PCSI-LYDEX 20 juin 2018 Page -2- [email protected] Première partie ÉLECTRONIQUE 3 TABLE DES MATIÈRES I 1 ÉLECTRONIQUE 3 LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’A.R.Q.P 1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Bilan de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tension électrique, loi des mailles . . . . . . . . . . . 1.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle 1.5 Caractère générateur et récepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 10 10 11 11 12 2 ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMANEN 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Modélisation de dipoles passifs linéaires R, C et L . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1.3 Effet JOULE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2.2 Association des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 La bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3.2 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Diviseurs de tension et de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Diviseurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Diviseurs de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.1 Générateur de courant (représentation de Norton) . . . . . . . . . . . 19 2.4.2 Générateur de tension (représentation de Thevenin) . . . . . . . . . . 19 2.4.3 Équivalence entre les deux modélisations . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Sources libres. Sources liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES 2.6 Théorème de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Régime transitoire 3.1 Cas du circuit (R-C) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) : . . . . . . . . . 3.1.1.1 L’équation différentielle : . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de 3.1.1.2.1 La pente à l’origine . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2.2 la valeur de u(τ) . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2.3 Temps de montée . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.3 Le portrait de phase : . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase . 3.1.1.4 Aspect énergétique : . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) : . . . . . . . . 3.1.2.1 Équation différentielle et solution : . . . . . . . 3.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase : . . . . . . 3.2 Cas du circuit (R-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1 L’équation différentielle et solution . . . . . . . 3.2.1.2 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Régime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Circuit (RLC) série : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Régime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1 Régime apériodique ∆′ > 0 : . . . . . . . . . 3.3.1.2 Régime critique ∆′ = 0 : . . . . . . . . . . . 3.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′ < 0 : . . . . . 3.3.2 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Régime alternatif sinusoidal 4.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes . . . . . . 4.1.1 Amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Impédance complexe et admittance complexe : . . . . . . . . 4.1.2.1 Définitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2.1 Impédance d’un resistor . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale . . . . . . . . 4.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur . . . . . . . . 4.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé . . . . . . . . 4.2.1 Régime transitoire et régime permanent . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Étude de l’impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge) 4.2.3.1 Équation différentielle et solution . . . . . . . . . . . 4.2.3.2 Étude de l’amplitude Uc . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge . . . . . . . 4.2.3.4 Étude du déphasage φ = ϕc − ϕe . . . . . . . . . . . . . 20 juin 2018 Page -6- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 22 22 22 22 23 24 25 25 25 25 26 26 26 27 27 27 29 29 30 30 30 31 32 35 39 . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 45 47 47 48 48 48 49 49 49 50 51 51 52 53 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [email protected] PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES 4.2.4 Résonance en intensité . . . . . . . . . 4.2.4.1 Étude de l’amplitude Im . . . . 4.2.4.2 La bande passante à -3dB . . . 4.2.4.3 Étude du déphasage ϕ = ϕi − ϕe 4.3 La puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Facteur de puissance : . . . . . . . . . 4.3.2 Adaptation d’impedance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Diagrammes de BODE des filtres du premier et second ordre 5.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle . . . . . 5.1.4 Diagrammes de BODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Principaux types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Filtres du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Filtre passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4.2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . 5.