStruktur ist punktsymmetrisch um den Mittelpunkt der Verbindungslinie zwischen den beiden Atomen der Basis. Die Zinkblende-Struktur ist nicht punktsymmetrisch, weil eine Drehung um 180◦ im Raum ein Ga- bzw. Zn-Atom auf
die Position eines As- bzw. S-Atoms drehen würde.
III-V-Halbleiter kristallisieren oft in der Zinkblende-Struktur, einem kubischflächenzentrierten Gitter mit einer zweiatomigen Basis aus dem Gruppe III-Atom
und dem Gruppe V-Atom - an den Stellen (0, 0, 0) und (1/4 , 1/4 , 1/4) in der
Elementarzelle. Eine Atomlage aus Gruppe III-Atomen und eine Atomlage aus
Gruppe V-Atomen wachsen immer gleichzeitig auf und bilden zusammen eine so
genannte Monolage (ML; Atomdoppellage). In der Zinkblende-Struktur enthält
eine Gitterkonstante a zwei Monolagen und damit vier Atomlagen bzw. Netzebenenabstände: 1 a = 2 ML = 4 d⊥ .
126
13.3. Kristallstrukturen
Elektrooptisches Abtasten
Man kann (einfach) zeigen, dass Kristalle mit Inversionssymmetrie (wie Si in
der Diamantstruktur) keinen Pockels-Effekt (linearen elektrooptischen Effekt)
zeigen. Die meisten III-V-Halbleiter, wie GaAs, mit ihrer Zinkblende-Struktur
sind aber nicht inversionssymmetrisch und zeigen daher den Pockels-Effekt. Das
kann zur Untersuchung/Vermessung kurzer elektrischer Pulse auf elektrischen
Leitungen auf III-V-Halbleiter-Proben genutzt werden - unter Verwendung des
elektrooptischen Abtastens.
Elektrooptische Effekte:
Neben den Fundamentalwechselwirkungen zwischen dem Licht und der Materie
gibt es noch eine Vielzahl anderer physikalischer Effekte der Wechselwirkung, die
nach ganz unterschiedlichen Kriterien klassifiziert werden könnten. Hier sollen die
beiden elektrooptischen Effekte, der Pockels- und kurz auch der Kerr-Effekt, behandelt werden.
Es handelt sich dabei um Effekte, bei denen durch eine über Elektroden auf die
Probe aufgebrachte externe Spannung das Material unter anderem in seinen optischen Eigenschaften leicht verändert wird, so dass sich die Wechselwirkung mit
elektromagnetischen Wellen ändert. Der Pockels-Effekt hat in der integrierten
Optoelektronik eine sehr große Bedeutung, da zahlreiche Konzepte für Modulatoren oder räumliche optische Schalter auf diesem Effekt beruhen. Er wird
im Bereich von Photonenenergien angewendet, die nicht ausreichen, um durch
Photonenabsorption Elektronen in höhere Niveaus anzuregen, so dass Lichtabsorption vernachlässigt werden kann.
Bei den elektrooptischen Effekten verzerrt ein statisches oder relativ langsam
veränderliches, dynamisches elektrisches Feld die Elektronenorbitale, so dass sich
das Material, hier speziell seine Brechzahl, leicht verändert. Die einfallende elektromagnetische Welle „sieht“ die veränderte Brechzahl und durchläuft das Bauelement in veränderter Weise. Diese veränderte Weise kann bei einem wellenleitergestützten Element zum Beispiel bedeuten, dass sich die Wellenform in dem
Wellenleiter verändert und dadurch eventuell die Überkopplung auf einen anderen Wellenleiter beeinflusst wird.
Der Kerr-Effekt wird auch als quadratischer elektrooptischer Effekt bezeichnet,
weil bei ihm die durch das externe Feld Eext verursachte Änderung Δ r des Realteils der Dielektrizittszahl quadratisch von der Stärke des externen Felds abhängt:
Δ
r
2
∝ Eext
.
(13.22)
127
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Beim Pockels- bzw. linearen elektrooptischen Effekt ist die entsprechende Abhängigkeit linear,
Δ r ∝ Eext ,
(13.23)
wobei gilt:
Δ
r,Kerr
Δ
r,P ockels .
(13.24)
Daher kann in Kristallen, in denen der Pockels-Effekt auftritt, der Kerr-Effekt
im allgemeinen vernachlässigt werden. In der integrierten Optoelektronik sind
die wichtigsten Halbleitersysteme Alx Ga1−x As/GaAs (Aluminiumgalliumarsenid
auf Galliumarsenid) und Inx Ga1−x Asy P1−y /InP (Indiumgalliumarsenidphosphid
auf Indiumphosphid). Diese Materialien besitzen die Zinkblende- (α-ZnS-) Kristallstruktur. Diese Kristallstruktur ist nicht inversionssymmetrisch; sie wäre es,
wenn die beiden Gitter um 1/2 auf der Raumdiagonalen gegeneinander versetzt
wären. - Die Kristalle sind an sich optisch isotrop, zeigen aber beim Anlegen
eines elektrischen Felds - also auch im Zusammenhang mit dem Pockels-Effekt eine Anisotropie.
Messprinzip:
Bei sehr schnellen elektrischen Pulsen im Piko- und Femtosekunden-Bereich ist
eine elektrische Detektion zum Beispiel mit Hilfe von herkömmlichen AbtastOszilloskopen unmöglich. Hierbei kommt immer mehr das elektrooptische Abtasten zur Anwendung. Dabei wird ausgenutzt, dass der elektrooptische Effekt
momentan anspricht, da er auf eine Verzerrung der Elektronenorbitale, die sich
innerhalb weniger Femtosekunden einstellt, zurückzuführen ist, und ein kurzer
elektrischer Puls genauso kurzzeitig und lokal die Brechzahl des Materials ändert. Wird dicht neben der metallischen Bahn, die den elektrischen Puls führt,
ein optisches Strahlenbündel mit der Probe in Wechselwirkung gebracht, lässt
sich über die zeitliche Veränderung der Brechzahl der zeitliche Verlauf des elektrischen Pulses vermessen2 .
Bei schnellen GaAs-Schaltkreisen ist das Grundmaterial glücklicherweise selbst
elektrooptisch. Bei nicht elektrooptischen Substanzen, wie Silizium (DiamantKristallstruktur), müssen elektrooptische Messspitzen über kurze Verbindungsleitungen oder über das Streufeld der Leiterbahnen an die Messstelle angekoppelt
werden.
Abbildung 13.16 zeigt einige typische Strahlanordnungen beim elektrooptischen
Abtasten.
2
Die Detektion der kurzen optischen Messpulse erfolgt mit Hilfe von Korrelationstechniken, die hier aber nicht
weiter erläutert wereden können.
128
13.3. Kristallstrukturen
Abbildung 13.16.: Einige mögliche Strahlanordnungen beim elektrooptischen Abtasten zur Vermessung kurzer elektrischer Pulse auf Mikrostreifen- oder Koplanarleitungen
In der Abbildung sind als Beispiele Mikrostreifen- und Koplanarleitungen zu
erkennen. Bei letzteren kann die Reflexion an der unteren Elektrode genutzt
werden, um das Lichtstrahlenbündel zu reflektieren und zweimal durch das von
dem externen elektrischen Feld beeinflusste Material zu schicken. Damit werden
die Phasenverschiebung und die Empfindlichkeit des Verfahrens erhöht. Es gibt wie schon angemerkt - auch die Möglichkeit, dass eine elektrooptische Messspitze
in die Nähe der stromführenden Bahn gebracht wird, wenn die Probe selbst nicht
elektrooptisch ist. Das an der Unterseite der Messspitze reflektierte Licht wird
für die Messung ausgenutzt.
129
13. Volumenmaterial und Oberflächen
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen;
Benetzbarkeit
13.4.1. Grundlagen
Ein Flüssigkeitsmolekül im Innern eines Flüssigkeitsvolumens sieht im Mittel keine Gesamtkraft aller Nachbarmoleküle.
Für Flüssigkeitsmoleküle an der Oberfläche fehlen die „oberen Nachbarn“ und
es gibt auf Grund von van der Waals’schen Bindungskräften eine Netto-Anziehungskraft in das Flüssigkeitsvolumen hinein (also nach „unten“).
Es muss Arbeit geleistet (Energie aufgebracht) werden, wenn die Oberfläche „vergrößert“ werden soll (d.h. wenn weitere Flüssigkeitsmoleküle in die Oberfläche
gebracht werden sollen). Daraus resultiert die Oberflächenspannung.
130
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit
VERSUCH: Alu-Ring aus Wasser ziehen und Kraft messen
131
13. Volumenmaterial und Oberflächen
13.4.2. Oberflächenspannung und -energie
Allgemeines
Oberflächenenergie = Arbeit/Fläche, i. e. die Arbeit, die geleistet werden muss,
um Moleküle in die Oberfläche zu bringen und so die Oberfläche zu vergrößern:
=
ΔW
ΔA
(13.25)
mit der Dimension 1 J/m2 = 1 Nm/m2 = 1 N/m (entspricht einer Kraft senkrecht
auf eine Linie, normiert mit der Länge der Linie).
Die zum Vergrößern der Wasserlamelle geleistete Arbeit ist:
· ΔA =
ΔW =
= F · Δs .
·2L · Δs
=F Kraft
(13.26)
(13.27)
(mechanische) Oberflächenspannung ≡ Oberflächenenergie:
⇒
132
σ ≡
F
2L
(13.28)
σ ≡
.
(13.29)
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit
Bei Kontakt-/Randwinkeln θ < 90◦ wird von „Benetzung“ gesprochen,
bei θ ≥ 90◦ von „Nicht-Benetzung“.
133
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Genau genommen geht es um drei Medien;
jedenfalls können und müssen drei Übergänge betrachtet werden:
feste Gefäßwand ↔ Flüssigkeit,
Flüssigkeit ↔ Gas/Dampf,
feste Gefäßwand ↔ Gas/Dampf.
134
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit
bisher implizit fast nur Grenzflächen Flüssigkeit-Gas betrachtet,
jetzt allgemeiner: σi,k , i,k
• Bei stabilen Grenzflächen Flüssigkeit-Gas muss als notwendige Bedingung σi,k >
0 gelten; sonst würde die flüssige Phase verdunsten.
• Bei stabilen Grenzflächen Flüssigkeit-Flüssigkeit muss als notwendige Bedingung σi,k > 0 gelten; sonst würden sich die beiden Flüssigkeiten vermischen.
• Für Festkörper-Flüssigkeit-Grenzflächen gibt es zwei Möglichkeiten:
◦ : σi,k < 0. D. h. Flüssigkeitsmoleküle werden von den Festkörpermolekülen
stärker angezogen als von benachbarten Flüssigkeitsmolekülen. Daher benetzen
die Flüssigkeitsmoleküle die Festkörperoberfläche.
◦ : σi,k > 0. D. h. Flüssigkeitsmoleküle werden von benachbarten Flüssigkeitsmolekülen stärker angezogen als von den Festkörpermolekülen - keine Benetzung.
diverse VERSUCHE zur Benetzung und Nicht-Benetzung,
Wasser und Quecksilber, kommunizierende Röhren mit Kapillarwirkung
Indizierung in der Abb.: 1 Festkörper, 2 Flüssigkeit, 3 Gas
Es gilt für die Steighöhe h und den Randwinkel ϑ:
2σ2,3 · cos ϑ
,
r · g · ρF l
σ1,2 + σ2,3 · cos ϑ − σ1,3 = 0
σ − σ1,2
cos ϑ = 1,3
σ2,3
h =
⇒
(13.30)
(13.31)
(13.32)
mit 2r als Durchmesser der Kapillare.
• σ1,3 > σ1,2 ⇒ konkave Grenzfläche; h > 0 ist eine Steighöhe; cos ϑ > 0 .
135
13. Volumenmaterial und Oberflächen
• σ1,3 < σ1,2 ⇒ konvexe Grenzfläche; Kapillardepression: h < 0; cos ϑ < 0 .
• (σ1,3 − σ1,2 ) > σ2,3 ⇒ vollständige Benetzung; ϑ = 0; Steighöhe nach Gl. (13.30)
(nicht unbegrenzt wg. Energiesatz und potenzieller Energie der Höhe)
praktisches Beispiel - allerdings mit zwei Flüssigkeiten:
Indizierung: 1 Wasser, 2 Öl, 3 Luft:
σ1a,3 (Wasser-Luft) = 7,25·10−2 J/m2 ,
σ1,1b (Wasser-Öl) = 1,82·10−2 J/m2 ,
σ1b,3 (Öl-Luft) = 3,20·10−2 J/m2 ,
also (σ1a,3 − σ1a,1b ) > σ1b,3 .
→ Langmuir-Blodgett-Film
136
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit
Elektrobenetzung und Optoelektrobenetzung
Elektrobenetzung (auf Isolator) (EWOD):
Elektrobenetzung (’electrowetting on dielectrics’, EWOD) bezeichnet den Effekt,
dass bei Anlegen einer elektrischen Spannung U (typische Größenordnung: 10 bis
100 V) zwischen einem leitfähigen Flüssigkeitstropfen und einer festen, mit einer
Isolatorschicht der Dicke d überzogenen Elektrode der Kontaktwinkel θ der Flüssigkeit mit der Oberflächenspannung γ auf dem Isolator reduziert wird, wie in
Abb. 13.17 skizziert.
Ursache hierfür ist die Änderung des Gleichgewichts der beteiligten Grenzflächenenergien durch einen zusätzlichen elektrostatischen Term, der die in einem
Kondensator gespeicherte elektrostatische Energie darstellt;
der Kondensator besteht hierbei aus der Elektrode und dem leitfähigen Flüssigkeitstropfen (als zweiter Elektrode) mit dem eingeschlossenen Dielektrikum
(Permittivität r ).
Der Cosinus des Kontaktwinkels bei angelegter Spannung ist gegeben durch:
1 0 rU2
cos θ(U ) = cos θ(0) +
,
2 γla d
θ(U ) < θ(0) ,
(13.33)
i. e. die sogenannte Young-Lippmann-Gleichung. Sie zeigt, dass durch das Anlegen der Spannung das Substrat effektiv besser benetzt wird. U.a. um elektrolytische Zersetzung der Lösung und Aufladungseffekte zu verhindern, werden
Wechselspannungen verwendet.
Aus thermodynamischen Gründen wird sich eine Flüssigkeit immer zu den effektiv besser benetzbaren Bereichen des Substrats hin bewegen. Somit kann die
Elektrobenetzung verwendet werden, um gezielt Flüssigkeiten auf einem geeignet
präparierten Substrat zu bewegen, das ggf. mit mehreren einzeln adressierbaren
Elektroden versehen ist, wie in Abb. 13.18 angedeutet.
137
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Abbildung 13.17.: Grundlegende experimentelle Situation bei der Elektrobenetzung; schwarz:
Elektrode auf Substrat, grau: dielektrische Schicht, blau: leitfähige oder polare
Flüssigkeit in zwei räumlichen Verteilungen
138
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit
Abbildung 13.18.: EWOD, zur Tropfenbewegung genutzt - oben Grundprinzip, unten praktikable
Version mit Superstrat - VIDEO
139
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Seit seiner (Wieder-) Entdeckung durch Berge erlebt der Effekt eine Renaissance,
und zwar sowohl in der Grundlagen- als auch in der angewandten Forschung.
• Ein aktuelles Thema im Bereich der Grundlagenforschung ist z. B. die exakte
Berechnung von Oberflächenprofilen des flüssigen Tropfens.
• Im Bereich der Anwendungen kommt Elektrobenetzung zum Einsatz für
- variable Flüssigkeitslinsen mit elektrisch steuerbarer Brennweite,
- Displays,
- optische Schalter und
- auf Tropfen basierende (sogenannte „digitale“) mikrofluidische Systeme.
In der „digitalen (tropfenbasierten) Mikrofluidik“ werden Flüssigkeitstropfen lateral über ein Substrat bewegt. Das Substrat ist dabei z. B. mit einem Array
einzeln adressierbarer Elektroden ausgestattet, die aufeinanderfolgend gegenüber
einem Tropfen auf ein elektrisches Potential gesetzt werden. Mit dieser Methode
kann ein Tropfen über die durch die Elektrodenanordnung des Substrats vorgegebene Bahn bewegt werden.
Vorteile der Elektrobenetzung als Aktorikprinzip für Flüssigkeiten liegen in
• dem einfachen elektrostatischen Konzept,
• der geringen Leistungsaufnahme der Systeme,
• den geringen Steuerspannungen und
• der Verwendung einfacher Flüssigkeiten (meist Öle & wässrige Elektrolyten).
140
13.4. Ober- & Grenzflächen; Flüssigkeitsgrenzflächen; Benetzbarkeit
Abbildung 13.19.: Optoelektrobenetzung - VIDEO
Optoelektrobenetzung (OEW):
Optoelektrobenetzung ist eine Erweiterung der Elektrobenetzung, wobei zwischen die Elektrode und die dielektrische Schicht eine photoleitfähige weitere
Schicht in das System eingebracht wird, siehe Abb. 13.19.
Diese Schicht besteht zum Beispiel aus hydrogenisiertem, amorphem Silizium
(a-Si:H). Durch Bestrahlung der photoleitfähigen Schicht mit Licht, dessen Photonenenergie höher als ihre fundamentale Bandlückenenergie sein muss, wirkt
diese photoleitfähige Schicht effektiv entweder als Teil der dadurch dickeren Isolatorschicht (im unbeleuchteten Zustand) oder als Teil der Elektrode (im beleuchteten). Die Beleuchtung stellt praktisch den Arbeitspunkt des Kondensators ein.
In optoelektrobenetzungsbasierten Systemen wird eine Wechselspannung zwischen Elektrode und leitfähiger Flüssigkeit angelegt, und die Umschaltung zwischen guter und mäßiger Benetzung erfolgt durch Licht.
141
13. Volumenmaterial und Oberflächen
Der Vorteil hierbei liegt darin, dass die Herstellung der Substrate extrem einfach
und kostengünstig ist (lediglich Abscheidung dünner Schichten, keine photolithographische Strukturierung notwendig!) und die Steuerung durch Licht bewerkstelligt wird. Weiterhin sind die erforderlichen Lichtleistungen zur Steuerung sehr
gering, d. h. im Bereich von 1 bis 5 mW senkrecht auf den Chip, und können damit problemlos selbst mit einfachen Laserquellen oder LEDs erreicht werden. Für
die erforderliche gezielte Führung eines Steuerlichtstrahls über die Probe stehen
heutzutage zahlreiche interessante technische Möglichkeiten zur Verfügung, z. B.
verschiedene Scannertypen oder räumliche Lichtmodulatoren, wie LCoS-Displays
(’liquid crystal on silicon’) oder das DMD (’digital mirror device’).
Wie oben dargestellt, kann der Effekt der Elektrobenetzung durch die Deposition einer photoleitfähigen Schicht auf dem Substrat zwischen Elektrode und
Isolator mittels Licht (senkrecht auf das Substrat einfallend) schaltbar gestaltet
werden (Optoelektrobenetzung = ’opto-electrowetting’, OEW). Hierzu hat die
Arbeitsgruppe von PD Dr. Wolfgang Mönch damals am Lehrstuhl für Mikrooptik des IMTEK (Leiter: Prof. Dr. Hans Zappe) eine grundlegende mathematische
Analyse der Optoelektrobenetzung veröffentlicht, in der sie theoretisch und experimentell nachweist, dass mittels Optoelektrobenetzung neben dem Ziehen eines
Tropfens auch Schieben mittels Licht möglich ist3 . Dabei sind die Kräfte beim
Ziehen im Allgemeinen größer als beim Schieben. Die Umschaltung zwischen
beiden Aktorik-Regimes erfolgt dabei durch Veränderung der seriellen Impedanz
im Stromkreis und Verwendung einer anderen Spannungsfrequenz. Am System
selbst brauchen dafür keinerlei Veränderungen vorgenommen zu werden.
3
F. Krogmann, H. Qu, W. Mönch, H. Zappe: Push/pull actuation using opto-electrowetting. Sensors & Actuators
A, 141 (2008) 499-505
142
14. Körper unter äußeren (mechanischen)
Spannungen
14.1. Deformierbare feste Körper
Wenn die Deformation nach Beendung einer Krafteinwirkung vollständig zurückgeht, wird von einer elastischen Deformation gesprochen, ansonsten von einer
plastischen.
VERSUCH: viskoelastisches Material
elastische Deformation am Körper der Länge L und der Querschnittsfläche A:
· ΔL · E ,
F = A
L
F A
ˆ⊥
= A · n
A
(14.1)
(14.2)
mit dem Elastizitätsmodul E in 1 N/m2 (einem Maß für den „mechanischen Wi ist ein Vektor vom Betrage der Fläche A, in
derstand“ gegen das Langziehen). A
Richtung des Normalenvektors auf die Querschnittsfläche.
Daraus folgt betragsmäßig für die Zugspannung
σm =
F
ΔL
=E·
=E·
A
L
=
m
(14.3)
m
mit der relativen Dehnung m . Gleichung (14.3) stellt wieder das Hookesche Gesetz dar, hier etwas anders geschrieben.
VERSUCH: Spannungs-Dehnungs-Diagramm
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
Abbildung 14.1.: Spannungs-Dehnungs-Diagramm [Tipler, Mosca: Physik, Abb. 12.21]
144
14.2. Tendenz zur Volumenerhaltung
14.2. Tendenz zur Volumenerhaltung
Eine Längenänderung einer Probe hat auch eine gegensinnige Querschnittsänderung zur Folge (Verlängerung ⇒ Querkontraktion).
VERSUCHE: 2x Querkontraktion: Gummischlauch & Probe in Hydraulikpresse
Mit Δd < 0 als Änderung der Querabmessung bei einer Probe mit quadratischem
Querschnitt und ΔL > 0 ergibt sich mit der Querkontraktionszahl1 , i.e.:
$
Δd
d $
− # ΔL
L
#
μ≡
> 0,
(14.4)
bei Druck/Zug entlang einer Achse.:
ΔV
ΔL
Δd
≈
+2
V
L ⎛ d # $⎞
2 Δd
ΔL ⎝
=
1 + # ΔLd $ ⎠
L
L
= m (1 − 2μ)
σm
(1 − 2μ)
=
E
(14.5)
(14.6)
(14.7)
(14.8)
und bBei Druck/Zug p gleichmäßig auf alle Seiten eines Körpers (Würfelvorstellung erlaubt):
ΔV
3p
= − (1 − 2μ) .
(14.9)
V
E
Definition eines Kompressionsmoduls K und der Festkörper-Kompressibilität κ̃
durch:
p
K ≡ − # ΔV $ ,
(14.10)
V
#
$
ΔV
1
κ̃ ≡
=− V .
K
p
1
(14.11)
Bei ΔL < 0 und Δd > 0 müsste eigentlich von Längsstauchung und Querdehnung gesprochen werden. Dem ist
aber nicht so. Und μ > 0 gilt ohnehin weiterhin.
145
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
Kräfte, die tangential an einer Fläche angreifen, heißen Scherkräfte F .
Mit der Schubspannung τ , dem Scherwinkel α, einer quadratischen festgehaltenen
Grundfläche d2 und dem Schub-, Scher- oder Torsionsmodul G gilt:
τ =
F
,
d2
τ = G·α
(14.12)
(14.13)
bei genügend kleinem Scherwinkel.
Rückstellkräfte sind wie bei der Dehnung auf die zwischenatomaren Kräfte zurückzuführen. Daher existieren Zusammenhänge zwischen den elastischen Konstanten E, μ, K, G, hier für isotrope Körper (ohne Herleitungen) angegeben:
146
E
= 1 + μ,
2G
(14.14)
E
= 1 − 2μ ,
3K
(14.15)
2G
1 − 2μ
=
.
3K
1+μ
(14.16)
14.3. Härte einer Festkörperprobe
14.3. Härte einer Festkörperprobe
... ein Maß für den mechanischen Widerstand gegen das Eindringen einer anderen
Probe:
unterschiedliche Härtemaße je nach Messverfahren:
◦ Ritzverfahren nach Mohs:
10 Härtegrade anhand von 10 ausgesuchten Materialien
Abbildung 14.2.: zu Härtegraden nach Mohs [Demtröder: Experimentalphysik 1; Tab. 6.2]
147
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
◦ Brinell-Härte:
MODELLVERSUCH
gehärtete Stahlkugel mit Durchmesser 2R mit mit einer definierten Kraft auf
eine Probe gedrückt,
2a = d (Durchmesser des Eindrucks) wird gemessen,
die Eindrucktiefe h wird daraus berechnet und ist das Maß für die Härte:
⇒
a2 = 2Rh − h2
h2 − 2Rh + a2 = 0
√
⇒ h1,2 = +R ± R2 − a2 ;
die relevante Lösung ist h2 .
148
(14.17)
(14.18)
(14.19)
14.4. Reibung zwischen festen Körpern
14.4. Reibung zwischen festen Körpern
Wenn sich zwei Probekörper auf einer Fläche berühren und aneinander vorbeigezogen werden, müssen zusätzliche Kräfte, sogenannte Reibungskräfte, überwunden werden. Diese Reibungskräfte resultieren aus Oberflächenwechselwirkungen
infolge von Oberflächenunebenheiten und -deformationen oder polaren Oberflächen.
diverse VERSUCHE zur Reibung: Haft-, Gleit-, Rollreibung
Die Reibungskraft wirkt entgegen der Bewegungsrichtung, ist aber eine Folge
der Normalkraft FN , die den Körper an die Auflagefläche drückt. Zum Beispiel
könnte das Gewicht des Körpers für die Normalkraft sorgen, die den Körper auf
die Unterlage presst; die Reibungskraft zeigt aber parallel zur Unterlage. Daher
werden die Formeln betragsmäßig geschrieben.
• Haftreibung: FH = μH · FN ,
μH = tan αH,max (Abb.)
(14.20)
mit dem Haftreibungskoeffizienten μH , der von den Materialien und den Oberflächenbeschaffenheiten abhängig ist, und dem Maximalwinkel αH,max einer schiefen
Ebene, bei dem gerade noch kein Gleiten einsetzt,
• Gleitreibung: FG = μG · FN < FH
(14.21)
mit dem Gleitreibungskoeffizienten μG , der von den Materialien, den Oberflächenbeschaffenheiten und der Relativgeschwindigkeit abhängig ist,
• Rollreibung mit Drehmoment: DR = μR · FN ,
μR = r · tan αR,max (14.22)
mit dem Rollreibungskoeffizienten μR und dem Maximalwinkel αR,max einer schiefen Ebene, bei dem noch kein Rollen einsetzt.
Die Dimensionen von μH und μG sind 1 , die von μR ist 1 m .
μH > μG >
μR
r
(14.23)
wobei r den relevanten Radius des rollenden Körpers darstellt.
149
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
150
14.5. Fluide - innere Wechselwirkungen
14.5. Fluide - innere Wechselwirkungen
14.5.1. Hydrostatik
Der Schubmodul einer idealen Flüssigkeit ist null !
Eine Flüssigkeit ohne äußere Kräfte außer der Gewichtskraft nimmt eine horizontale Flüssigkeitsoberfläche an.
Abbildung 14.3.: zum Rotationsparaboloid [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 6.19]
VERSUCH: rotierende Flüssigkeitsoberfläche
Die Oberfläche einer um eine vertikale Achse rotierenden Flüssigkeit nimmt ein
Rotationsparaboloid ein. Denn die Gesamtkraft, die überall senkrecht auf der
Oberfläche steht, setzt sich aus der Gewichtskraft und der Zentrifugalkraft zusammen:
mω 2 r
dz
tan α =
=
mg
dr
ω2
ω2
r dr = r2 + z(0) .
⇒ z(r) =
g
2g
(14.24)
(14.25)
151
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
Zusammenhang von Kraft und Druck auf/in Flüssigkeiten:
F = −
eindimensional: F = −
Druckgradient
p
grad
·dV ,
∂p
dx dy dz .
∂x
(14.26)
(14.27)
Die Gesamtkraft auf eine ruhende Flüssigkeitsprobe (auf ein Volumenelement
dV ) ist Null; denn sonst wäre die Flüssigkeit noch nicht in Ruhe:
F = Flinks − Frechts
= p dy dz − p +
∂p
dx dy dz
∂x
∂p
dx dy dz ;
∂x
∂p
F =0 ⇒
= 0 ⇒ p(x) = const ;
∂x
= −
F = Fvorne − Fhinten = −
F =0 ⇒
∂p
=0
∂y
⇒
∂p
dy dx dz ;
∂y
(14.28)
(14.29)
(14.30)
(14.31)
p(y) = const ;
∂p
dz dx dy ;
∂z
F = 0 , Gewichtskraft vernachlässigt
∂p
= 0 ⇒ p(z) = const ;
⇒
∂z
F = Foben − Funten = −
(14.32)
(14.33)
d.h. der Druck in der Flüssigkeit ist überall konstant: p = const .
mit Eigengewicht, d.h. Gewichtskraft nicht vernachlässigt:
p = const für z = const .
Der Druck in der Flüssigkeit ist in einer bestimmten, aber beliebigen Höhe z
überall konstant.
152
14.5. Fluide - innere Wechselwirkungen
Schweredruck,
i.e. Druck auf Grund des Eigengewichts der Flüssigkeitsvolumenelemente dV :
Flüssigkeitshöhe H;
Schweredruck in der Höhe z ≤ H auf die Fläche A :
(Flüssigkeitssäule aus Scheiben der Masse dm und der Höhe dz̃ zusammengesetzt)
H
p(z) =
z
H
=
z
g dm
A
(14.34)
ρg dV
A
(14.35)
H
= g
ρ
z
H
A · dz̃
A
ρ dz̃ .
= g
(14.36)
(14.37)
z
Wegen der Inkompressibilität von Flüssigkeiten ist ρ = const, so dass:
H
dz̃ = ρg[z̃]H
z
p(z) = ρg
(14.38)
z
⇒
= ρg (H − z)
p(z) ∝ (H − z) ,
(14.39)
(14.40)
i.e. eine lineare Abhängigkeit von H bzw. (H − z) .
Druck ist ungerichtet!!!
