Telechargé par The_ Beautiful_side21

Série

publicité
x
1. Former l’équation polaire du cercle
P(r,)
Dans le triangle OCP
r
y
R

CP 2  OP 2  OC 2  2.OP.OC cos 
R 2  r 2  R 2  2 Rr cos 
0  r 2  2rR cos 
r 2  2rR cos 
r ( )  2 R cos 
O
R
2
C
x
A
y
x
Déduire son équation cartésienne
P(r,)
x
cos  
r
r
y

x
r  2 R cos   2 R
r
r 2  2 Rx
O
x 2  y 2  2 Rx
x 2  y 2  2Rx  0
R : rayon
C ( R,0) : centre
( x  R ) 2  ( y  0) 2  R 2
x 2  2 Rx  R 2  y 2  R 2
x 2  2 Rx  y 2  0
x 2  y 2  2 Rx  0
x
A
y
2.Représneter sur le figure la base polaire


u
x
ur
P(r,)
y
r

O


OM  r u r


 
d OM  
v
 r u r  r  u
dt


  
d v   2 
a
 ( r  r  ) u r  (r   2 r  ) u
dt

C
x
A
y
Calcul des vecteurs vitesse et accélération

 
 
v  r u r  r  u
r  2 R cos  ,

 




r  2 R  sin 
 




v  r u r  r  u  2 R  sin  u r  2 R  cos  u
2


 




v  2 R  ( sin  u r  cos  u  )

a  ( r  r  ) u r  (r   2 r  ) u


2


2

a  (2 R  sin   4 R  cos  ) u r  (2 R cos   4 R  sin  ) u
3.a L’abscisse curviligne de P

Rappel

S  AP  R  R.2  2 R


3.b Représenter la base intrinsèque x
v

uT
u

ur
P(r,)
y

r
uN

O
C
x
A
y
3.c calculer la vitesse et l’accélération dans la base intrinsèque




v  2 R  ( sin  u r  cos  u );

 


 
v  v uT  2 R  uT

dv
v
(2 R  ) 2 
a  uT 
u N  2 R  uT 
uN
dt
RC
R



 
2

2 
a  2 R  uT  4 R  u N
 

v  (2 R  ) ((  sin  )  (cos  ) )  2 R 
2
2
2
3.d Calculer les composantes polaires de la base intrinsèque



u T   sin  u r  cos  u



u N   cos  u r  sin  u
Retrouver les vecteurs vitesse et accélération




 


v  2 R  ( sin  u r  cos  u );




v  (2 R  ) ((  sin  )  (cos  )  2 R 


2
2
2

v  v uT  2 R  uT  2 R  ( sin  u r  cos  u )

 


2 


2



a  2 R  uT  4 R  u N  2 R  ( sin  u r  cos  u  )  4 R  ( cos  u r  sin  u  )



2


2


a  2 R  sin  u r  2 R  cos  u   4 R  cos  u r  4 R  sin  u 


2
2

a  (2 R  sin   4 R  cos  )u r  (2 R  cos   4 R  sin  ) u 
4 Donner r(t) et (t)




  2      2   



2
 


2

2


2
t ( sachant que à t  0;  0)
r  2 R cos( t )
2
Déduire les vecteurs vitesse et accélération
Polaire



intrinsèque

v  2 R  ( sin  u r  cos  u )

2



2


a  (2 R  sin   4 R  cos  )u r  (2 R  cos   4 R  sin  ) u
comme :

t
 
     et   0
2
2


t 
t 
v  2 R ( sin
u r  cos u )
2
2
2


t
t 
v  R ( sin
u r  cos u )
2
2



v  2 R  uT  2 R


2

uT

v  R uT

 
2 



a  2 R  uT  4 R  u N  0 uT  4 R( ) u N
2


a  R u N


a  (0  4 R( ) cos  )u r  (0  4 R( ) sin  ) u  )
2
2

t 
t 
a   R 2 cos u r  R 2 sin
u
2
2
2
 
2
2
2
R: oxyz repère relatif
R1 ox1y1z1 repère absolu

z1=z
y



( i 1 , i )    t

 


  k  k
x1
x
y1



OM  sin  i  cos  k



i  cos t i 1  sin t j 1
z



j   sin t i 1  cos t j 1

di
dt

/ R1


x

dk
0
dt / R1
O

OM  sin  i  cos  k


d OM
va 
dt




di
  cos  i  sin 
dt
/ R1



va   cos  i   sin  j   sin  k


  sin  k
/ R1





d j
  cos t i 1   sin t j 1   i
dt / R1
M


  sin t i 1   cos t j 1   j



z



va  ve vr

ve 




d OO '
  O' M ;
dt / R


vr 
d O' M
dt / R '
M

x
O








d O' O
d OO
ve 
  OOM 
  k  (sin  i  cos  k )
dt / R1
dt / R1






v e  0   k  sin  i   k  cos  k )


v e   sin  j



d OM
vr 
dt







  cos  i   sin  k
/R

d OM
vr 
dt




  cos  i   sin  k
/R

v a  v e  v r   cos  i   sin  j   sin  k



OM  sin  i  cos  k



i  cos t i 1  sin t j 1



j   sin t i 1  cos t j 1

di
dt






  sin t i 1   cos t j 1   j



dk
0
dt / R1
a 





di
 a    sin t i   cos 
dt


d va
d (  cos  t i   sin t j   sin  t k )

dt / R1
dt
/ R'

2




d j
2
  cos  t j   sin 
  cos  k
dt / R1
/ R1




 a    sin  i   cos  j   cos  j   sin  i   cos  k

2


2

 a  (    ) sin  i  2 cos  j   cos  k
2
2
2




d j
  cos t i 1   sin t j 1   i
dt / R1
v a  v e  v r   cos  i   sin  j   sin  k


/ R1



2




 a   r c e



d vr
r 
;
dt / R '


 c  2  v r ;


2


d vr
r 
dt




d OM
vr 
dt
OM  sin  i  cos  k ;






d OO ' d 
e 

 O ' M    (  O ' M )
dt 2
dt / R



  cos  i   sin  k
/R

   sin  i   cos  k
2
2
/R







 c  2  v r  2 k  (  cos  i   sin  k )  2 cos  j






 




d O' O d 
 

e  2

 OM   ( OM )  0  0  OM   k   k  (sin  i  cos  k )
dt / R1 dt / R1



2




2
 e   k   sin  j    sin  i












 a   r   c   e    sin  i   cos  k  2 cos  j   sin  i

2
2


2

 a  (    ) sin  i  2 cos  j   cos  k
2
2
2
Téléchargement