PCSI 1 20/12/2023
DS n◦4
Dur´ee : 2h / Calculatrices interdites
Il est rappel´e que la r´edaction, la clart´e des raisonnements, la pr´esentation, l’orthographe et la ponctuation
font partie des crit`eres de notation. Il est ´egalement demand´e de mettre en valeur les r´esultats obtenus (par
exemple en les encadrant) et de signaler explicitement toute question admise. Les exercices peuvent ˆetre
abord´es dans un ordre quelconque. En revanche un mˆeme exercice doit ˆetre r´edig´e d’un seul tenant.
Exercice 1.
Vrai ou Faux ? Justifiez.
Soit fune fonction continue sur [0,1]. Soit a∈[0,1] et K∈R. On a :
a. Si f⩾0, alors R1
0f⩾0 ;
b. Si R1
0f⩾0, alors f⩾0 ;
c. Si f⩾K, alors R1
0f⩾K;
d. Ra
0f⩽R1
0f;
e. Si f⩾0, alors Ra
0f⩽R1
0f.
Exercice 2.
Soit n∈N. On note :
In=Zπ/3
0
cos(nx)
2−cos xdx
On ne cherchera pas `a calculer l’int´egrale Indirectement.
a. Justifier que Inest bien d´efinie.
b. Montrer que :
∀x∈[0, π/3] ,cos(x) = 1−tan2(x/2)
1 + tan2(x/2)
c. `
A l’aide du changement de variable u= tan(x/2), montrer que :
I0= 2 Z1/√3
0
1
1+3u2du
En d´eduire que :
I0=π
2√3
d. Calculer I1.
e. Montrer que pour tout n∈N∗on a :
In+1 +In−1= 4In−2
nsin(nπ/3)
f. En d´eduire I2.
Exercice 3.
Pour n∈N, on consid`ere l’int´egrale :
In=Ze
1
(ln x)ndx
1. Faire le changement de variable u= ln xdans In. A l’aide de la nouvelle forme de In, montrer que :
1
n+ 1 ⩽In⩽e
n+ 1
En d´eduire la limite de Inlorsque ntend vers +∞.
2. Donner la valeur de I0et, pour n∈N∗, montrer que In=−n In−1+e. En d´eduire I1, I2, I3et I4.
3. Pour n∈N, on pose :
vn=(−1)n
n!In
a. Pour n∈N∗, donner une relation entre vnet vn−1.
b. En d´eduire une expression de vnen fonction de n.
Indication. Cette relation fera intervenir P.
c. Donner une expression de Inen fonction de n.
4. D´eduire des questions qui pr´ec`edent la valeur de la limite suivante : lim
n→+∞
n
P
k=0
(−1)k
k!.
Exercice 4.
Soit k∈Rfix´e v´erifiant 0 ⩽k2<1. On d´efinit la fonction Fpar :
F(x) = Zx
0
dt
p1−k2sin2t
1. Justifier que la fonction φ:t7→ 1
p1−k2sin2test continue sur R.
2. D´eterminer le domaine de d´efinition de F. Montrer que Fest d´erivable sur son domaine de d´efinition et
d´eterminer le sens de variation de F.
3. ´
Etudier la parit´e de F.
4. D´eterminer l’´equation de la tangente `a CFau point d’abscisse 0. On ´etudiera la position de la courbe par
rapport `a la tangente.
5. Montrer que :
∀x∈R, F (x+π)−F(x) = F(π)
6. D´eterminer lim
x→+∞F(x).
7. Tracer sommairement CFen tenant compte des renseignements obtenus dans les questions pr´ec´edentes.
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