VERSUCHE: Schweredruck-Messung mit drehender Membran,
kommunizierende Röhren, hydraulische Presse, hydrostatisches Paradoxon
153
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
hydrostatischer Auftrieb in Fluiden2 Druckunterschied3 zwischen Ober- und Unterseite eines Körpers,
der in einer nach oben gerichteten Auftriebskraft resultiert:
Index
Fl
für „verdrängte Fluidmenge“, VKoerper ≡ VF l
MF l · g
MF l
=
· g · ΔzKoerper
AKoerper
VKoerper
= ρF l · g · ΔzKoerper
Koerper )
F = Δp · AKoerper · eˆz (= Δp · A
= ρ · g · ΔzKoerper · AKoerper · eˆz
Δp =
⇒
Fl
=
=
≡
=
ρF l · ΔzKoerper · AKoerper · (−g )
ρF l · VKoerper · (−g )
ρF l · VF l · (−g )
m · (−g ) = −FG,F l .
Fl
(14.41)
(14.42)
(14.43)
(14.44)
(14.45)
(14.46)
(14.47)
(14.48)
Der hydrostatische Auftrieb ist betragsmäßig gleich dem Gewicht der verdrängten
Fluidmenge. Dies ist das Archimedische Prinzip.
div. VERSUCHE zum Archimed. Prinzip: Grundversuch,
Taucher, Glaskugel/Vakuum
2
3
= Flüssigkeiten und Gasen
Oben drückt es weniger auf den Körper als unten.
154
14.5. Fluide - innere Wechselwirkungen
Wiederholung: Der hydrostatische Auftrieb ist betragsmäßig gleich dem Gewicht
der verdrängten Fluidmenge.
Der Probekörper selbst hat aber auch ein Gewicht:
- Ist der Auftrieb größer als das Gewicht des Körpers, steigt der Körper auf.
- Ist der Auftrieb kleiner als das Gewicht des Körpers, sinkt er ab - wenn auch
wegen des Auftriebs langsamer.
- Da das Volumen des (vollständig eingetauchten) Körpers und das der verdrängten Fluidmenge identisch sind, läuft das Problem auf den Vergleich der Dichten
von Probekörper-Material und Fluid hinaus:
m·g = ρ·V ·g;
wenn ρF luid > ρKoerper
⇒ Auftrieb > Gewicht Probekörper ,
(14.49)
(14.50)
(14.51)
daher steigt der Körper auf (und umgekehrt). - Daher ist in stark salzhaltigen
Gewässern wie dem Toten Meer der Auftrieb deutlich erhöht.
Wenn der Körper aus einem Fluid aufsteigt, tut er dies solange, bis er so weit aus
der Fluid hinausragt, dass von dem noch eingetauchten Teil des Probekörpers nur
noch so wenig Fluid verdrängt wird, dass der damit verbundene - nun geringere Auftrieb das - gleich gebliebene - Gewicht des Probekörpers gerade kompensiert.
155
14. Körper unter äußeren (mechanischen) Spannungen
14.5.2. Luftdruck und barometrische Höhenformel
Torricellische Röhre zur Messung des Luftdrucks
bei T = const: Boyle-Mariottesches Gesetz:
M
= const
ρ
const
p
=
= const
⇒
ρ
M
pH
pH
p0
=
⇒ ρ H = ρ0
.
ρ0
ρH
p0
p·V =p·
⇒
(14.52)
(14.53)
(14.54)
Der Index H steht für die gerade betrachtete Höhe und wird ab jetzt weggelassen. Der Index 0 steht für die Größen bei der Höhe 0 , i.e. bei der Bezugshöhe.
Druckänderung dp über eine Scheibe der Luftsäule der Dicke dh:
p
dp = −ρ · g · dh = −ρ0 g dh
(14.55)
p0
dp
ρ0
⇒
(14.56)
= − g dh
p
p0
H
⇒
ρ0 H
dp
⇒
= − g 1 dh
p
p0 0
0
ρ0
ln p − ln p0 = − gH
p0
ρ0
⇒ ln p = − gH + ln p0
p0
⇒
⇒
ρ0
(14.57)
(14.58)
(14.59)
ρ0
p = e− p0 gH+ln p0 = e− p0 gH · eln p0
ρ
− p0 gH
0
p ≡ p(H) = p0 · e
,
(14.60)
(14.61)
eine nichtlineare Abhängigkeit von der Höhe H - wegen der (infolge der Kompressibilität) in der Höhe nicht-konstanten Gasdichte.
Das Gewicht der Gasteilchen „oben“ schiebt die Gasteilchen „unten“ zusammen.
156
14.5. Fluide - innere Wechselwirkungen
Es gibt einen Luftdruck !
VERSUCH: Magdeburger Halbkugeln
von Guericke (1654):
Kugeldurchmesser = 355 mm
⇒ Fläche: A = 990 cm2 = 990 · 10−4 m2
⇒ F = p·A
= 105 Pa · 990 · 10−4 m2 = 9900 N
Vorlesung:
Kugeldurchmesser = 100 mm
⇒ Fläche: A = 80 cm2 = 80 · 10−4 m2
⇒ F = p·A
= 105 Pa · 80 · 10−4 m2 = 800 N
= mg
⇒ m ≈ 80 kg .
(14.62)
(14.63)
(14.64)
(14.65)
(14.66)
(14.67)
(14.68)
(14.69)
(14.70)
(14.71)
(14.72)
VERSUCH: Luftballon im evakuierten Glasgefäß
157
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.1. Vorbemerkungen
Fluide = Flüssigkeiten & Gase
Fluiddynamik = Hydrodynamik & Aerodynamik
Hydrodynamik manchmal auch als Oberbegriff verwendet
„Hydro“ auch jenseits von Wasser, „Aero“ auch jenseits von Luft
Strömende Fluide zeigen auch innere Reibung, beschrieben durch die
√ (dynamische) Viskosität (n Teilchendichte, m Einzelteilchenmasse, vrms ≡ v 2 mittlere
Geschwindigkeit und Λ mittlere freie Weglänge):
1
· n · m · vrms · Λ
3
m
Dimension von η = 1 m−3 kg m
s
m 1
kg
= 1 kg · 2 · 2 · s
= 1
m·s
s m
N
= 1 2 s = 1 Pa · s .
m
η =
(15.1)
(15.2)
(15.3)
(15.4)
Das Wechselspiel zwischen der inneren Reibung und der Reibung des strömenden
Fluids mit der Umgebung (ggf. Wandungen) macht viele Phänomene der Strömungsdynamik aus.
Kräfte im Fluid:
◦ ... aus Druckdifferenzen: Fp ,
◦ (insbesondere auch) ... infolge der Schwerkraft: Fg ,
◦ ... durch innere Reibung: FR ,
(◦ bei elektrisch geladenen oder magnetischen Teilchen zusätzliche Kräfte in elektrischen und magnetischen Feldern);
⇒
F = Fp + Fg + FR = Δm · r¨ ,
u ≡ r˙
F = ρ · ΔV · u˙ .
| FR | sehr klein: ideale Flüssigkeit (→ turbulente Strömungen),
| FR | sehr groß: zähe Flüssigkeit (→ laminare Strömungen).
(15.5)
(15.6)
(15.7)
15.2. Grundbegriffe und Strömungstypen
15.2. Grundbegriffe und Strömungstypen
Das Vektorfeld u(r, t) wird zur Beschreibung der Strömung genutzt.
Wenn u = u(t) , wird von einer stationären Strömung gesprochen.
Das bedeutet nicht, dass die Strömungsgeschwindigkeit überall gleich ist; Beispiel: Strömung durch verengte Röhre
Die Bahnkurve eines Masse- bzw. Volumenelements wird auch als Stromlinie oder
Stromfaden bezeichnet.
Alle Stromlinien durch eine relevante Fläche heißen Stromröhre.
VERSUCH: Schnürbänder als Stromfäden
Strömungen mit nebeneinander liegenden Stromlinien, die sich also nicht „durchmischen“, heißen laminar, sonst turbulent.
Reibung mit Wand größer als Reibung der Fluidmoleküle untereinander
→ turbulente Strömung
Reibung der Fluidmoleküle untereinander größer als Reibung mit Wand
→ laminare Strömung.
VERSUCH: laminare turbulente Strömungsbereiche im Wasserkanal
FILM: Stromlinien und laminare Strömungen
159
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.3. Bernoulli-Gleichung
15.3.1. Vorüberlegung: eine Vorstufe der Kontinuitätsgleichung
Gedankenexperiment: Strömung durch Röhre mit Verengung, inkompressibles
Fluid; quer tritt kein Fluid ein oder aus
Für inkompressible Fluide bedeutet das:
Durch jede Fläche quer zur Rohrlängsachse muss zu jedem Zeitpunkt dieselbe
Masse hindurchtreten; sonst würde sich irgendwo Masse „stauen“.
dm
dm
(x1 ) =
(x2 )
dt
dt
⇒ ρ · V̇ (x1 ) = ρ · V̇ (x2 )
⇒ ρ · A1 · ẋ(x1 ) = ρ · A2 · ẋ(x2 )
ux1
ux2
ux1
A2
=
ux2
A1
bzw. ux1 A1 = ux2 A2 = const
⇒
(15.8)
(15.9)
(15.10)
(15.11)
(15.12)
Das bedeutet, dass das inkompressible Fluid im engen Teil einer Röhre schneller
fließt als im weiten.
Dies ist quasi eine Vorstufe der sogenannten Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide:
· u ≡ div u = 0 .
∇
(15.13)
Geschwindigkeit kann nicht einfach aus dem Nichts entstehen oder vergehen.
160
15.3. Bernoulli-Gleichung
15.3.2. Herleitung der Bernoulli-Gleichung
einen Gedankenschritt weiter als im letzten Abschnitt gedacht - Bernoulli (das
Ergebnis des Abschnitts also hier vorweggenommen):
Die Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit an Verengungen (z.B. in Röhren)
führt bei inkompressiblen Fluiden an den Verengungen zu einer Druckabnahme.
Herleitung dazu: identische Flüssigkeitsvolumina angenommen ◦ . . . im weiten Teil: ΔV = A1 · Δx1 ,
◦ . . . im engen Teil: ΔV = A2 · Δx2 .
(15.14)
(15.15)
Arbeit muss geleistet werden, um die gleichen Flüssigkeitsvolumina (ΔV ) um
ihre x-Ausdehnung (Δx1 bzw. Δx2 ) im selben Zeitabschnitt in x-Richtung zu
verschieben - gegen den Druck p (eigentlich gegen den negativen Gradienten,
mit dem positiven Gradienten) ; hierdurch wird die potenzielle Energie erhöht1 :
ΔW1 = F1 · Δx1 = p1 · A1 · Δx1 = p1 · ΔV ,
ΔW2 = F2 · Δx2 = p2 · A2 · Δx2 = p2 · ΔV .
(15.16)
(15.17)
Für die kinetische Energie der Volumenelemente gilt:
1
1
Ekin,1 = Δm · u21 = ρ u21 ΔV (x1 ) ,
2
2
1
1
Ekin,2 = Δm · u22 = ρ u22 ΔV (x2 ) ;
2
2
Energieerh.satz: Epot + Ekin = const’ in Zeit und Raum ,
1
p · ΔV (x) + ρ u2 ΔV (x) = const’
2
/ ΔV
1 2
ρu
⇒
p
+
= const = pg(esamt) ,
2 stat. Druck
Staudruck
(15.18)
(15.19)
(15.20)
(15.21)
(15.22)
Gesamtdruck
i.e. die Bernoulli-Gleichung bei waagerechter Anordnung. Der statische Druck ist
eine Folge von Eigengewicht der Fluidsäule (hydrostatischer Druck) und „Wettergeschehen“ im weitesten Sinne.
Gegebenenfalls (bei nicht-waagerechter Anordnung) muss noch der Schweredruck
berücksichtigt werden:
1
p + ρ u2 + ρg Δh = pg ;
(15.23)
2
1
oder die potenzielle Energie wird geringer bei Bewegung mit dem negativen Druckgradienten und in kinetische
Energie konvertiert
161
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
jetzt wieder bei einer waagerechten Anordnung, aus Gl. (15.22) folgend:
1 2
ρ u (gemessen) ;
2
1
Wasserstrahlpumpe: p = pg − ρ u2 (Sog-Wirkung) .
2
Prandtl-Staurohr: pg − p =
(15.24)
(15.25)
GRUNDVERSUCH zur Bernoulli-Gleichung
div. VERSUCHE zur Bernoulli-Gl., u.a. 2 gewölbte PVC-Platten,
Parfum-Zerstäuber, hydrodyn. Paradoxon, Tischtennisball auf Föhn-Strahl
162
15.3. Bernoulli-Gleichung
Abbildung 15.1.: zum Bernoulli-Effekt: GRUNDVERSUCH: Druckabnahme an enger Stelle im
waagerechten Rohr [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 8.9]. Die Steigröhrchen dienen nur als Druckmessröhrchen. Die Messgröße dort ist der statische
Druck, p = pg − 12 ρ u2 . Der Staudruck macht sich als Sog-Term bemerkbar
163
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.4. Inkompressibilität von Gasen ?
Auch langsam strömende Gase dürfen als inkompressibel (!!!) angenommen werden; denn nach Boyle-Mariotte:
p ∝ ρ.
(15.26)
Seien p = 103 hPa der statische Druck und ρ = 1, 2 kg/m3 die Luftdichte.
Zwei Beispiele:
◦ u = 100 m/s
1 2
ρu = 0, 06 · 105 Pa = 6% · p
2
Δρ
⇒
= 6% , ein kleiner Effekt!
ρ
⇒
(15.27)
(15.28)
◦ u = 330 m/s (nur) als Beispiel für eine große Geschwindigkeit
1 2
ρu = 0, 75 · 105 Pa = 75% · p
2
Δρ
⇒
= 75% , ein großer Effekt!
ρ
⇒
(15.29)
(15.30)
Für relativ kleine Strömungsgeschwindigkeiten kann Inkompressibilität auch für
Gase in guter Näherung angenommen werden.
164
15.5. Laminare Strömung, Geschwindigkeitsprofile
15.5. Laminare Strömung, Geschwindigkeitsprofile
Bei benetzenden Flüssigkeiten werden durch Reibung die Flüssigkeitsrandschichten an einem in der Flüssigkeit in x-Richtung bewegten Körper der Oberfläche
A = 2 · A2 mitgenommen; folgende Reibungskraft muss überwunden werden:
F = η · A· |
du
|
dy
(15.31)
mit dem Geschwindigkeitsgradienten du/dy quer zur Bewegungsrichtung. Die
Grenzschicht hat folgende Dicke:
D̃ ≈
η
·L
ρ·u
(15.32)
mit u als Geschwindigkeit des Körpers relativ zu dem Fluid und L als Länge des
Körpers in x-Richtung.
Für das Geschwindigkeitsprofil bei zwei parallelen Wänden im Abstand 2d, wobei
y = 0 in der Mitte zwischen beiden Platten liegt, ergibt sich:
u(y) =
1 dp 2
(d − y 2 ) ,
2η dx
(15.33)
also ein parabelförmiges Profil.
Bei einer Röhre mit Radius R heißt das:
u(r) ∝ (R2 − r2 ) parabolisch
(15.34)
und es ergibt sich daraus (hier ohne Herleitung) für den Volumenfluss:
dV
πR4
p |,
=
| grad
dt
8η
(15.35)
das Hagen-Poiseuille-Gesetz
(→ starker Effekt durch Weiten von Adern beim Sporttreiben).
165
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.6. Reibung beim Fall einer Kugel
... mit Radius R in einer (viskosen) Flüssigkeit
(auch Modellversuch für elektrischen Widerstand im Leiter)
VERSUCH: Kugel fällt in Glycerin
Nach kurzer Zeit stellt sich eine stationäre Endgeschwindigkeit ein, weil die Gewichtskraft von der Summe aus Reibungskraft und Auftrieb kompensiert wird
und es sich dann nicht mehr um eine beschleunigte Bewegung handelt.
Die Größe u0 sei die stationäre Strömungs-Endgeschwindigkeit.
Dann ergibt sich für relativ kleine (Strömungs-) Geschwindigkeiten das StokesGesetz für die Reibungskraft, i.e. eine lineare Abhängigkeit der Beträge von Reibungskraft und Geschwindigkeit (mit den üblichen Größensymbolen):
FR = −6πηR · u0 ;
2 R2
g
(ρ
− ρF l ) ;
beim Kugelfall: u0 ≡ | u0 | =
9 η Kugel
u0
= const → η-Messung möglich ;
R2
genauer aber:
FR = −6πηR · u0
nach Oseen.
166
3 ρ · R · u0
1 + Fl
8η
(15.36)
(15.37)
(15.38)
(15.39)
15.7. der Vollständigkeit halber: Euler- und Navier-Stokes-Gleichung
15.7. der Vollständigkeit halber: Euler- und
Navier-Stokes-Gleichung
15.7.1. Euler-Gleichung für ideale Flüssigkeiten
Definition einer substanziellen Beschleunigung
als totale Änderung der Geschwindigkeit (als totales Differential)
für die drei Komponenten mit den Indizes i ∈ {x, y, z} :
∂ui ∂ui
dui
=
+
dt
∂t
∂x
∂ui
+ ux ·
=
∂t
∂uz
duz
=
Bsp.:
dt
∂t
dx ∂ui dy ∂ui dz
+
·
+
·
(15.40)
dt
∂y dt
∂z dt
∂ui
∂ui
∂ui
+ uy ·
+ uz ·
(15.41)
∂x
∂y
∂z
∂uz dx
∂uz dy ∂uz dz
·
·
·
+
+
+
(15.42)
∂x dt
∂y dt ∂z dt
·
z.B. var. Geblaese
=
⇒
=ux
z.B. Konvektion
=uy
∂uz
∂uz
∂uz
∂uz
+ ux ·
+ uy ·
+ uz ·
∂t
∂x
∂y
∂z
∂u
du
u.
=
+ (u · ∇)
dt
∂t
=uz
(15.43)
(15.44)
Der erste Term, eine Geschwindigkeitsänderung an bestimmten Orten, ist nur
dann nicht null, wenn es sich um eine nicht-stationäre Strömung handelt.
Der zweite Term heißt Konvektionsbeschleunigung und tritt auf, wenn die Geschwindigkeit vom Ort abhängt.
Für ideale Fluide (FR = 0) und wegen der Kraft durch Druckunterschiede (Fp =
p · ΔV ) folgt für Strömungen von Teilchen ohne elektrische oder magneti−grad
sche Momente:
⇒
du
∂u
u
=
+ (u · ∇)
dt
∂t
Fp
1 Fg
+
= g − grad
p
=
Δm Δm
ρ
∂u
p
u = g − 1 grad
+ (u · ∇)
∂t
ρ
(15.45)
(15.46)
(15.47)
i.e. die Euler-Gleichung (keine 1:1-Ordnung der beiden Terme links des Gleichheitszeichens zu den beiden Termen rechts!).
167
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.7.2. Navier-Stokes-Gleichung
= Euler-Gleichung unter Berücksichtigung der inneren Reibung:
⎛
⎞
du
∂u
⎜F ⎟
u
⎝ ⎠ =ρ·
= ρ·
+ (u · ∇)
V
dt
∂t
(15.48)
p+η·∇
2u , (15.49)
= ρ · g − grad
u =
Vektorrelation: (u · ∇)
⇒ ρ·
1 u) (15.50)
grad u2 − (u × rot
2
∂u ρ p+η·∇
2u . (15.51)
u) = ρ · g − grad
+ grad u 2 − ρ (u × rot
∂t 2
Das ist die Navier-Stokes-Gleichung.
Es besteht keine 1:1-Zuordnung der drei Terme links zu den drei Termen rechts
des Gleichheitszeichens.
168
15.8. Wirbel, laminare versus turbulente Strömungen
15.8. Wirbel, laminare versus turbulente Strömungen
Oberhalb einer gewissen Strömungsgeschwindigkeit geht eine laminare Strömung
in eine turbulente über. Wirbel entstehen.
Wirbel haben einen Kern mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, also linear mit
der Radiuskoordinate ansteigendem Betrag der Bahngeschwindigkeit u = ω · r .
Außerhalb des Wirbelkerns mit dem Radius rK , also für r > rK , nehmen die
Winkelgeschwindigkeit und damit auch die Bahngeschwindigkeit mit zunehmendem r vom Zentrum ab; dieses äußere Wirbelgebiet heißt „Zirkulation“.
Abbildung 15.2.: Aufbau eines Wirbels (rechtes Teilbild aus [Demtröder: Experimentalphysik 1,
Abb. 8.26])
Im Kern drehen sich die „Flüssigkeitsteilchen/elemente“ bei jeder Umdrehung
auch einmal um ihre eigene Achse.
Außerhalb des Kerns behalten die Elemente ihre Orientierung tangential zum
Kern bei; das heißt aber auch, dass sich die Volumenelemente deformieren.
und
Zur Beschreibung der Wirbelstärke werden die Größen „Wirbelvektor“ Ω
„Zirkulation“ Z eingeführt:
= 1 rot
× u ,
u = 1 ∇
Ω
(15.52)
2
2
+
u ds ,
(15.53)
Z =
s
i.e. ein Linienintegral auf der Berandung der Fläche, durch die das Fluid strömt.
Der Wirbelvektor Ω ist punktweise definiert.
+
Stokesscher Satz:
⇒
u dA
rot
u ds =
s
+
A
s
dA
.
Ω
=2
u dA
rot
u ds =
Z=
(15.54)
A
(15.55)
A
169
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.9. Helmholtzsche Wirbelsätze
Für eine ideale Flüssigkeit (η = 0) lässt sich die Navier-Stokes-Gleichung im
Fall ohne äußere Kraftfelder (u.a. ρg = 0) in eine Gleichung umformen, aus der
Erhaltungsgrößen klar werden (hier ohne Herleitung angegeben):
∂Ω
× u) = 0 .
× (Ω
+∇
∂t
(15.56)
Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide, i.e.
· u ≡ div u = 0 ,
∇
(15.57)
bestimmt Gl. (15.56) das Geschwindigkeitsfeld der Strömung vollständig.
Daraus folgt:
= 0 überall, so gilt nach Gl. (15.56):
• Wenn zu irgendeinem Zeitpunkt Ω
∂Ω
=0
∂t
⇒
= const ;
Ω
(15.58)
ändert sich niemals. D.h. auch: wird eine ideale Flüssigd.h. der Wirbelvektor Ω
keit ohne Wirbel in Bewegung gesetzt, bleibt sie für immer wirbelfrei.
• Wenn aber
= 1 rot
u = 0 ,
Ω
2
a) = 0
allgemein: div (rot
= 1 div (rot
u) = 0 ;
⇒ div Ω
2
(15.59)
(15.60)
(15.61)
d.h. innerhalb einer idealen Flüssigkeit gibt es für Wirbel keine Quellen und
Senken. Die Wirbellinien sind entweder in sich geschlossen oder führen an die
Fluidoberfläche.
170
15.9. Helmholtzsche Wirbelsätze
zusammengefasst:
In einem reibungsfreien Fluid ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können hier weder entstehen noch vergehen.
Diese Aussagen sind äquivalent zum Drehimpulserhaltungssatz für die im Wirbel
rotierende Masse.
In einem reibungsbehafteten Fluid können Wirbel entstehen und vergehen.
Wirbel entstehen in Fluiden mit relativ kleiner innerer Reibung dort, wo die Reibungskräfte besonders groß sind, z.B. ...
◦ an den Wänden eines Rohres oder von Hindernissen,
◦ am Übergang zwischen ruhenden und bewegten Fluid-Teilvolumina (Abb. unten!)
→ Verformung der Stromlinien
→ an bestimmten Stellen Druckminderung nach Bernoulli
→ noch stärkere Verengung bzw. Verformung der Stromlinien
⇒ Instabilität, i.e. Wirbel.
Wirbel reißen ab und werden von der Strömung fortgetragen.
Abbildung 15.3.: zur Wirbelentstehung [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 8.30]
Diese Helmholtzschen Wirbelsätze sind so etwas Ähnliches wie der Drehimpulserhaltungssatz.
Im Strömungsfall werden aber Fluidvolumina ggf. mit Wirbeln fortgetragen und
andere Volumina zugeführt, wobei ggf. neue Wirbel entstehen. Und Reibungsverluste bei der Energie werden durch die kinetische Energie der zugeführten
Fluidvolumina kompensiert. Deswegen geht es quasi um ein dynamisches Gleichgewicht. Und im zeitlichen und räumlichen Mittel gilt Drehimpulserhaltung.
171
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.10.
Aerodynamik
15.10.1.
Magnus-Effekt
= Bernoulli-Effekt bei rotierenden Systemen
VERSUCH zum Magnus-Effekt: Papierrolle
zunächst ein rotierender Papierzylinder in Strömung
→ infolge Reibung wird eine Randschicht der Strömung in eine Zirkulationsbewegung gebracht
→ Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit auf der einen „Seite“, Erniedrigung
auf der anderen
→ nach Bernoulli Druckerniedrigung dort, wo die Geschwindigkeit erhöht ist
→ Auftrieb
172
15.10. Aerodynamik
weiterer VERSUCH zum Magnus-Effekt: Kugel auf schiefer Ebene ins Wasser
VIDEO: Bananenflanke
173
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.10.2.
Dynamischer Auftrieb am Tragflügel
Um einen äquivalenten Effekt zu erzielen, muss sich der Körper selbst nicht drehen; es reicht eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente, die auch Folge eines
Wirbels sein kann.
mehr Reibung, stärkere Abbremsung auf der Oberseite
→ unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeiten oben und unten (oben weniger
als unten - zunächst einmal wegen der Reibung) - auch am Ende des Profils
→ Wirbelbildung (Anfahrwirbel oberhalb einer kritischen Geschwindigkeit)
Abbildung 15.4.: zur Entstehung des Anfahrwirbels
→ wegen Drehimpulserhaltung der umströmenden Luft und Navier-Stokes-Gleichungen Zirkulationsströmung um das Profil entgegen dem Anfahrwirbel
→ Geschwindigkeitserhöhung oben und -erniedrigung unten
→ nach Bernoulli Sog oben (2/3 vom dynamischen Auftrieb) und Überdruck
unten (1/3)
174
15.10. Aerodynamik
Abbildung 15.5.: zum dynamischen Auftrieb am Tragflügel 1 [Demtröder: Experimentalphysik
1, Abb. 8.40]
175
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
Abbildung 15.6.: zum dynamischen Auftrieb am Tragflügel 2 [Demtröder: Experimentalphysik
1, Abb. 8.41]
176
15.10. Aerodynamik
15.10.3.
Kraftverhältnisse am umströmten Körper
Auf der Rückseite eines Körpers in der Strömung herrscht ein geringerer Druck
als auf der Vorderseite. Um den Körper trotz der Strömung und des daraus
folgenden Druckgefälles am selben Ort zu halten, muss eine Kraft aufgewendet
werden, die sogenannte Druckwiderstandskraft:
ρ
FD = cD · u2 · A
2
(15.62)
mit dem Druckwiderstandsbeiwert cD und der Querschnittsfläche A des Körpers
senkrecht zur Strömungsrichtung; cD ist von der Form des Körpers abhängig.
Die Druckwiderstandskraft addiert sich mit der Newtonschen Reibungskraft FR
zur Gesamtwiderstandskraft:
ρ
(15.63)
FR ∝ u2 · A
2
ρ
FW = FR + FD = cW · u2 · A
(15.64)
2
mit dem Widerstandsbeiwert cW (cW > cD ).
177
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
Abbildung 15.7.: cW -Werte einiger Autos [Volkswagen AG]
Die Auftriebskraft kann geschrieben werden:
ρ
FA (= Δpoben/unten · A) = cA · (u2oben − u2unten ) · A
2
(15.65)
mit dem Auftriebsbeiwert cA .
Die Beiwerte cW ud cA verändern sich mit der Lage (dem Winkel) des Objekts
relativ zur Strömungrichtung, und
FA ∝ cA ,
FW ∝ cW .
178
(15.66)
(15.67)
15.10. Aerodynamik
15.10.4.
Profilpolare
Das Diagramm cA (cW ) heißt Profilpolare.
Abbildung 15.8.: Profilpolare [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 8.44]
Der Widerstand (und damit auch cW ) sollte gering sein; der Auftrieb (und damit
auch cA ) sollte aber noch genügend groß sein.
VERSUCH: Tragflügelmodell im Windkanal
179
15. Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen
15.10.5.
Gleitflug
Beim stationären Flug eines Segelflugzeugs muss der Auftrieb die Resultierende
aus Strömungswiderstand und Gewichtskraft gerade kompensieren; das geht nur
auf einer abwärts gerichteten Bahn.
FW = | FW | ,
FA = | FA | ,
FW
,
tan γ = −
FA
FW
sin γ =
−mg
(15.68)
(15.69)
(15.70)
(15.71)
mit γ < 0 als Gleitwinkel; das Verhältnis FA /FW heißt auch Gleitzahl.
Das Segelflugzeug mit der größten Gleitzahl weltweit ist die „Eta“ mit einer
Gleitzahl von etwa 70.
Das entspricht einem Winkel γ von etwa -0,8◦ .
Die Situation kann auch über Entfernungen definiert werden: Bei dieser Gleitzahl
kann das Segelflugzeug aus 1 km Höhe (störende Einflüsse ausgeschlossen) etwa
70 km weit gleiten.
Bei Thermik sinkt das Segelflugzeug in der Thermik-Blase; die Blase selbst steigt
aber mit dem Segelflugzeug darin - ggf. sogar schneller, so dass das Segelflugzeug
netto Höhe gewinnen kann.
180
15.11. Ähnlichkeitsgesetze; Reynolds-Zahl
15.11.
Ähnlichkeitsgesetze; Reynolds-Zahl
Modelle für umströmte Bauten (Schiffe, Brücken, Hochhäuser, ...) sind nur dann
hilfreich, wenn sie die Strömungsverhältnisse richtig modellieren. Da ist erfüllt,
wenn gleiche Reynolds-Zahlen in der Wirklichkeit und im Modell vorliegen:
Re =
2Ekin
Winnere Reibung
=
ρ · u · L
.
η
(15.72)
Die Größe L ist eine charakteristische Länge; sie kann z.B. bei in der Strömung
liegenden Platten eine Längsausdehnung sein, bei Rohren aber die Querabmessung (Rohrradius)
◦ Re klein: Ekin Winnere Reibung → laminare Strömung
◦ Re groß: Ekin
Winnere Reibung → turbulente Strömung
am Umschlagpunkt: Rec , kritische Reynolds-Zahl für eine Rohrströmung:
ρr
uc
η
ρu
=
rc ;
η
≈ 2300 .