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques 5.4.4.2.3 La bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 20 juin 2018 Page -7- 55 55 56 57 58 58 60 61 61 61 61 62 62 63 63 64 64 64 65 65 66 67 67 67 68 69 69 69 69 70 71 71 72 72 73 73 74 76 76 76 77 77 valeurs de Q 77 78 [email protected] PCSI-LYDEX TABLE DES MATIÈRES 6 Filtrage linéaire des signaux périodiques 6.1 Composition en fréquence d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Représentation temporelle et fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.1 Signal sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.2 Signal carré impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.3 Signal carré pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.4 Signal triangulaire pair de pentes symétriques . . . . . . . . 6.1.2.5 Signal dent de scie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.6 Signal sinusoidal pair redressé monoalternance . . . . . . . 6.1.2.7 Signal sinusoidal pair redressé doublealternance . . . . . . 6.1.2.8 Signal rectangulaire pair de rapport cyclique α quelconque 6.1.3 L’aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Traitement d’un signal périodique par un système linéaire . . . . . . . . . . 6.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Application 1 : CNC 2009 Filière MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 juin 2018 Page -8- . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 81 84 84 85 86 86 87 87 88 88 88 89 89 90 [email protected] CHAPITRE 1 LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’A.R.Q.P LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASIPERMANENTS 1.1 INTRODUCTION ◮ L’éléctrocinétique : Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseaux électriques. ◮ Cadre de l’étude : L’étude de l’éléctrocinétique se fait dans le cadre de l’Approximation des états (ou régimes) quasi-stationnaires ( quasi-permanent ) noté ARQP ou AEQS (plus de détail voir MP). en effet : L’approximation des états quasi-stationnaires consiste à limiter l’étude des réseaux éléctrocinétiques à des dimensions maximales ℓmax et à des durées minimales τmin vérifiant la condition suivante : ℓmax ≪ co τmin c0 = 2, 99792458 108 ms−1 co étant la célérité de la lumière . Remarque Dans ce cadre,on peut négliger tout phénomène de propagation dans le réseau éléctrocinétique ; en particulier, la modification d’une grandeur électrique en un point du circuit a pour conséquence des modifications instantanées des grandeurs analogues caractérisant les autres points du réseau. 9 PCSI-LYDEX 1.2. COURANT ÉLECTRIQUE Exemples ⊲ Pour un circuit de dimension ℓmax = 3 m, on trouve τmin ≫ 10−8 s ; on pourra donc se placer dans le cadre de l’ARQP pour l’étude d’un signal de fréquence fmax ≪ 108 Hz = 100 MHz, ce qui correspond à ce qu’on appelle électronique basse fréquence. ⊲ Par contre, l’électronique de haute fréquence peut imposer la miniaturisation des circuits, sous peine de sortir du domaine de l’ARQP ; ainsi à la fréquence de réception des signaux de téléphonie cellulaire ( f = 1800 MHz donc τmin = 5, 6.10−10 s), l’ARQP impose ℓmax ≪ 17 cm, ce qui est nettement plus restrictif. ⊲ Pour le courant industriel, à la fréquence f = 50 Hz, donc avec τmin = 20 ms ; la condition de l’ARQP impose donc ℓmax ≪ 6000 km : cette condition est aisément remplie pour un réseau domestique ou une installation industrielle. Par contre, dans un réseau d’alimentation de puissance à l’échelle continentale, il est indispensable de prendre en compte les effets de propagation. 1.2 Courant électrique 1.2.1 Définition Définition Courant électrique Une charge électrique dq qui traverse une surface S pendant un intervalle de temps dt crée un courant d’intensité i telle que : dq ⇐⇒ q = i= dt Z i dt Si q(C) et t(s) alors i(A). Remarque Le sens du courant est le sens du déplacement des porteurs de charges positifs. 1.2.2 Bilan de charges On admet que la charge (q) et la masse (m) d’un système isolé sont conservatives. 1.2.3 Loi des nœuds Définition Loi des nœud On appelle nœud un point de jonction entre au moins trois fils de connexion. La loi des nœuds est une conséquence de la conservation de la charge électrique dans 20 juin 2018 Page -10- [email protected] PCSI-LYDEX 1.3. TENSION ÉLECTRIQUE, LOI DES MAILLES le cadre de l’ARQP. La charge électrique ne peut pas s’accumuler au niveau des nœuds. X ie = X i s ⇐⇒ N X εk i k = 0 k=0 avec ε2 = 1. C’est la première loi de KIRCHHOFF . 1.3 Tension électrique, loi des mailles ◮ On appelle branche un ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds . ◮ On appelle maille un ensemble de branches formant un contour fermé . Remarque Une maille peut être orientée arbitrairement. ◮ On admet que la somme algébrique des tensions (ou différence de potentiel ) dans une maille est nulle : c’est la deuxième loi de KIRCHHOFF . N X εk u k = 0 k=0 1.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle Soit un dipôle D traversé par un courant électrique i(t) , maintenant entre ces bornes une tension uAB. i(t) D u(t) La puissance électromagnétique reçue par le dipôle D est donnée par : P = uAB(t)i(t) Et par conséquent l’énergie reçue pendant la durée t f − ti vaut : W= Z tf uAB(t)i(t) dt ti Remarque On adopte la convention thermodynamique : • L’énergie reçue par un système sera comptée positive. • L’énergie fournie par un système sera comptée négative. 20 juin 2018 Page -11- [email protected] PCSI-LYDEX 1.5. CARACTÈRE GÉNÉRATEUR ET RÉCEPTEUR 1.5 Caractère générateur et récepteur i(t) i(t) D u(t) Convention générateur D u(t) Convention récepteur ◮ En convention générateur les flèches représentant la tension et le courant sont dans le même sens La quantité P = ui représente la puissance électrique cédée par le dipôle au reste du circuit. ◮ En convention récepteur les flèches représentant la tension et le courant sont en sens inverses. La quantité P = ui représente la puissance électrique reçue par le dipôle . 