x 1. Former l’équation polaire du cercle P(r,) Dans le triangle OCP r y R CP 2 OP 2 OC 2 2.OP.OC cos R 2 r 2 R 2 2 Rr cos 0 r 2 2rR cos r 2 2rR cos r ( ) 2 R cos O R 2 C x A y x Déduire son équation cartésienne P(r,) x cos r r y x r 2 R cos 2 R r r 2 2 Rx O x 2 y 2 2 Rx x 2 y 2 2Rx 0 R : rayon C ( R,0) : centre ( x R ) 2 ( y 0) 2 R 2 x 2 2 Rx R 2 y 2 R 2 x 2 2 Rx y 2 0 x 2 y 2 2 Rx 0 x A y 2.Représneter sur le figure la base polaire u x ur P(r,) y r O OM r u r d OM v r u r r u dt d v 2 a ( r r ) u r (r 2 r ) u dt C x A y Calcul des vecteurs vitesse et accélération v r u r r u r 2 R cos , r 2 R sin v r u r r u 2 R sin u r 2 R cos u 2 v 2 R ( sin u r cos u ) a ( r r ) u r (r 2 r ) u 2 2 a (2 R sin 4 R cos ) u r (2 R cos 4 R sin ) u 3.a L’abscisse curviligne de P Rappel S AP R R.2 2 R 3.b Représenter la base intrinsèque x v uT u ur P(r,) y r uN O C x A y 3.c calculer la vitesse et l’accélération dans la base intrinsèque v 2 R ( sin u r cos u ); v v uT 2 R uT dv v (2 R ) 2 a uT u N 2 R uT uN dt RC R 2 2 a 2 R uT 4 R u N v (2 R ) (( sin ) (cos ) ) 2 R 2 2 2 3.d Calculer les composantes polaires de la base intrinsèque u T sin u r cos u u N cos u r sin u Retrouver les vecteurs vitesse et accélération v 2 R ( sin u r cos u ); v (2 R ) (( sin ) (cos ) 2 R 2 2 2 v v uT 2 R uT 2 R ( sin u r cos u ) 2 2 a 2 R uT 4 R u N 2 R ( sin u r cos u ) 4 R ( cos u r sin u ) 2 2 a 2 R sin u r 2 R cos u 4 R cos u r 4 R sin u 2 2 a (2 R sin 4 R cos )u r (2 R cos 4 R sin ) u 4 Donner r(t) et (t) 2 2 2 2 2 2 t ( sachant que à t 0; 0) r 2 R cos( t ) 2 Déduire les vecteurs vitesse et accélération Polaire intrinsèque v 2 R ( sin u r cos u ) 2 2 a (2 R sin 4 R cos )u r (2 R cos 4 R sin ) u comme : t et 0 2 2 t t v 2 R ( sin u r cos u ) 2 2 2 t t v R ( sin u r cos u ) 2 2 v 2 R uT 2 R 2 uT v R uT 2 a 2 R uT 4 R u N 0 uT 4 R( ) u N 2 a R u N a (0 4 R( ) cos )u r (0 4 R( ) sin ) u ) 2 2 t t a R 2 cos u r R 2 sin u 2 2 2 2 2 2 R: oxyz repère relatif R1 ox1y1z1 repère absolu z1=z y ( i 1 , i ) t k k x1 x y1 OM sin i cos k i cos t i 1 sin t j 1 z j sin t i 1 cos t j 1 di dt / R1 x dk 0 dt / R1 O OM sin i cos k d OM va dt di cos i sin dt / R1 va cos i sin j sin k sin k / R1 d j cos t i 1 sin t j 1 i dt / R1 M sin t i 1 cos t j 1 j z va ve vr ve d OO ' O' M ; dt / R vr d O' M dt / R ' M x O d O' O d OO ve OOM k (sin i cos k ) dt / R1 dt / R1 v e 0 k sin i k cos k ) v e sin j d OM vr dt cos i sin k /R d OM vr dt cos i sin k /R v a v e v r cos i sin j sin k OM sin i cos k i cos t i 1 sin t j 1 j sin t i 1 cos t j 1 di dt sin t i 1 cos t j 1 j dk 0 dt / R1 a di a sin t i cos dt d va d ( cos t i sin t j sin t k ) dt / R1 dt / R' 2 d j 2 cos t j sin cos k dt / R1 / R1 a sin i cos j cos j sin i cos k 2 2 a ( ) sin i 2 cos j cos k 2 2 2 d j cos t i 1 sin t j 1 i dt / R1 v a v e v r cos i sin j sin k / R1 2 a r c e d vr r ; dt / R ' c 2 v r ; 2 d vr r dt d OM vr dt OM sin i cos k ; d OO ' d e O ' M ( O ' M ) dt 2 dt / R cos i sin k /R sin i cos k 2 2 /R c 2 v r 2 k ( cos i sin k ) 2 cos j d O' O d e 2 OM ( OM ) 0 0 OM k k (sin i cos k ) dt / R1 dt / R1 2 2 e k sin j sin i a r c e sin i cos k 2 cos j sin i 2 2 2 a ( ) sin i 2 cos j cos k 2 2 2