Rec,Rohr =
oder Rec,Rohr
Rec,Rohr
(15.73)
(15.74)
(15.75)
181
Teil III.
Schwingungen und Wellen
16. Freie Schwingungen
mechanisch: Bewegung von Materie
schon Beispiele genutzt:
• Faden1 - oder Stabpendel
mit
Eigenfrequenz
ω
=
2πν
=
g/L ,
0
0
2
,
• Federpendel mit ω0 = D̃/m
• Torsionspendel mit ω0 = Dr /I .
16.1. Freier ungedämpfter Oszillator; Darstellung von
Schwingungen
Federpendel ohne Reibung als Beispiel:
VERSUCH: Federpendel
rücktreibende Kraft: F = −D̃ · x · eˆx .
(16.1)
Damit folgt die Bewegungsgleichung:
m
d2 x
= −D̃x
dt2
⇒
d2 x
D̃
+
x = 0,
dt2 m
(16.2)
=ω02
die Schwingungsdifferenzialgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators; erfolgreicher Lösungsansatz (durch „gebildetes Raten“):
x = c · eλt ;
1
(16.3)
Die Masse des schwingenden Körpers ist unwichtig, solange es sich um ein ideales (i.e. mathematisches) Pendel
handelt.
2
Die Erdbeschleunigung und das Gewicht des schwingenden Körpers sind unwichtig; sie bestimmen nur die
Nulllage des Federpendels.
16. Freie Schwingungen
Einsetzen dieses Ansatzes in Gl. (16.2) ergibt:
c · λ2 · eλt + ω02 · c · eλt
⇔ λ2 x + ω02 x
⇒ λ2 + ω02
⇒ λ2
i
⇒ λ1,2
⇒ x(t)
wobei c1 , c2 ∈ C
eiα
⇒
c2 · e−iω0 t =
⇒ x(t) =
äquivalent: x(t) =
=
=
=
#
=
=
=
=
≡
=
=
,
=
0
0
0
−ω 2 ,
√ 0
−1
(16.4)
(16.5)
(16.6)
(16.7)
(16.8)
±
= ±i ω02 = ±iω0
c1 · e + c2 · e−iω0 t (1. Art)
aber x(t) ∈ R ,
cos α + i sin α
c1 · eiω0 t
−ω02
iω0 t
$∗
(16.9)
(16.10)
(16.11)
(16.12)
⇒ c1 = c∗2 ≡ c = a + ib
c · eiω0 t + c∗ · e−iω0 t (2. Art)
(a + ib)eiω0 t + (a − ib)e−iω0 t
a eiω0 t + ib eiω0 t + a e−iω0 t − ib e−iω0 t
#
$
$
#
a eiω0 t + e−iω0 t + ib eiω0 t − e−iω0 t
⎛
⎞
⎛
⎜ iω t
⎟
⎜ e 0 + e−iω0 t ⎟
⎜
⎟
⎟
2a ⎜
⎟
⎜
2
⎝
⎠
=cos(ω0 t)
+
(16.13)
⎞
⎜ iω t
⎟
⎜ e 0 − e−iω0 t ⎟
⎜
⎟
⎟
2i ib ⎜
⎜
⎟
2i
⎝
⎠
=sin(ω0 t)
· sin(ω0 t) (3. Art)
= 2a · cos(ω0 t) −2b
=a
T
0
(16.17)
(16.18)
=+b
1 T
cos(ω0 t) · sin(ω0 t) dt =
sin(2ω0 t) dt = 0 Orthogonalität
20
(wobei die reellen Koeff. a & b aus den Anfangsbed. zu erschließen sind)
184
(16.14)
(16.15)
(16.16)
(16.19)
16.1. Freier ungedämpfter Oszillator; Darstellung von Schwingungen
wichtige Reihenentwicklungen und Zusammenhänge:
x3 x5
+
− +... ,
(16.20)
3!
5!
x 2 x4
cos x = 1 −
+
− +... ,
(16.21)
2!
4!
x x2 x3
x
exp x ≡ e = 1 + +
+
+ ... ,
(16.22)
1! 2!
3!
x2
x3 x4
x5 x6
x7
ix
exp(ix) ≡ e = 1 + ix −
−i +
+i −
− i ... ,
2!
3!
4!
5!
6!
7!
(16.23)
ix
(16.24)
exp(ix) ≡ e = cos x + i sin x Eulersche Formel ,
−ix
exp(−ix) ≡ e
= cos(−x) + i sin(−x) = cos x − i sin x ,
(16.25)
sin x = x −
⇒
z.B. eix + e−ix = (cos x + i sin x) + (cos x − i sin x) = 2 cos x
(16.26)
ix
−ix
ix
−ix
e +e
e −e
⇒ cos x =
, sin x =
,
(16.27)
2
2i
π
π
eiπ/2 = cos + i sin = 0 + i · 1 = i ,
(16.28)
2
2
ea+b = ea · eb ,
ea−b = ea · e−b = ea /eb .
(16.29)
(16.30)
185
16. Freie Schwingungen
Es ergibt sich eine weitere Darstellung aus einer alternativen Schreibweise der
komplexen Koeffizienten c und c∗ :
⇒
c = | c | ·eiϕ ,
c∗ = | c | ·e−iϕ
,
x(t) = | c | · ei(ω0 t+ϕ) + e−i(ω0 t+ϕ)
(4. Art)
t + ϕ) (5. Art) .
≡ 2 | c | · cos(ω
0 =A
(16.31)
(16.32)
(16.33)
(16.34)
P hase
Oft kann der Zeit-Nullpunkt so gelegt werden, dass
⇒
ϕ = 0
x(t) = A · cos(ω0 t) .
(16.35)
(16.36)
Die Schwingung ist eine periodische Bewegung mit der Schwingungsdauer T zwischen zwei Zeitpunkten mit gleichwertiger Phase (gleiche Phase bei gleichem
Vorzeichen der Steigung der Auslenkung) :
x(t + T ) = x(t) ,
1
,
ν0 =
T
ω0 = 2πν0 =
(16.37)
(16.38)
2π
.
T
(16.39)
Die Beschleunigung ist immer gegenphasig zur Auslenkung:
beispielsweise: x(t) = A · cos(ω0 t) ,
⇒ ẋ(t) = −ω0 A · sin(ω0 t) ,
⇒ ẍ(t) = −ω02 A · cos(ω0 t) = −ω02 x(t) .
(16.40)
(16.41)
(16.42)
VERSUCHE zu Schwingungen
Reine Sinus-Schwingungen (also Schwingungen mit einer einzigen Frequenz (Anfangsphase egal)) werden „harmonische Schwingungen“ genannt.
186
16.2. Überlagerung von Schwingungen
16.2. Überlagerung von Schwingungen
In der Natur und Technik kommen selten reine harmonische Schwingungen vor.
Auch komplizierte nicht-harmonische Schwingungen sind als Überlagerung von
harmonischen Schwingungen darstellbar.
→ Fourier-Synthese
Wenn alle Schwingungsrichtungen gleich sind, wird von eindimensionalen Überlagerungen gesprochen.
16.2.1. 2 Schwingungen gleicher Frequenz in 1D-Überlagerung
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β ;
(16.43)
x1 (t) = a1 cos(ωt + ϕ1 ) = a1 cos ϕ1 · cos(ωt) − a1 sin ϕ1 · sin(ωt) ,
(16.44)
x2 (t) = a2 cos(ωt + ϕ2 ) = a2 cos ϕ2 · cos(ωt) − a2 sin ϕ2 · sin(ωt)
(16.45)
⇒ x(t) = x1 (t) + x2 (t)
(16.46)
= (a1 cos ϕ1 + a2 cos ϕ2 ) cos(ωt)
− (a1 sin ϕ1 + a2 sin ϕ2 ) sin(ωt) (3. Art)
(16.47)
= A cos(ωt + ϕ) (5. Art) .
(16.48)
Das ist wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, aber mit anderer
Amplitude und Phase.
Dieses Beispiel ist entscheidend für die Erklärung der Brechzahl - bei bestimmten
Phasenverschiebungen zwischen x1 und x2 .
187
16. Freie Schwingungen
Abbildung 16.1.: zur 1D-Überlagerung von Schwingungen, auf optische Wellen angewendet, um
die Ursache des Brechungsindex zu erklären (hier wird der Zeitpunkt t festgehalten und die z-Koordinate variiert)
188
16.2. Überlagerung von Schwingungen
16.2.2. 2 Schwingungen leicht unterschiedl. Freq. in 1D-Überlag.
x1 (t)
x2 (t)
hier: a1 = a2
t = 0 so wählen, dass ϕ1 = ϕ2
⇒ x1 (t)
x2 (t)
=
=
≡
=
=
=
a1 cos(ω1 t + ϕ1 ) ,
(16.49)
a2 cos(ω2 t + ϕ2 ) ;
(16.50)
a,
(16.51)
0
(16.52)
a cos(ω1 t) ,
(16.53)
a cos(ω2 t) ;
(16.54)
α+β
α−β
cos
;
(16.55)
cos α + cos β = 2 cos
2
2
⇒ x(t) = x1 (t) + x2 (t)
(16.56)
ω1 − ω2
ω1 + ω2
t · cos
t
= 2a cos
2
2
modulierte Amplitude
(16.57)
Dies entspricht einer Schwingung mit Mittenfrequenz (ω1 + ω2 )/2 ;
die Amplitude wird mit der Frequenz (ω1 − ω2 )/2 moduliert.
Wenn ω1 ≈ ω2 , wird von einer Schwebung gesprochen.
VERSUCHE zu Schwebungen (und Schwebungswellen)
189
16. Freie Schwingungen
Abbildung 16.2.: zu Schwebungen 1 [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 11.7]
190
16.2. Überlagerung von Schwingungen
Abbildung 16.3.: zu Schwebungen 2 [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 11.8]
191
16. Freie Schwingungen
16.2.3. Überlag. mehrerer Schwing., Fourier-Synthese/-Analyse
N Schwingungen mit den Frequenzen ωn
Jede periodische Funktion g(t) mit g(t + T ) = g(t) kann immer in eine Summe
von Kosinus- und Sinusfunktionen zerlegt werden, deren Frequenzen ωn sogar
ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz ω1 (≡ ω0 ) sind (Grundschwingung und
Oberschwingungen):
N
Fourier-Reihe: g(t) = a0 +
[An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t)] ,
(16.58)
n=1
wobei: ωn = n · ω1 ;
(16.59)
z. B.:
1
1
sin(3ω1 t) + sin(5ω1 t) + . . .] ,
3
5
1
1
symm. Dreieck: g(t) = B1 [sin(ω1 t) − 2 sin(3ω1 t) + 2 sin(5ω1 t) − + . . .] ,
3
5
1
1
Sägezahn: g(t) = B1 [sin(ω1 t) + sin(2ω1 t) + sin(3ω1 t) + . . .] .
2
3
symm. Rechteck: g(t) = B1 [sin(ω1 t) +
VERSUCH: elektrische Fourier-Synthese/-Analyse
Für unperiodische Funktionen muss die Fourier-Reihe durch ein Fourier-Integral
(i. e. eine (inverse) Fourier-Transformation) ersetzt werden:
exp{−iρ} = cos ρ − i sin ρ ;
Analyse: F (ν) ≡ F {g(t)} (ν) =
.
/
Synthese/invers: F −1 {F (ν)} (t) =
∞
−∞
∞
(16.60)
g(t) · exp{−i2πνt} dt , (16.61)
F (ν) · exp{+i2πνt} dν .
−∞
(16.62)
192
16.2. Überlagerung von Schwingungen
16.2.4. 2D-Überlagerung → Lissajous-Figuren
x = ax · sin(ωt) , y = ay · sin(ωt − ϕ)
(16.63)
x
y
= sin(ωt) ,
= sin(ωt − ϕ)
(16.64)
ax
ay
y
⇒
= sin(ωt) cos ϕ − cos(ωt) sin ϕ (16.65)
ay
x
cos ϕ − cos(ωt) sin ϕ
(16.66)
=
ax
y
x
cos ϕ − ,
(16.67)
⇒ cos(ωt) sin ϕ =
ax
ay
x
,
(16.68)
Wdh. von Gl. (16.64a): sin(ωt) =
ax
· sin ϕ
x
⇒ sin(ωt) · sin ϕ =
· sin ϕ
(16.69)
ax
(16.67)2 +(16.69)2
⇒
=
=
=
cos2 (ωt) sin2 ϕ + sin2 (ωt) sin2 ϕ
#
$
cos2 (ωt) + sin2 (ωt) sin2 ϕ = sin2 ϕ
=1
x2
y2
2xy
x2 2
2
cos ϕ + 2 −
cos ϕ + 2 sin ϕ
a2x
ay ax ay
ax
x2
2xy
y2
2
2
+
cos ϕ
(cos
ϕ
+
sin
ϕ)
−
a2
a2x ax ay
y
(16.70)
(16.71)
(16.72)
=1
/ sin2 ϕ
⇒
x2
y2
2xy · cos ϕ
+
−
= 1,
(ax sin ϕ)2 (ay sin ϕ)2 ax ay sin2 ϕ
(16.73)
eine Ellipsengleichung (bei gleichen Frequenzen).
(Auch bei unterschiedlichen Frequenzen wird von Lissajous-Figuren gesprochen.)
VERSUCH Lissajous-Figuren (elektrisch)
193
16. Freie Schwingungen
16.3. Freier gedämpfter Oszillator
wie vorher - nur mit Dämpfungsterm (infolge von Reibung):
VERSUCH: gedämpfte Schwingung
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = 0
Lösungsansatz: x(t) = c · eλt
⇒ λ2 + 2γλ + ω02 = 0
⇒
⇒
λ1,2 = −γ ± γ 2 − ω02
ea+b = ea · eb
√
√2 2
0
1
−γt
γ −ω0 ·t
− γ 2 −ω02 ·t
c1 · e
+ c2 · e
.
x(t) = e
3 Fälle:
• γ < ω0 - schwache Dämpfung / Schwingfall - d.h.
√
i ≡
−1 ,
ω̂ ≡
⇒
(16.74)
(16.75)
(16.76)
γ 2 − ω02 rein imaginär:
(16.80)
(16.81)
λ1,2 = −γ ± i ω02 − γ 2 = −γ ± iω̂
,
x(t) = | c | e−γt ei(ω̂t+ϕ̂) + e−i(ω̂t+ϕ̂)
(4. Art)
= 2 | c | e−γt cos(ω̂t + ϕ̂) (5. Art) .
≡A
(16.79)
ω02 − γ 2 ∈ R < ω0 ;
≡A
(16.77)
(16.78)
(16.82)
(16.83)
(16.84)
Das bedeutet u.a. auch, dass die Eigenfrequenz
des Oszillators im Fall mit Dämp
2
fung nicht mehr ω0 ist, sondern nun ω̂ = ω0 − γ 2 .
194
16.3. Freier gedämpfter Oszillator
Zwei aufeinander folgende Maxima haben ein Amplitudenverhältnis
2π
;
ω̂
⎛
⎞
x(t
+
T
)
⎠
δ ≡ γ · T = − ln ⎝
x(t)
x(t + T )
= e−γT
x(t)
mit T =
(16.85)
(16.86)
heißt logarithmisches Dekrement.
Die Einhüllende der gedämpften Schwingung klingt in τ = 1/γ auf 1/e ab. Die
Größe τ wird Zeitkonstante des Abklingens genannt.
mathematische Hinweise:
log10 x =
ln x
ln 10
,
ln ax = x · ln a .
(16.87)
195
16. Freie Schwingungen
• γ > ω0 - starke Dämpfung / Kriechfall - d.h.
γ 2 − ω02 reell:
⇒
α ≡ γ 2 − ω02 ∈ R
#
$
x(t) = e−γt · c1 · eαt + c2 · e−αt
(16.88)
(16.89)
als allgemeine Lösung.
Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0 , ẋ(0) = v0 ergibt sich als spezielle Lösung:
#
$
(16.90)
x(t) = e−γt · c1 · eαt + c2 · e−αt
x(0) = 0 = c1 + c2
(16.91)
#
$
#
$
−γt
αt
−αt
−γt
αt
ẋ(t) = −γe
c1 e + c2 e
+e
c1 α e − c2 α e−αt
(16.92)
c ) + α(c1 − c2 )
(16.93)
ẋ(0) = v0 = −γ(c 1 +
2
=x(0)=0
ẋ(0) = v0 = α(c1 − c2 )
c1 + c2 = 0 ⇒ c2 = −c1
v0
c1 − c2 =
α
v0
Addition: 2c1 + c2 − c2 =
α
v0
⇒ c1 =
2α
v0 −γt αt
e (e − e−αt ) .
⇒ x(t) =
2α
$
1 # αt
Mit sinh(αt) =
e − e−αt
2
v0 −γt
e
sinh(αt) ,
⇒ x(t) =
α
⇒
der Kriechfall, keine Schwingung.
196
(16.94)
(16.95)
(16.96)
(16.97)
(16.98)
(16.99)
(16.100)
(16.101)
16.3. Freier gedämpfter Oszillator
• γ = ω0 - aperiodischer Grenzfall:
λ1 = λ2 ≡ λ = −γ = −ω0 .
(16.102)
Dies ergibt mit dem bisherigen Lösungsansatz nur eine Lösung.
Die allgemeine Lösung einer linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung ist
aber eine Linearkombination zweier unabhängiger (orthogonaler) Lösungen.
Ein 2. Ansatz, der zum Erfolg führt, ist:
x(t)
denn: x(t)
⇒ ẋ(t)
⇒ ẍ(t)
=
=
=
=
=
d · t · eλt ;
d · t · eλt = d · t · e−γt = d · t · e−ω0 t
d e−ω0 t − d ω0 t e−ω0 t
−dω0 e−ω0 t − dω0 e−ω0 t + dω02 t e−ω0 t
−2dω0 e−ω0 t + dω02 t e−ω0 t
(16.103)
(16.104)
(16.105)
(16.106)
(16.107)
Erinnerung: ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = 0
⇔ ẍ + 2ω0 ẋ + ω02 x = 0
⇔ −2dω0 e−ω0 t +dω02 t e−ω0 t +2ω0 d e−ω0 t −2ω0 d ω0 t e−ω0 t +ω02 d · t · e−ω0 t = 0 .
(16.108)
Die allgemeine Lösung ergibt sich somit zu:
x(t) = (c + d t) e−γt .
(16.109)
197
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
erzwungene Schwingungen (keine Rückwirkung auf den Erreger) und gekoppelte
Schwingungen im engeren Sinne
17.1. Erzwungene Schwingungen
F0
cos(ωt) (inhom. Dgl.)
m
mit der Kraft F = F0 cos(ωt)
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x =
(17.1)
(17.2)
VERSUCHE zu erzwungenen Schwingungen
Durch die Kraft wird die Schwingung angeregt; die Kraft wirkt aber auch noch
während der Schwingung; ω0 ist die Eigenkreisfrequenz des Schwingers im hypothetischen Fall ohne Dämpfung; ω ist die Erregerkreisfrequenz.
Die allgemeine Lösung der obigen inhomogenen linearen Differenzialgleichung
(Dgl.) 2. Ordnung setzt sich aus der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Dgl. (rechte Seite = 0) und einer speziellen Lösung der inhomogenen
Dgl. zusammen; im Schwingfall:
Erinnerung: ω̂ = ω02 − γ 2 ;
x(t) = A1 e−γt cos(ω̂t + ϕ̂) + A2 cos(ωt + ϕ) .
Einschwingvorgang
stationär
(17.3)
(17.4)
Ohne Herleitung:
F0 /m
,
(ω02 − ω 2 )2 + (2γω)2
2γω
.
tan ϕ(ω) = − 2
ω0 − ω 2
A2 (ω) =
(17.5)
(17.6)
17.1. Erzwungene Schwingungen
Abbildung 17.1.: Stationäre Lösung erzwungener Schwingungen
Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 11.22
199
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
Die Phasenverschiebung ist negativ; i.e. die erzwungene Schwingung hinkt der
Erregerschwingung hinterher.
Das Maximum der Amplitude A2 liegt vor für die sogenannte Resonanzfrequenz:
ωR = ω02 − 2γ 2 < ω0 .
(17.7)
Bei dieser Frequenz nimmt der Oszillator maximal Energie aus der Erregerschwingung auf.
Wenn die Struktur des mit einer Erregerfrequenz ω in der Nähe von ω0 bzw. ω̂
zur Schwingung angeregten Oszillators nicht ausreichend fest/stabil ist, wird sich
der Schwinger zerlegen. Dann wird von Resonanzkatastrophe gesprochen.
FILM Einsturz Tacoma-Narrows-Brücke
200
17.2. Energiebilanz eines Federpendels (exemplarisch)
17.2. Energiebilanz eines Federpendels (exemplarisch)
ungedämpfte harmonische Schwingung:
mẍ + D̃x = 0 ,
Lösung: x = A · cos(ω0 t)
1
1
Ekin = mẋ2 = + mω02 A2 sin2 (ω0 t) ,
2
2
T
1 1 2
1 1
1
mẋ dt = · mω02 A2 = mA2 ω02 ,
Ekin =
T 0 2
2 2
4
x
(17.10)
(17.11)
x
1
D̃x̃ dx̃ = D̃x2
2
0
0
1
1
= D̃A2 cos2 (ω0 t) = mω02 A2 cos2 (ω0 t) ,
2
2
T
1 1 2
1
D̃x dt = mA2 ω02 ,
Epot =
T 0 2
4
1
Ekin (t) + Epot (t) = mω02 A2 (sin2 (ω0 t) + cos2 (ω0 t))
2
Epot =
(17.8)
(17.9)
F dx̃ =
(17.12)
(17.13)
=1
1
mω02 A2 = Egesamt = const .
2
Leistungsverlust bei gedämpften Schwingungen:
=
mẍ + m 2γ ẋ + D̃x = 0
·ẋ
⇒
⎛
(17.16)
⎞
⎟
1 2⎟
d ⎜
⎜1
⎟
2
⎜ mẋ + D̃x ⎟ =
⎜
⎟
dt ⎝2
2
⎠
⇔
(17.15)
mẍẋ + D̃xẋ = −m2γ ẋ2
⎜
(17.14)
=Ekin +Epot
2
−2γm
ẋ
;
(17.17)
V erlustleistung
pro Schwingungsperiode T in Wärme ΔQ umgewandelte Schwingungsenergie:
T
ΔQ = −2γm
ẋ2 dt .
(17.18)
0
Leistungsbilanz bei erzwungenen Schwingungen: (P : Leistungen)
mẍ + m2γ ẋ + D̃x = F (t)
(17.19)
·ẋ
mẍẋ + D̃xẋ = −m2γ ẋ2 + F (t) · ẋ
d 1 2
d 1 2
2
mẋ +
D̃x
= −2γm
ẋ
+F (t) · ẋ ;
dt
2
dt
2
⇔
⇒
=Pkin
=Ppot
=PReibung
(17.20)
(17.21)
Pvon aussen
201
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
stationärer Zustand:
⇔ Ekin + Epot = const
⇔ Pkin + Ppot = 0
⇒ |PReibung | = |Pvon aussen | .
(17.22)
(17.23)
(17.24)
17.3. Parametrischer Oszillator
z.B. ẍ + ω02 (t)x = 0
VERSUCH: parametrischer Oszillator (Kinderschaukel)
202
(17.25)
17.4. Gekoppelte Oszillatoren im engeren Sinne
17.4. Gekoppelte Oszillatoren im engeren Sinne
Beispiel und VERSUCH: zwei gekoppelte Federpendel auf Luftkissenschlitten
Beispiel und 2 VERSUCHE: zwei gekoppelte Stabpendel (D̃12 Koppelfederkonst.)
g
2 gekoppl. Dgl.: ϕ̈1 + ϕ1 + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 )
l
g
ϕ̈2 + ϕ2 + D̃12 (ϕ2 − ϕ1 )
l
Normalkoordinaten: ρ+ ≡ (ϕ1 + ϕ2 )
ρ + + ρ−
vice versa: ϕ1 =
2
= 0,
[D̃12 ] =
= 0;
1
, (17.26)
s2
(17.27)
, ρ− ≡ (ϕ1 − ϕ2 ) , (17.28)
ρ + − ρ−
, ϕ2 =
; (17.29)
2
bei Addition der Gln. (17.26) und (17.27) zur Entkopplung der Gln. :
g
g
ϕ̈1 + ϕ1 + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) + ϕ̈2 + ϕ2 + D̃12 (ϕ2 − ϕ1 ) = 0
(17.30)
l
l
g
g
⇒ ϕ̈1 + ϕ̈2 + ϕ1 + ϕ2 + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) − D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) = 0
l
l
=0
g
⇒ (ϕ̈1 + ϕ̈2 ) + (ϕ1 + ϕ2 ) = 0
l
g
⇒ ρ̈+ + ρ+ = 0
l
(17.31)
(17.32)
⇒ ω01 =
g
l
(17.33)
Die Lösung wird (hier) „erste“ Normalschwingung genannt.
203
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
analog Subtraktion der Gl. (17.27) von der Gl. (17.26):
g
g
⇒ ϕ̈1 + ϕ1 + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) − ϕ̈2 + ϕ2 + D̃12 (ϕ2 − ϕ1 ) = 0
l
l
(17.34)
g
g
⇒ ϕ̈1 + ϕ1 + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) − ϕ̈2 − ϕ2 − D̃12 (ϕ2 − ϕ1 ) = 0 (17.35)
l
l
g
g
⇒ ϕ̈1 − ϕ̈2 + ϕ1 − ϕ2 + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) + D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) = 0 (17.36)
l
l
g
(17.37)
⇒ (ϕ̈1 − ϕ̈2 ) + (ϕ1 − ϕ2 ) + 2D̃12 (ϕ1 − ϕ2 ) = 0
l
g
(17.38)
⇒ ρ̈− + ρ− + 2D̃12 ρ− = 0
l
g
g
(17.39)
+ 2D̃12 ρ− = 0 ⇒ ω02 =
+ 2D̃12
⇒ ρ̈− +
l
l
Die Lösung wird (hier) „zweite“ Normalschwingung genannt.
Die zweite Eigenfrequenz (die der zweiten Normalschwingung) ist höher als die
erste, weil bei der zweiten Normalschwingung beide Pendel ständig (bis auf an
den Positionen der Ruhelagen) die Kopplungs-Blattfeder gleichzeitig ausdehnen
oder gleichzeitig zusammendrücken.
Die Verwendung von Normalkoordinaten und die Beschreibung über Normalschwingungen erlauben die Entkopplung der Differenzialgleichungen und die Darstellung jedweder Schwingung des Systems als Linearkombination der Normalschwingungen.
204
17.4. Gekoppelte Oszillatoren im engeren Sinne
Abbildung 17.2.: Gekoppelte Schwingungen [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 11.27].
Im unteren Teil der Abbildung werden die Normalkoordinaten „im Demtröder“
ξ + und ξ − genannt, statt ρ+ und ρ− wie im Text des Skripts.
ϕ1 =
ρ+ + ρ −
ρ+ − ρ−
, ϕ2 =
.
2
2
(17.41)
205
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
Nichtlinearitäten treten oft in gekoppelten Systemen auf;
aber die Kopplung alleine bedingt noch keine Nichtlinearität.
EINSTIEGSVERSUCHE: Pendel, an Pendel gehängt; Magnetpendel
17.5.1. Grundbegriffe und -aussagen
Beispiele für dynamische Systeme und damit verknüpfte (mathematische) Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen (Dgl.):
1) ẋ = −αx lineare Differenzialgleichung (lin. Dgl.),
α > 0 z.B. beim radioaktiven Zerfall,
α < 0 z.B. beim Bakterienwachstum
2) ẋ = −αx2 = (−αx) · x nichtlineare (nl.) Dgl.,
α > 0 z.B. beim autokatalytischen Zerfall
3) ẍ = −α1 ẋ − α2 x lin. Dgl. 2. Ordnung,
α1 > 0, α2 > 0 Bsp. gedämpfte Schwingungen
gleichwertig - System aus zwei gekoppelten lin. Dgl. 1. Ordnung:
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = −α1 x2 − α2 x1
Die Linearität entspricht im Beispiel des Federpendels dem Hookeschen Gesetz
für die Federrückstellkraft F (x1 ) = −α2 x1 .
4) Duffing-Oszillator:
ẍ = −α1 ẋ − α2 x − α3 x3 nichtlineare Dgl. 2. Ordnung,
F (x) = −α2 x − α3 x3
gleichwertig - System aus zwei gekoppelten Dgl. 1. Ordnung, eine davon nichtlinear:
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = −α1 x2 − α2 x1 − α3 x31
5) fremderregter Duffing-Oszillator:
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = −α1 x2 − α2 x1 − α3 x31 + A · sin(ωt)
F remderregung
206
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
17.5.2. Iterierte nichtlineare Abbildungen
... zur Veranschaulichung nichtlinearer Systeme
xn+1 = f (xn ) ;
Bsp.: xn+1 = axn · (1 − xn )
= axn − ax2n (logistische Parabel).
(17.42)
(17.43)
(17.44)
Abbildung 17.3.: Iterierte Abbildung an der logistischen Parabel [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 12.8]
207
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
Abbildung 17.4.: Feigenbaum-Diagramm [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 12.10]
Weg ins Chaos über Bifurkationen (Gabelungen);
Feigenbaum-Konstante:
δ = lim
k→∞
Δk a
= 4, 669201660910 . . .
|
Δk+1 a Bif urkationspunkte
kurze FILMSEQUENZ mit M. Feigenbaum
deterministisches Chaos in nichtlinearen dynamischen Systemen
für gewisse Parameter
für gewisse Anfangsbedingungen
VERSUCH: elektronischer Chaos-Generator
208
(17.45)
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
17.5.3. Dynamische Systeme
Ein dynamisches System wird durch n Variable und k Parameter charakterisiert:
autonom: ẋi
i
x
α
=
=
=
=
fi (x, α) , xi ∈ R
1, . . . , n
(x1 , . . . , xn )
(α1 , . . . , αk )
(17.46)
(17.47)
(17.48)
(17.49)
Der Raum, der von den xi aufgespannt wird, heißt Phasenraum.
Dies kann auch so formuliert werden: die Menge aller möglichen Zustände eines
dynamischen Systems heißt sein Phasenraum.