20 juin 2018 Page -12- [email protected] CHAPITRE 2 ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT 2.1 Définition Soit un dipôle D traversé par un courant i(t) maintient entre ces bornes une tension u(t) i(t) D u(t) Le dipôle D est dit linéaire si le courant i(t) et la tension u(t) sont reliés par une équation linéaire Exemples : Le conducteur ohmique , le condensateur , la bobine , le générateur (dans le domaine de linéarité (voir TD)) 2.2 Modélisation de dipoles passifs linéaires R, C et L 2.2.1 Le conducteur ohmique 2.2.1.1 Modélisation i Résistor i(t) ≡ R u(t) u On modélise un resistor par une résistance R tel que : u = Ri 13 PCSI-LYDEX 2.2. MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES R, C ET L On conclut que le résistor est un dipôle linéaire. Remarque 1. Pour un fil cylindrique de section S et de longueur ℓ et de résistivité ρ alors : R= ℓ 1 ℓ 1 =ρ = G S σS avec : G la conductivité (S (siemens)) , ρ la résistivité du conducteur (Ω.m) et σ la conductivité du conducteur (S .m−1 ) 2. ρ représente la résistance d’un d’un fil de section 1 m2 et de longueur 1 m ; ainsi pour σ. 3. Un conducteur ohmique est dit parfait s’il ne présente pas de propriétés diélectiques (εr = 1) et magnétiques (µr = 1).(Voir cours d’électromagnétismes des milieux) 2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques ◮ Des résistances sont montées en série s’elles sont traversées par le même courant et on a : Re = i=N X Ri i=1 ◮ Des résistances sont montées en parallèle s’elles sont maintenues par la même tension et on a : i=N X 1 1 = Re Ri i=1 Application : Deux résistances R1 et R2 en parallèle alors : Re = 2.2.1.3 Produit R1 R2 = R1 + R2 S omme Effet JOULE Lorsque un courant i traverse une résistance R pendant la durée dt , on a dissipation de l’énergie dE J = dW J = uR iR dt =⇒ W J = Z tf uR iR dt ti En continue : W J = RI 2 ∆t =⇒ P 20 juin 2018 Page -14- J = RI 2 [email protected] PCSI-LYDEX 2.2. MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES R, C ET L 2.2.2 Le condensateur 2.2.2.1 Modélisation Diélectrique Constitué par deux conducteurs en influence totale ,séparés par un diélectrique (papier ,mica ,plastique,.....) ;on le modélise par une capacité C en parallèle avec une resistance de fuite R f . A C B A ≡ B Rf . Pour les condensateurs électrochimiques (polarisés) la valeur de C varie de quelques mF à quelques F la résistance de fuite R f > 1MΩ Un condensateur est dit idéal si R f → ∞ Convention +q A −q Convention générateur récepteur +q A B i −q B i u q dq u= ; i= >0 C dt u dq q <0 u= ; i=− C dt Le condensateur se charge Le condensateur se décharge Remarque 1. Pour un condensateur plan dont les armatures ont une section S et séparé S e par une distance e on a :C = εo . 2. Si l’espace entre les armatures du condensateur est rempli par un diélectrique de permitivité diélectrique εr alors C = εr Co 2.2.2.2 Association des condensateurs • Association série : • Association parallèle : i=N X 1 1 = Ce Ci i=1 Ce = i=N X Ci i=1 20 juin 2018 Page -15- [email protected] PCSI-LYDEX 2.2.2.3 2.2. MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES R, C ET L Aspect énergétique L’énergie d’un condensateur idéal est : E pe = ∆E pe 1 ∆q2 q2 =⇒ P(t) = lim = lim ∆t→0 ∆t 2C 2C ∆t→0 ∆t Remarque La tension aux bornes du condensateur ainsi sa charge sont des fonctions continues en fonction du temps. En effet : on suppose qc est discontinue ;c’est à dire ∆qc , 0 ∀ ∆t < ε Si qc est discontinue alors q2c est discontinue ce qui donne : P(t) = 1 ∆q2 lim → ∞ 2C ∆t→0 ∆t q(t) ∆qc impossible physi- quement . Donc La charge (la tension ) du condensateur est continue to t Remarque La valeur de C ; la tension Umax ainsi la polarité sont données par le constructeur. 2.2.3 La bobine Une bobine est un fil conducteur enroulé sur un isolant 2.2.3.1 Modélisation On modélise une bobine par une inductance L en série avec une resistance r. i r L On convention récepteur on donc : u=L 20 juin 2018 di + ri dt Page -16- [email protected] PCSI-LYDEX 2.3. DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT. Remarque ◮ Pour les bobines sans noyau de fer : L = cte(i),L ne depend pas de i.Par contre les bobines avec noyau de fer L = L(i) Mais pour i faible on peut considérer L ≃ cte (un DL à l’ordre 0 au voisinage de i) 1 ◮ L’énergie d’une bobine parfaite (r = 0) : E pm = Li2 2 ◮ Association des bobines parfaites : P 1 ⋆ Parallèle : = L1i LeP ⋆ Série : Le = Li 2.2.3.2 Aspect énergétique • L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue de temps 2.3 2.3.1 Diviseurs de tension et de courant. Diviseurs de courant Soit une association parallèle des résistances Rk : IN Ik I I I1 Soit Re la résistance équivalente ;c’est à dire I le courant principal ; il en résulte que : Ik = k=N P 1 1 = ; on a donc :U = Rk Ik = Re I avec Re k=1 Rk Re I Rk C’est le diviseur de courant Cas particulier important :N = 2 I1 = 20 juin 2018 R2 I R1 + R2 et Page -17- I2 = R1 I R1 + R2 [email protected] PCSI-LYDEX 2.4. