electro serie1

TD d’Electrostatique et Magn´ etostatique
PHYS 304 – TD
Corrig´ es des quelques exercices vari´ es des TD.
1 - Condensateurs : capacit´e lin´eique d’un cˆable coaxial
a) Choix de coordonn´ees : coordonn´ees cylindriques. Champ ´electrique entre les deux ˆames : utiliser le
th´eor`eme de Gauss. Surface de Gauss, un cylindre de longuer het coaxial au cˆable.
E(ρ).2πρh=λh/ε0⇒E(ρ)=λ/2πε0ρ
b)
V2−V1=2
1
dV =−2
1
�
E.� dl =−R2
R1
λ.dρ
2πε0ρ=−λ 2πε0
ln R2
R1
Conducteur ext´erieur `a la masse ⇒V2=0⇒Vconducteur central =+ λ
2πε0ln R2 R1>0siλ>0.
c) Q=VC ⇒Q/l =V C/l c’est-`a-dire charge lin´eique = d.d.p fois capacit´e lin´eique ⇒λ=V.C
C=λ/V =2πε0/ln(R2/R1)≈33 pF/m, capacit´e typique.
d) Claquage : ionisation du milieu isolant entre les deux ˆames du condensateur jusqu’au point o`u
il devient conducteur. (Cons´equences du claquage : condensateur d´echarg´e et isolant souvent abim´e.)
Emax =E(ρ=R1)⇒Eclaquage =λ/2πε0R1
Vmax =λln(R2/R1)/2πε0on ´elimine λ⇒R1Eclaquage =Vmax/ln(R2/R1)
⇒R2=R1eVmax/R1Eclaquage .R2minimal si dR2/dR1=0 ⇒R2/R1=e⇒C=2πε0.
2 - Magn´etostatique : Bobines de Helmholtz
a) D’abord on calcule le champ d’une spire centr´ee `a l’origine en un point Mquelconque de son axe.
Loi de Biot-Savart :
�
B=µ0
4πI�
dl ∧� PM
PM3
o`u Pest le point de l’espace o`u se trouve l’´el´ement de spire de longueur � dl. Celui-ci est un vecteur tangent
`a l a s p i r e .
�
PM =� PO+� OM (o`u � OM est constant) ⇒� B(M)= µ0
4π
I
(a2+OM2)3/2�
dl ∧� PO+� dl∧� OM=
=µ0
2
I.a2�n
a3(1 + (OM/a)2)3/2
car � dl = 0, � dl ∧� PO =2π�n(� dl��uφ;� PO =−a�uρet (� dl ∧� PO)��uz=�n)et�nest le vecteur normal `a
la spire dont le sens est d´etermin´e par le sens dans lequel le courant parcourt la spire `a l’aide de la r`egle
du tire-bouchon.
�
B(O)=µ0I
2a�n⇒y=B(M) B(O)=1
(1 + x2)3/2avec x=OM
a
y�(x)=−3x(1 + x2)−5/2;y�� (x)=−34x2+1
(1 + x2)7/2⇒y�� (±1/2) = 0
1

b)
y�(C)=y1(C)+y2(C) = 0; y�� (C) = 0 + 0 donc y(x) varie tr`es peu au voisinage de C.
�
B(O)=µ0I
2a�n⇒y=B(M) B(O)=1
(1 + x2)3/2avec x=OM
a
y(C)=2y1(1/2) = 2(1 + 1/4)−3/2≈1,42 ⇒� BC=1,42 ×� B1(O)
Les bobines de Helmholtz sont utilis´ees assez souvent en laboratoire pour produire des champs magn´etiques
presque uniformes de fa¸con peu couteuse.
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