cours de Traitement du signal

TRAITEMENT du SIGNAL – M. SABRI – Faculté des Sciences et Techniques BENI MELLAL - 2008
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TABLE des MATIERES
Ch. I RAPPELS MATHEMATIQUES 03
SERIES et TRANSFORMEES de FOURIER
DISTRIBUTIONS
PROBABILITES
Ch. II INTRODUCTION aux signaux et systèmes 09
I- Les DSP
II- CLASSIFICATION des SIGNAUX
III- DEFINITIONS et EXEMPLES
IV- ANALYSE d’un SIGNAL
V- CORRELATION
Ch. III ECHANTILLONNAGE 16
I- THEOREME de SHANNON
II- ECHANTILLONNAGE REEL
III- RECONSTITUTION
Ch. IV SYSTEMES NUMERIQUES 22
I- SIGNAUX NUMERIQUES
II- SYSTEMES NUMERIQUES LINEAIRES INVARIANTS
III- EQUATION aux DIFFERENCES
Ch. V TRANSFORMEE de FOURIER DISCRETE ___ 28
I- INTRODUCTION
II- EFFETS de LA DISCRETISATION de LA FREQUENCE
III- TFD d’un SIGNAL à DUREE LIMITEE
IV- PROPRIETES de LA TFD
V- TFD des SIGNAUX A DUREE ILLIMITEE
VI- APPROXIMATION de LA TF des SIGNAUX ANALOGIQUES
Ch. VI TRANSFORMEE de FOURIER RAPIDE _34
I- Mise en forme de la TFD
II- Algorithme FFT
III- Mise en oeuvre
IV- Organigramme et programme sur Matlab
Ch. VII MODULATIONS NUMERIQUES _42
I- Introduction
II- Principe de modulations numériques
III- Modulation ASK
IV- Modulation PSK
V- Modulation QAM
VI- Modulation FSK
VII- Applications

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Ch. VIII FILTRAGE et DENSITES SPECTRALES 49
I. DENSITES SPECTRALES
II. FILTRAGE
Ch. IX DETECTION et ESTIMATION 56
I- Introduction
II- Rapport signal sur bruit
III- Filtre optimal
IV- Filtre adapté
V- Filtre de Wiener
VI- Détection par inter corrélation
VII- Estimation de la densité spectrale
Ch. X TRANSFORMEE en Z 66
I- INTRODUCTION
II- DEFINITION
III- TRANSFORMEE en Z INVERSE
IV- PROPRIETES
V- FONCTION de TRANSFERT
Ch. XI FILTRAGE NUMERIQUE 76
I- INTRODUCTION
II- FILTRES IDEAUX et GABARIT
III- FILTRES A REPONSE IMPULSIONNELLE DE DUREE FINIE (RIF)
IV- FILTRES A REPONSE IMPULSIONNELLE DE DUREE INFINIE (RII)
V- SYSTEMES A PHASE MINIMUM
Ch. XII Une INTRODUCTION aux DSP 91
I- INTRODUCTION
II- PRESENTATION
III- CLASSIFICATION
IV- ARCHITECTURES
V- DEVELOPPEMENTS
FORMULAIRES 97
BIBLIOGRAPHIE 98

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Ch. I : RAPPELS MATHEMATIQUES
SERIES et TRANSFORMEES de FOURIER
DISTRIBUTIONS
PROBABILITES
I. ESPACES des SIGNAUX
On note s(t) un signal physique déterministe dépendant de la variable temps t.
1- signaux intégrables :
)(
1
L
{s /
dtts )(
}
On définit la norme de la convergence en moyenne :
||s||1=
dtts )(
2- signaux de carré sommable :
)(
2
L
{s /
dtts 2 )(
}
On définit la norme de la convergence en moyenne quadratique :
||s||2=
dtts 2 )(
3- signaux à décroissance rapide S(R) :
C’est le sous espace de L1 des signaux s(t) tels que :
0)()(   tstLimNp p
t
.
4- signaux indéfiniment dérivables : C∞
5- signaux indéfiniment dérivables à support borné : D
II. SERIES de FOURIER
Soit s(t) dans L1[0,T] périodique de période T. La décomposition en série de Fourier
de s(t) s’écrit :
n
T
t
nj
nects
2
)(
(1)
TT
t
nj
ndtets
T
c
0
2
)(
1
(2)
(cn) n est le spectre de Fourier du signal s(t). Selon l’espace des signaux on a :
Dans l’espace L1
0
 n
cLim
n
Dans l’espace L2
nn
c
2
Dans l’espace C 1
nn
c

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Dans l’espace C 2
2
n
K
cn
Dans l’espace C∞
0)(   n
kcnLimk n
Théorème de Dirichlet (convergence locale) :
Soit s dans L1[0,T] de période T. t0 étant un point de discontinuité de s,
si les limites et les dérivées de s(t) à droite et à gauche de t0 existent, alors :
Théorème de Perceval
Tdtts
T
nc
0
22 )(.
1
)(
(4)
III . TRANSFORMEE de FOURIER et CONVOLUTION
On définit la transformée de Fourier S=F(s) d’un signal s par :
dtetsfS ftj
2
)()(
(5)
Théorème de Riemann-Lebesgue
Etant donné s dans L1
 S est une fonction continue et bornée sur R.
 F est un opérateur linéaire et continu de L1 dans L∞
0)( 
 fSLim
f
Théorème de Perceval
dttsdffS 22 )()(
(6)
Convolution
On définit la convolution de deux signaux x et y par :
 duutyuxtyx )()())((
(7)
On a les propriétés suivantes, selon l’espace des signaux de travail :
x, y dans L1
F(x
y)=X.Y
x, y,X, Y dans L1
F(x.y)=X
Y
x, y dans L2
F(x.y)=X
Y et x
y= F*(X.Y)
x dans L2 , y dans L1
x
y= F*(X.Y) presque partout
N
N
T
t
nj
ntstsecLim
N
))()((
2
1
)( 00
20

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Transformées usuelles
x(t)
X(f)
x(t-τ)
e-j2πfτX(f)
Retard
ej2πθtx(t)
X(f-θ)
Déphasage
x(a.t)
)(
1a f
X
a
Changement d’échelle
e-a|t|
222 4
2fa a
; Re(a)>0
Lorentzienne, amortissement
2
at
e
2
2f
a
e
a
;a>0
Gaussienne, cas particulier a=
IV. DISTRIBUTIONS
D étant l’espace des signaux indéfiniment dérivables à support borné, on appelle
distribution T toute application linéaire continue de D dans l’espace des complexes C.
L’espace des distributions est noté D’ (Dual topologique de D).
T(υ)=<T,υ> D (8)
La dérivée d’une distribution T
T(k)(υ)=<T(k),υ>=(-1)(k)<T,υ(k)> (9)
Distribution associée à une fonction f
<Tf,υ>=<f,υ>=
dtttf )()(
(10)
Distributions tempérées
Ce sont les applications linéaires continues de S , espace des signaux à décroissance
rapide, dans C. Leur espace est le dual de S noté S’.
Distribution de Dirac δ
δ(υ)=< δ,υ>=υ(0) (11.1)
δa(υ)=< δa,υ>=υ(a) (11.2)
δ’(υ)=-υ’(0) (11.3)
δ’’(υ)=υ’’(0) (11.4)
δ est l’élément neutre de la convolution :
< s δ,υ>=<s,υ> (12)
Usage pratique (abusif) de δ :
 )()().( xdtttx
(13.1)