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF Remarque Si R1 = R2 =⇒ I1 = I2 = I : méthode demi-courant utiliser pour déterminer les 2 résistances de faibles valeurs (voir TP) 2.3.2 Diviseurs de tension Soit une association série de N résistances Rk avec k = 1 → N : R1 Rk R2 RN−1 RN U Soit Uk la tension aux bornes de la résistance Rk et Re la résistance équivalente c’est à dire Re = k=N P k=1 Rk .On a : I = U Uk = ; ce qui donne la loi du diviseur de tension : Rk Re Uk = Rk Rk U = k=N U Re P Rk k=1 Cas particulier important :N = 2 U1 = R1 U R1 + R2 et U2 = R2 I R1 + R2 Remarque Si R1 = R2 =⇒ U1 = U2 = U : méthode demi-tension utiliser pour déterminer les 2 résistances de grandes valeurs (voir TP) 2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif Soit un circuit électrique linéaire ( constitué des dipoles linéaires) contenant une source de puissance électrique ; A et B deux points de ce circuit. I B U AB bc Circuit linéaire bc 20 juin 2018 Page -18- A [email protected] PCSI-LYDEX 2.4.1 2.4. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF Générateur de courant (représentation de Norton) Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit par un générateur de courant réel de courant électromoteur IN et de résistance interne rN ( générateur de courant idéal en parallèle avec une résistance) : C’est la modélisation de NORTON . I A bc IN RN U AB B bc Dans cette modélisation on a : I = IN − 2.4.2 U AB = IN − G N U AB RN Générateur de tension (représentation de Thevenin) Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit par un générateur de tension réel de force électromotrice Eth et de résistance interne rth ( générateur de tension idéal en série avec une résistance) : C’est la modélisation de THEVENIN . rth I bc A U AB E th bc B Dans cette modélisation on a : U AB = E th − rth I =⇒ I = 2.4.3 E th U AB − rth rth Équivalence entre les deux modélisations Puisque dans les deux modèles de THEVENIN et NORTON le courant I et la tension U AB sont les mêmes quelque soit le circuit linéaire alors on en déduit que : IN = 20 juin 2018 E th rth et Page -19- rN = rth [email protected] PCSI-LYDEX 2.5. SOURCES LIBRES. SOURCES LIÉES 2.5 Sources libres. Sources liées • Un générateur (de tension ou de courant ) est une source de puissance qui fournit de l’énergie au circuit extérieur . • Générateur indépendant : source de puissance électrique indépendante d’autre grandeur électrique du circuit. • Générateur lié : si une des grandeurs physiques dépend d’une grandeur électrique du circuit . Exemple : Le transistor : c’est un générateur de courant en régime linéaire puisque Ic = βIB (générateur de courant lié). 2.6 Théorème de Millman Le théorème de MILLMANN n’est rien d’autre que la loi des nœuds exprimé en terme de potentiel (référence commune est la masse ). Vb 4 I4 R4 I5 I1 V1 b b R1 M b R3 V3 I3 I6 R2 I2 b On a : V2 I1 + I2 + I3 + I4 − I5 + I6 = 0 V1 − V M = G1 (V1 − V M ) I1 = R1 V2 − V M I2 = = G2 (V2 − V M ) R2 V3 − V M = G3 (V3 − V M ) I3 = R3 V4 − V M I4 = = G4 (V4 − V M ) G1 (V1 − V M ) + G2 (V2 − V M ) + G3 (V3 − V M ) + G4 (V4 − V M ) − I5 + I6 = 0 R4 On tire que : −I5 + I6 + G1 V1 + G2 V2 + G3 V3 + G4 V4 = VM = G1 + G2 + G3 + G4 20 juin 2018 Page -20- P Gi Vi + εIi P Gi [email protected] CHAPITRE 3 RÉGIME TRANSITOIRE Le but est de déterminer la constante de temps τ caractéristique du régime transitoire. Pout cela excitons un système linéaire par une tension continue à t = 0 . ( On appelle échelon de tension e(t) défini par : e(t) E si t > 0 0 si t < 0 e(t) E t 0 3.1 Cas du circuit (R-C) : Considérons le circuit suivant : (1) i(t) K R (2) C E 21 u PCSI-LYDEX 3.1.1 3.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : Charge du condensateur (régime forcé) : Le condensateur est initialement déchargé :q(0) = 0 =⇒ uc (t = 0) = 0 à t = 0 on bascule K vers (1) : C se charge . 3.1.1.1 L’équation différentielle : Appliquons la loi des mailles au circuit on obtient : E − RI − q = 0 =⇒ C dq q E + = dt RC R c’est l’équation différentielle du circuit La solution de cette équation différentielle s’écrit : q(t) = Ae−t/τ + CE ; avec τ = RC la constante du temps caractéristique du régime transitoire. Or par continuité de la charge du condensateur , on a :q(0) = 0 =⇒ A = −CE t Donc : q(t) = CE(1 − e− τ ) Lorsque t → ∞, q(t) → CE = Q f q(t) = CE(1 − e−t/τ ) =⇒ u(t) = E(1 − e−t/τ ) L’expression du courant électrique : i(t) = dq t = Im e− τ dt avec Im = E R Remarque On a : i(0− ) = 0 , i(0+ ) = Im on tire que i(t) est discontinu Représentation graphique u(t) E Im = R E i(t) t 3.1.1.2 t Détermination expérimentale de la constante de temps τ : 3.1.1.2.1 La pente à l’origine 20 juin 2018 Page -22- [email protected] PCSI-LYDEX 3.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : u(t) E M tM t On a l’équation de la pente à l’origine (droite)D s’écrit sous la forme y = kt avec E du(t) = dt t=0 τ k= L’intersection des deux droites au point M en t M = τ Propriété L’intersection de la pente à l’origine avec le régime permanent se fait en t = τ = RC 3.1.1.2.2 la valeur de u(τ) u(t) E 63% E τ t Évaluons u(τ) avec u(t) = E(1 − exp(−t/τ)) 1 t = τ =⇒ u(τ) = E(1 − ) = 0, 63 E = 63%E e Propriété On retient que lors de la charge, la valeur 0, 63 E = 63%E correspond à t = τ 20 juin 2018 Page -23- [email protected] PCSI-LYDEX 3.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : 3.1.1.2.3 Temps de montée : On définit deux instants t1 et t2 par u(t1 ) = 0, 1E et u(t2 ) = 0, 9E Et puisque u(t) = E(1 − exp(−t/τ) alors t1 = −τ ln 0, 9 et t2 = −τ ln 0, 1. u(t) E 90% E tm = t2 − t1 10% E t1 t2 t On définit le temps de montée tm par tm = t2 − t1 = τ ln 9 ≃ 2, 2τ Remarque L’influence de la constante de temps τ sur la durée de la charge. Pour cela traçons la charge pour différentes valeurs de τ u(t) E 63% E τ1 < τ2 < τ3 τ1 τ2 τ3 t Si τ → 0 alors la charge est presque instantanée Notation La constante du temps τ = RC augmente avec la résistance du conducteur ohmique ainsi la capacité du condensateur. 