Der Zustand eines dynamischen Systems ist also ein Punkt im Phasenraum.
Eine Anfangsbedingung für ein dynamisches System ist ein Zustand des Systems,
also ein Punkt im Phasenraum.
Ein dynamisches System beschreibt, wie sich eine Anfangsbedingung mit der Zeit
weiterentwickelt.
Die neuen Zustände sind wieder Punkte im Phasenraum.
209
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
Abbildung 17.5.: Zwei Phasenraum-Beispiele [Lauterborn: Skript Nichtlineare Physik].
Kräfte, die mit entsprechenden PoDie Terme aν xν ≡ Fν sind rücktreibende
tenzialtermen verknüpft sind: Fν dx = −Epot,ν . Das Gesamtpotenzial wird in
den Diagrammen mit U (x) bezeichnet
210
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
17.5.4. Singuläre Punkte
Der sogenannte Fluss des dynamischen Systems wird durch eine Abbildung g(t) ≡
g t über der Zeit t dargestellt und beschreibt die zeitliche Entwicklung ab AnfangsPunkten im Phasenraum auf Phasenraumkurven („Trajektorien“).
Ein Punkt im Phasenraum, für den gilt:
g t x = x ∀t ∈ R ,
(17.50)
heißt Fixpunkt.
Auch die Begriffe singulärer Punkt und Gleichgewichtspunkt sind gebräuchlich.
Nun sollen verschiedene Typen von Fixpunkten betrachtet werden,
zunächst an einem linearen autonomen1 System 2. Ordnung:
⎛
mit x = ⎝
ẋ1 = a11 x1 + a12 x2
ẋ2 = a21 x1 + a22 x2
ẋ = A x
⎛
⎞
x1 ⎠
a a
, A = ⎝ 11 12
x2
a21 a22
A x = λ1,2 · x
⎞
⎠
(17.53)
(17.54)
(17.55)
(17.56)
(17.57)
mit den Eigenwerten λ1 und λ2 .
Das lineare autonome System hat einen singulären Punkt, wenn det(A) = 0 .
1
nicht explizit von der Zeit abhängig:
◦ nicht-autonom: ẋ = f (x, α, t) ,
◦ autonom: ẋ = f (x, α) .
(17.51)
(17.52)
211
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
Es gibt vier Typen von singulären Punkte - Knoten, Sattel, Strudel, Wirbel:
212
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
213
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
17.5.5. Nichtlineare dynamische Systeme
ẋ1 = f1 (x1 , x2 ) = a11 x1 + a12 x2 + N1 (x1 , x2 ) ,
ẋ2 = f2 (x1 , x2 ) = a21 x1 + a22 x2 + N2 (x1 , x2 )
mit det(A) =
2
2
2
2
2
2
a11
a21
2
a12 222
a22 22
nichtlin.T erme
= 0.
(17.58)
(17.59)
(17.60)
Bei N1 und N2 handelt es sich um quadratische oder/und höhere Terme.
Dann hat das nichtlineare dynamische System ẋ = f (x) dieselben Singularitäten
wie das lineare System ẋ = Ax
(mit der einen Ausnahme, dass ein Wirbel im linearen System einem Wirbel oder
Strudel im nichtlinearen System entsprechen kann)
sowie weitere singuläre Punkte (anderer Art).
Die weiteren singulären Punkte haben einen neuen Charakter,
z.B. Grenzzykel beim van der Pol-Oszillator:
ẍ − (1 − x2 )ẋ + ω02 x = 0 .
214
(17.61)
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
Abbildung 17.6.: Grenzzykel beim van der Pol-Oszillator [Lauterborn: Skript Nichtlin. Phys.]
215
17. Gekoppelte Schwingungen im weiteren Sinne
Daraus erwächst die Notwendigkeit zur Verallgemeinerung des Begriffs „Fixpunkt“.
Der verallgemeinernde Begriff ist „Attraktor“.
Die Eigenschaften jedes Attraktors sind (Definition):
◦ Ein Attraktor ist invariant unter dem Fluss {g t x} .
◦ Ein Attraktor hat einen gewissen „Anziehungsbereich“ (’basin of attraction’)
im Phasenraum. Ein Attraktor hat eine kontrahierende Umgebung im Phasenraum.
◦ Ein Attraktor ist wiederkehrend;
das heißt g t x kommt immer wieder nahe an den Anfangszustand heran.
◦ Ein Attraktor ist unzerlegbar.
Nur eine bestimmte Klasse von Attraktoren steht für deterministisches Chaos.
Attraktoren, die deterministisches Chaos des dynamischen Systems zulassen, heißen „seltsame Attraktoren“ (’strange attractors’) (notwendige und hinreichende
Bedingung).
Ein Attraktor heißt seltsam (’strange’), wenn anfänglich beliebig nahe Punkte
im Phasenraum makroskopische Abstände auf dem Attraktor erreichen können.
Diese Eigenschaft heißt „empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen“ (’sensitive dependence on initial conditions’ - populärwissenschaftlich auch:
Schmetterlingseffekt).
Der seltsame Attraktor wird durch diese Eigenschaft definiert.
216
17.5. Nichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos
Beispiel: Lorenz-System („das Wetter“):
ẋ = −σx + σy ,
ẏ = rx − y − xz ,
ż = − bz + xy .
(17.62)
(17.63)
(17.64)
Abbildung 17.7.: Seltsamer Attraktor des Lorenz-Systems [Lauterborn: Skript Nichtlin. Phys.]
FILM dazu
217
18. Wellen - allgemeine Eigenschaften
18.1. Mechanische Wellen
... - viele gekoppelte Schwinger
Bei räumlicher Kopplung zu anderen Massepunkten kann sich die Schwingung
eines Massepunkts auf die Nachbarn übertragen und so im Raum immer weiter
ausbreiten; eine Welle ist entstanden und breitet sich aus.
diverse VERSUCHE zu Wellen
!
"
z
transversal: x(z, t) = Ax · sin ω(t − ) + ϕ0
v
"
!
z
longitudinal: Δz(z, t) = Az · sin ω(t − ) + ϕ0
v
eben ,
(18.1)
eben
(18.2)
mit v ≡ vP h als Phasengeschwindigkeit.
Die Wellenlänge λ einer Welle wird definiert als der
Abstand zweier äquivalenter benachbarter Stellen z1 und z2 gleicher Phase,
für die sich das Argument der sin-Funktion also um 2π unterscheidet;
für t = 0 und ϕ0 = 0 :
ωz2
ω
ωz1
+ 2π =
⇒ 2π = (z2 − z1 )
v
v
v
v
v
⇒ λ ≡ z2 − z1 = 2π =
ω
ν
⇒ λ·ν = v,
das gilt allgemein für Wellen.
VERSUCHE: Klingel im Vakuum, Helium-Stimme;
in Gasen: v ≡ vP h = p/ρ ;
H2 (2 amu), He (4), N2 (28), O2 (32), Cl2 (71), SF6 (146 amu)
(18.3)
(18.4)
(18.5)
18.2. Energieflussdichte = Intensität einer Welle
Mit der Wellenzahl k ≡ 2π/λ folgt weiter:
λ
ω
2πν = ,
2π
k
z
ω
2πν
2π
ω =z
= z
=z
=z·k
v
v
λ·ν
λ
⇒ x(z, t) = A · sin(ωt − k z + ϕ0 ) (1D) .
v =λ·ν =
(18.6)
(18.7)
(18.8)
Differenzialgleichung zur Beschreibung von Wellenphänomenen - zeitabhängige
Wellengleichung (k = (Phasen-) Ausbreitungsvektor = Wellenvektor) :
1D:
∂ 2x
1 ∂ 2x
−
= 0
∂z 2 v 2 ∂t2
3D: Δξ −
⇔
2
∂ 2x
2 ∂ x
=v
,
∂t2
∂z 2
1 ∂ 2ξ
= 0
v 2 ∂t2
∂2
∂2
∂2
2
Laplace-Op.: Δ ≡ ∇ = ∇ · ∇ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
mögl. Lsg.: ξ = A · sin(ωt − k · r + ϕ0 ) .
(18.9)
(18.10)
(18.11)
(18.12)
Die Größe ξ könnte auch ein Vektor sein!
18.2. Energieflussdichte = Intensität einer Welle
Energie, die pro Zeiteinheit durch eine zur Ausbreitungsrichtung der Welle mit
der Amplitude A senkrechte Flächeneinheit transportiert wird (mit A wird hier
also nicht die Fläche bezeichnet):
IE ∝ A2 .
(18.13)
219
18. Wellen - allgemeine Eigenschaften
18.3. Wellentypen (teilweise wiederholt)
diverse VERSUCHE zu Wellentypen
• longitudinal und transversal:
x(z, t) war Beispiel für transversale mechanische Welle.
Δz(z, t) wäre eine longitudinale Welle.
• eben, nicht eben:
◦ eben in 3D:
1 ∂ 2ξ
Δξ − 2 2 = 0 ;
v ∂t
mögl. Lsg.: ξ = A · sin(ωt − k · r + ϕ0 )
(18.14)
(18.15)
◦ Kugelwelle in 3D:
A
sin(ωt − k · r + ϕ0 ) ,
| r |
A2
∝
| r |2
ξ(r, t) =
(18.16)
IE
(18.17)
VERSUCHE: ebene und kreisförmige Oberflächen-Wasserwellen
• sklare oder vektorielle Größe:
1
Δξ − 2
v
1
Δξ − 2
v
220
∂ 2ξ
= 0 ; ξ = A · sin(ωt − k · r + ϕ0 )
2
∂t
∂ 2 ξ
· sin(ωt − k · r + ϕ0 )
= 0 ; ξ = A
∂t2
(18.18)
(18.19)
18.4. Schallausbreitung
18.4. Schallausbreitung
VERSUCHE: Schall in Luft und im Metallstab
• in festen Körpern:
◦ elastische Longitudinalwellen:
∂ 2ξ
E ∂ 2ξ
=
∂t2
ρ ∂z 2
(18.20)
mit der Schwingungsamplitude ξ, der Materialmassedichte ρ und dem Elastizitätsmodul E aus dem Hookeschen Gesetz.
Es zeigt sich an der Dgl.
E
v=
(18.21)
ρ
◦ elastische Transversalwellen:
v=
G
ρ
mit dem Scher-, Schub- bzw. Torsionsmodul G :
⇒
G < E
vtransversal < vlongitudinal .
(18.22)
(18.23)
(18.24)
• in Gasen mit dem Druck p - nur longitudinale Wellen, da G = 0 :
p ∂ 2ξ
∂ 2ξ
=
,
∂t2
ρ ∂z 2
p
v = ρ
(18.25)
(18.26)
E und G sind so etwas wie makroskopische Federkonstanten.
• in Flüssigkeiten
Longitudinalwellen mit
v=
K
ρ
(18.27)
mit dem Kompressionsmodul K ;
Transversalwellen an Oberflächen (wg. Schwerkraft, Oberflächenspannung und
Polarität der Flüssigkeitsmoleküle)
221
18. Wellen - allgemeine Eigenschaften
18.5. Dispersion, Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
Es wird von Dispersion gesprochen, wenn
v ≡ vP h = vP h (λ)
bzw. vP h =
vP h (ω)
Dispersionsrelation
vP h =
ω
k
;
(Wiederholung).
(18.28)
(18.29)
(18.30)
Die verschiedenen Frequenzanteile breiten sich mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit aus, so dass sich die Form des Wellenzuges/Pulses im Laufe der
Zeit ändern kann.
Daher muss eine Gruppengeschwindigkeit eingeführt werden:
vG =
dω
,
dk
vG = vP h − λ
222
(18.31)
dvP h
dλ
(18.32)
18.5. Dispersion, Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
Abbildung 18.1.: zum Unterschied zwischen der Phasen- und der Gruppengeschwindigkeit [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 11.53]
223
18. Wellen - allgemeine Eigenschaften
18.6. Stehende Wellen (räumliche Resonanzen)
aus der Überlagerung von hin- und rücklaufender Welle
• 1D stehende Wellen:
SIMULATIONEN und VERSUCHE zu 1D stehenden Wellen
ξ = ξ1 + ξ2 = A · [cos(ωt + k z) + cos(ωt − k z + ϕ)]
(18.33)
1
[cos(α + β) + cos(α − β)] = cos α · cos β ;
2
ϕ
α ≡ ωt + ,
2
ϕ
β ≡ kz −
2
ϕ
ϕ
⇒ ξ = 2A · cos(k z − ) · cos(ωt + ) .
2
2
(18.34)
(18.35)
(18.36)
(18.37)
Ggf. müssen Phasensprünge Δϕ bei den Reflexionen berücksichtigt werden;
SIMULATION dazu:
am freien Ende: Δϕ = 0 ,
am festen Ende: Δϕ = π .
• 1D Eigenschwingungen auf Gummiband:
VERSUCHE dazu
• 2D Eigenschwingungen von Membranen:
VERSUCHE dazu
• 3D Resonanzen:
VERSUCH dazu
Das Rubenssche Flammenrohr gehört zu 1D oder 3D stehenden Wellen.
224
18.7. Wellen bei bewegten Quellen oder Beobachter*in/Zuhörer*in
18.7. Wellen bei bewegten Quellen oder
Beobachter*in/Zuhörer*in
Doppler-Effekt
VERSUCH: rotierende laute Sirene
VERSUCH: bewegte Schallquelle auf Luftkissenschiene
Unterschied bei an Medium gebundenen langsamen Wellen, i. e. Schallwellen, und
ungebundenen, mit v = c laufenden Wellen, also elektromagnetischen Wellen
• für Schallwellen:
ν = ν0
1 ± (uB(eobachter∗in) /vP h )
1 ∓ (uQ(uelle) /vP h )
(18.38)
oberes Vorzeichen, wenn sich Beobachter*in (B) & Quelle (Q) aufeinander zu
bewegen,
unteres Vorzeichen, wenn sich Beobachter*in & Quelle voneinander weg bewegen.
Δν = ν − ν0 heißt Doppler-Verschiebung, i. e. eine Frequenzverschiebung.
Eventuell muss in der Phasengeschwindigkeit vP h eine Windgeschwindigkeit mitberücksichtigt werden.
Warum zu unterscheiden ist, ob sich Beobachter*in oder Quelle bewegt, wird
am deutlichsten, wenn exemplarisch angenommen wird, dass die jeweilige Bewegungsgeschwindigkeit gleich der Phasen-/Schallgeschwindigkeit ist.
uB = vP h (+)
uB = vP h (-)
uQ → vP h (-)
uQ = vP h (+)
⇒
⇒
⇒
⇒
ν
ν
ν
ν
= 2 ν0 ,
= 0,
→ ∞,
= ν0 /2 .
(18.39)
(18.40)
(18.41)
(18.42)
SIMULATION zum Doppler-Effekt
FILM: Machscher Kegel (vorher: Joule-Thomson-Effekt)
• für elektromagnetische Wellen:
ν = ν0
1
± (u/c)
1 ∓ (u/c)
(18.43)
Hier kommt es nur auf die Relativgeschwindigkeit u zwischen Quelle und Beobachter an ↔ spezielle Relativitätstheorie.
225
18. Wellen - allgemeine Eigenschaften
Abbildung 18.2.: zum Doppler-Effekt I [Demtröder: Experimentalphysik I]
226
18.7. Wellen bei bewegten Quellen oder Beobachter*in/Zuhörer*in
Abbildung 18.3.: zum Doppler-Effekt II - bei bewegter Quelle - und zum Machschen Kegel
[Demtröder: Experimentalphysik I]
227
Teil IV.
Kalorik
19. Temperatur und 0. Hauptsatz
Zustandsgrößen: Druck p , Volumen V , absolute Temperatur T , Teilchenzahl N
bzw. Teilchendichte n bzw. Molzahl ñ , . . .
Die (absolute) Temperatur T ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie der
Moleküle; im Fall mit f˜ Freiheitsgraden der Bewegung für die Gasteilchen:
Ekin =
f˜
m
kB T = v 2
2
2
⇒
T =
1 2 m 2
· · v
kB f˜ 2
(19.1)
mit der Boltzmann-Konstante kB = 1, 38 · 10−23 J/K .
19.1. Temperatur und Temperaturmessungen
verschiedene Temperaturskalen/-einheiten im Alltag
Celsius-Skala (Anders Celsius (1701-1744)):
100 gleiche Skalenteile zwischen dem Schmelzpunkt (0 ◦ C) und dem Siedepunkt
(100 ◦ C) von Wasser bei Normaldruck.
Fahrenheit-Skala (Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736)):
100 gleiche Skalenteile zwischen dem Schmelzpunkt einer bestimmten Eis-WasserAmmoniumchlorid-Mischung (-17,8 ◦ C) und einer mittl. Körpertemp. (37,7 ◦ C).
Umrechnung: TCelsius /◦ C =
TF ahrenheit /◦ F =
5 TF ahrenheit
(
− 32) ,
◦F
9
(19.2)
9 TCelsius
+ 32 .
5 ◦C
(19.3)
verschiedene Thermometer: div. VERSUCHE zu Temperaturmessungen
19. Temperatur und 0. Hauptsatz
Für Temperaturmessungen wird häufig die thermische Ausdehnung fester oder
flüssiger Körper genutzt; der lineare Ausdehnungskoeffizient ist wie folgt definiert:
L(TCelsius ) − L(0)
ΔL
=
;
L(0) · TCelsius
L · TCelsius
α ist selbst leicht temperaturabhängig.
α=
(19.4)
Volumenausdehnungskoeffizient γ für homogene isotrope Körper:
V0 (1 + αTCelsius )3
2
3
V0 (1 + 3αTCelsius + 3α2 TCelsius
+ α3 TCelsius
)
V0 (1 + 3αTCelsius ) für αTCelsius 1
V0 (1 + γTCelsius ) ,
V (TCelsius ) − V0
ΔV
γ =
=
.
V0 · TCelsius
V0 · TCelsius
V (TCelsius ) =
=
≈
=
(19.5)
(19.6)
(19.7)
(19.8)
(19.9)
VERSUCHE: Kugel fällt durch erwärmte Alu-Scheibe mit Loch, Bolzensprenger,
3 Metallröhrchen wasserdampfdurchströmt
230
19.2. Wärmemenge und Wärmekapazität, 0. Hauptsatz
19.2. Wärmemenge und Wärmekapazität, 0. Hauptsatz
Der sogenannte 0. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass zwei Körper, die
miteinander im Wärmekontakt stehen, immer einen Temperaturausgleich durch
Wärmeübertrag erfahren - bis zum sogenannten thermischen Gleichgewicht.
(Und jeder Wärmeübertrag findet (ohne äußeres Zutun) immer vom wärmeren
zum kälteren Körper statt.)
experimentelle Ergebnisse:
Führt man einem Körper der Masse m eine definierte Energie als Änderung ΔQ
der Wärmemenge zu, steigt seine Temperatur linear um ΔT (materialabhängig):
⇒
ΔT ∝ ΔQ ,
ΔT ∝ 1/m ,
ΔQ = c (w)· m ·ΔT
(19.10)
(19.11)
(19.12)
=C
mit der materialabhängigen spezifischen Wärme(kapazität) c(w) und der Wärmekapazität C = c(w) · m , die auch spezifische Molwärme genannt wird, wenn es
sich um eine Stoffmenge von 1 mol handelt.
Eine Wärmemenge von 1 cal (kcal) vermag 1 g (kg) reines Wasser um 1 ◦ C - genauer von 14,5 ◦ C auf 15,5 ◦ C - zu erwärmen.
1 cal = 4,186 J
⇒
(w)
cH2 O = 4, 186
kJ
kg · ◦ C
(19.13)
1 Kalorie(umgangssprachlich) = 1 kcal(physikalisch)
231
19. Temperatur und 0. Hauptsatz
19.3. Mischungskalorimeter
Bestimmung von c(w) ≡ cK eines Körpers mit einem Mischungskalorimeter:
232
19.3. Mischungskalorimeter
VERSUCH
Die Wärme ΔQ des erhitzten Körpers K wird an ein Wasserbad W in einem
Dewar D abgegeben:
cK · mK · (Thoch,K
| ΔQK | = | ΔQW +D |
(19.14)
− TM ischung ) = (mW · cW + CD )(TM ischung − Ttief,W ) (19.15)
≈0
⇒
cK =
hier z. B. cK
cK,soll
(mW · cW )(TM ischung − Ttief,W )
mK · (Thoch,K − TM ischung )
(19.16)
◦
◦
(0, 5 kg · 4, 186 kgkJ
◦ )(26, 5 C − 24, 5 C)
· C
=
0, 134 kg · (100◦ C − 26, 5◦ C)
J
= 425
(19.17)
kg · K
J
(19.18)
= 333
kg · K
233
19. Temperatur und 0. Hauptsatz
19.4. einige Aussagen zur Wärmekapazität / spez. Molwärme
R = NA · kB universelle Gaskonstante,
NA Avogadro-Konstante,
kB Boltzmann-Konstante.
• bei idealen Gasen:
◦ bei konst. Volumen:
1
(19.19)
cV = f˜ · R
2
mit der Zahl der Freiheitsgrade f˜ und der universellen Gaskonstante R
◦ bei konst. Druck:
cp = c V + R
(19.20)
1
1
cV = f˜ · R = 6 · R = 3R = 3NA · kB ,
2
2
(19.21)
• bei Festkörpern:
i. e. Dulong-Petit-Gesetz (bei nicht zu geringen Temperaturen). Hierbei wurden 3
mögliche Schwingungsrichtungen und die Tatsache berücksichtigt, dass bei jeder
Schwingung im zeitlichen Mittel die potenzielle Energie genauso groß ist wie die
kinetische (f˜ = 3 · 2 Freiheitsgrade der Bewegung).
Ähnlich allgemeine Aussagen können im Fall von nicht-idealen (realen) Gasen
und Flüssigkeiten nicht getroffen werden, da hierbei die Wechselwirkung der Partikel untereinander wichtig ist.
234
20. Der 1. Hauptsatz
20.1. Makroskopische Betrachtung
Zustandsgrößen: Druck p , Volumen V , absolute Temperatur T , Teilchenzahl N
bzw. Teilchendichte n bzw. Molzahl ñ , . . .
Boyle-Mariottesches Gesetz:
p · V = const(T )
const(T )
V =
p
const(T )
p =
V
(20.1)
(Hyperbeln) ,
(20.2)
(Hyperbeln) .
(20.3)
Daraus folgt für die Kompressibilität von Gasen:
κ̃
dV
dp
⇒
=
Gl. (20.2)
κ̃
=
=
−
const 1 dV
1 ∂V Param.
=
−
V ∂p
V dp
const
p·V
V
=
−
=
−
p2
p2
p
1
1V
+
=
V p
p
−
(20.4)
(20.5)
(20.6)
Mit V = M/ρ folgt aus dem Boyle-Mariotteschen Gesetz:
M
= const
ρ
const
⇒ p =
· ρ ∝ ρ.
M
p·
Adiabatenindex:
für adiabatische Prozesse1 :
(20.8)
cp
f˜ + 2
κ=
= ˜
cV
f
(20.9)
p · V κ = const ,
(20.10)
i. e. Boyle-Mariotte, modifiziert
1
(20.7)
so schnelle Prozesse, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann
20. Der 1. Hauptsatz
20.2. Kinetische Gastheorie, p-V -Zustandsdiagramm
mit p als Druck, V Volumen, T (absolute) Temperatur,
N Teilchenzahl, NA = 6, 022 · 1023 /mol Avogadro-Konstante, ñ Mol-Zahl,
kB = 1, 38 · 10−23 J/K Boltzmann-Konstante,
R = 8, 31 J/(mol K) universelle Gaskonstante:
1
Boyle-Mariotte ,
V
p, N = const : V ∝ T Gay-Lussac ,
p, T = const : V ∝ N Avogadro ,
V, N = const : p ∝ T
T, N = const :
p ∝
(20.11)
(20.12)
(20.13)
(20.14)
SIMULATIONEN: p, V, T, N teilweise variiert, teilweise konstant gehalten
⇒ p · V = N · kB · T = ñ NA · kB ·T = ñ · R · T ,
=R
(20.15)
i. e. das Gesetz für ideale Gase (Gasteilchen ohne Eigenvolumen, keine Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen).
bei realen Gasen - die van der Waals’sche Zustandsgleichung für reale Gase:
⎞
⎛
⎜
⎜
⎜p
⎜
⎝
+
ñ2
a 2
V
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎛
⎝V −
·⎜
⎠
· b ⎟
ñ
Covolumen
= ñ · R · T
(20.16)
Korrektur auf Binnendruck
mit den materialspezifischen Koeffizienten a und b .
Das gemessene Volumen des Gefäßes ist größer als der Bewegungsfreiraum für
die Teilchen infolge von deren Eigen-/Covolumen; deswegen muss das Volumen
nach unten korrigiert werden.
Der gemessene Druck ist wegen der Oberflächenspannung an dem Übergang zur
Messmembran geringer als der Binnendruck (deswegen muss der Druck nach oben
korrigiert werden).
VERSUCH: Kühlung bei Verdampfung einer Flüssigkeit (Wasser)
... Wasserdampf als nicht-ideales Gas, Ausdehnung gegen die van der Waalsschen
Anziehungskräfte der Moleküle untereinander; die Energie wird aus der kinetischen Energie der Moleküle genommen, so dass das Wasserreservoir abkühlt
236
20.2. Kinetische Gastheorie, p-V -Zustandsdiagramm
Abbildung 20.1.: p-V -Kurvenschar für reale Gase (hier exemplarisch für CO2 ) mit T als Parameter 1 [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 10.68]. Die Kurve mit dem
Sattelpunkt ist diejenige für die sogenannte kritische Temperatur T = Tk ; der
Sattelpunkt liegt bei dem kritischen Druck pk
237
20. Der 1. Hauptsatz
20.3. p-T -Diagramm
• Grenzlinie fest-gasförmig: Sublimationskurve,
• Grenzlinie flüssig-gasförmig: Verdampfungskurve, Verflüssigungskurve
• Grenzlinie fest-flüssig: Schmelzkurve, Erstarrungskurve.
238
20.3. p-T -Diagramm
Die Gibbssche Phasenregel der Zustandseinstellung über die Freiheitsgrade fV
der Veränderbarkeit der Phase bei einer Komponente:
fV = 3 − q
(20.17)
mit q als Zahl der koexistierenden Phasen.
Wie ist die Gibbssche Phasenregel aufzufassen?
Wenn sich das System mitten in einer der Phasen befindet (q = 1), können beide
Parameter (Druck p und Temperatur T ) in Grenzen variiert werden, ohne dass
diese Phase vom System sofort verlassen wird: fV = 3 − 1 = 2 (veränderbare
Parameter).
Wenn sich das System auf einer der Kurven zwischen zwei Phasen bewegen soll,
z. B. auf der Dampfdruck- bzw. Verflüssigungskurve, kann zwar ein Parameter
geändert werden (z. B. die Temperatur T ); dann ist damit aber die andere Größe
(hier der Druck p) durch den Kurvenverlauf p(T ) jeweils festgelegt. Die Phasenregel sagt: fV = 3 − 2 = 1 .
Den Tripelpunkt möge man sich quasi statt als einen mathematischen Punkt als
einen Fleck vorstellen, der zum Teil zur festen Phase, zum Teil zur Flüssigphase,
zum Teil zur Gasphase gehört: fV = 3 − 3 = 0.
An diesem Punkt kann das System nur bleiben, wenn weder p noch T verändert
wird; d. h., es gibt keinen Freiheitsgrad für die Veränderung von p oder T , wenn
das System auf dem Tripelpunkt bleiben soll. An diesem Punkt können sowohl
Molekülgruppen in der festen Phase als auch Molekülgruppen in der Flüssigphase
als auch Moleküle in der Gasphase koexistieren.
239
20. Der 1. Hauptsatz
für H2 O und CO2 detaillierter2 :
Abbildung 20.2.: ln p-T -Diagramm von H2 O [Hans Lohninger, TU Wien]. Für H2 O liegt der
Druck des Tripelpunktes bei ca. 6 hPa
Abbildung 20.3.: ln p-T -Diagramm von CO2 [Hans Lohninger, TU Wien]
2
An der im Diagramm für H2 O fast vertikal verlaufenden Schmelzkurve wird deutlich, wie der Schmelzpunkt
von Eis bei Normaldruck und der Tripelpunkt temperaturmäßig so dicht zusammen liegen können, obwohl der
Druckunterschied groß ist.
240
20.3. p-T -Diagramm
Bei T > Tk und p > pk handelt es sich um ein superkritisches Fluid.
Das zeigt die große Dichte einer Flüssigkeit und die geringe Viskosität eines
Gases.
Superkritische Fluide werden z. B. in der Gaschromatographie (“super-critical
fluid extraction“) oder beim Entkoffeinieren von Kaffee eingesetzt.
VERSUCH: superkritisches Fluid
241
20. Der 1. Hauptsatz
20.4. 1. Hauptsatz und Zustandsgleichungen
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist der Energieerhaltungssatz:
ΔU = ΔQ + ΔW
(20.18)
mit ΔQ als ausgetauschte Wärmemenge, ΔU als Änderung der inneren Energie
und
ΔW < 0 als vom System geleistete Arbeit bzw.
ΔW > 0 als ins System gesteckte Arbeit
(Vorzeichen aus Sicht des Systems).
bzw. dU = dQ + dW
,
dU =
dQ +
dW
(20.19)
Die Summe der einem System von außen zugeführten Wärme und der zugeführten Arbeit ist gleich der Zunahme der inneren Energie.
„Es gibt kein ’perpetuum mobile’ 1. Art !“ Irgendwoher muss die Energie kommen.
nun konkreter:
Lassen Sie uns an Gase denken!
Wird das Volumen V des Ensembles von Gasteilchen bei einem Druck p um dV
verändert:
ΔW = −
p(V ) dV bzw. dW = −p · dV
⇒
242
dU = dQ − p · dV .
(20.20)
(20.21)
20.4. 1. Hauptsatz und Zustandsgleichungen
Beispiele dafür, wie dQ zu schreiben ist (jew. 1 mol Stoffmenge angenommen):
• isochore Prozesse (V = const) :
dV = 0
dQ = dU = CV · dT
∂U
CV =
,
∂T V
⇒
d→∂
⇒
(20.22)
(20.23)
(20.24)
spezifische Molwärme bei konstantem Volumen.
