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Cours Recherche Opérationnelle :
Programmation Linéaire
Programmation Linéaire en Nombres
Entiers
Programmation Non Linéaire
Les Modèles sur Réseaux
Université Alioune Diop de Bambey (UADB)
URF Sciences Appliquées et Technologie de l’Information et
de la Communication ( SATIC), Département de Mathématiques (DM)
Licences Mathématiques Applicatiées & Statistique Informatique Décisionnelle (SID)
Dr. Babacar M. NDIAYE, Année 2014-2015.
LMDAN, [e-mail]
http ://lmdan.ucad.sn
Notes
Ces notes de cours correspondent à un enseignement de troisième année de Mathéma-
tiques Applicatiées & SID de l’URF SATIC de l’UADB. Ce cours est le résultat d’une
1

réflexion technique pédagogique dont j’espère qu’il apportera aux étudiants une stimu-
lation intellectuelle et un encouragement à persévérer, chaque fois que la compréhension
d’un phénomène (transport, économique, financier, logistique, etc.) leur posera des diffi-
cultés.
Bien qu’ayant relu attentivement toutes les notes, il reste plusieurs imperfections. Je de-
mande aux étudiants de m’en excuser, et de me les signaler afin d’en améliorer la qualité.
Leurs camarades de l’année prochaine leur en seront reconnaissants.
Table des matières
1 PROGRAMMATION LINÉAIRE EN VARIABLES CONTINUES : MO-
DÉLISATION ET RÉSOLUTION 5
1.1 Petits exemples pratiques ........................ 5
1.2 Définition et formulation d’un problème de Programmation
Linéaire .................................... 9
1.2.1 Définition d’un programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Forme algébrique d’un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Forme matricielle d’un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Interprétation économique d’un programme linéaire ...... 13
1.4 Résolution graphique ........................... 14
1.5 Méthode du simplexe ............................ 16
1.5.1 Formestandard............................. 17
1.5.2 Correspondance base-sommet, changement de base, itération . . . . 20
1.5.3 Principe de la méthode : un peu de théorie . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 Critères de Dantzig et test d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Application à l’exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.6 Cas particuliers et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.7 Base de départ et variables artificielles . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Dualité .................................... 31
1.6.1 Variable duale associée à une contrainte . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.2 Dual d’un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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1.6.3 Théorème de la dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.4 Application à l’exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7 Analyse de sensibilité ........................... 36
1.7.1 Variation d’un coefficient de la fonction objectif . . . . . . . . . . . 37
1.7.2 Variation d’un coefficient du second membre . . . . . . . . . . . . . 38
2 PROGRAMMATION LINÉAIRE EN NOMBRES ENTIERS 39
2.1 Problème du sac-à-dos ........................... 41
2.2 Problèmes de tournées de véhicules ................. 43
2.3 Un Problème de localisation (location/allocation problem) . 44
2.4 Problèmes de recouvrement (Set Covering Problem - SCP) . . 47
3 PROGRAMMATION NON-LINÉAIRE 49
3.1 Optimisation ................................. 49
3.2 Existence et unicité des solutions ................... 50
3.3 Optimisation sans contrainte ...................... 52
3.4 Optimisation avec contraintes ..................... 54
3.4.1 Conditions nécessaires d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Conditions suffisantes : la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 LES MODÈLES SUR RÉSEAU 59
4.1 Le problème de transport simple .................... 59
4.1.1 Représentation au moyen d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Le problème de transport général .................. 64
A Quelques exercices 66
B Les principaux solvers - modeleurs 77
B.1 Solveurslibres.................................. 78
B.2 Solveurscommerciaux ............................. 78
B.3 Modeleurs.................................... 78
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L’objectif de ce cours est double. Il s’agit, d’une part, de donner une introduction à la
formulation en modèles d’optimisation et d’autre part, de présenter les techniques de ré-
solution de ces problèmes. On parle de problème d’optimisation lorsqu’il faut maximiser
(ou minimiser) une fonction sous contraintes. Par exemple, maximiser le bénéfice (ou mi-
nimiser les pertes) d’une entreprise sous les contraintes de satisfaire la demande et de
respecter la capacité de production.