20 juin 2018 Page -24- [email protected] PCSI-LYDEX 3.1.1.3 3.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : Le portrait de phase : 3.1.1.3.1 Définitions : • C’est la représentation dans le plan (O, f (x), f (x) ) lorsque t varie. dt • On appelle point de phase un point P figuratif dont les coordonnées à un instant donné d f (t) ). t sont ( f (t), dt • Lorsque t varie , le point P décrit une courbe, cette courbe est appelé trajectoire de phase. • On appelle portrait de phase l’ensemble des trajectoires de phase lorsque les conditions initiales varient. 3.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase : df = i(t). Dans notre cas f (t) = q(t) et dt E On a q(t) = CE(1 − exp(−t/τ) et i(t) = exp(−t/τ) alors : R i= 1 E − q R RC C’est l’équation de la trajectoire de phase :droite de pente − 1 RC Lorsque E varie alors la trajectoire de phase décrit des droites parallèles. i(t) q(t) 3.1.1.4 Aspect énergétique : On a : E = Ri + q 1 =⇒ Eidt = Ri2 dt + qdq C C Eidt = Ri2dt + d( q2 ) 2C On appelle : q2 : énergie totale emmagasinée dans le condensateur . 2C δWg = Eidt : énergie élémentaire fournit par le générateur . δW J = Ri2 dt : énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans le circuit . Wc = Z 20 juin 2018 t Eidt = 0 Z t 2 Ri dt + 0 Page -25- Z q 0 q dq C [email protected] PCSI-LYDEX 3.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : 3.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) : 3.1.2.1 Équation différentielle et solution : Quand le condensateur est chargé (q = CE = Q f ) ,on bascule l’interrupteur vers la position (2) :donc en prenant l’instant de basculement comme origine des temps ,les conditions initiales seront :q(0) = CE = Q f ; i(0) = 0 1 1 q = 0 =⇒ dq + q = 0 C τ La solution est :q(t) = Ae−t/τ en utilisant les C.I on obtient : Ri + q(t) = CEe−t/τ =⇒ u(t) = Ee−t/τ k i(t) = − E −t/τ e R u(t) E 90% E tm = t1 − t2 10% E t1 t2 t • Lors de la décharge on a : td = t10% − t90% • q(τ) = 0, 37CE • Le régime permanent est q = 0 (q(t) est une fonction décroissante). 3.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase : D’après ce qui précède on tire que : i=− 1 q RC C’est une droite affine 20 juin 2018 Page -26- [email protected] PCSI-LYDEX 3.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : i(t) q(t) Remarque • Si on remplace le générateur E et l’interrupteur K par un générateur délivrant un signal rectangulaire (E,0) on obtient le signal suivant : La suite voir TP. 3.2 Cas du circuit (R-L) : 3.2.1 Régime forcé : 3.2.1.1 L’équation différentielle et solution On remplace le condensateur par une bobine idéale dans le circuit précèdent : 20 juin 2018 Page -27- [email protected] PCSI-LYDEX 3.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : (1) i(t) K L (2) E R L’interrupteur k est en position (1) : E = Ri + L donc : di dt di R E + i= dt L L c’est l’équation différentielle du circuit La solution de cette équation différentielle en posant τ= L : constante du temps R Et en tenant compte que le courant qui traverse une bobine est continu alors on trouve que : i(t) = Im (1 − e−t/τ ) avec Im = E R i(t) Im 63% Im τ t La tension aux bornes de la bobine idéale est : uL (t) = L 20 juin 2018 di = Ee−t/τ dt Page -28- [email protected] PCSI-LYDEX 3.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : uL (t) E 37% E τ 3.2.1.2 t Portrait de phase On a : i = di E E (1 − exp(−t/τ)) ainsi = exp(−t/τ) R dt L di E R = − i dt L L Le portrait des phase est l’ensemble des droites parallèle de pente − R 1 =− L τ di(t) dt i(t) 3.2.1.3 Aspect énergétique di 1 =⇒ Eidt = Ri2 dt + d( Li2 ) dt 2 • δWg = Eidt : l’énergie élémentaire fournie par le générateur. • δW J = Ri2 dt : l’énergie élémentaire perdue par effet Joule. 1 • δWm = d( Li2 ) : l’énergie élémentaire emmagasinée par la bobine. 2 E = Ri + L Le bilan énergétique pour le circuit s’écrit Wg = W J + Wm 20 juin 2018 Page -29- [email protected] PCSI-LYDEX 3.2.2 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : Régime libre : L’interrupteur maintenant en position (2) ; l’équation différentielle sera donc : Ri + L E di = 0 ; les conditions initiales sont i(0) = dt R par changement d’origine des dates ,la solution s’écrit : i(t) = E −t/τ e R La tension au bornes de la bobine est : uL (t) = −E e−t/τ i(t) uL (t) Im t t −E On vérifie bien que le courant qui traverse la bobine est continu par contre la tension pas forcément continue. 