• isobare Prozesse (p = const) :
dp
⇒ dQ
Def. Enthalpie: H
⇒ dH
d→∂
⇒
=
=
≡
=
0 , dQ = dU − dW
dU − (−p · dV ) = dU + p · dV = Cp · dT
U +p·V
dU + p · dV + V · dp = dQ ;
Cp =
∂H
∂T
(20.25)
.(20.26)
(20.27)
(20.28)
=0
,
(20.29)
p
spezifische Molwärme bei konstantem Druck. Bei isobaren Prozessen ist die Enthalpiezunahme gleich der zugeführten Wärmemenge.
• isotherme Prozesse (T = const, auch ñ = const) :
⇒
U = f (T, ñ, ¬p, ¬V ) bei idealen Gasen
dU = 0 ⇒ dQ = −(−p · dV ) = p · dV ;
(20.30)
(20.31)
bei isothermen Vorgängen wird die gesamte Wärmemenge in Arbeit umgewandelt
bzw. umgekehrt;
das ist z. B. für den Carnotschen Kreisprozess wichtig.
• adiabatische Prozesse (Q = const, dQ = 0) :
⇔
T CV
T · V κ−1 = const ,
· V (Cp −CV ) = const ,
p · V κ = const ,
(20.32)
(20.33)
(20.34)
Poissonsche oder Adiabatengleichungen.
243
20. Der 1. Hauptsatz
Mit den Freiheitsgraden f˜ der Bewegung gilt:
f˜ + 2
κ= ˜
f
(20.35)
Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung:
Translation (T) - 3,
Rotation (R) - im Allgemeinen 3, bei 2-atomigen Molekülen wegen Quantelung
= Iω eventuell nur 2,
des Drehimpulses L
Vibration (V) - pro Schwingung 2: d. h. 2 für zweiatomige Moleküle, 6 für 3atomige.
Das bedeutet z. B.:
f˜2−atomig = 3T + 2R + 2V ,
f˜3−atomig = 3T + 3R + 6V ,
kinetische Energie:
(20.36)
(20.37)
1
(20.38)
Ekin = f˜ · kB T .
2
Die vorhandene Energie wird auf die verfügbaren Freiheitsgrade verteilt.
244
20.4. 1. Hauptsatz und Zustandsgleichungen
2 adiabatische Prozesse:
1) Pneumatisches Feuerzeug - VERSUCH
Rechnung dazu: T · V κ−1 = const ,
T1 · V1κ−1 = T2 · V2κ−1 ,
T1 = 20◦ C = 293 K ,
1
V2 =
V1 ,
20
T2
V1 κ−1
⇒
=
= (20)κ−1 ;
T1
V2
7+2 9
bei zweiatomigen Gasen: κ =
= = 1, 3 ,
7
7
T2
= 2, 35
⇒
T1
⇒ T2 = 690 K = 417◦ C .
(20.39)
(20.40)
(20.41)
(20.42)
(20.43)
(20.44)
(20.45)
(20.46)
2) Joule-Thomson-Effekt - VERSUCH
- auch ein adiabatischer Vorgang mit T · V κ−1 = const :
Wenn ein Gas schnell ausgedehnt wird, kühlt es sich ab, weil das Volumen gegen
die van der Waalsschen intermolekularen Bindungskräfte vergrößert, also Arbeit
vom System geleistet werden muss.
245
21. Wärmekraftmaschinen
21.1. Der (hypothetische) Carnotsche Kreisprozess, der 2.
Hauptsatz
Welcher Bruchteil von Wärmeenergie kann in mechanische Arbeit umgewandelt
werden (→ Wärmekraftmaschinen)?
dazu ein Gedankenexperiment, den Carnotschen Kreisprozess, das theoretische
Optimum für Wärmekraftmaschinen; hierfür wird von einem idealen Gas ausgegangen:
Abbildung 21.1.: p-V -Diagramm zum Carnotschen Kreisprozess [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 10.51]; T1 > T2
◦
◦
◦
◦
Schritt
Schritt
Schritt
Schritt
1
2
3
4
von
von
von
von
Punkt
Punkt
Punkt
Punkt
1
2
3
4
nach
nach
nach
nach
Punkt
Punkt
Punkt
Punkt
2:
3:
4:
1:
Isotherme zur Volumenerhöhung,
Adiabate (ohne Wärmetransfer),
Isotherme zur Volumenerniedrigung,
Adiabate (ohne Wärmetransfer).
21.1. Der (hypothetische) Carnotsche Kreisprozess, der 2. Hauptsatz
Der Carnot-Prozess stellt in dreifacher Hinsicht eine Idealisierung dar:
• Ein ideales Gas ohne innere Wechselwirkungen wird angenommen.
• Die Schritte 1 und 3 erfolgen isotherm; d. h., die gesamte zugeführte Wärmemenge wird in mechanische Arbeit umgewandelt oder umgekehrt.
• Die Schritte 2 und 4 erfolgen adiabatisch; dabei wird keine Wärmemenge ausgetauscht, so dass hierbei auch keine Wärmemenge verloren gehen kann.
zu Schritt 1 (Isotherme):
⇒
T = T1 = const
V2
ΔQ1 = p · ΔV =
⇒
ΔU = 0
U = const
p · dV
(21.1)
(21.2)
V1
⇒
ΔQ1 = −ΔW12 =
V2
p · dV
V1
V2
1 Mol
dV
=
RT
1
V
pV =ñRT
V1
= RT1 · ln
V2
. (21.3)
V1
Die in das System hineingesteckte Wärmemenge ΔQ1 ist gleich der Arbeit, die
das System bei der Expansion nach außen abgibt (T ist aber konstant).
zu Schritt 2 (Adiabate):
ΔQ = 0
⇒
0 > ΔU = −
(21.4)
V3
p dV = ΔW23 .
(21.5)
V2
Die nach außen abgegebene und daher negative Ausdehnungsarbeit ΔW23 ist
gleich der Abnahme ΔU = U (T2 ) − U (T1 ) der inneren Energie.
zu Schritt 3 (Isotherme):
T = T2 = const
T2 < T1 , V4 < V3
0 > ΔQ3 = −ΔW34 = −
V4
p · dV
(21.6)
(21.7)
(21.8)
V3
V4
V3
(21.9)
V3
.
V4
(21.10)
= −RT2 · ln
= RT2 · ln
Die Wärmemenge ΔQ3 ist gleich der am System geleisteten Arbeit.
247
21. Wärmekraftmaschinen
zu Schritt 4 (Adiabate):
ΔU = U (T1 ) − U (T2 ) =
V1
p dV
(21.11)
−ΔW23 .
(21.12)
V4
= ΔW41
|ΔU2 |=|ΔU4 |
=
Die in das System gesteckte Arbeit ΔW41 führt zur Zunahme der inneren Energie.
| ΔU2 | = | ΔU4 |, weil in den isothermen Schritten 1 und 3 U = U (T ) nicht
verändert wird und weil es sich um einen Kreisprozess handelt.
Die vom System abgegebene Arbeit ist also insgesamt:
ΔW = ΔW12 + ΔW34 + ΔW41 +
ΔW23
(21.13)
=0
= −RT1 ln
V3
V1
V3
V2
+ RT2 ln
= RT1 ln
+ RT2 ln .
V1
V4
V2
V4
(21.14)
Für die Schritte 2 und 4 gilt:
T1 · V2κ−1 = T2 · V3κ−1
T1 · V1κ−1 = T2 · V4κ−1 .
(21.15)
(21.16)
Gleichung (21.15) geteilt durch Gl. (21.16) :
V2
V3
V3
V1
=
⇒ ln
= − ln
V1
V4
V4
V2
Gl. (21.14)
V1
V1
⇒
ΔW = RT1 ln
− RT2 ln
V2
V2
V1
< 0;
= R (T1 − T2 ) · ln
V
2
>0
denn: T1 > T2
,
(21.18)
(21.19)
<0
V1 < V2 ;
| ΔW | = −ΔW = R(T1 − T2 ) ln
(21.17)
(21.20)
V2
.
V1
(21.21)
ΔQ1 war als Wärmemenge aufgenommen worden;
ΔW wurde vom System netto als Arbeit nach außen geleistet - im Sinne einer
Wärme-Kraft-Maschine.
248
21.1. Der (hypothetische) Carnotsche Kreisprozess, der 2. Hauptsatz
Der Wirkungsgrad der Carnot-Maschine ist also:
| ΔW | R(T1 − T2 ) · ln(V2 /V1 )
=
ΔQ1
RT1 · ln(V2 /V1 )
Twarm − Tkalt
T1 − T2
=
=
T1
Twarm
Tkalt
< 1.
η = 1−
Twarm
η =
⇒
(21.22)
(21.23)
(21.24)
Das ist der 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Der Wirkungsgrad ist immer <1, da Tkalt nach dem 3. Hauptsatz der Thermodynamik nie Null werden kann.
Das heißt, obwohl der „Arbeitsstoff“ der Carnotschen Maschine ein ideales Gas
ohne innere Energieverluste ist, kann ihr Wirkungsgrad niemals 100 % werden.
249
21. Wärmekraftmaschinen
21.2. Der Stirling-Motor
Das Nächstbeste nach der Carnot-Maschine ist der Stirling-Motor.
Abbildung 21.2.: p-V -Diagramm zum Stirling-Motor [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb.
10.64a]
isochore statt der adiabatischen Schritte 2 und 4 .
Unter diesen Umständen wäre optimal: ΔQ2 = −ΔQ4 = CV · ΔT ;
d. h.: ΔQ2 (in Kupferwolle) vollständig zwischengespeichert,
als ΔQ4 vollständig wieder abgegeben
VERSUCH und SIMULATION zum Stirling-Motor
VERSUCH zur Stirling-Kältemaschine
250
21.2. Der Stirling-Motor
Abbildung 21.3.: Aufbau eines Stirling-Motors [Demtröder: Experimentalphysik 1, Abb. 10.65]
251
22. Die Entropie, der 3. Hauptsatz
22.1. Reduzierte Wärmemenge (Entropieänderung)
dQ(rev)
dQirrev
, dS >
.
(22.1)
T
T
Beim Carnot-Kreisprozess treten die reduzierten Wärmemengen bei den isothermen Schritten auf:
dS =
dQ1
V2
= R · ln
T1
V1
,
dQ3
V3
= R · ln
T2
V
4
(22.2)
V
ln V2
1
⇒
dQ1
dQ3
=
⇒ dSgesamt = 0 .
T1
T2
(22.3)
• Bei einem reversiblen Kreisprozess bleibt die Entropie konstant.
• Eine Zustandsänderung heißt irreversibel, wenn sich dabei die Entropie des
abgeschlossenen Systems vergrößert.
• Eine Zustandsänderung eines abgeschlossenen Systems ist irreversibel, wenn
ihre Umkehr zum Ausgangszustand nicht von alleine, sondern nur unter äußerer
Einwirkung möglich ist.
• In einem nicht abgeschlossenen System kann die Entropie durchaus abnehmen
- auf Kosten einer Entropiezunahme in der Umgebung!
• Geordnete Strukturen können sich nur in offenen Systemen bilden - fern vom
thermodynamischen Gleichgewicht (Beispiele: Inversion beim Laser, Epitaxie)!
22.2. Beispielaufgabe zur Entropieänderung
22.2. Beispielaufgabe zur Entropieänderung
... mit S und ΔS kann man rechnen!
Wie hoch ist die Entropieänderung bei der freien (isothermen1 ) Expansion von
0,75 mol eines idealen Gases von einem Volumen V1 = 1,5 l auf ein Volumen V2
= 3l?
Wegen der Konstanz der Temperatur bei der freien Expansion ist die Entropieänderung ΔS dieselbe wie bei einem isothermen Übergang. Bei einem isothermen
Übergang ist aber ΔU = 0 und daher | ΔQ | = | ΔW | :
1
V2
ΔQ −ΔW
=
= ñRT ln
T
T
T
V1
J
J
ln 2 = 4, 32 .
= 0, 75 mol · 8, 31
mol · K
K
ΔS = ΔSisotherm =
1
(22.4)
(22.5)
Die Temperatur T bleibt konstant. Dies widerspricht nicht dem Joule-Thomson-Effekt, wo es um reale Gase
geht.
253
22. Die Entropie, der 3. Hauptsatz
22.3. Weitere, neue Größen/Begriffe
schon früher eingeführt: Enthalpie:
⇒
H = U + pV
dH = dU + dp · V + p · dV
(22.6)
(22.7)
⇒
F = U −T ·S
dF = dU − dT · S − T · dS
(22.8)
(22.9)
• freie Energie:
• (Gibbssche) freie Enthalpie, Gibbssches Potenzial, chemisches Potenzial:
z. B.: G = U + pV − T S = F + pV = H − T S ,
(22.10)
· B)
im Fall eines maggf. mit weiterem Term je nach Situation; z. B. (−V M
und der damit verbundenen Material-Magnetisierung M
.
gnetischen Feldes B
254
22.3. Weitere, neue Größen/Begriffe
Schmelzwärme und Verdampfungswärme:
Wenn eine Materialprobe durch Erhitzen aufgeschmolzen wird, bleibt die Temperatur der Probe bei Erreichen der Schmelztemperatur des Materials konstant,
bis die gesamte Probe aufgeschmolzen ist. (Entsprechendes gilt beim Verdampfen.) Denn dann ist die Entropiezunahme am größten und am schnellsten. - Auch
beim Abkühlen der Probe aus dem gasförmigen über den flüssigen hin zum festen
Zustand bilden sich diese Plateaus aus.
VERSUCH dazu mit Wood’schem Metall
(50% Ni, 25% Pb, 12,5% Cd, 12,5% Sn)
“G makes the world tick!“
255
22. Die Entropie, der 3. Hauptsatz
256
22.4. Der 3. Hauptsatz - das Nernstsche Theorem
22.4. Der 3. Hauptsatz - das Nernstsche Theorem
Die Entropie kann auch statistisch definiert werden:
S = kB · ln W̃
(22.11)
mit der Anzahl W̃ der Möglichkeiten des Systems, in dem betreffenden Zustand
zu sein,
i. e., mit der Anzahl W̃ der möglichen Mikrozustände des Systems, die den Makrozustand ausmachen.
Und es gilt (hier ohne Herleitungen angegeben):
⎛
⎞
∂(ΔF ) ⎠
lim ⎝
= 0,
T →0
∂T
V
(22.12)
∂(ΔU ) ⎠
= 0,
lim ⎝
T →0
∂T
V
(22.13)
⎛
∂U ∂F
lim
−
T →0 ∂T
∂T
⎞
= 0,
(22.14)
lim ΔS(T ) = 0 .
(22.15)
T →0
V
Die vier Gleichungen werden zusammen als Nernstsches Theorem oder als 3. Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet.
Mit Gl. (22.15) kann gefolgert werden, dass es prinzipiell unmöglich ist, den absoluten Temperaturnullpunkt in einer endlichen Zahl von Schritten (jeder mit
Reduktion der Entropie) zu erreichen, wie mit der Abb. 22.1 und in deren Bildunterschrift veranschaulicht.
257
22. Die Entropie, der 3. Hauptsatz
Abbildung 22.1.: Da die Differenzen der Entropie S für abnehmende Temperatur T gegen 0 gehen
(rechtes Teilbild [www]), würde eine unendliche Anzahl von Schritten benötigt
werden, um das System in den absoluten Temperaturnullpunkt (T = 0) zu
bringen - sprich: letzterer kann nicht erreicht werden.
Das linke Teilbild [www] dient nur zum hypothetischen Vergleich.
Die Größe X stellt hier (irgend-)einen thermodynamischen Parameter dar, der
mit zwei Werten die Kurvenschar aus zwei Kurven bestimmt. Das System wird
in abwechselnd isothermen und isentropischen Schritten zwischen diesen beiden
Werten des Parameters abgekühlt
258
23. Statistisch-mikroskopische Betrachtungen;
Gase
Wiederholung: Die (absolute) Temperatur T ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Moleküle; im Fall von f˜ Freiheitsgraden der Bewegung für die
Gasteilchen:
Ekin =
f˜
m
kB T = v 2
2
2
⇒
T =
1 2 m 2
· · v .
kB f˜ 2
(23.1)
Das heißt, die (absolute) Temperatur ist ein Maß für die Bewegung, besser kinetische Energie, der Gasteilchen. Das allein schon zeigt, dass es einen absoluten
Temperatur-Nullpunkt geben muss, nämlich wenn die Gasteilchen alle und vollständig zur Ruhe kommen (würden).
Mit dieser kinetischen Energie ist also eine Bewegung verbunden; sie wird Brownsche Molekularbewegung genannt.
SIMULATION zur Brownschen Molekularbewegung
Für die Moleküle/Teilchen gilt eine bestimmte Geschwindigkeitsverteilung, die
sogenannte Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung:
⎡
⎤3/2
m ⎦
N (v) = 4πN(ges) ⎣
2πkB T
⎧
⎨
⎫
mv 2 ⎬
2
· v · exp ⎩−
,
2kB T ⎭
asymm.
(23.2)
eine asymmetrische Verteilung um das Maximum !
Es ist:
v ≡| v | , v̄ ≡ | v | ,
vw(ahrscheinlichst) < v̄ < v 2 .
vrms
VERSUCH: Modellmaschine
VERSUCH: Heißluftballon
(23.3)
(23.4)
23. Statistisch-mikroskopische Betrachtungen; Gase
260
wahrscheinlichste Geschwindigkeit:
vw =
2k T
B
m
,
(23.5)
mittlere Geschwindigkeit:
2vw 8k T
v̄ ≡ | v | = √ = B = vw ,
π
πm
(23.6)
“root mean square“-Geschwindigkeit:
vrms ≡ v 2 ≡ v 2 =
v2
3
2
= v̄ 2 .
vw =
3k T
B
m
(23.7)
(23.8)
typische Werte für Stickstoff bei Raumtemperatur:
m
,
s
m
= 517 .
s
vw = 422
vrms
(23.9)
(23.10)
261
23. Statistisch-mikroskopische Betrachtungen; Gase
262
24. Transportvorgänge
24.1. Transportprozesse
•
•
•
•
Materietransport: Konvektion (VERSUCH), Diffusion, ...
Wärmetransport: Wärmeleitung, Wärmestrahlung, Konvektion, ...
Ladungstransport
Impulstransport
24.2. Diffusion
Zustandgrößen: Druck p , Volumen V , absolute Temperatur T , Teilchenzahl N
bzw. Teilchen(anzahl)dichte n bzw. Molzahl ñ , . . .
24.2.1. Gleichungen
Diffusion ist oft, aber nicht immer ein Nettotransport von Teilchen im Konzentrationsgefälle von einem Bereich höherer Konzentration zu einem kleinerer.
(Es gibt auch „Bergaufdiffusion“ ≡ „spinodale Entmischung“.)
1. Ficksches Gesetz für die Teilchenstromdichte (mit D als
Diffusionskonstante,
Λ mittl. freie Weglänge, Teilchengeschwindigkeit vrms ≡ v 2 ):
dn
,
dx
n , D = Λ · vrms
in 3D: j = −D · grad
3
2
1
m
1
Dim. n = 3 , Dim. D = 1
, Dim. j = 2 ;
m
s
m ·s
in 1D: jx = −D ·
(24.1)
(24.2)
(24.3)
∂n
= −div j
(24.4)
∂t
n)
⇒ ṅ = −div (−D · grad
(24.5)
n=D·∇
2 n= D · Δn (24.6)
⇒ ṅ = +D · div grad
ṅ ≡
als 2. Ficksches Gesetz oder auch Diffusionsgleichung.
• Die Brownsche Bewegung ist der Diffusionsbewegung überlagert.
• Diffusion findet nicht nur in Gasen und Flüssigkeiten, sondern auch in Festkörpern statt (dort ist die Diffusionskonstante nur viel kleiner).
24. Transportvorgänge
24.2.2. Technisch wichtige Lösungen der Diffusionsgleichung
... bei begrenzter Quelle / begrenztem Nachschub (’drive-in’)
n(x, 0) = 0 ,
(24.7)
(A)
n(x, t) dx ≡ nges
(konst., Flächen-Anzahldichte) ,
n(x, ∞) = 0
⎡
(A)
⇒
⎤
nges
x2 ⎦
⎣
exp −
,
n(x, t) = √
4Dt
πDt
(24.8)
(24.9)
(24.10)
eine Gauß-Funktion.
1
m3
m
1
= 1 3 = 2.
m
m
Dim. von n =
(A)
Dim. von nges
Abbildung 24.1.: Gauß-Funktionen [Demtröder: Experimentalphysik I]
264
(24.11)
(24.12)
24.2. Diffusion
... bei unendlicher Quelle / unendlichem Nachschub
(z. B. bei CVD-Verfahren („chemical vapor deposition“))
n(x, 0) = 0 ,
n(0, t) = nm
n(∞, t) = 0
⇒
(konst. Belegung) ,
!
"
x
,
n(x, t) = nm · erfc √
2 Dt
(24.13)
(24.14)
(24.15)
(24.16)
eine komplementäre Fehlerfunktion, i. e. ein Integral über eine Gauß-Funktion.
erfc(s) = 1 − erf(s)
2 s −ŝ2
2
= 1− √
e dŝ = √
π0
π
(24.17)
∞
2
e−ŝ dŝ
(24.18)
s
Abbildung 24.2.: Komplementäre Fehlerfunktionen [www]
265
24. Transportvorgänge
Folgerungen für die Halbleitertechnologie
In der Halbleitertechnologie werden häufig Dotierungen eingesetzt. Damit sind
absichtlich in den Halbleiter bei seiner Herstellung eingebrachte Fremdatome zu
verstehen, die entweder mehr oder weniger Elektronen als das Wirtsmaterial haben. Dadurch kann die elektrische Leitfähigkeit des Halbleiters in weiten Grenzen
(um viele Größenordnungen) variiert werden. Letztlich macht erst diese Möglichkeit die Bedeutung der Halbleiter in Elektronik und Optoelektronik aus.
Die beiden genannten Lösungen der Diffusionsgleichung sollen in diesem Beispiel
als Dotierstoffkonzentrationen über dem Ort aufgefasst werden. In den Diagrammen zu den beiden Lösungen kann die Ordinatenachse quasi als Grenzfläche
zwischen Luft/Vakuum (links) und dem Halbleiter (rechts) aufgefasst werden.
Die Gauß-Funktion als Lösung bei begrenztem Nachschub bedeutet, dass sich
die Dotierstoffkonzentration im Bereich der Halbleiteroberfläche praktisch nicht
ändert. Denn die Gauß-Funktion hat hier eine verschwindende Steigung. Dies
ist z. B. bei MOSFETs (’metal oxide semiconductor - field effect transistors’)
erwünscht. Im Laufe der Zeit wird die Gauß-Funktion immer flacher und breiter,
aber sie behält die verschwindende Steigung an der Halbleiteroberfläche. Diese
Situation liegt z. B. bei einer Wärmebehandlung (’drive-in’) nach vorherigem
Aufdampfen oder Aufsputtern vor.
Die komplementäre Fehlerfunktion als Lösung im Fall mit immer währendem
Nachschub an Dotierstoffteilchen bedeutet dagegen gerade, dass an der Halbleiteroberfläche eine deutlich von 0 verschiedene Steigung der Dotierstoffkonzentration vorhanden ist. Die Belegung mit Dotierstoffteilchen ist zwar über der Zeit
konstant an der Probenoberfläche, aber die Steigung der Dotierstoffkonzentration über dem Ort ist an der Probenoberfläche nicht 0. Das heißt, dass sich die
Konzentration unterhalb der Oberfläche (räumlich) schnell ändert. Manchmal
ist dies unerwünscht; für viele Situationen kann es aber geduldet werden. Solche
Profile liegen nach CVD-Verfahren vor; die Abkürzung steht für ’chemical vapor
deposition’. Das sind recht kostengünstige Verfahren.
266
24.3. Wärmetransport/-leitung
24.3. Wärmetransport/-leitung
VERSUCH dazu
Mit der Wärmeleitfähigkeit λW (besser: Wärmeleitkoeffizient), der Wärmemenge Q, der Zeit t, der abs. Temp. T und x als Raumkoordinate folgt für den
Wärmetransport durch die Fläche A :
1
12
1 dQ
dT
·
= λW
mit λW
A dt
dx
·f˜ · n · kB · v̄ · Λ , (24.19)
=
= 13 · 12 · 12
Dimension von λW
=
1
J
.
s·m·K
(24.20)
1/3 wegen der Integration über den Raumwinkel, unter dem der Energiefluss auf
das Flächenelement einfällt,
1/2 weil nur eine Richtung innerhalb der Dimension betrachtet wird,
1/2 wegen des „1/2“ in der kinetischen Energie.
Es folgt weiter mit der Dichte ρ und der spez. Wärme(kapazität) c(w) :
1D:
3D:
∂T
λW ∂ 2 T
·
,
=
∂t
ρc(w) ∂x2
λW
∂T
=
ΔT ,
∂t
ρc(w)
λW
(Temperaturleitzahl) .
λT ≡
ρc(w)
(24.21)
(24.22)
(24.23)
Die Temperatur „diffundiert“ also gewissermaßen.
SIMULATION Temperaturausgleich zwischen zwei ungleich warmen Wänden
Die Wärmeleitfähigkeit von Metallen wird überwiegend durch quasi-freie Elektronen bewirkt, wie auch die elektrische Leitfähigkeit σel .(1) Daraus resultiert ein
Zusammenhang, der Wiedemann-Franz-Gesetz genannt wird:
λW
= â · T
σel
mit â =
2
π 2 kB2
−8 V
=
2,
45
·
10
,
3 e2
K2
(24.24)
der Lorenz-„Zahl“.
1
Die spezifische Wärme von Metallen ist aber hauptsächlich auf die Energieaufnahme durch das (schwingende)
Gitter zurückzuführen, nur zu wenigen Prozent auf die Energieaufnahme durch die freien Elektronen.
267
Teil V.
Elektrik
25. Strom, Spannung, Ladung
25.1. Elektrische Ladungen, Coulomb-Gesetz
Experimentelle Ergebnisse:
• Es gibt zwei Ladungsarten („+“ und „-“), an ihren Kraftwirkungen unterscheidbar
• Ladungen sind an ruhemassebehaftete Teilchen gebunden.
• Die Dimension der Ladung ist 1 As ≡ 1 C (Coulomb).
• Elementarladung | e | ist die kleinste beobachtete Ladungsmenge.
(Quark-Ladungen 13 · | e | , 23 · | e | ; aber Quarks kommen nicht als freie Teilchen
vor.)
• In abgeschlossenen Systemen bleibt die Ladung erhalten.
• Im Allgemeinen ist die uns umgebende Materie elektrisch neutral.
• Ladungen werden „erzeugt“ durch Ladungstrennung.
Beispiel: Ionisation des Wasserstoffatoms
VERSUCHE: Ladungslöffel außen und innen am Elektroskop;
Vorgriff auf Influenz,
Ladungstransport im Wassertropfen,
Ladungstransport mit Ball im Kondensator
25. Strom, Spannung, Ladung
25.2. Coulombsches Kraftgesetz und elektrisches Feld
. . . mit den Ladungen Q1 und Q2
(Ähnlichkeit zum Gravitationsgesetz!)
1
4π
1
≡
4π
Q1 · Q2 ˆ
R
R2
Q1 · Q2 R
R3
=
F (R)
0
0
(25.1)
(25.2)
,
mit Q2 im Nullpunkt des Koordinatensystems und Q1 mit dem Ortsvektor R
der dann gleichzeitig auch den Abstandsvektor darstellt, und der Dielektrizitätskonstante
−12 As
,
(25.3)
0 = 8, 854 · 10
Vm
wobei für deren Dimension gilt:
1
As
A2 s 4
=1
.
Vm
kg · m3
(25.4)
diverse VERSUCHE zum Coulomb-Gesetz
Vergleich der Stärke von Coulomb-Kraft FC und Gravitationskraft FG :
Beispiel 2 Elektronen:
−11
G = 6, 67 · 10
2
2
2F 2
2 G2
2
2
2F 2
C
=
Nm2
;
kg2
G · m2e
= 2, 4 · 10−43 .
1
2
4π 0 e
(25.5)
(25.6)
Bei geladenen Teilchen spielt die Gravitationskraft im Vergleich zur CoulombKraft keine Rolle!
270
25.2. Coulombsches Kraftgesetz und elektrisches Feld
≡ R
q und der
Mit der Probeladung q an einem Punkt mit dem Ortsvektor R
Q sieht die Coulomb-Kraft
Ladung Q an einem Punkt mit dem Ortsvektor r ≡ R
so aus:
1
4π
= 1
F (R)
4π
=
F (R)
r = 0
⇒
0
0
q·Q − r)
(R
2
(R − r)
q · Q ˆ
R.
R2
(25.7)
(25.8)
Die Ladung Q erzeugt ein Kraftfeld, das noch von q abhängt.
F /q ist unabhängig von q ; diese Größe ist auch ein Vektorfeld und heißt elektrische Feldstärke (hier für den Fall r = 0 geschrieben) :
R)
=
E(
Q
4π
0
R2
ˆ .
R
(25.9)
N = 1 VAs = 1 V .
Die Dimension der elektrischen Feldstärke ist 1 As
m
mAs
.
F = q · E
(25.10)
vektorielle Addition der Coulomb-Kräfte (Vorzeichen wegen der Ladungsvorzeichen beachten !)
VERSUCHE zu Dipolen und Grieß in Rizinus-Öl
SIMULATIONEN zu elektrischen Feldern
Die Coulomb-Kraft ist eine Zentralkraft.
Die Stärke der Kraft ist vom Abstand zum Mittelpunkt der verursachenden Ladung Q abhängig.
= const
Spezialfall - homogenes Feld: E
z.B. weit weg von einer verursachenden Ladung Q
271
25. Strom, Spannung, Ladung
Die Formel für die Coulomb-Kräfte, die eine Anzahl von Ladungen Qi mit den
Ortsvektoren ri auf die Probeladung q mit dem Ortsvektor r ausüben, sieht so
aus:
q
4π
q
=
4π
=
F (R)
0 i
0 i
Qi
(R
− ri )
− ri )2
(R
Qi
− ri )
(R
3
(R − ri )
(25.11)
(25.12)
und im Fall sehr vieler, sehr dicht liegender Ladungen mit der elektrischen
Ladungsdichte ρel (r) ≡ ρ(r) :
=
F (R)
q
4π
− r
R
3
ρ(r) d
r.
