Soluciones de Ejercicios de Análisis: Series 7-9

Analyse 2: Correction des s´eries de 7 `a 9
1`ere ann´ee Pr´epa, ENP
MOHAMED ELFAROUK OUNANE
MOHAMED ELFAROUK OUNANE
28 / 07 / 2020

S´erie 7
EXERCICE 1
Donner une ´equation diff´erentielle dont fest solution tel que :
f(x) = ex
ex+ 1 f(x) = 1 + ex 1 + x2
Equation (1)
f(x) = ex
ex+ 1 =⇒f0(x) = ex(ex+ 1) −e2x (ex+ 1)2
=⇒f0(x) = ex
(ex+ 1) −(ex ex+ 1)2
=⇒f0(x) = f(x)−f2(x)
Equation (2)
f(x) = 1 + ex
1 + x2=⇒f0(x) = ex(x2+ 1) −2xex (x2+ 1)2
=⇒f0(x) = ex
(x2+ 1) −2xex (x2+ 1)2
=⇒f0(x) = (1 −2x
x2+ 1)(f(x)−1)
***
EXERCICE 2
R´esoudre les ´equations diff´erentielles `a variables s´eparables suivantes :
y0=ex+y(1 + x2)y0=xy2p1−x2y0−p1−y2= 0
Equation (1)
y0=ex+y=⇒Ze−ydy =Zexdx =⇒ −e−y=ex+Cte =⇒y= ln( 1
C−ex)
Equation (2)
1

MOHAMED ELFAROUK OUNANE Correction des s´eries de 7 `a 9: Analyse 2
(1+x2)y0=xy2=⇒Zdy
y2=Zxdx 1 + x2=⇒−1 y=1 2ln |1+x2|+Cte =⇒y=1 C−ln |1 + x2|
Equation (3)
p1−x2y0−p1−y2= 0 =⇒Zdy
p1−y2=Zdx √1−x2=⇒arcsinh(y) = arcsinh(x) + Cte
=⇒y= sin(C+ arcsinh(x))
***
EXERCICE 3
Il s’agit de r´esoudre des ´equations lin´eaires du premier ordre.
´
Equation (1)
(1 + x2)y0+xy =p1 + x2
On peut r´e´ecrire l’´equation sous la forme
y0+xy
1 + x2=1
√1 + x2
Commen¸cons par r´esoudre :
y0
h+xyh
1 + x2= 0
On a :
Zdyh
yh
=−Zx
1 + x2dx =⇒ln |yh|=−1 2ln |1 + x2|+C
=⇒yh=C
√1 + x2
Cherchons la solution g´en´erale de l’´equation non-homog`ene sous la forme y=C(x)
√1+x2. On a :
y0=C0(x)√1 + x2−x
√1+x2
1 + x2=C0(x)
√1 + x2−
C(x)x
(1 + x2)3
2
On remplace dans l’´equation non-homog`ene :
(C0(x)
√1 + x2−
C(x)x
(1 + x2)3
2
) +
C(x)x
(1 + x2)3
2
=1
√1 + x2=⇒C0(x)=1
=⇒C(x) = x+Cte
En rempla¸cant C(x) dans l’expression de yon trouve finalement la solution g´en´erale de l’´equation :
y=x+Cte
√1 + x2
2

MOHAMED ELFAROUK OUNANE Correction des s´eries de 7 `a 9: Analyse 2
´
Equation (2)
(1 −x)y0+xy =x
On peut r´e´ecrire l’´equation sous la forme :
(1 −x)y0=x(1 −y)
C’est une ´equation `a variable s´eparable :
(1 −x)y0+ = x(1 −y) =⇒Zdy
1−y=Zx
√1 + x2dx
=⇒ −ln |1−y|=p1 + x2+C1
=⇒y=Ce−√1+x2+ 1
´
Equation (3)
(1 + x2)y0+xy = 1
On peut r´e´ecrire l’´equation sous la forme
y0+xy
1 + x2=1 1 + x2
Commen¸cons par r´esoudre :
(1 + x2)y0
h+xyh= 0
On l’a d´ej`a fait plus haut :
yh=C
√1 + x2
Cherchons la solution g´en´erale de l’´equation non-homog`ene sous la forme y=C(x)
√1+x2. On remplace yet y0
dans l’´equation non-homog`ene :
(C0(x)
√1 + x2−
C(x)x
(1 + x2)3
2
) +
C(x)x
(1 + x2)3
2
=1
1 + x2=⇒C0(x) = 1
√1 + x2
=⇒C(x) = Zdx
√1 + x2dx
On pose : x= sinh(t) =⇒dx = cosh(t)dt. On a alors:
C(x) = Zcosh(t)dt
q1 + sinh2(t)
dx
=Zcosh(t)dt
cosh(t)dx
=Zdt
=t+Cte
= arcsinh(x) + Cte
3

MOHAMED ELFAROUK OUNANE Correction des s´eries de 7 `a 9: Analyse 2
En rempla¸cant C(x) dans l’expression de yon trouve finalement la solution g´en´erale de l’´equation :
y=arcsinh(x) + Cte
√1 + x2
´
Equation (4)
y0+ cot(x)y= sin(x)
Commen¸cons par r´esoudre :
y0
h+ cot(x)yh= 0
On a :
Zdyh
y=−Zcos(x) sin(x)dx =⇒ln |yh|=−ln |sin(x)|+C1
=⇒yh=C
sin(x)
Cherchons la solution g´en´erale de l’´equation non-homog`ene sous la forme y=C(x)
sin(x). On a :
y0=C0(x) sin(x)−cos(x)C(x)
sin2(x)=C0(x) sin(x) sin2(x)−C(x) cos(x) sin2(x)
On remplace :
(C0(x) sin(x)
sin2(x)−C(x) cos(x) sin2(x)) + C(x) cos(x) sin2(x)= sin(x) =⇒C0(x) = sin2(x)
=⇒C(x) = 1
2(x−cos(x) sin(x)) + Cte
En rempla¸cant C(x) dans l’expression de yon trouve finalement la solution g´en´erale de l’´equation :
y=
1
2(x−cos(x) sin(x)) + Cte
sin(x)
´
Equation (5)
cosh(x)y0+ sinh(x)y=1
1 + x2
Commen¸cons par r´esoudre :
cosh(x)y0
h+ sinh(x)yh= 0
On a :
Zdyh
yh
=−Zsinh(x)
cosh(x)dx =⇒ln |yh|=−ln |cosh(x)|+Cte
=⇒yh=C
cosh(x)
Cherchons la solution g´en´erale de l’´equation non-homog`ene sous la forme y=C(x)
cosh(x). On a :
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