3.3 Circuit (RLC) série : Soit le circuit (RLC ) série : i(t) L C R 3.3.1 Régime libre : Soit q la charge du condensateur et u la tension entre ces bornes. L’équation différentielle est : Lq̈ + Rq̇ + 20 juin 2018 1 q = 0 =⇒ LC ü + RC u̇ + u = 0 C Page -30- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : On pose : r 1 : pulsation propre LC R ωo ;α cœfficient d’amortissement et Q le facteur de qualité ◮ 2α = = L Q ◮ ωo = La forme canonique de l’équation différentielle sera : q̈ + 2αq̇ + ω2o q = 0 =⇒ ü + 2αu̇ + ω2o u = 0 L’équation caractéristique est : r2 + 2αr + ω2o = 0 On pose : ∆′ = α2 − ω2o = (α − ωo )(α + ωo ) 3.3.1.1 ∆′ > 0 : Régime apériodique ∆′ > 0 =⇒ α > ωo : Q < Deux racines réelles distinctes : r± = −α ± p 1 2 α2 − ω2o q(t) = Aer+ t + Ber− t =⇒ q(t) = e−αt [Ae √ α2 −ω2o t + Be− √ α2 −ω2o t ] Lorsque t → ∞, e−αt l’emporte ;d’où q → 0 sans osciller :C’est le régime apériodique. Détermination des constantes A et B p :Pour cela on suppose que q(t = 0) = q0 et i(t = 0) = i0 ( A + B = q0 Ar1 + Br2 = i0 i0 + (α + α2 + ω2o )qo B= p 2 α2 +pω2o =⇒ −i0 + (−α + α2 + ω2o )qo A = p 2 α2 + ω2o Representation graphique Avec :ωo = 1, Q = 0, 4; q(0) = 5; i(0) = 0 =⇒ qap = −1, 6667e−2t + 6, 667e−0,5t q(t) Variation de la charge dans le circuit RLC en régime apériodique t Le courant :i(t) = −1.666666667e−2t + 6.666666667e−0,5t 20 juin 2018 Page -31- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : i(t) t Variation du courant dans le circuit RLC en régime apériodique La trajectoire de phase est : i(t) q(t) Portrait de phase en régime apériodique Trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d’un système apériodique 3.3.1.2 Régime critique ∆′ = 0 : ∆′ = 0 =⇒ α = ωo : Q = Deux racines réelles confondues : 1 2 r+ = r− = −α = −ωo q = (c + dt)e−αt Quand t → ∞, q → 0 rapidement sans osciller : C’est le régime critique. Representation graphique 20 juin 2018 Page -32- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : Conditions initiales :ωo = 1; Q = 0.5; q(0) = 5; i(0) = 0 =⇒ q(t) = 5 exp(−t) + 5t exp(−t); i(t) = −5t exp(−t) q(t) Variation de la charge dans le circuit RLC en régime critique t De même : i(t) t Variation du courant dans le circuit RLC en régime critique La trajectoire de phase est : 20 juin 2018 Page -33- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : i(t) q(t) Portrait de phase en régime critique Remarque • Le régime critique est le régime le plus rapide qui tend vers le régime permanent (q = 0) • Si c = 0 alors q(t) = dt e−αt Représentation temporelle q(t) i(t) t t Portrait de phase i(t) q(t) 20 juin 2018 Page -34- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3.1.3 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : Régime pseudopériodique ∆′ < 0 : ∆′ < 0 =⇒ α < ωo : Q > 1 2 ∆′ = α2 − ω2o = i2 Ω2 avec :Ω2 = ω2o − α2 Deux racines complexes conjuguées : r1 = −α+iΩ et r2 = −α−iΩ donc la solution s’écrit : q(t) = e−αt (A cos Ωt + B sin Ωt) = C e−αt cos(Ωt + ϕ) C’est une fonction pseudopériodique d’amplitude Qm = C e−αt variable en fonction du temps Qm t → +∞ 0 −−−−−−→ La pseudopériode est : T= To To 2π = r = r Ω α 1 1 − ( )2 1− ωo 4Q2 Representation graphique La fonction q(t) est le produit d’une fonction périodique est une fonction non périodique (amplitude), et puisque −C e−αt 6 C e−αt cos(Ωt + ϕ) 6 C e−αt alors on représente les deux enveloppes puis la fonction q(t) (q(t) ne peut pas dépasser √ l’enveloppe) α = 0.5, ωo = 9, 25, Ω = 3, ϕ = 0, qo = 1 =⇒ q pp = e−0.5t cos 3t Representation graphique Conditions initiales :ωo = 8; Q = 10; q(0) = 5; i(0) = 0 =⇒ q(t) = exp(−0.4t)(5 cos(7, 99t) + 0, 25 sin(7, 99t)); i(t) = exp(−0, 4t)[−40 sin(7, 99t) + 10−9 cos(7, 99t)] 20 juin 2018 Page -35- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : q(t) Variation de la charge dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique t De même : i(t) Variation du courant dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique t 20 juin 2018 Page -36- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : La trajectoire de phase est : i(t) q(t) Portrait de phase en régime pseudo-périodique 20 juin 2018 Page -37- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : Remarque ◮ On a T = 2π =⇒ T = Ω 2π 2α 1 2π = Q étant le et comme T o = ainsi r α 2 ωo ωo Q ωo 1 − ωo facteur de qualité ; alors T= r To To = r α 2 1 1− 1− ωo 4Q2 Si α ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1 ;en effet R très faible ,alors T ≃ T o oscillations synchrones. ◮ Comme e−αt est un nombre sans dimension alors α à la dimension d’un temps−1 , on pose α= 1 τ τ s’appelle le temps de relaxation ou temps d’amortissement. C Donc pour t = τ l’amplitude Ce−αt (t = τ) = e On conclut donc que :Le temps de relaxation est le temps nécessaire pour que l’amplitude se divise par e ◮ Pour t = 10τ alors l’amplitude Ce−αt (t = 10τ) = C = 0.0000454C → 0 22026.46579 On retient donc que pour t > 10τ le régime transitoire disparaît. Aspect énergétique : On a : Lq̈ + Rq̇ + 1 q = 0 =⇒ C 1 1 ( Li2 ) + Ri2 dt + d( q2 ) = 0 2 2C 1 2 q ) :l’énergie électrostatique élémentaire emmagasinée par le conden2C sateur . 1 • δWm = d( Li2 ) :l’énergie magnétique élémentaire emmagasinée par la bobine . 2 • δWe = Ri2 dt :l’énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans la resistance . • δWe = d( We + W J + Wm = 0 le bilan énergétique pour le circuit (RLC série) libre 20 juin 2018 Page -38- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : Decrement logarithmique on définit le décrément logarithmique par δ = αT cœfficient sans unité On a : ⊲ u(t) = Ae−αt cos(Ωt + ϕ) ⊲ u(t + nT ) = Ae−α(t+nT ) cos(Ωt + nΩT + ϕ) = e−αnT u(t) D’où : u(t) u(t) = eαnT =⇒ αnT = ln u(t + nT ) u(t + nT ) On en déduit que δ = αT = 1 u(t) ln n u(t + nT ) Si n = 1 alors : δ = αT = ln 3.3.2 u(t) u(t + T ) Régime forcé : On ajoute au circuit précédent un générateur délivrant une une tension continue E . i(t) L C E R L’équation différentielle 1 dq di + (R + r)i + q et comme i = = q̇ convention récepteur et en posant dt C dt α 1 2α = et ω2o = alors la forme canonique de l’équation différentielle est : R+r LC On a :E = L q̈ + 2αq̇ + ω2o q = E L Solution