3
| R − r |
dV
0V
(25.13)
Die Gesamtladung ist
Q=
ρ(r) dV .
(25.14)
V
Manchmal ist auch die Verwendung einer elektrischen Flächenladungsdichte σ
hilfreich; die Gesamtladung auf der Fläche A ist damit:
Q=
σ(r) dA .
A
272
(25.15)
25.3. Elektrostatisches Potenzial
25.3. Elektrostatisches Potenzial
von einem Punkt
Wird eine Probeladung q in einem elektrostatischen Feld E
P1 zu einem anderen Punkt P2 gebracht, ist die dabei geleistete Arbeit bzw.
freigewordene Energie:
P2
W =
P2
F · ds = q
· ds .
E
(25.16)
P1
P1
Elektrostatische Felder sind (wie das Gravitationsfeld) konservativ;
denn zeitunabhängige Zentralkraftfelder sind konservativ.
Das bedeutet: es lässt sich ein elektrostatisches Potenzial Φ (= Φel elektrischer
Fluss) als eindeutige Funktion definieren:
∞
Φ(P ) =
· ds ,
E
Φ
= − grad
E
(25.17)
P
mit Φ(∞) = 0 zur absoluten Normierung.
25.4. Elektrische Spannung
Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten P1 und P2 :
U = Φ(P1 ) − Φ(P2 ) =
∞
P1
· ds −
E
∞
· ds =
E
P2
P2
· ds .
E
(25.18)
P1
Diese Potenzialdifferenz heißt auch elektrische Spannung.
Eine Probeladung q, die eine Potenzialdifferenz U durchläuft, erfährt eine Änderung ihrer potenziellen Energie:
ΔEpot = −qU
(25.19)
Diese Änderung kann in eine Änderung der kin. Energie umgesetzt werden.
Beispiel: Beschleunigung von Ladungsträgern/Elektronen in einer Vakuumdiode:
ΔEkin = −ΔEpot = qU .
(25.20)
VAs
Die Dimension der elektr. Spannung bzw. von Epot /q ist 1 V = 1 Nm
As = 1 As .
Im atomaren Bereich (z.B. | q | ≡ e) wird die Energieeinheit
1 eV =1,602·10−19 As·1 V = 1,602·10−19 J verwendet.
273
25. Strom, Spannung, Ladung
25.5. Elektrischer Fluss
R)
ist ein Vektorfeld im Raum (von + nach -),
E(
veranschaulicht durch Feldlinien
(als Verbindungen von Stückchen der Richtungstangenten an die FeldstärkeVektoren)
Definition eines elektrischen Flusses Φel :
· dA
dΦel = E
⇒
Φel =
· dA
.
E
(25.21)
Die Gesamtladung Q = ρ dV liege innerhalb eines Volumens, das von einer
geschlossenen Fläche (z.B. einer Kugelfläche) umfasst wird:
⇒
(1)
Raumwinkel Q
Q + rˆ
Q
Q
·
d
A
=
dΩ
=
4π
=
Φel =
4π 0 r2
4π 0 voll
4π 0
0
(25.22)
. Mit dem Gaußschen Satz,
+
Φel =
· dA
=
E
A
(25.25)
ρ dV
(25.26)
ρ dV.
(25.27)
V (A)
folgt: Φel =
Q
1
=
0
0
dV = 1
div E
⇒
dV ,
div E
0
V (A)
Das muss dann aber auch für beliebige geschlossene Flächen und davon eingeschlossene Volumina gelten, also auch für die Differenziale dA und dV (dA) selbst.
Dann muss auch Gleichheit für die Integranden gelten:
⇒
∂Ex ∂Ey ∂Ez
·E
≡ div E
= ρ.
+
+
≡∇
∂x
∂y
∂z
0
(25.28)
Dies stellt bereits eine der Maxwellschen Gleichungen dar:
die im Raum verteilten Ladungen sind die Quellen (für ρ > 0) und Senken (für
ρ < 0) des elektrostatischen Feldes.
Der elektrische Fluss Φel = Q/ 0 hängt weder von der Form der Oberfläche,
noch von der Ladungsverteilung ρ(r) ab, sondern einzig von der Gesamtladung
Q innerhalb der von der geschlossenen Fläche umschlossenen Volumens.
1
für später im Zusammenhang mit dem Plattenkondensator:
⇒
274
Φel
=
E
=
Q
0
=
Q
0·A
· dA
=E·A
E
(25.23)
(25.24)
25.6. Poisson- und Laplace-Gleichung; Äquipotenzialflächen
25.6. Poisson- und Laplace-Gleichung; Äquipotenzialflächen
∞
Φ(P ) =
· ds
E
(25.29)
P
Φ(x, y, z) ≡ −∇Φ(x,
= −grad
E
y, z)
∂Φ ∂Φ ∂Φ
= −
,
,
∂x ∂y ∂z
Φ
= ρ = − div grad
div E
⇒
0
⇒
⇒
⎛
(25.30)
⎞
2
2
2
2 Φ = −ΔΦ = − ⎝ ∂ Φ + ∂ Φ + ∂ Φ ⎠ (25.31)
= −∇
∂x2
∂y 2
∂z 2
= −ΔΦ = ρ
div E
(25.32)
ΔΦ = −
ρ
0
Poisson-Gl.
(25.33)
0
für ρ = 0 : ΔΦ = 0 Laplace-Gl. ;
(25.34)
letzteres heißt, die Krümmung der Potenziallinien verschwindet; denn:
ΔΦ steht für die Krümmung (den Kehrwert des Krümmungsradius) der Äquipotenziallinien.
In der Zeichnung handelt es sich um einen Fall, bei dem die 2. Ableitung nicht
verschwindet. Mit der Zeichnung soll nur veranschaulicht werden, dass die 2.
Ableitung für die Krümmung der nicht abgeleiteten Funktion steht.
275
25. Strom, Spannung, Ladung
Die Gleichungen
Φ,
Epot = −q grad
= −grad
F = q E
Φ
= −grad
E
(25.35)
(25.36)
bedeuten auch, dass die elektrischen Feldvektoren überall senkrecht auf den Äquipotenziallinien/-flächen stehen.
SIMULATIONEN zu Feldstärkevektoren und Äquipotenziallinien/-flächen
Zum Verschieben von Ladungen auf Äquipotenziallinien/-flächen braucht man
keine Arbeit zu verrichten; denn dann gilt:
⊥ ds
E
⇒
W = q
(25.37)
· ds = 0 .
E
(25.38)
Alle Leiteroberflächen bilden in der Elektrostatik (d.h. bei ruhenden Ladungen)
Äquipotenzialflächen.
Elektrische Feldlinien stehen also immer senkrecht auf Leiteroberflächen.
276
25.7. Stromdichte und Kontinuitätsgleichung
25.7. Stromdichte und Kontinuitätsgleichung
Stromdichte (Dimension: [j] = 1 A/m2 )
j = N
· q · v = ρ · v
(25.39)
=ρ
mit der Ladungsträgerdichte N und der Ladungsdichte ρ ≡ ρel .
Bei Ladungen verschiedenen Vorzeichens:
⇒
ρ
j
=
=
of t N + =N −
=
ρ+ + ρ − = N + q + + N − q −
N + q +v + + N − q −v −
(25.40)
(25.41)
N q (| v + | − | v − |) vˆ+ .
(25.42)
historische Konvention:
Stromrichtung = Flussrichtung positiver Ladungsträger,
I = −dQ/dt ,
besser: ... = Richtung entgegengesetzt zur Flussrichtung der Elektronen und der
negativ geladenen Ionen
+
= − dQ = − d ρ dV ;
j · dA
dt
dt
+
=
j · dA
div j dV
Gaußscher Satz:
d
d
div j dV = −
ρ dV = −
ρ dV .
⇒
dt
dt
I≡
(25.43)
(25.44)
(25.45)
Wenn das für alle Volumina und die diese einschließenden Flächen gilt, dann
muss es auch für das differenzielle Volumen dV selbst gelten:
⇒
div j = −
d
ρ;
dt
(25.46)
das ist die Kontinuitätsgleichung.
Die Ursache für Ströme sind zeitlich veränderliche Ladungsdichten.
Die negative zeitliche Änderung der Ladungsmenge in einem Volumen ist gleich
dem Gesamtstrom durch die Oberfläche dieses Volumens.
277
25. Strom, Spannung, Ladung
25.8. Stromleistung und Joulesche Wärme
Wiederholung: Um eine Ladungsmenge Q vom Ort mit dem elektrostatischen
Potenzial Φ1 an den Ort mit dem Potenzial Φ2 zu bewegen, muss folgende Arbeit
geleistet werden oder wird frei:
W = Q · (Φ1 − Φ2 ) = Q · U .
(25.47)
Damit ist (bei konstanter elektrischer Spannung U ) folgende elektrische Leistung
verbunden:
dW
dQ
P =
=U
=U ·I
(25.48)
dt
dt
mit der Dimension 1 VA = 1 W (Watt).
für bestimmte Situationen, i.e. einfache Bauelemente:
Ohmsches Gesetz: U ∝ I ,
U
= R ohmscher Widerstand .
I
(25.49)
(25.50)
Wenn der Widerstand R(U ) spannungsabhängig ist, kann der obige Zusammenhang auch verwendet werden, nur dass dann der Widerstand eben offensichtlich nicht konstant ist und nicht eine/die Proportionalitätskonstante zwischen
Spannung U und Strom I darstellt. Im allgemeinsten Fall sollte der Widerstand
differenziell definiert werden:
dU
R=
.
(25.51)
dI
VERSUCHE zur Linearität oder Nichtlinearität von I-U -Kennlinien
Nach kurzer Zeit der Beschleunigung der Ladungsträger aufgrund der angelegten
Spannung stellt sich eine konstante Drift- bzw. Sättigungsgeschwindigkeit vD ein.
Dann steht der elektrischen Kraft auf die Ladungsträger eine entgegengesetzt
gleich große Reibungskraft entgegen.
Die elektrische Energie wird durch die Reibung in Wärmeenergie umgewandelt;
es wird von „Joulescher Wärme“ gesprochen. Die damit verbundene Leistung ist:
U2
;
P =U ·I = I ·R=
R
U
denn: U = I · R , I = .
R
2
(Erinnerung an Analog-Versuch: fallende Kugel in Glycerin)
278
(25.52)
(25.53)
25.9. Elektrischer Widerstand
25.9. Elektrischer Widerstand
Letztlich lässt sich diese Thematik auf den Mechanismus des Ladungstransports
in Leitern zurückführen. SIMULATION
j = N · q · vD
(25.54)
mit der Sättigungs-/Driftgeschwindigkeit vD und wieder der Ladungsträgerdichte
N , i.e. eine Anzahldichte;
vD = μ · E
(25.55)
.
mit der Beweglichkeit μ und der elektrischen Feldstärke E
Mit der elektrischen Leitfähigkeit σel gilt der Zusammenhang (die Definition):
μ =
⇒
σel
N ·q
(25.56)
;
= σel E
= N q σel E
j = N · q · vD = N qμE
Nq
(25.57)
i.e. das Ohmsche Gesetz.
Ein weiterer Zusammenhang ist erwähnenswert:
σel =
N · q 2 · τs
m
(25.58)
mit der Masse m der Ladungsträger und der mittleren Zeit τs zwischen zwei
Stößen.
Definition eines spezifischen elektrischen Widerstands ρ̃el über2 :
j = σel · E
U
σel · A
I
= σel ·
⇒ I=
U
⇒
A
L
L
L
U
L
=
= ρ̃el
⇒ R=
I
σel A
A
(25.61)
(25.62)
(25.63)
als elektrischer Widerstand mit der Dimension 1 V/A = 1 Ω (Ohm).
VERSUCHE: spezifischer elektrischer Widerstand, Temperaturabhängigkeit
2
P2
U
=
P1
⇒
E
=
U
L
E=const
·
· ds = E
E
P2
ds = E · L
(25.59)
P1
(25.60)
bei konstanter/homogener Feldstärke.
279
25. Strom, Spannung, Ladung
25.10.
Netzwerke; Kirchhoffsche Regeln
Netzwerke von vielen Leitern mit Knoten und Maschen
Knotenregel, 1. Kirchhoffsche Regel:
Ii = 0
(25.64)
i
bei Berücksichtigung der Vorzeichen
(folgt eigentlich schon aus der Kontinuitätsgleichung)
Maschenregel, 2. Kirchhoffsche Regel:
n
Ui = 0
i=0
mit (−U0 ) als Generatorspannung.
280
(25.65)
25.10. Netzwerke; Kirchhoffsche Regeln
Reihenschaltung von Widerständen:
Der Strom I ist konstant.
n
U0 =
Ui =
i=1
⇔
Rges =
Ri = I · Rges
IRi = I
i
(25.66)
i
Ri .
(25.67)
i
Parallelschaltung von Widerständen:
Die Spannung U ist konstant.
U
= Iges =
Rges
1
=
⇔
Rges
Ii =
i
i
i
U
=U
Ri
1
.
Ri
i
1
Ri
(25.68)
(25.69)
Wheatstonesche Brückenschaltung:
. . . zur Messung unbekannter Widerstände
(sehen Sie sich dazu bitte die Abb. 25.1 an!)
Am Potenziometer kann das Teilungsverhältnis R3 /R2 so eingestellt werden, dass
im Punkt C gegenüber Punkt B dieselbe Spannung wie in D gegenüber B liegt
und so zwischen C und D kein Strom fließt.
⇒
Rx = R1
R2
L−x
= R1
R3
x
(25.70)
281
25. Strom, Spannung, Ladung
Abbildung 25.1.: Wheatstonesche Brücke [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 2.24]
282
25.11. Messverfahren für elektrische Ströme
25.11.
Messverfahren für elektrische Ströme
• Hitzdraht-Ampèremeter:
Strom → Erwärmung → Längenausdehnung
• Strommessung durch Ausnutzung magnetischer Wirkungen:
Strom → Magnetfeld → Kraft/Drehmoment auf anderes Magnetfeld
(z.B. im Drehspul-Ampèremeter)
VERSUCH: Drehspul-Ampèremeter
Abbildung 25.2.: Drehspul-Ampèremeter [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 2.26]
• Strommessgeräte basierend auf elektrolytischen Wirkungen:
Zersetzung von Molekülen durch Ladungsmenge
• Voltmeter als Strommesser:
U = I ·R;
(25.71)
283
25. Strom, Spannung, Ladung
R ist nicht der Innenwiderstand des Voltmeters.
284
26. Multipol-Potenziale
Zerlegung der Ladungsdichte/-verteilung ρ(r) bzw. des Potenzials Φ(R)
− r
1
R
R)
=
Coulomb-Feld: E(
ρ(r) dV
− r |2
4π 0 V | R
Φ
= − grad
E
∞
Φ(P ) =
· ds
E
(26.1)
(26.2)
(26.3)
P
=
Coulomb-Potenzial: Φ(R)
1
4π
0V
ρ(r)
dV
− r |
|R
(26.4)
in eine Taylor-Reihe; das entspricht der Zerlegung der Ladungsverteilung in 2n Pole (n = 0, 1, 2, . . .):
Einzelladung (Monopol), Dipol, Quadrupol, . . .
Abbildung 26.1.: Zerlegung von Ladungsverteilungen in Multipole (Multipolentwicklung) [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 1.24]
26. Multipol-Potenziale
Monopol (bei rM = 0) :
= Q 1 ∝ 1.
Monopol-Potenzial: ΦM (R)
|
4π 0 | R
R
(26.5)
„Monopol-Moment“: Q (ein Skalar)
Dipol:
VERSUCH: Modell eines Dipols (2 metallbeschichtete Styropor-Kugeln),
aufgeladen durch geriebene Stäbe im Kondensator
Definition des elektrischen Dipolmoments:
Abbildung 26.2.: zur Definition und Wirkung von elektrischen Dipolen [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 1.25]
hier: Q ≡ | Q | , also: Q > 0 ;
p = Q · d ein Vektor;
der Abstandsvektor d zwischen den beiden Ladungen zeigt
von der negativen zur positiven Ladung (dies ist Teil der Definition).
286
(26.6)
(26.7)
Aus der Definition folgt das Dipol-Potenzial:
⎛
=
ΦD (R)
1
4π
⎜
⎝
0
⎞
Q
−
|R
d
2
|
−
Q
+
|R
d
2
|
⎟
⎠
;
(26.8)
Daraus kann hergeleitet werden:
= p · R · cos ϑ = p · cos ϑ ∝ 1 ;
ΦD (R)
4π 0 R3
4π 0 R2
R2
(26.9)
das Dipol-Potenzial fällt also schneller ab als Monopol-Potenzial ΦM .
Der elektrische Quadrupol besteht aus zwei elektrischen Dipolen mit dem Abstandsvektor a zwischen den beiden Dipolen.
Abbildung 26.3.: zur Definition von elektrischen Quadrupolen [Demtröder: Experimentalphysik
2, Abb. 1.28]
⎛
⎞
Q
⎜d · R⎟
Potenzial: ΦQ (R) =
a · grad ⎝ 3 ⎠ ;
4π 0
R
(26.10)
damit verbunden ist ein elektrisches Quadrupolmoment (eine Matrix).
287
27. Kräfte und Drehmomente im elektrischen Feld
27.1. Elektrischer Dipol im homogenen elektrischen Feld
Wiederholung - Definition des elektrischen Dipolmoments:
hier: Q ≡ | Q | ,
p = Q · d ;
also: Q > 0 ;
(27.1)
(27.2)
der Abstandsvektor d zwischen den beiden Ladungen zeigt von der negativen zur
positiven Ladung (als Teil der Definition).
Drehmoment auf den elektrischen Dipol im homogenen elektrischen Feld:
F = p × E
,
D
⇒ D
F = 0;
wenn p E
VERSUCH
(27.3)
(27.4)
;
(27.5)
pot. Energie: Wpot = −p · E
d
dWpot
|=| D
F | .
=
(−p · E · cos ϑ) = +p · E · sin ϑ = | p × E
dϑ
dϑ
(27.6)
27.2. Elektrischer Dipol im inhomogenen elektrischen Feld
..., also unterschiedlich starke Kräfte an beiden Ladungen des Dipols;
daraus folgt eine resultierende Kraft:
E
;
F = p · ∇
E
= ∇
·E
.
∇
(27.7)
(27.8)
E
ist kein Skalarprodukt, sondern ein Vektorgradient;
Vorsicht: ∇
es handelt sich also um drei Gleichungen (i = 1, 2, 3):
Fi = px
∂Ei
∂Ei
∂Ei
+ py
+ pz
.
∂x
∂y
∂z
(27.9)
E
ist also ein Tensor (eine Matrix):
∇
⎛
E
=⎜
⎜
∇
⎝
∂Ex /∂x ∂Ex /∂y ∂Ex /∂z
∂Ey /∂x ∂Ey /∂y ∂Ey /∂z
∂Ez /∂x ∂Ez /∂y ∂Ez /∂z
⎞
⎟
⎟
⎠
.
(27.10)
27.2. Elektrischer Dipol im inhomogenen elektrischen Feld
Der Dipol wird durch die resultierende Kraft im inhomogenen Feld typischerweise in Richtung wachsender Feldstärke gezogen. Durch inhomogene elektrische
Felder können auch neutrale, aber polarisierbare Teilchen (also Teilchen mit induzierbaren/induzierten elektrischen Dipolmomenten) bewegt werden1 !
Abbildung 27.1.: (Mitte und rechts) Dielektrophorese mit geladenen und neutralen, aber polarisierbaren Teilchen [Holzki: Dissertation, Abb. 2.6]
1
... und Teilchen mit permanentem elektrischem Dipolmoment (wie Wassermoleküle) sowieso
289
28. Materie im elektrischen Feld (I. Leiter)
28.1. Leiter im elektrischen Feld
gebracht.
Ein Leiter wird in ein elektrisches Feld E
→ Die frei beweglichen Ladungsträger q folgen der Kraft F = q · E.
→ Gegenfeld im Leiter, das das äußere Feld vollständig kompensiert
(wenn nicht, dann kein Leiter)
Diese Ladungsverschiebung heißt Influenz
(eigentlich bloß eine Folge der Coulomb-Wechselwirkung).
Das Innere von Leitern ist deshalb feldfrei („Faradayscher Käfig“);
die freien Ladungen sitzen auf der Leiteroberfläche.
Abbildung 28.1.: Leiter im elektrischen Feld [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 1.29]
Wiederholung VERSUCH: geriebene Stäbe und Elektroskop
VERSUCH: Ladungstrennung im Kondensator
SIMULATION: Influenz
FOLIE und VERSUCH: van de Graaf-Generator
VERSUCH: Faradayscher Käfig
Wiederholung VERSUCH: Ladungslöffeln außen und innen
am Becher-Elektroskop
28.2. Kondensator
28.2. Kondensator
28.2.1. Ladungsspeicher - Sammeln und Sortieren
Beispiel: Plattenkondensator mit Plattenabstand d in x-Richtung:
Die Ladung Q auf einem Kondensator (einer Kondensatorplatte der Fläche A )
ist proportional zur angelegten Spannung:
Q=C ·U;
(28.1)
Die Proportionalitätskonstante keißt Kapazität („Ladungsfassungsvermögen“);
C =1 As =1 F (Farad).
ihre Dimension ist 1 V
V
Zwischen den Platten gilt die Laplace-Gleichung:
ΔΦ = 0 , hier (1D):
∂ 2Φ
=0
∂x2
(28.2)
∂ 2Φ
dx = a
(28.3)
⇒
∂x2
∂Φ
⇒ Φ =
dx = ax + b .
(28.4)
∂x
Die linke/erste Platte sei bei x = 0 positioniert und habe das Potenzial Φ1 ,
die rechte/zweite bei x = d mit dem Potenzial Φ2 ;
die Spannung zwischen den Platten ist U = Φ1 − Φ2 .
Aus Gl. (28.4) folgt:
∂Φ
=
∂x
Φ1 = Φ(0) = b ,
Φ2 = Φ(d) = a · d + b = a · d + Φ1
Φ2 − Φ 1
U
⇒ a =
=−
d
d
U
⇒ Φ(x) = − x + Φ1
d
1D
U
∂Φ ˆ
⇒ E = −grad Φ = −
x = + xˆ ,
∂x
d
| = U = Q/C ⇒ E ∝ U ∝ 1 ;
E ≡| E
d
d
C
Q
Q
Q/C
mit E =
:
=
d
0·A
0·A
A Q
⇒ C = 0 = .
d
U
(28.5)
(28.6)
(28.7)
(28.8)
(28.9)
(28.10)
(28.11)
(28.12)
VERS.: Fall A = const, Q = const : d ⇒ C ⇒ U (E = const)
Fall d = const, Q = const : A ⇒ C ⇒ U ⇒ E .
291
28. Materie im elektrischen Feld (I. Leiter)
28.2.2. Parallel- und Hintereinanderschaltung von Kondensatoren
parallel: quasi Flächenvergrößerung
C=
Ci
(28.13)
i
hintereinander:
Ladungstrennung so, dass auf jeweils zwei benachbarten Platten entgegengesetzt
gleiche Ladungen sitzen (Q = Qi )
Maschenregel: U0 ≡ Uges =
Ui
(28.14)
i
=
i
⇒
292
1
=
C
i
Qi
=
Ci
1
.
Ci
i
Q
=Q
Ci
i
1
Ci
(28.15)
(28.16)
28.2. Kondensator
28.2.3. Kondensatorauf- und -entladung
Aufladung
Maschenregel: U0 = UR + UC (t)
≡U (t)
⇒
UR = I · R = U0 − U (t)
U0 U (t) U0
Q(t)
⇒ I(t) =
−
=
−
,
R
R
R
R·C
dQ
I(t) =
≡ Q̇ ,
dt
1
d2 Q
˙
≡ Q̈ = −
I(t) (Dgl.),
I(t) =
2
dt
R·C
⇒ I(t) = I0 · e−t/(R·C) ;
#
$
am Kondensator: U (t) = U0 · 1 − e−t/(R·C)
mit Zeitkonstante τ = R · C .
(28.17)
(28.18)
(28.19)
(28.20)
(28.21)
(28.22)
(28.23)
(28.24)
Der Strom fällt, die Spannung steigt mit t .
Die Zeitkonstante gibt an, nach welcher Zeit t = τ der Aufladestrom auf 1/e
abgefallen ist (e−t/τ = e−1 = 1/e).
293
28. Materie im elektrischen Feld (I. Leiter)
Entladung
I(t) = I0 · e−t/(R2 ·C)
U (t) = U0 · e−t/(R2 ·C) .
Der Strom fällt mit t , die Spannung auch.
VERSUCHE: Kondensatorauf- und -entladung
294
(28.25)
(28.26)
29. Materie im elektrischen Feld (II. Isolatoren)
Isolatoren ≡ Dielektrika
29.1. Dielektrika im elektr. Feld, dielektrische Polarisation
Abbildung 29.1.: Isolator/Dielektrikum im elektrischen Feld [Demtröder: Experimentalphysik 2,
Abb. 1.41]
VERSUCH: Spannungsmessung am Plattenkondensator mit Dielektrikum
Dielektrikum mit der Dielektrizitätszahl
r
A Q
U
=
, E= ;
d
U
d
Fall d = const, r > 1 :
C ⇒ U ⇒ E .
C=
0 r
(29.1)
(29.2)
29. Materie im elektrischen Feld (II. Isolatoren)
Die Spannung U und die Feldstärke E sinken um den Faktor
das heißt, die Kapazität C muss entsprechend gestiegen sein:
CDiel =
r
· CV ak =
r
·
0
A
,
d
r
> 1.
r
;
(29.3)
Die Feldstärke wird mit/im Dielektrikum kleiner. Warum ?
Durch eine Ladungs„verschiebung“ (im weiteren Sinne) im äußeren Feld:
Es gibt im Isolator zwar so gut wie keine Ladungsträger, die sich frei bewegen
können;
aber die Ladungsverteilungen können ein elektrisches Dipolmoment bilden bzw.
ihr vorhandenes verändern.
Dies fällt unter den Oberbegriff dielektrische Polarisierung/Polarisation.
Auch das elektrische Gesamt-Dipolmoment wird bei Normierung mit dem relevanten Volumen dielektrische Polarisation genannt:
1
P =
V
Ñ
pi
(29.4)
i=1
mit der Dipolanzahl Ñ , den einzelnen elektrischen Dipolmomenten pi und deren
Gesamtvolumen V . Oft kann ein linearer Zusammenhang zwischen dem mitt Diel im Dielektrikum
leren Einzel-Dipolmoment p und dem elektrischen Feld E
angesetzt werden:
Diel
(29.5)
p = α · E
mit der Polarisierbarkeit α .
296
29.2. Polarisationsladungen
29.2. Polarisationsladungen
Durch diese Verschiebungen kommt es im Dielektrikum effektiv zu einer Ansammlung von Ladungen auf den Oberflächen des Dielektrikums in der Nähe
der Kondensatorplatten (Stirnflächen). Diese Ladungen QP ol an den Oberflächen nennt man Polarisationsladungen;
sie ergeben eine Oberflächenladungsdichte
σP ol =
1
QP ol
= N · q · d˜ · A = | P |
A
A
(29.6)
mit den Einzelladungen q und der Dicke d˜ des Randbereichs an der Oberfläche
sowie der Ladungsträgerdichte N = Ñ /V .
Im Inneren der dielektrischen Probe - also zwischen den Randbereichen an den
Stirnflächen - heben sich die positiven und negativen Ladungen auf.
Abbildung 29.2.: Isolator im elektrischen Feld; Oberflächenladungen = Polarisationsladungen
[Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 1.43]
297
29. Materie im elektrischen Feld (II. Isolatoren)
29.3. Dielektrische Suszeptibilität
Die Polarisationsladungen erzeugen ein elektrisches Feld, das dem Kondensatorfeld entgegen gerichtet ist (Minuszeichen) und das vom Betrage her kleiner als
das Kondensatorfeld ist. Das Minuszeichen wird in vielen Darstellungen in Büchern aus der Feldgröße herausgezogen, also explizit genannt, so auch hier. Im
Dielektrikum resultiert somit folgendes Gesamtfeld:
Diel = E
V ak − E
P ol
E
P
= EV ak −
⇒
P =
0
0
Diel
V ak − E
E
(29.7)
(29.8)
(29.9)
Diel .
auch: P = N · p = N · α E
(29.10)
Definition der dielektrischen Suszeptibilität:
χ(el) ≡
⇒
N ·α
,
(29.11)
0
Diel =
P = N · α E
Gl. (29.8)
Diel = E
V ak − χ E
Diel
⇒
E
V ak
Diel (1 + χ) = E
⇒ E
Diel = EV ak ,
⇒ E
1+χ
Diel = EV ak ,
außerdem: E
⇒
⇒
298
0 χ EDiel
(29.12)
(29.13)
(29.14)
(29.15)
(29.16)
r
= 1+χ
Diel
P = 0 χ E
Diel
= 0 ( r − 1)E
= 0 EV ak − EDiel
r
(29.17)
(29.18)
(29.19)
(29.20)
29.4. Dielektrische Verschiebungsdichte, Stetigkeit, Energiedichte
29.4. Dielektrische Verschiebungsdichte, Stetigkeit,
Energiedichte
Der Influenz in Leitern entspricht die dielektrische Polarisation in Dielektrika
(Isolatoren).
ρ
=
div E
= −ΔΦ ,
0
(29.21)
div P = −ρP ol
(29.22)
mit ρP ol als Polarisationsladungsdichte.
Im Fall von dielektrischer Materie im elektrischen Feld wird statt der Feldgröße
gerne die dielektrische Verschiebungsdichte D
verwendet:
E
V ak =
= 0E
D
= ρ.
div D
0 r EDiel
=
0 EDiel
+ P ,
(29.23)
(29.24)
Aus der theoretischen Elektrodynamik ist bekannt, dass für den Übergang der
Felder an dielektrischen Grenzflächen gilt (Stetigkeitsbedingungen für die elektrischen Feldgrößen):
EDiel,⊥ =
1
EV ak,⊥ ,
(29.25)
EDiel, = EV ak, ,
DDiel,⊥ = DV ak,⊥ ,
DDiel, = r DV ak, .
