Telechargé par WISAL LAAOUINA

electro serie1

publicité
TD d’Electrostatique et Magnétostatique
PHYS 304 – TD
Corrigés des quelques exercices variés des TD.
1 - Condensateurs : capacité linéique d’un câble coaxial
a) Choix de coordonnées : coordonnées cylindriques. Champ électrique entre les deux âmes : utiliser le
théorème de Gauss. Surface de Gauss, un cylindre de longuer h et coaxial au câble.
E(ρ).2πρh = λh/ε0 ⇒ E(ρ) = λ/2πε0 ρ
b)
V2 − V1 =
�
1
2
dV = −
�
1
2
� =−
� dl
E.
�
R2
R1
λ.dρ
λ
R2
=−
ln
2πε0 ρ
2πε0 R1
λ
2
Conducteur extérieur à la masse ⇒ V2 = 0 ⇒ Vconducteur central = + 2πε
ln R
R1 > 0 si λ > 0.
0
c) Q = V C ⇒ Q/l = V C/l c’est-à-dire charge linéique = d.d.p fois capacité linéique ⇒ λ = V.C
C = λ/V = 2πε0 / ln(R2 /R1 ) ≈ 33 pF/m, capacité typique.
d) Claquage : ionisation du milieu isolant entre les deux âmes du condensateur jusqu’au point où
il devient conducteur. (Conséquences du claquage
: condensateur déchargé et isolant souvent abimé.)
�
Emax = E(ρ = R1 ) ⇒ Eclaquage = λ/2πε0 R1
on élimine λ ⇒ R1 Eclaquage = Vmax / ln(R2 /R1 )
Vmax = λ ln(R2 /R1 )/2πε0
⇒ R2 = R1 eVmax /R1 Eclaquage . R2 minimal si dR2 /dR1 = 0 ⇒ R2 /R1 = e ⇒ C = 2πε0 .
2 - Magnétostatique : Bobines de Helmholtz
a) D’abord on calcule le champ d’une spire centrée à l’origine en un point M quelconque de son axe.
Loi de Biot-Savart :
� = µ0
B
4π
�
� ∧ P�M
I dl
PM3
� Celui-ci est un vecteur tangent
où P est le point de l’espace où se trouve l’élément de spire de longueur dl.
à la spire.
µ0
I
� (où OM
� est constant) ⇒ B(M
�
P�M = P�O + OM
)=
2
4π (a + OM 2 )3/2
��
� ∧ P�O +
dl
=
��
�
�
� ∧ OM
�
dl
=
µ0
I.a2 �n
3
2 a (1 + (OM/a)2 )3/2
�
�
� = 0, dl
� ∧ P�O = 2π �n (dl��
� uφ ; P�O = −a�uρ et (dl
� ∧ P�O)��uz = �n) et �n est le vecteur normal à
car dl
la spire dont le sens est déterminé par le sens dans lequel le courant parcourt la spire à l’aide de la règle
du tire-bouchon.
µ0 I
�
B(O)
=
�n
2a
⇒
y � (x) = −3x(1 + x2 )−5/2 ;
B(M )
1
OM
=
avec x =
2
3/2
B(O)
a
(1 + x )
2
4x
+
1
y �� (x) = −3
⇒ y �� (±1/2) = 0
(1 + x2 )7/2
y=
1
b)
y � (C) = y1 (C) + y2 (C) = 0;
y �� (C) = 0 + 0 donc y(x) varie très peu au voisinage de C.
µ0 I
B(M )
1
OM
�
B(O)
=
�n ⇒ y =
=
avec x =
2
3/2
2a
B(O)
a
(1 + x )
−3/2
�
�
y(C) = 2y1 (1/2) = 2(1 + 1/4)
≈ 1, 42 ⇒ BC = 1, 42 × B1 (O)
Les bobines de Helmholtz sont utilisées assez souvent en laboratoire pour produire des champs magnétiques
presque uniformes de façon peu couteuse.
2
Téléchargement