de l’équation différentielle La solution est la somme de deux solutions : • qt (t) solution de l’équation homogène qui tend vers 0 après quelques périodes :elle 20 juin 2018 Page -39- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : décrit donc un régime transitoire • q p (t) solution particulière décrit le régime permanent. On a : • q p (t) = CE • L’expression de qt (t) dépend du signe de ∆′ . Pour la suite on suppose que ∆′ < 0 =⇒ α < ωo : régime pseudo-périodique, donc qt (t) = Ae−αt cos(Ωt + ϕ) A l’amplitude ( grandeur positive) et ϕ la phase à l’origine deux constantes déterminés par les conditions initiales ;on suppose que q(t = 0) = 0 condensateur initialement déchargé et i(t = 0) bobine initialement déchargé. q(t) = CE + Ae−αt cos(Ωt + ϕ) =⇒ q(t = 0) = 0 = CE + A cos ϕ (I) −αt i(t) = −Ae (α cos(Ωt + ϕ) + Ω sin(Ωt + ϕ)) i(t = 0) = 0 =⇒ α cos ϕ + Ω sin ϕ = 0 (II) D’après (II) : tan ϕ = − α Ω √ 1 1 CE et comme 1 + tan2 x = =⇒ = ± 1 + tan2 x 2x cos ϕ cos cos x r α2 alors A = ±CE 1 + 2 Ω Puisque A est une amplitude alors le signe +, donc D’après (I) :A = − A = CE r 1+ α2 Ω2 Cas particulier important α ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1 Dans ce cas α ≪ ωo =⇒ Ω = ωo ; T = T o ; A = CE; ϕ = 0 Donc q(t) = CE(1 + e−αt cos(ωo t)) Ainsi i(t) = −CEe−αt (α cos ωo t + ωo sin ωo t) Puisque les fonctions cos x et sin x sont bornées et α ≪ ωo alors i(t) = −CEωo e−αt sin ωo t Representation graphique Représentation de la charge 20 juin 2018 Page -40- [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : q(t) CE(1 + exp(−αt) CE CE(1 − exp(−αt) t Variation de la charge dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique forcé 20 juin 2018 Page -41Représentation du courant [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : i(t) Variation du courant dans le circuit RLC en régime pseudo-périodique forcé t 20 juin 2018 Page -42Représentation du portrait de phase [email protected] PCSI-LYDEX 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : i(t) q(t) Remarque Portrait de phase en régime pseudo-périodique Si on remplace la tension continue E par un générateur de tension carrée on obtient le schéma suivant : Representation graphique Pour toute les détails voir TP régime transitoire 20 juin 2018 Page -43- [email protected] PCSI-LYDEX 20 juin 2018 3.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : Page -44- [email protected] CHAPITRE 4 RÉGIME ALTERNATIF SINUSOIDAL Un signal alternatif est un signal qui n’admet pas de composante continue (sa valeur moyenne est nulle :< u(t) >= 0) ,en effet son expression s’écrit sous la forme : x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) avec : • Xm : amplitude du signal (valeur positive). • ωt + ϕ : la phase à l’instant t. • ϕ : La phase à l’origine, c’est à dire la phase pour t = 0 • ω : la pulsation . 4.1 4.1.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes Amplitude complexe Soit un signal sinusoidal d’amplitude Xm et de pulsation ω, c’et à dire x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) A ce signal on peut lui associer : ◮ Un vecteur tournant de norme Xm et d’angle θ = ωt + ϕ : représentation de Fresnel. ◮ Un nombre complexe de module Xm et d’argument ϕ : représentation complexe. Rappel : ⊲ | Z 1 × Z 2 |=| Z 1 | × | Z 2 | Z1 |Z | = 1 ⊲ Z2 | Z2 | ⊲ arg(Z 1 Z 2 ) = arg Z 1 + arg Z 2 ⊲ arg(a > 0) = 0 ⊲ arg(a < 0) = π ⊲ arg( ja)(a < 0) = − Si Z = a + jb =| Z | e ⊲ arg(Z 1 /Z 2 ) = arg Z 1 − arg Z 2 jθ π 2 ⊲ = z1 + z2 = z1 + z2 alors : 45 π 2 ⊲ z1 /z2 = z1 /z2 ⊲ arg( ja)(a > 0) = PCSI-LYDEX 4.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES √ a2 + b2 ℑ(Z) b ⊲ sin θ = √ = |Z| a2 + b2 ℜ(Z) a b ℑ(Z) ⊲ cos θ = √ ⊲ tan θ = = = |Z| a ℜ(Z) a2 + b2 ⊲ | Z |= La notation complexe consiste à associe à une fonction sinusoïdale un nombre complexe : x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) → x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) + jXm sin(ωt + ϕ) =⇒ x(t) = Xm e j(ωt+ϕ) = Xm e jϕ e jωt avec : x(t) = ℜ(x(t)) x(t) = Xm e jϕ e jωt Xm On rappelle que pour un signal sinusoidal :Xe = √ : valeur efficace. 2 On pose : X m = Xm e jϕ =⇒ Xe = Xe e jϕ On conclut que : Xe = |Xe| k Xm = |X m | k ϕ = arg X m = arg X e Intérêt de la notation complexe : ⋆ Linéarité : Si x1 = X1m cos(ωt + ϕ1 ) et x2 = X2m cos(ωt + ϕ2 ) alors pour : x = x1 + x2 = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ Xm e jϕ e jωt = X1m e jϕ1 e jωt + X2m e jϕ2 e jωt X m = X 1m + X 2m Propriété Linéarité L’addition de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est équivalent à l’addition des amplitudes complexes en notation complexe. ⋆ Dérivation : x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ x = Xm e jϕ e jωt π j dx π jϕ jωt 2 =⇒ = −ωXm sin(ωt + ϕ) = ωXm cos(ωt + ϕ + ) → ωXm e e e = jωXm e jϕ e jωt dt 2 dx = jωx(t) dt Propriété Dérivation Dériver par rapport à t en notation réelle revient à multiplier par ( jω) en notation complexe ⋆ Intégration : 20 juin 2018 Page -46- [email protected] PCSI-LYDEX 4.