(29.26)
(29.27)
(29.28)
r
Die Energiedichte ist mit der dielektrischen Verschiebungsdichte:
1
2
r 0E
2
1 =
E·D
2
wel =
(nicht ganz allgemein, denn
r
(29.29)
(29.30)
hier skalar angenommen).
299
30. Magnetisches Feld und Induktion
30.1. Permanentmagnete
VERSUCH: Veranschaulichung von Magnetfeldern:
Eisenfeilspäne auf Glasplatte
Die magnetischen Feldlinien laufen zwischen zwei Polen,
„Nordpol“ und „Südpol“ genannt.
Gleichnamige magnetische Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.
Analogie in der Elektrostatik: Gleichnamige elektrische Ladungen stoßen sich ab,
ungleichnamige ziehen sich an.
Der magnetische Nordpol weist (inkonsistenterweise) zum Erd-Magnetfeld-Nordpol.
Permeabilitätskonstante.
Vs
.
(30.1)
Am
Bisher ist davon auszugehen, dass es keine isolierten magnetischen Monopole
gibt, nur Dipole, Quadrupole u.s.w.
μ0 = 4π · 10−7
und magn. Induktion B
30.2. Magn. Feldstärke H
und magn. Induktion B
30.2. Magn. Feldstärke H
:
magnetische Feldstärke H
... oder einfach das magnetische H-Feld mit der Dimension 1 A/m .
Üblicherweise wird darunter die externe oder Vakuum-Feldstärke verstanden1 .
:
magnetische Induktion B
Die zur Beschreibung von Magnetfeldern insbesondere in/mit materialien wichtigere Größe ist die magnetische Induktion oder die magnetische Flussdichte, auch
einfach das magnetische B-Feld genannt:
(ext/V ak)
= μ0 · (μr ) · H
B
(30.2)
mit der Permeabilitätszahl μr ( 1 für ferromagnetische Materialien) und der
(ext/V ak) . Die Analogie zur Elektrostatik
externen magnetischen Feldstärke H
= 0· r·E
(Diel) ) sollte also nicht zu weit getrieben werden.
(D
Statische elektrische Felder werden durch ruhende elektrische Ladungen erzeugt,
(Vorgriff:) statische Magnetfelder durch bewegte elektrische Ladungen.
ist 1 Vs/m2 = 1 T (Tesla)
Die Dimension von B
1 G (Gauß) = 10−4 T ; Erdmagnetfeld am Äquator: 3 · 10−5 T;
ist 1 A/m .
die Dimension von H
1
, mit dem das el. Vakuum-Feld oder das el. Feld im Material/Dielektrikum
anders als beim elektrischen Feld E
gemeint sein kann
301
30. Magnetisches Feld und Induktion
30.3. Magnetfelder stationärer Ströme
◦ Magnetfeld um stromdurchflossenen Leiter mit konzentrischen kreisförmigen
Feldlinien,
◦ stromdurchflossene Spule mit magn. Dipolfeld wie beim Stabmagneten
VERSUCH: Magnetfeld diverser Leiteranordnungen, u.a. einer Zylinderspule
Definition eines magnetischen Kraftflusses:
· dA
.
B
Φm =
(30.3)
A
Da es nur magnetische Dipol- und Multipolfelder gibt und magnetische Feldlinien
daher in sich geschlossen sind, folgt sofort:
+
· dA
= 0;
B
(30.4)
denn es müssen durch die Fläche genauso viele Feldlinien ein- wie austreten.
Nach dem Gaußschen Satz folgt:
+
dV = 0
div B
· dA
=
B
(30.5)
V (A)
⇒
= 0,
div B
(30.6)
und dV (dA)
da Gl. (30.5) für beliebige A und V (A) gelten muss, also auch für dA
selbst.
Gleichung (30.6) besagt - auf eine andere Art als Gl. (30.4) -, dass es keine magnetischen Monopole (als Quellen und Senken für ein magnetisches Feld) gibt,
und stellt eine weitere der Maxwell-Gleichungen dar.
302
30.4. Faradaysches Induktionsgesetz und Lenzsche Regel
30.4. Faradaysches Induktionsgesetz und Lenzsche Regel
- spätestens ab hier Elektrodynamik In einem Leiter entsteht in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld eine elektrische Spannung, eine sogenannte Induktionsspannung Uind .
GRUNDVERSUCH zur Induktion: Stabmagnet in Spule gestoßen
Faradaysches Induktionsgesetz:
Uind = −
d
dt
· dA
=
B
dΦm
dt
Lenz. Regel
−
(30.7)
mit dem magnetischen Fluss Φm .
Beispiel: Spule mit Fläche A und N Windungen dreht sich mit konstanter Win
kelgeschwindigkeit ω im Magnetfeld B
Φm =
⇒
· dA
= B · N · A · cos(ϕ(t))
B
ϕ(t) = ω · t
dΦm
Uind = −
= +B N A ω sin(ωt)
dt
(30.8)
(30.9)
(30.10)
mit ϕ als Winkel zwischen Magnetfeld und Spulennormale.
So funktioniert der Wechselspannungsgenerator.
VERSUCH Wechselspannungsgenerator
303
30. Magnetisches Feld und Induktion
exemplarischer Spezialfall:
Leiterschleife (N = 1),
konstante Orientierung zum Magnetfeld,
zeitliche Änderung der Stärke des Magnetfelds
Uind = −
= −
d
dt
· dA
B
˙ · dA
B
(30.11)
(30.12)
Jede Spannung muss sich aber auch auf ein elektrisches Feld zurückführen lassen,
in diesem Fall entlang der gesamten Leiterschleife:
Uind = −
˙ · dA
B
+
=
Stokes
=
· ds = 0
E
(30.13)
· dA
E
rot
(30.14)
Das muss für beliebige Flächenumrandungen und Flächen gelten, also auch für
s) selbst; also:
ds und dA(d
⇒
= −B
˙ .
E
rot
(30.15)
Das ist eine weitere Form des Induktionsgesetzes (und stellt eine weitere der
Maxwell-Gleichungen dar):
ein Magnetfeld, das sich zeitlich ändert, erzeugt ein elektrisches Feld.
304
30.4. Faradaysches Induktionsgesetz und Lenzsche Regel
Wichtige Wiederholung und Ergänzung:
+
· ds = 0
E
(30.16)
gilt in der Elektrostatik, nicht in der Elektrodynamik.
In der Elektrostatik werden die Felder durch Ladungen erzeugt; die Feldlinien
sind nicht geschlossen.
In der Elektrodynamik können natürlich statische elektrische Felder durch Ladungen hinzukommen (vektorielle Addition).
Mit der Induktionsspannung ist auch ein Induktionsstrom verbunden und, dar
ind
aus folgend, auch ein weiteres magnetisches B-Feld:
Uind → Iind → B
mit dem Induktionsstrom Iind und dem daraus folgenden sekundären magn. Feld
ind
B
ind in Richtung des
B
0 für
ind entgegen B
B
0 für B
˙ 0 < 0 ,
ursprünglichen Felds B
˙ 0 > 0 ;
B
d.h., der Induktionsstrom wirkt der Feldänderung entgegen, „Lenzsche Regel“,
Minuszeichen im Induktionsgesetz
weitere VERSUCHE zum Induktionsgesetz und zur Lenzschen Regel
305
31. Inhomogene Magnetfelder - das
Durchflutungsgesetz
31.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz
31.1.1. Vorläufige Formulierung
+
experimentell:
· ds = I
H
+
,
· ds = μ0 I ,
B
(31.1)
(ohne Material im Magnetfeld)
das Ampèresche Gesetz, wobei der Integrationsweg eine Fläche umschließt, die
von einem Strom I durchflossen wird. Dies ist nicht analog zur Elektrostatik, wo:
+
· ds = 0
E
⇒
∃Φ.
(31.2)
Aus Gl. (31.1) folgt dem gegenüber, dass kein skalares magnetostatisches Potenzial definiert werden kann.
μ 0 I = μ0
=
j · dA
+
· ds
B
Stokes−Satz
· dA
.
B
rot
=
(31.3)
A(s)
Wenn dies für die Umrandung s einer beliebigen Fläche A(s) gelten soll, folgt
daraus:
= j .
= μ0j , rot
H
B
(31.4)
vorläufig: rot
Jeder stromdurchflossene Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben.
31.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz
31.1.2. Endgültige Formulierung
Verallgemeinerung des Ampèreschen Gesetzes auf Integrationsflächen, die nicht
von einem Strom durchflossen werden
+
bisher:
.
j · dA
· ds = μ0 I = μ0
B
(31.5)
A
Dies müsste eigentlich für beliebige Wege s und beliebige von dem geschlossenen
Weg s berandete Flächen A gelten. Gegenbeispiele:
Abbildung 31.1.: zum Verschiebungsstrom [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 4.21 & 4.18alt]
307
31. Inhomogene Magnetfelder - das Durchflutungsgesetz
Maxwell führte einen Verschiebungsstrom ein: Die E-Feldänderung
beim Auf/Entladen des Kondensators entspricht einem zusätzlichen Verschiebungsstrom
IV :
d
dQ
= (CU ) ;
(31.6)
IV =
dt
dt
bezeichnet den Flächenvektor):
im Beispiel Plattenkondensator (Ã
⎛
d
IV = ⎝
dt
⎞
à ⎠
d U =
0
0 Ã · E =
d
dt
∂E
;
∂t
(31.7)
0 Ã
Daraus folgt eine sogenannte Verschiebungsstromdichte:
⇒
IV
∂E
≡ jV = 0
∂t
+ Ã
B · ds = μ0 (j + jV ) · dA
dA
= rot B
⇒
⎛
(31.8)
(31.9)
⎞
⎟
∂E
= μ0 (j + j ) = μ0 ⎜
B
⎝
⎠ (31.10)
rot
j
+
0
V
∂t
1 ∂E
⇒ endgültig: rot B = μ0j + 2
c ∂t
1
mit der Lichtgeschwindigkeit: c = μ0 0
(31.11)
(31.12)
Dies ist das korrigierte Ampèresche Gesetz und
eine weitere der Maxwell-Gleichungen.
Magnetfelder werden von Strömen und von zeitlich veränderlichen elektrischen
Feldern erzeugt.
308
31.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz
31.1.3. Anwendungsbeispiele
... ohne Kondensator (also wieder ohne Verschiebungsstrom) bzw. nur stationäre
Ströme erlaubt
1. Beispiel: Magnetfeld eines geraden Stromleiters mit dem Radius r0 des
runden Drahtquerschnitts
außerhalb des Leiters:
+
2π
· ds =
H
r>r0
⇒
r · H(r) dϕ = r · H(r) · 2π = I
(31.13)
0
H(r) =
I
1
∝ .
2πr
r
(31.14)
Für r < r0 wird nur der Stromanteil j · πr2 vom Integrationsweg umschlossen;
I
r2
2
⇒
2πr H(r) = j · πr = 2 · πr = I 2
πr0
r0
I
r
r ∝ r.
⇒ 2π H(r) = I 2 ⇒ H(r) =
r0
2πr02
Dreisatz
2
(31.15)
(31.16)
2. Beispiel: Magnetfeld im Innern einer Spule
... der Länge l mit N Windungen
Ergebnis: H =
N
·I.
l
(31.17)
VERSUCH: Spulen-Magnetfeld-Abhängigkeit von Windungszahl
309
31. Inhomogene Magnetfelder - das Durchflutungsgesetz
31.2. Vektorpotenzial der Magneto„statik“
(Der Begriff „Statik“ schließt hier stationäre Ströme (also bewegte Ladungen)
ein.)
31.2.1. Definition
+
(31.18)
Φ(r) .
r) = −grad
mit E(
(31.19)
+
In der Magnetostatik:
· ds = 0
E
∃Φ
In der Elektrostatik:
⇒
· ds = μ0 I = 0 .
B
(31.20)
Angenommen, es gäbe ein skalares magnetostatisches Potenzial ΦmP ot :
ΦmP ot ,
= −μ0 grad
B
f = 0
grad
allgemein: rot
ΦmP ot = 0 ,
= −μ0 rot
B
grad
⇒ rot
(31.21)
(31.22)
(31.23)
selbst wenn der Integrationsweg stromdurchflossene Flächen umschließt. Das wäre ein Widerspruch zu Gl. (31.4):
= μ0j .
B
rot
p einführen1 :
Man kann aber ein sogenanntes Vektorpotenzial A
= rot
p
A
B
d = 0
allgemein: div rot
= div rot
p = 0 .
A
⇒ automatisch: div B
(31.24)
(31.25)
(31.26)
Mit dem Vektorpotenzial lässt sich einiges einfacher berechnen (sehen Sie z.B.
die Herleitung des Biot-Savart-Gesetzes weiter hinten).
1
p hat nichts mit einer Fläche zu tun.
A
310
31.2. Vektorpotenzial der Magneto„statik“
31.2.2. Coulomb-Eichung (Magneto„statik“)
p (r) noch nicht völlig festgelegt; denn
Durch Gl. (31.24) ist das Vektorpotenzial A
mit
A
p
(r)
= A
p + gradf
A
(31.27)
p
mit der skalaren Funktion f (r) erfüllt Gl. (31.24) auch; denn:
f = 0.
grad
rot
(31.28)
p wird durch eine Zusatzbedingung, eine sogenannte EichDas Vektorpotenzial A
bedingung, festgelegt:
p = 0 ;
(31.29)
div A
diese Bedingung nennt man Coulomb-Eichung
(analog zu Φ(∞) = 0 in der Elektrostatik).
p ist immer noch nicht ganz eindeutig: das Vektorpotenzial ist nur bis auf eine
A
p , die die Laplaceadditive Konstante g = g(r) in den Komponenten von A
Gleichung Δg = 0 erfüllt, bestimmt.
p (r) im Unendlichen null wird.
g kann so gewählt werden, dass A
311
31. Inhomogene Magnetfelder - das Durchflutungsgesetz
31.3. Biot-Savart-Gesetz
31.3.1. Vorbereitung der Herleitung
(übliche Größensymbole)
≡∇
×B
= μ0j
B
rot
(+ 0)
(31.30)
wg. stat. Stroemen
× (∇
×A
p ) = μ0j
∇
·A
p
× (∇
×A
p ) = ∇(
∇
allg.: ∇
⇒
⎛
·∇
A
p =
∇
=
=
⎜
⎜
⎜
⎝
(31.31)
·∇
A
p
)−∇
(31.32)
=0 Coul.−Eich.
⎞
· ∇A
p,x
∇
⎟
· ∇A
p,y ⎟
⎟
∇
⎠
(31.33)
· ∇A
p,z
∇
⎛ ∂ ∂
∂ ∂
Ap,x + ∂y
∂y Ap,x
⎜ ∂x ∂x
⎜ ∂ ∂
∂ ∂
⎜ ∂x ∂x Ap,y + ∂y ∂y Ap,y
⎝
∂ ∂
∂ ∂
∂x ∂x Ap,z + ∂y ∂y Ap,z
⎛
⎞
ΔAp,x
⎜
⎟
⎜ ΔA
⎟
p,y ⎠ = ΔAp ;
⎝
∂ ∂
+ ∂z
∂z Ap,x
∂ ∂
+ ∂z ∂z Ap,y
∂ ∂
+ ∂z
∂z Ap,z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(31.34)
(31.35)
ΔAp,z
Gl. (31.32)
⇒
× (∇
×A
p ) = −ΔA
p
∇
Gl. (31.31)
⇒
⇒
312
p = −μ0j
ΔA
ΔAp,i = −μ0 ji ,
(31.36)
i = x, y, z
(31.37)
(31.38)
31.3. Biot-Savart-Gesetz
31.3.2. Herleitung
ΔAp,i = −μ0 ji ,
analog zu: ΔΦ = −
=
und Φ(R)
analog
=⇒
i = x, y, z
ρel
(31.39)
(31.40)
0
1
4π
0V
ρel (r) 3
dr
− r |
|R
j (r)
p (R)
= μ0
d3 r
A
− r |
4π V | R
(31.41)
(31.42)
bei Integration über das gesamte stromführende Volumen.
×A
p durch Differenziation
mit B
= rot
p ≡ ∇
A
Daraus folgt B
· ds = I · ds verwendet):
(dabei wird j d3 r ≡ j dV = j · dÃ
I · ds
= μ0
p (R)
A
− r |
4π | R
×A
p
R)
= rot
p ≡ ∇
A
⇒ B(
μ0
× I · ds ;
∇
=
− r |
4π
|R
× (fa) = ∇f
× a + f ∇
× a ;
allg.: ∇
⇒
R)
≡ μ0
⇒ B(
4π
⎡
⎛
⎢
⎣
⎝∇
(31.44)
(31.45)
(31.46)
⎤
⎞
1
⎠ × I d
s+
| R − r |
⎞
1
× I ds ⎥⎦
∇
| R − r | =0 F ussnote
(31.47)
1
− r)⎠ × ds
⎝−
(R
2
| R − r |
− r) × ds
(
R
μ
0
B(R) = − I
− r |2
4π
|R
μ0
=
I
4π
⇒
⎛
(31.43)
(31.48)
(31.49)
(2)
; das ist das Biot-Savart-Gesetz;
es beschreibt ein Magnetfeld als bestehend aus Anteilen, die Abschnitten ds eines
stromdurchflossenen Leiters zugeordnet werden können.
2
(I ds) = 0
keine geschlossenen Strompfade innerhalb des Leiterquerschnitts bei dünnen Drähten: rot
313
31. Inhomogene Magnetfelder - das Durchflutungsgesetz
31.3.3. Ergebnisse für verschiedene Leiter-Beispiele
Magnetfeld eines geraden Leiters
B(R) =
μ0 I
2πR
(31.50)
mit R als Abstand vom Leiter
Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife in der x-y-Ebene
R)
∝ |R
− r | × ds .
dB(
(31.51)
in der Schleifenebene, hat B
in der Schleifenebene nur eine z-Komponente;
Ist R
die Feldlinien gehen senkrecht durch die x-y-Ebene.
Das Magnetfeldlinien-Bild gleicht dem eines kurzen Stabmagneten oder einer
kurzen Spule (N = 1). Die Stromschleife der Fläche A stellt daher einen magnetischen Dipol dar; Definition:
.
pm = I · A
(31.52)
VERSUCH: Stromschleife (5 Windungen) im Permanentmagnetfeld
Magnetfeld eines Helmholtz-Spulenpaars
i.e. zwei parallele kurze Ringspulen mit Radius R im Abstand d = R;
- für gleich gerichtete B-Felder:
ein konstantes Feld auf der Achse zwischen den
Spulen
- für entgegen gerichtete B-Felder:
lineare Feldänderung
VERSUCHE zum Helmholtzschen Spulenpaar
Magnetfeld in einer Zylinderspule
konstantes Feld außer in den Randbereichen
VERSUCH: Magnetfeld in Zylinderspule
314
31.3. Biot-Savart-Gesetz
Abbildung 31.2.: zum Helmholtzschen Spulenpaar [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb.
3.16/3.17]
315
31. Inhomogene Magnetfelder - das Durchflutungsgesetz
31.4. Maxwell-Gleichungen und elektrodynamische Potenziale
Maxwell-Gleichungen in differenzieller Form:
Faradaysches Induktionsgesetz:
= −μ0 μr ∂ H ,
E
rot
∂t
∂E
,
Ampère: rot H = j + 0 r
∂t
= ρ ,
Gauß, elektrisch: div E
(31.53)
(31.54)
(31.55)
0 r
= 0.
Gauß, magnetisch: div H
(31.56)
Maxwell-Gleichungen in Integralform:
+
Faraday:
+
Ampère:
+
Gauß, elektrisch:
+
Gauß, magnetisch:
· ds = −μ0 μr d H
· dA
,
E
dt
+ 0 r d E
· ds =
· dA
,
j · dA
H
dt
· dA
= Q ,
E
(31.58)
· dA
= 0.
H
(31.60)
(31.57)
(31.59)
0 r
Wenn noch folgende Gleichungen hinzugenommen werden,
+ v × B
,
Lorentz-Kraft (vorweggenommen): F = q E
Newton: F = p˙Impuls ,
(31.61)
(31.62)
können alle Phänomene des Elektromagnetismus / der Elektrodynamik beschrieben werden.
316
31.5. Nachtrag: Lorentz-Eichung
31.5. Nachtrag: Lorentz-Eichung
Die Maxwell-Gleichungen sind ein dynamisches (zeitabhängiges) System gekoppelter Gleichungen.
Oft ist es zweckmäßig, sie zu entkoppeln.
p mit rot
p = B
A
Dazu sind das skalare Potenzial Φ und das Vektorpotenzial A
hilfreich:
Φ ⇔ ∃Φ;
=0 ⇒ E
= −grad
E
rot
˙
˙
aber: rot E + B = rot E + Ap = 0 ;
= −B
˙ Induktionsgesetz
E
denn: rot
Φ(t)
+A
˙ p = −grad
⇒ E
⇒
Φ(t) − ∂ Ap (t) .
= −grad
E
∂t
(31.63)
(31.64)
(31.65)
(31.66)
(31.67)
+ u mit
p ist damit noch nicht eindeutig bestimmt, da A
Das Vektorpotenzial A
p
rot u = 0 das gleiche B-Feld ergibt.
Magneto„statik“ - Coulomb-Eichung - nur Amperesches Durchflutungsgesetz:
p = 0
div A
(31.68)
Elektromagnetismus/Elektrodynamik - Lorentz-Eichung - inkl. Faradaysches Induktionsgesetz:
p = − 1 ∂Φ
div A
(31.69)
c2 ∂t
Die Coulomb-Eichung ist ein Spezialfall der Lorentz-Eichung.
317
32. Kräfte und Drehmomente im magnetischen
Feld
32.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld,
Lorentz-Kraft
32.1.1. Grundversuch zur Lorentz-Kraft: Leiterschaukel
Es geht um Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld.
VERSUCH: Leiterschaukel im Magnetfeld
Abbildung 32.1.: Stromdurchflossene Leiterschaukel im Magnetfeld [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 3.19]
Lorentz-Kraft (übliche Größensymbole):
.
F = q (v × B)
(32.1)
und in einem E-Feld
bewegt:
Werden Ladungen in einem B + v × B)
.
F = q (E
(32.2)
32.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld, Lorentz-Kraft
32.1.2. 2 stromdurchflossene, lange, parallele Drähte
Wiederholung VERSUCH: 2 lange stromdurchflossene Drähte
(Die Leiter werden von den seitlich ausgelenkten Elektronen und den damit verbundenen Raumladungen mitgerissen.)
Abbildung 32.2.: Kraftwirkung zweier paralleler stromdurchflossener Drähte [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 3.23]
319
32. Kräfte und Drehmomente im magnetischen Feld
32.1.3. Hall-Effekt
VERSUCH: Hall-Effekt
Hall-Spannung (übliche Größensymbole):
UH = −
I ·B
n·q·d
mit der Ladungsträgerdichte n und der Probenbreite d .
UH > 0 für Elektronen (q = −e < 0).
Abbildung 32.3.: zum Hall-Effekt [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 3.29]
320
(32.3)
32.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld, Lorentz-Kraft
32.1.4. Fadenstrahlrohr
VERSUCH: Fadenstrahlrohr
beschleunigte Elektronen (übliche Größensymbole):
1 2
mv
2
2eU
v = m
eU =
⇒
(32.4)
(32.5)
Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft (v ⊥ B):
mv 2
e·v·B =
, R = Bahnradius
R
mv
2mU
1 m 2eU
1
⇒ R =
=
= eB
B e
m
B
e
(32.6)
(32.7)
Abbildung 32.4.: Fadenstrahlrohr: bewegte Elektronen im Magnetfeld [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 3.24]. Mit dieser Anordnung ist eine e/m-Bestimmung möglich
321
32. Kräfte und Drehmomente im magnetischen Feld
32.1.5. Fokussierung im magnetischen Längsfeld
Die Lorentz-Kraft ermöglicht u.a. die Abbildung von Elektronen- und Ionenstrahlen durch Magnetfelder.
Bewegung auf Schraubenbahnen um die Achse und Fokussierung auf die Achse
nach
2π · m
Δt =
,
(32.8)
e·B
unabhängig von den Geschwindigkeitsquerkomponenten vx , vy
Brennweite:
π m · U
f= B
2e
(32.9)
Abbildung 32.5.: Fokussierung von Elektronen im homogenen magnetischen Längsfeld [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 3.26]
322
32.2. Drehmomente und Kräfte auf magnetische Dipole
32.2. Drehmomente und Kräfte auf magnetische Dipole
Eine stromdurchflossene Leiterschleife als Modell eines magnetischen Dipols werde in ein Magnetfeld gebracht.
Das magnetische Dipolmoment ist:
.
Wiederholung: pm = I · Ã
(32.10)
F auf die Leiterschleife um
Wegen der Lorentz-Kraft entsteht ein Drehmoment D
ihre Symmetrieachse:
,
F = pm × B
D
.
F = p(el) × E
analog: D
(32.11)
(32.12)
Die potenzielle Energie des magnetischen Dipols ist:
,
W = −pm · B
.
analog: W = −p(el) · E
(32.13)
(32.14)
Kraft auf einen bereits ausgerichteten magnetischen Dipol
im homogenen Magnetfeld gleich 0 ;
Kraft auf einen magnetischen Dipol im inhomogenen Magnetfeld:
B
,
F = pm · grad
E
.
analog: F = p(el) · grad
(32.15)
(32.16)
323
33. Ergänzungen zum Induktionsgesetz
• Selbstinduktion und gegenseitige Induktion
◦ Für bestimmte feste Versuchsanordnungen mit Stromfluss kann die Integral
· dA
eingespart werden, wenn den Anordnungen eine
berechnung nach Φm = B
skalare Größe Induktivität L zugeordnet wird:
Φm =
=L·I.
· dÃ
B
(33.1)
Die Dimension der Induktivität L ist 1 Vs/A = 1 H (Henry).
So folgt eine weitere Form des Induktionsgesetzes:
Uind = −L ·
dI
dt
(33.2)
◦ Induktion tritt nicht nur in Anordnungen auf, die den veränderlichen magnetischen Fluss nicht verursacht haben, sondern auch in den verursachenden
Anordnungen selbst.
Es wird von (gegenseitiger) Induktion und Selbstinduktion gesprochen.
VERSUCHE zum Ein-/Ausschalten eines Stromkreises (Selbstinduktion)
mit dem ohmschen Widerstand R :
Einschalten: U0 = I · R + L · I˙ ,
U0 U0 − τt
−R
t
L
· 1−e
· 1−e
=
,
I(t) =
R
R
L
τ =
;
R
R
Ausschalten: I(t) = I0 · e− L t .
(33.3)
(33.4)
(33.5)
(33.6)
• Selbstinduktion einer Zylinderspule der Länge l mit N Windungen:
B = μ0
⇒
⇒
NI
l
im Spuleninnern
Φm = B · Ã = μ0
(33.7)
NI
Ã
l
(33.8)
N dI
dΦm
= μ0 Ã
dt
l
dt
⇒
(33.9)
Uind = −N Φ̇m = − μ0
2
L = μ0
N
à = μ0
l
N2
à I˙ = −LI˙ ,
l (33.10)
=L
2
N
l
là = μ0 n2 là = μ0 n2 V .
(33.11)
• gegenseitige Induktion:
p eines Stromkreises 1 am Ort 2:
magnetisches Vektorpotential A
1
p (r2 ) = μ0 I1
ds1
A
4π s1 r12
Ã
⇒
Stokes
p dÃ
A
=
rot
=
· dÃ
B
Φm =
(33.12)
μ0 I1
1
ds1 ds2
4π
r
12
s2
s1
μ0
ds1 · ds2
= L12 I1 .
= I1
4π s2 s1
r12
Φm =
=L12 =L21
(33.13)
s2
Ã
p · ds2
A
(33.14)
(33.15)
325
34. Materie im magnetischen Feld
34.1. „mikroskopisch“: atomare magn. Dipolmomente
(Stromschleifen)
mit der Umlauffrequenz ν der Ladung q und dem Schleifenradius R :
q·v
2πR
q
·
v
=
ˆ
· πR2 · A
I ·A
2πR
A
1 2
qR ω
2
× v ) = m · R2 ω
m (R
q L
2m
I = q·ν
⇒
pm =
ω
v=ω R
⇒
pm =
=
Drehimpuls: L
⇒
2πν=v/R
pm =
=
(34.1)
(34.2)
(34.3)
(34.4)
(34.5)
(34.6)
Es besteht also eine enge Verknüpfung zwischen dem Drehimpuls und dem magnetischen Dipolmoment,
in der Atomphysik deshalb auch zwischen der Drehimpuls-Quantenzahl und der
magnetischen Quantenzahl;
z.B. beim Wasserstoff-Atom - der Bahndrehimpuls des Elektrons:
L = l · ,
⇒
pm = −l ·
l ∈ Z,
e
2m
e
≡μB
μB ist das Bohrsche Magneton.
≡
h
2π
(34.7)
(34.8)
34.2. makroskopisch: Magnetisierung analog zur diel. Polarisation
34.2. makroskopisch: Magnetisierung analog zur diel.
Polarisation
= μr B
V ak(uum) = μr μ0 H
,
B
≡H
ext(ern) ≡ H
V ak(uum)
≡B
M aterie , H
Wdh.: B
(34.9)
(34.10)
mit der Permeabilitätszahl μr .
Ein äußeres Magnetfeld erzeugt atomare magnetische Momente oder richtet vorhandene aus.
Die Magnetisierung mit der Dimension 1 A/m ist:
= 1
M
V
pm
V
= μ0 H
+M
B
(34.11)
und
.
= μ0 μr H
(34.12)
Experimentell findet sich bei nicht zu großen Feldstärken:
= χm H
M
(34.13)
mit der magnetischen Suszeptibilität χm .
⇒
+ χm H
= μ0 H
(1 + χm )
= μ0 H
B
=μr
(34.14)
Es gibt grob drei Klassen magnetischer Materialien:
diamagnetisch: μr < 1, μr ≈ 1 , χm < 0 (Lenzsche Regel), (34.15)
paramagnetisch: μr > 1, μr ≈ 1 , χm > 0 ,
(34.16)
ferromagnetisch:
χm > 0 , χ m
1
(34.17)
| χm | ist sehr klein für dia- und paramagnetische Materialien.
Jedes Material ist mindestens diamagnetisch.