Nous commencerons par le cas des problèmes linéaires en variables continues, c’est à dire
les problèmes où la fonction objectif 1et les contraintes sont purement linéaires et les
variables dans l’espace Rn. Les autres classes de problèmes linéaires concernent la pro-
grammation linéaire en nombres entiers et la programmation linéaire binaire ({0,1}n), qui
seront traités dans le deuxième chapitre. Lorsque les contraintes et/ou la fonction objectif
sont non linéaires, on parle de programmation non linéaires qui est l’objet du troisième
chapitre. Une application des programmes linéaires concernent les modèles sur réseau qui
utilisent un graphe dans leur formulation pour la représentation. Elle sera traitée dans
quatrième chapitre. Beaucoup de techniques de résolution (méthodes exactes, heuristiques,
métaheuristiques) existent dans la littérature pour la résolution des problèmes linéaires
et non linéaires. Parmi elles, nous pouvons en citer : Méthode du Simplexe (que nous
étudierons dans la section 1.5, Branch-and-Bound ou Séparation et Evaluation progres-
sive, Cutting plane ou plan coupant, Points intérieurs, Colonies de fournies, Génération
de colonnes, Algorithme génétiques, Recherche Tabou, etc.). Il est à remarquer que toutes
ces méthodes de résolution étant mises en oeuvre dans des logiciels commerciaux, il ne
viendrait plus à l’idée de les programmer soi-même. Par exemple : le solveur d’Excel, IBM
CPLEX Optimizer, GUROBI, XPRESS-MP, Local Solver, etc. (voir en Annexe, quelques
logiciels libres et commerciaux) disposent d’une implémentation de ces algorithmes.
1. par convention, on dit fonction objectif et non fonction objective.
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1 PROGRAMMATION LINÉAIRE EN VARIABLES
CONTINUES : MODÉLISATION ET RÉSOLUTION
Nous abordons dans ce chapitre un type particulier de modélisation. A l’opposé du mo-
dèle économique, un problème d’optimisation va être représenté par un problème de pro-
grammation mathématique : les variables de décision sont des variables numériques, la
représentation des décisions possibles et du critère fait appel à des équations ou fonctions
mathématiques. Plus précisément, nous introduisons ici les problèmes de programmation
linéaire en variables continues (dans l’ensemble des réels Rn).
Dans la section 1.1 nous énonçons quelques exemples d’application, suivi de la section 1.2
où nous présentons la définition d’un problème de programmation linéaire en variables
continues. L’interprétation économique de ce programme linéaire sera donnée dans la sec-
tion 1.3. Lorsqu’il n’y a que deux (2) variables de décision, un problème linéaire peut
être résolu de manière purement graphique. C’est ce que nous verrons dans la section
1.4. Lorsqu’il y a un plus grand nombre de variables (supérieur ou égal à trois (3)), un
algorithme mis en oeuvre sous la forme d’un programme informatique s’avère nécessaire.
Nous choisissons l’algorithme du Simplexe que nous verrons dans la section 1.5. Dans la
section 1.6, nous examinerons la dualité en programmation linéaire.
1.1 Petits exemples pratiques
Dans cette section, nous illustrons trois (3) exemples de modèle permettant de comprendre
les types de programmes que nous aurons à étudier dans ce chapitre.
Exemple 1 : Une industrie automobile fabrique 3 types de modèles de voitures (vt)v1,
v2et v3qui lui rapportent respectivement des profits de 160 000 FCFA, 300 000 FCFA et
500 000 FCFA. Les niveaux maxima de production pour une semaine sont de 100 pour v1,
150 pour v2et 75 pour v3. Chaque quinzaine de vtde type jrequiert un temps Fjpour
la fabrication, un temps Ajpour l’assemblage et un temps Ejpour l’emballage.
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