327
34. Materie im magnetischen Feld
34.3. Stoffklassen
• diamagnetisch (z.B. Wismut, Stickstoff):
kein permanentes magnetisches Dipolmoment,
induzierte Dipole; ihr Magnetfeld dem induzierenden entgegen gerichtet;
die Probe wird aus dem Bereich großer Feldstärke herausgedrängt
B
· V · grad
F = M
χm B
.
B · V · grad
=
μ0
(34.18)
(34.19)
• paramagnetisch1 (z.B. Wolfram, Sauerstoff):
permanente magnetische Dipolmomente,
ohne äußeres Magnetfeld regellos orientiert:
= 1
M
V
pm = 0 .
(34.20)
drei Arten: Langevin-Paramagnetismus2 , Pauli-Paramagnetismus3 , van VleckParamagnetismus4
VERSUCHE und FILM: Dia- und Paramagnetismus
• ferromagnetisch (z.B. Eisen):
spontan ausgerichtete magnetische Momente
(energetisch günstiger; Austauschwechselwirkung, ein quantenmechanischer Effekt)
VERSUCH: Feldverstärkung durch Eisen
1
z.B. bei ungerader Elektronenzahl in der nicht voll besetzten äußersten Elektronenschale oder bei einer teilweise
unbesetzten inneren Elektronenschale
2
durch Valenzelektronen
3
durch Leitungselektronen
4
durch angeregte Elektronen im Valenzband
328
34.3. Stoffklassen
34.3.1. Ferromagnetismus
ist von der Vorgeschichte der Probe abhängig.
Die Magnetisierung M
+ χm H
+M
),
) = μ0 (H
= μ0 (H
B
(34.21)
=M
≡ H
ext(ern) ≡ H
V ak(uum)
hier: H
(34.22)
Probe nur unterhalb Curie-Temperatur ferromagnetisch,
oberhalb paramagnetisch:
χm (T ) =
C
(T − Tc )γ
(34.23)
mit der Curie-Konstante C, der paramagnetischen Curie-Temperatur Tc und dem
materialabhängigen Exponenten γ = 1 . . . 1, 5
VERSUCH: Verschwinden des Ferromagnetismus bei Erhitzen
Der Ferromagnetismus muss durch eine spezielle Ordnung der atomaren magnetischen Momente im Festkörper entstehen.
Hysterese (und VERSUCH dazu):
Abbildung 34.1.: Ferromagnetische Hysterese [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 3.45]
329
34. Materie im magnetischen Feld
Barkhausen-Sprünge
Wird die Magnetisierungskurve eines Ferromagneten sehr genau gemessen, werden Sprünge festgestellt.
Zum Durchfahren der H-Achse wird Zeit benötigt. Das bedeutet, dass die Ausrichtung der atomaren magnetischen Dipolmomente nicht kontinuierlich, sondern
sprunghaft erfolgt. eventuell VERSUCH: Barkhausen-Sprünge
Denn es gibt Weißsche Bezirke/Bereiche/Domänen mit spontaner Magnetisierung (Ausrichtung magnetischer Dipolmomente) innerhalb jedes Bezirks,
Übergang der Magnetisierungsrichtungen zwischen zwei Domänen in einer sogenannten Bloch-Wand (einem Übergangsbereich)
im äußeren Feld Umklappen bei Mindestenergie, abhängig von Ausrichtung,
Struktur, Einbettung jedes Bezirks
Mit dem Umklappen ist ein Wachsen betimmter Domänen (mit einer Magnetisierung etwa zur Richtung des äuß. Magnetfelds) auf Kosten anderer Domänen
verbunden. Das bedeutet eine Verschiebung der Bloch-Wände.
MODELLVERSUCH: Domänenbildung und -wachstum
34.3.2. Antiferromagnetismus
... als Unterphänomen des Ferromagnetismus:
Bei antiferromagnetischen Substanzen kann die Struktur des Kristallgitters durch
zwei ineinander gestellte Untergitter beschrieben werden - mit antiparallel stehenden magnetischen Momenten gleichen Betrags
= 0 ohne äußeres Feld
⇒ M
Beispiele: MnO, MnF2
34.3.3. Ferrimagnetismus
... bei unterschiedlichen Beträgen der magnetischen Momente in den Untergittern
z.B. bei Fe3 O4
= 0 auch ohne äußeres Feld
M
330
35. Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
35.1. Wechselstrom, Phase zwischen Strom & Spannung
Effektivwerte von Spannung U und Strom I :
ohmscher Fall: U (t) = U0 · sin(ωt)
I(t) = I0 · sin(ωt)
(35.1)
(35.2)
PDC = U · I
(35.3)
mittl. Lstg.: P̄AC ≡ PAC = U (t) · I(t)
(35.4)
2
= U0 · I0 · sin (ωt)
(35.5)
1
=
U0 · I0
(35.6)
2
√
=
U
/
2 und der dadurch erzeugte Gleichstrom
Eine Gleichspannung
U
DC
0
√
IDC = I0 / 2 würden dieselbe mittlere Leistung ergeben. Daher können Effektivwerte eingeführt werden:
1
U0 · I0 ≡ Uef f · Ief f
2
U0
I0
, Ief f = √ ;
mit Uef f = √
2
2
325 V
Uef f,Steckdose,D = √ = 230 V .
2
P̄AC =
(35.7)
(35.8)
(35.9)
35. Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
35.2. Wechselstromkreise mit kompl. Widerständen;
Zeigerdiagramme
diverse VERSUCHE zu Wechselstromwiderständen
Ausgangsstrom: I(t) = I0 · sin(ωt)
Leistung = Spannung · Strom
Energie = Spannung · Strom · Zeit
• ohmscher Widerstand:
U (t) = R · I(t) = R · I0 · sin(ωt)
Pmax = U0 I0 = RI02
1
R · I02
P̄ ≡ P =
2
(35.10)
(35.11)
(35.12)
• induktiver Widerstand:
Wenn vom ohmschen Widerstand einmal abgesehen wird, müssen die von außen
angelegte Spannung U (t) und die induzierte Spannung Uind im geschlossenen
Stromkreis mit Induktivität wegen der Maschenregel gleich sein:
Maschenregel, allgemein:
− U(Quelle) + UV erbraucher = 0
(35.13)
Hier ist die Verbraucherspannung als induzierte Spannung aber auch mit einem
Minuszeichen zu versehen; daher gilt:
−U − Uind = 0 ⇒ U + Uind = 0
⇒
U (t) =
−
M asche
(35.14)
˙ = +LI˙ = L · dI
Uind = −( − LI)
dt
Lenz
(35.15)
⎛
⎞
π
⎝ωt+ ⎠
= ωL · I0 · cos(ωt) = ωL
·I
·
sin
0
2
=X
L
Wechselstromwid.: XL = ωL ∝ ω (wg. Induktion);
(35.16)
(35.17)
die Spannung eilt dem Strom um 90◦ in der Phase voraus.
P (t) = ωL · I02 · sin(ωt) cos(ωt)
1
ωL · I02 · sin(2ωt)
2
= 0
=
P̄ ≡ P
332
1
= 2 ·sin(2ωt)
(35.18)
(35.19)
(35.20)
35.2. Wechselstromkreise mit kompl. Widerständen; Zeigerdiagramme
• kapazitiver Widerstand:
(35.21)
−U + UC = 0 ⇒ U − UC = 0
Q
1
1
U (t) = UC =
I dt =
=
I0 [− cos(ωt)]
C
C
ωC
(35.22)
⎛
⎛
⎞⎞
1
π
· I0 · ⎝sin ⎝ωt− ⎠⎠
(35.23)
=
ωC
2
⎛
=
⎞
⎜
1 ⎟
⎜
⎟
⎟
−
−⎜
⎜
⎟
⎝ ωC ⎠
=XC
Wechselstromwid.: XC = −
⎛
⎞
π
· I0 · sin ⎝ωt− ⎠
2
(35.24)
1
1
∝ (wg. Auf-/Entladen); (35.25)
ωC
ω
die Spannung hinkt dem Strom um 90◦ in der Phase hinterher.
P (t) = −
1
· I02 · sin(ωt) cos(ωt)
ωC
1
(35.26)
1 1
· I02 · sin(2ωt)
2 ωC
(35.27)
= 2 ·sin(2ωt)
= −
P̄ ≡ P
= 0
(35.28)
Im zeitlichen Mittel wird in Wechselstromwiderständen keine Energie verbraucht
(Blindleistung, keine Wirkleistung)
333
35. Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
Komplexe Wechselstromrechnung:
(a, b) , K ∈ C , a, b ∈ R
a + ib
| K | · eiϕ = | K | ·(cos ϕ + i sin ϕ)
√
a2 + b2 · eiϕ
b
tan ϕ =
a
allg. Erinnerung: K =
=
=
=
(35.29)
(35.30)
(35.31)
(35.32)
mit
(35.33)
(35.34)
hier: I = I0 · eiωt = I0 · (cos(ωt) + i sin(ωt))
UR = R · I = R · I0 · eiωt = ZR · I , ZR ≡ R
(35.35)
iωt
UL = L · I˙ = iωL · I0 · e = ZL · I , ZL = iXL = iωL
(35.36)
1
1
1
UC =
· I dt =
· I0 · eiωt = −i
· I0 · eiωt
C
iωC
ωC
1
i
= ZC · I , ZC = iXC =
=−
.
(35.37)
iωC
ωC
Die Z• ∈ C bezeichnen komplexe Wechselstromwiderstände
Z = R + iX ;
die X sind reelle Wechselstromwiderstände;
Z heißt auch Impedanz, | Z | auch Scheinwiderstand.
334
(35.38)
35.2. Wechselstromkreise mit kompl. Widerständen; Zeigerdiagramme
allgemeines Beispiel zur komplexen Wechselstromrechnung Hintereinanderschaltung von Spule, ohmschem Widerstand und Kondensator:
Z = R + iX
= R + i ωL −
1
ωC
= | Z | · eiϕ
|Z| =
(35.40)
(35.41)
R2 + ωL −
ωL −
X
=
tan ϕ =
R
R
(35.39)
1
ωC
1
ωC
=
2
(35.42)
Im Z
Re Z
(35.43)
Abbildung 35.1.: Zeigerdiagramm [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 5.26]
335
35. Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
35.3. Impedanzanpassung bei Wechselstromkreisen
Anpassung der komplexen Widerstände von Quelle und Verbraucher,
um die elektr. Leistung optimal von der Quelle zum Verbraucher zu übertragen
(und z.B. keine Reflexionen auf der Leitung zu erhalten)
Z1 sei der komplexe Widerstand des Anpassungskreises mit R, L und C,
Z2 der des Verbrauchers.
Optimale Anpassung liegt vor bei:
ωL2 −
R 2 = R1 ,
1
ωC2
= − ωL1 −
1
ωC1
(35.44)
.
(35.45)
Dann gibt es insgesamt keine Blindleistung und die Wirkleistung ist maximal.
336
35.4. Lineare Netzwerke; Hoch- und Tiefpässe; Frequenzfilter
35.4. Lineare Netzwerke; Hoch- und Tiefpässe; Frequenzfilter
diverse VERSUCHE zu Frequenzfiltern
Tiefpässe / Integrierglieder:
| Ua(us) |
| Ua |
1
,
=√
=
| Ue(in) |
1 + ω 2 R 2 C 2 | Ue |
1
1+
ω 2 L2
R2
(35.46)
Hochpässe / Differenzierglieder:
| Ua |
=
| Ue |
1
1+
1
ω 2 R2 C 2
,
| Ua |
=
| Ue |
1
1+
R2
ω 2 L2
(35.47)
337
35. Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
Bandpass und Bandsperre mit RCL-Kreisen:
Abbildung 35.2.: Bandpass [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 5.30]
Abbildung 35.3.: Bandsperre [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 5.31]
338
35.5. Transformatoren
35.5. Transformatoren
35.5.1. Eine wichtige Anwendung
Anwendungen zahlreich; meistens in Verbindung mit der Transformation von
geringen zu hohen Spannungen bzw. umgekehrt
etwa um einen verlustarmen Transport elektrischer Leistungen über Leitungen
des Bahnwiderstands RLtg mit hohen Spannungen verlustarm zu machen:
Verlust: ΔPel = ΔULtg I = I 2 · RLtg
ΔPel
ΔULtg I
RLtg
I 2 RLtg
IU RLtg
⇒
=
=
Pel
=
=
Pel
UI
UI
U2
U2
ΔPel
1
⇒
∝
Pel
U2
(35.48)
(35.49)
(35.50)
mit dem Spannungsabfall ΔULtg auf der Leitung;
bei vorgegebener Leistung sinkt der relative Leistungsverlust quadratisch mit
wachsender Spannung.1
35.5.2. Aufbau aus zwei Spulen
GRUNDVERSUCH: Zusammensetzen eines Transformators
1
Bei Seekabeln werden zwar auch hohe Spannungen, aber nicht Wechsel-, sondern Gleichspannungen verwendet.
Denn aus Kostengründen müssen die Seekabelbündel recht kompakt (kleiner Durchmesser) sein. Durch die
Kapazitäten der parallelen Leitungen würden sonst hohe Blindleistungen entstehen, d. h. als Leistung gar
nicht bei den Verbraucher∗innen ankommen.
339
35. Wechselstrom und Wechselstrom-Widerstände
35.5.3. Spannungsverhältnis beim „unbelasteten“ Transformator
Primärspule: U1 + Uind = 0
⇒
⇒
(35.51)
U1 = +N1
dΦm
dt
dΦm
U1
=
dt
N1
(35.52)
(35.53)
Bei vollständiger Kopplung geht der gesamte magnetische Fluss Φm (per Definition) auch durch die Sekundärspule;
Sekundärspule: U2 =
− N2
Lenz
dΦm
dt
dΦm
U1
U2
=
= −
dt
N2
N1
U2
N2
⇒
= −
U1
N1
⇒
(35.54)
(35.55)
(35.56)
gilt für den sogenannten unbelasteten Transformator
(i. e. bei offener Sekundärspule)
mit den Wicklungszahlen N1 , N2 der ersten und der zweiten Spule.
Das Minuszeichen (Lenzsche Regel) besagt auch, dass die Sekundärspannung U2
gegenüber der Eingangsspannung U1 um π phasenverschoben ist.
VERSUCHE: Hochspannungs- und Hochstromtransformator
340
35.5. Transformatoren
35.5.4. Induktive Kopplung der beiden Spulen
Induktivitäten:
gegenseitig: L12
selbst: L1
selbst: L2
A1
= μ 0 N2 N 1
l1
A1
= μ0 N12 ,
l1
A2
= μ0 N22 ;
l2
,
(35.57)
(35.58)
(35.59)
Kopplungsgrad bei langen Zylinderspulen:
L12
=
k≡√
L1 · L2
μ0 N2 N1 Al11
μ0 N12 Al11 · μ0 N22 Al22
A1
l1
A1 A2
l1 · l 2
=
=
A1
A2
·
l2
;
l1
(35.60)
Bei einem Transformator werden de facto oft zwei RCL-Kreise2 induktiv miteinander gekoppelt.
Im Spezialfall R1 = R2 ≡ R , L1 = L2 ≡ L = L12 , C1 = C2 ≡ C
⇒
und
gilt: k = 1 ;
$
#
1
L I¨1 + I¨2 +R I˙1 + I1 = 0 ,
C
induktive
Kopplung
# $
¨
¨
L I1 + I2 +R I˙2
+
1
I2 = 0 .
C
(35.61)
(35.62)
(35.63)
Das ist ein System zweier gekoppelter Schwingungsdifferenzialgleichungen.
VERSUCH: induktive Kopplung zweier RCL-Kreise
2
Später werden wir Schwingkreise dazu sagen.
341
36. Gleichstrom
36.1. Leitungsmechanismen
Teile hiervon waren schon in vorhergehende Kapitel eingebaut worden!
Es bleibt zu besprechen:
36.1.1. Überblick Leitertypen
-
elektronische Leiter (Metalle, Halbleiter),
Ionen-Leiter (Elektrolyte),
gemischte Leiter (Gasentladungen, Plasmen),
Supraleiter
36.1.2. Ionenleitung in Flüssigkeiten
Beim Anlegen einer elektrischen Spannung an Säuren, Laugen oder gelöste Salze
fließt ein Strom.
VERSUCH: Ionenleitung in Elektrolyten (Salzwasser)
Diese Flüssigkeiten werden Elektrolyte genannt.
Diese Leiter zersetzen sich beim Stromfluss;
dabei werden Stoffe in fester oder gasförmiger Form abgegeben.
1 mol eines Z-wertigen Ions mit der Ladung Z · (± e) transportiert die Ladung
Q = NA · Z · (± e) = ±F · Z
(36.1)
mit der Avogadro-Konstante NA und der Faraday-Konstante
F = NA · e = 96485, 309 C ,
(36.2)
i. e. die Ladung, die von 1 mol einwertiger Ionen transportiert wird.
Beim Transport der Ladung F wird eine Masse m = Mmol /Z transportiert, wobei
Mmol die Molmasse der Ionen ist.
Die Masse der Ionen, die beim Ladungstransport von 1 C an einer Elektrode
abgeschieden wird, heißt elektrochemisches Äquivalent EC :
(Dreisatz:)
1 mol 1 F
;
=
1 EC
1C
(36.3)
36.1. Leitungsmechanismen
Beispiel Cu2+ :
1
2 ·63,5 g = 31,75 g bei 96485,309 C ⇒ EC = 0,329 mg bei 1 C
36.1.3. Stromtransport in Gasen; Gasentladungen
Plasmen sind teilweise oder vollständig ionisierte Gase
und damit gemischte Leiter
(i.e. mit Stromtransport durch Elektronen und positiv geladene Ionen
sowie ggf. auch negativ geladene Ionen).
Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren auf verschiedene Weise:
• thermische Ionisation:
VERSUCH: thermische Ionisation in Flamme
Ionisation in Flamme mit zwei Prozessen:
1. thermische Anregung,
2. dadurch initiierte chemische Prozesse.
Der 1. Prozess würde kaum reichen: bei T = 5 000 K (entsprechend 0,43 eV) würde z.B. nur ein Bruchteil von 10−4 des neutralen atomaren Wasserstoffs ionisiert
werden.
An den Oberflächen bestimmter Festkörperproben als Katalysatoren kann der
Ionisationsgrad schon bei tiefen Temperaturen stark erhöht werden.
• Elektronenstoßionisation:
Elektronen mit Ekin > 10 eV
Von Elektronen werden durch Stoß mit Atomen oder Molekülen aus deren Hüllen
weitere Elektronen herausgeschlagen:
e− + Atom → Atom+ + e− + e− .
(36.4)
• Photoionisation
. . . von Gasmolekülen bei XUV- (extremes Ultraviolett) oder Röntgen-Strahlung:
Molekül + hν → Molekül+ + e−
(36.5)
oder Kombinationen
343
36. Gleichstrom
Strom-Spannungs-Kennlinie von Niederdruck-Gasentladungen (Abb. 36.1):
Abbildung 36.1.: Strom-Spannungs-Kennlinie bei Niederdruck-Gasentladungen [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 2.37]
• linearer Bereich:
Solange die Zahl der pro Zeiteinheit die Elektroden erreichenden Ladungsträger klein gegen die Rekombinationsrate ist, wird das Gleichgewicht zwischen
Erzeugungs- und Rekombinationsrate nicht wesentlich gestört.
→ linearer Bereich der Kennlinie bei geringem Strom (Ohmsches Gesetz)
Plasmen sind im Allgemeinen quasi-neutral;
3
das heißt, gemittelt über ein Mindestvolumen ΔV ≈ rD
mit der Debye-Länge rD
(eine Abschirmlänge), sind die Anzahldichten positiver Ladungen (Ionen) und
negativer Ladungen (Elektronen und negativ geladene Ionen) gleich:
n+ = n− ≡ n
dn
= α − βn2
dt
344
(36.6)
(36.7)
36.1. Leitungsmechanismen
mit der Ionenpaardichte n , dem Koeffizienten α für die Erzeugungsrate und dem
Koeffizienten β für die Rate der Vernichtung durch Rekombination.
Wenn sich ein stationäres Gleichgewicht zwischen Erzeugung und Vernichtung
einstellt:
dnstat
= 0
dt
⇒
nstat =
(36.8)
α
β
.
(36.9)
• Sättigung:
... wenn alle gebildeten Ladungsträger die Elektroden erreichen, bevor sie rekombinieren können
• Uc kritische Spannung; für U ≥ Uc steiler Antieg durch Stoßionisation;
Multiplikationseffekt (Abb. 36.2) bei der Gasentladung
Abbildung 36.2.: zur Vervielfachung der Ladungsträgerzahl bei Gasentladungen [Demtröder:
Experimentalphysik 2, Abb. 2.38]
Ionisierungsvermögen γ mit:
dn
= γn
dx
⇒ n = n0 · eγx ,
(36.10)
(36.11)
345
36. Gleichstrom
die Anzahldichte der Sekundärelektronen, die ein Primärelektron im Mittel pro
Weglängeneinheit erzeugt; γ = γ(E/p) ist eine Funktion der elektrischen Feldstärke E und des Drucks p ;
p ∝ 1/Λ ist umgekehrt proportional zur mittleren freien Weglänge Λ .
• UZ Zündspannung; für U ≥ UZ selbst(st)ändige Entladung auch ohne von
außen erzeugte Ladungsträger
346
36.1. Leitungsmechanismen
Typen von Gasentladungen:
• Glimmentladungen
sind Niederdruckentladungen (p = 10−1 . . . 10+1 hPa)
VERSUCH: Glimmentladung
Abbildung 36.3.: zur Glimmentladung 1 [Demtröder: Experimentalphysik 2, Abb. 2.42]
• Bogenentladungen
sind stromstarke Entladungen (evtl. bei bei höherem Druck)
⇒ heiße Elektroden
⇒ Glühemission von Elektronen
Beispiele:
- Kohlebogenentladung als Lichtquelle
- Quecksilber- und Xenonhochdrucklampen,
gezündet durch kurzen Hochspannungsimpuls,
- Elektroschweißen
• Funkenentladungen
sind kurzzeitige Bogenentladungen, die wieder erlöschen, wenn/weil die Versorgungsspannung zusammenbricht
Beispiele:
- Blitze in Gewittern,
- van den Graaf-Generator mit Gegenelektrode (VERSUCH)
347
36. Gleichstrom
36.1.4. Supraleitung
Phänomene
Unterhalb Tc (kritische Temperatur, nicht Curie-Temperatur) verschwindet der
elektrische Widerstand.
VERSUCH: elektrischer Widerstand bei eingekühlten Supraleitern
Aber das ist nur ein Aspekt des Phänomens Supraleitung.
Ein anderer wichtiger Aspekt ist der Meißner-Ochsenfeld-Effekt;
d.h. ein Magnetfeld wird immer aus dem Supraleiter hinausgedrängt bzw. kann
gar nicht erst in den Supraleiter eindringen.
Deswegen schwebt ein Magnet auf einem supraleitenden Untergrund („idealer
Diamagnetismus“, χm = −1).
VERSUCH: Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Abbildung 36.4.: Überlegungen zum Meißner-Ochsenfeld-Effekt [Ibach/Lüth: Festkörperphysik,
Abb. 10.4]. Ein „idealer Leiter“ existiert nur hypothetisch
348
36.1. Leitungsmechanismen
weitere Beobachtungen:
- Supraleitung kann von der Kristallstruktur abhängen; aber . . .
- Der Übergang vom normal- zum supraleitenden Zustand ist weder mit einer
Kristallstruktur-Änderung noch mit einer magnetischen Umordnung verbunden.
- Auch polykristalline und sogar amorphe Proben können (aber müssen nicht)
Supraleitung zeigen.
- Viele Legierungen zeigen Supraleitung.
- Bei ferromagnetischen Materialien wurde keine Supraleitung gefunden.
- Starke Magnetfelder unterbinden den supraleitenden Zustand.
BCS-Theorie nach Bardeen, Cooper, Schrieffer (ganz kurz)
Bildung von Cooper-Paaren, (trotz tiefer Temperaturen) Phonon-vermittelt (sog.
Fröhlich-Wechselwirkung); Bindungsenergie 2Δ der Cooper-Paare:
2ωDebye
3
2Δ = 2
exp
4
1
V0
D(EF )
2
−1
(36.12)
mit dem leicht anziehenden Potential V0 , der Ladungsträger-Zustandsdichte D
bei der Fermi-Energie EF und der Debye-Frequenz ωDebye ,
ein Maß für die maximale Frequenz der Gitterschwingungen.
Solange inelastische und elastische Stöße nicht zu einem solchen Energieübertrag führen würden, werden keine Cooper-Paare aufgebrochen; d.h. Energie und
Impuls werden nicht aufgenommen. Damit verschwindet die Ursache für einen
elektrischen Widerstand.
Cooper-Paar (p ↑, −p ↓)
349
36. Gleichstrom
36.2. Gleichstromquellen
36.2.1. Stromquellen basierend auf Ladungstrennung
... gegen die Coulombschen Anziehungskräfte
• galvanische Elemente („primäre Elemente“)
an einer meist metallischen Elektrode, eingetaucht in eine Lösung:
Konzentrationsgefälle treibt per Diffusion Ionen in die Lösung
⇒ Raumladung, die Ionen zurücktreibt
⇒ thermodynamisches Gleichgewicht
Das bedeutet eine Spannung zwischen Elektrode und Elektrolyt: U = ΔΦ.
Zwei verschiedene miteinander verbundene Elektroden zeigen daher eine Spannungsdifferenz ΔU = U1 − U2 = ΔΦ1 − ΔΦ2
Abbildung 36.5.: Galvanische Spannungsreihe [Demtröder: Experimentalphysik 2, Tab. 2.6]
350
36.2. Gleichstromquellen
VERSUCH: Zn-Cu-Batterie
Abbildung 36.6.: zur Zn-Cu-Batterie 1 [Demtröder: Experimentalphysik 2, Tab. 2.48]
351
36. Gleichstrom
Abbildung 36.7.: zur Zn-Cu-Batterie 2 [Demtröder: Experimentalphysik 2, Tab. 2.49]
352
36.2. Gleichstromquellen
• Akkumulatoren, Akkus = „sekundäre Elemente“
Beispiel Bleiakkumulator:
verdünnte Schwefelsäure als Elektrolyt
Elektroden: 2 Bleiplatten, die beim Eintauchen sofort mit PbSO4 überzogen werden
Ladevorgang:
PbSO4 +2 H+ +2 e− ⇒ Pb+H2 SO4 (Kathode)
PbSO4 +2 OH− ⇒ PbO2 +H2 SO4 +2 e− (Anode)
Entladen:
−
Pb+SO2−
4 ⇒ PbSO4 +2 e (Kathode)
PbO2 +2 H+ +H2 SO4 +2 e− ⇒ PbSO4 +2 H2 O (Anode)
−
oder: PbO2 +3 H+ +HSO−
4 +2 e ⇒ PbSO4 +2 H2 O (Anode) .
Beim Akku verbleiben die Reaktionsprodukte in den Zellen und vermindern die
Spannungsdifferenz, ...
• chemische Brennstoffzellen:
... in chemischen Brennstoffzellen dagegen werden kontinuierlich Reaktionspartner von außen zugeführt und Reaktionsprodukte abgeführt.
Beispiel Wasserstoff-Brennstoffzelle:
„kontrollierte Knallgasreaktion“, i.e. 2 H2 +O2 ⇒ 2 H2 O ,
kontrolliert durch räumliche Trennung der Teilreaktionen:
Oxidation (Elektronenabgabe) an der Kathode: H2 +2 OH− ⇒ 2 H2 O+2 e−
Reduktion (Elektronenaufnahme) an der Anode: O2 +2 H2 O+4 e− ⇒ 4 OH−
getrennt an den beiden Elektroden, die gleichzeitig als Katalysatoren dienen
Nicht Ionen, sondern Elektronen wandern aus, in die Elektroden !
SIMULATION: H2 -Brennstoffzelle
Direkt-Methanol-Brennstoffzelle:
Kathode: 2 CH3 OH+2 H2 O ⇒ 2 CO2 +12 H+
Anode: 3 O2 +12 H+ +12 e− ⇒ 6 H2 O
VERSUCH: Methanol-Brennstoffzelle
353
36. Gleichstrom
Abbildung 36.8.: Wasserstoff-Brennstoffzelle [Demtröder: Experimentalphysik 2, Tab. 2.55]
354
36.2. Gleichstromquellen
36.2.2. Thermische Stromquellen (Seebeck-Effekt)
Haben zwei Metall-Metall-Kontakte unterschiedliche Temperaturen (ΔT ), entsteht eine Thermospannung Uth ∝ ΔT und
daraus ein Thermostrom (Seebeck-Effekt1 )
In vielen Beiträgen dazu wird der Effekt nur auf die unterschiedliche und temperaturabhängige Austrittsarbeit der Leitungselektronen in/aus den beiden Metallen zurückgeführt:
zwei Metalle mit unterschiedlichen Austrittsarbeiten
⇒ Elektronen vom Metall mit kleinerer Austrittsarbeit in das mit größerer
⇒ Raumladungen und elektrisches Gegenfeld, das Elektronen zurücktreibt
⇒ stationärer Zustand, thermodynamisches Gleichgewicht und
durch die Raumladungen Potentialverschiebungen in beiden Metallen
⇒ Kontaktspannung (temperaturabhängig)
⇒ Potentialdifferenz zwischen dem warmen und dem kalten Kontakt
Ein wichtiger Effekt ist aber auch die Thermodiffusion:
Am heißen Kontakt sind die Diffusionskonstante und damit die Geschwindigkeit
der Ladungsträger aufgrund von Diffusion größer als am kalten Kontakt.
Es bewegen sich also mehr Ladungsträger vom warmen zum kalten Kontakt als
umgekehrt. Die Ansammlung von Ladungsträgern am kalten Kontakt bedeutet
eine Potentialdifferenz zum warmen Kontakt.
Auch ein deutlicher Stromfluss ist möglich.
VERSUCH: großer Thermostrom
1
Peltier-Effekt
= Umkehrung des Seebeck-Effekts,
d.h. Erzeugung einer Temperaturdifferenz durch Spannung bzw. Strom
Strom durch Stab mit 2 Metall-Metall-Kontakten,
⇒ Erwärmung des einen, Abkühlung des anderen Kontakts
VERSUCH: Peltier-Element
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