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES 1 Xm π Xm sin(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ − ) ω ω 2 π Xm jϕ jωt Xm jϕ jωt − j e e e 2 = e e → ω jω Z 1 x(t)dt = x(t) jω R x(t)dt = Propriété Intégration Intégrer par rapport à t en notation réelle revient à multiplier par ( en notation complexe 4.1.2 Impédance complexe et admittance complexe : 4.1.2.1 Définitions : Soit un dipole linéaire AB ; i(t) D u(t) i = Im cos(ωt + ϕi ) → i = I m e jωt avec I m = Im e jϕi Puisque le dipole est linéaire alors la tension u(t) est sinusoidal de même pulsation ω u = Um cos(ωt + ϕu ) → u = U m e jωt avec U m = Um e jϕu On appelle impedance complexe Z= Z= Um Ue = Im Ie Um j(ϕu −ϕi ) e = Ze jϕ Im Z = |Z| = Um Im k ϕ = ϕu − ϕi = arg Z ϕ étant le déphasage entre u(t) et i(t) On appelle admittance complexe : Ym = 20 juin 2018 I 1 Im − jϕ = m = e Z m U m Um Page -47- [email protected] 1 ) jω PCSI-LYDEX 4.1.2.2 4.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES Applications : 4.1.2.2.1 Impédance d’un resistor : u = Ri =⇒ U m = RI m Conclusion: ZR = R =⇒ ϕR = 0: u(t) et i(t) sont en phase uR (t) i(t) t 4.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale : di u = L =⇒ U m = jLωIm =⇒ dt Z L = jLω Conclusion: • • • • ZL = Lω π ϕL = + 2 ϕL > 0 =⇒ u(t) est en quadrature avance par rapport π ϕL = =⇒ ∆t = T/4 2 à i(t) uL (t) i(t) t 20 juin 2018 Page -48- [email protected] PCSI-LYDEX 4.1.2.2.3 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ Impedance d’un condensateur : 1 1R Im =⇒ u= i(t)dt =⇒ U m = C jCω 1 jωC ZC = • ZC = 1 Cω uc (t) i(t) t ; ϕC = −π/2 • ϕC < 0 =⇒ u(t) est en quadrature retard par rapport à i(t) • |ϕC | = π/2 =⇒ ∆t = T/4 Remarque Conclusion Tous les résultats trouvés en courant continu reste valable en régime sinusoidal forcé à condition de travailler avec les grandeurs complexes Exemple :Voir TD 3 : 4.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé Soit un circuit RLC série alimenté par un GBF maintenant entre ses bornes une tension e(t) = E cos(ωt + ϕe ) avec ω = 2π f variable ; f étant la fréquence i(t) u(t) 4.2.1 L R ∼ C Régime transitoire et régime permanent L’équation différentielle s’écrit : d 2 q ωo dq E 2 + + ω q = cos(ωt + ϕe ) o dt2 Q dt L 20 juin 2018 Page -49- [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ La solution de cette équation différentielle est la somme de deux solutions : • Une solution de l’équation homogène (sa forme dépend du signe de ∆′ ), cette solution tend vers 0 lorsque t → ∞(t > 10τ). • Une solution particulière qui s’écrit sous la forme Q cos(ωt + ϕq ) qui décrit le régime permanent. Pour représenter les deux régimes on suppose que ∆′ < 0 , ainsi : q(t) = 1e−0,1t cos(2t) + 1 cos(t) u(t) t Régime transitoire 4.2.2 Régime établi Étude de l’impedance RLC en série donc Z = Z R + Z C + Z L alors Z = (R + r) + j(Lω − 1 ) Cω On tire que : Z= r (R + r)2 + (Lω − p 1 2 ) = Re 1 + Q2 (x − 1/x)2 Cω tan ϕ = 1 Cω R+r Lω − Cherchons si Z présente un extremum, pour cela calculons dZ : dω 1 1 (Lω − )(L + ) dZ Cω Cω2 = r dω 1 2 (R + r)2 + (Lω − ) Cω 1 1 dZ et sa valeur = 0 =⇒ Lω = On retient que Z est minimale pour ω = ωo = √ dω Cω LC minimale est Zmin = R + r 20 juin 2018 Page -50- [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ Z R+r x xR = 1 4.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge) 4.2.3.1 Équation différentielle et solution On a :e(t) = Re i + L q dq duc di q + et puisque uc = et i = =C alors dt c C dt dt d 2 uc R duc 1 1 + + u = e(t) c dt2 L dt LC LC En posant ω2o = R ωo 1 et 2α = = la forme canonique LC L Q d 2 uc ωo duc + + ω2o uc = ω2o E cos(ωt + ϕe ) dt2 Q dt C’est une équation différentielle en uc du second ordre linéaire avec second membre sinusoidal. La solution de cette équation différentielle en régime permanent s’écrit uc (t) = Uc cos(ωt+ ϕc ). Le problème et de déterminer Uc et ϕc . On utilise la méthode complexe pour déterminer ces deux grandeurs, pour cela on utilise le diviseur de tension : Uc = 20 juin 2018 1/ jCω E =⇒ U c = Re + jLω + 1/ jCω Page -51- 1− 1 ω 2 ωo + j ω Q ωo E [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ Posons pour la suite x = ω : pulsation réduite (sans dimension) ωo 1 Uc = 1− x2 j + x Q E Donc Uc = s E (1 − x2 )2 + x2 Q2 ϕc = ϕe − arg(1 − x2 + 4.2.3.2 j x) Q Étude de l’amplitude Uc Cherchons si Uc présente un extremum ; pour cela calculons dUc : dx 1 x 2(x2 − 1) + 2 dUc Q = −E 2 dx x 3/2 (x2 − 1)2 + 2 Q On conclut donc que : • Uc présente en x = 0 =⇒ ω = 0 (Signal continue) un extremum (solution non importante) 1 • Si Q > √ Uc présente un deuxième extremum en 2 xR = s 1− 1 =⇒ ωR(charge) = ωo 2Q2 s 1− 1 2Q2 Avec Si Q ≫ 1 alors 2EQ2 Uc(max) = p 4Q2 − 1 Uc(max) = QE c’est le phénomène de surtension 1 • Si Q 6 √ Uc ne présente pas un deuxième extremum : Uc une fonction décroissante 2 Représentation pour quelques valeurs de Q 20 juin 2018 Page -52- [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ Uc QE m Em Remarque Pour Q > 5 =⇒ ωR = 0, 9899ωo ≃ ωo 4.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge √ 2 On suppose pour la suite que Q > 2 On définit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1 , ω2 ](ou fréquences [ f1 , f2] ou [x1 , x2 ]) tel que Uc > 20 juin 2018 Uc(max) √ 2 Page -53- [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ Uc U c(max) =QE U c(max) √ 2 E ω ωo ωc1 ωc2 Vu la courbe de Uc en fonction de x on cherche les valeurs de x ou on a l’égalité. Tout calcul (avec maple)fait donne : xc1 = ωc1 = ωo v u t 1− 1 1 − 2 2Q Q s 1− 1 4Q2 xc2 = ωc2 = ωo v u t s 1+ 1− 1 1 + 2 2Q Q s 1− 1 4Q2 Si Q ≫ 1 alors ωc1 ≃ ωo s 1 1 ) et ωc2 ≃ ωo 1 − ≈ ωo (1 − Q 2Q 1 1 ≈ ωo (1 + ) Q 2Q La largeur de la bande passante à -3dB est : ∆ω = ωc2 − ωc1 = 4.2.3.4 ωo Q Étude du déphasage φ = ϕc − ϕe On a :ϕc = ϕe − arg(1 − x2 + j x) donc : Q sin φ = − s x/Q <0 2 (1 − x2 )2 + x Q2 sin φ < 0 =⇒ φ ∈ [−π, 0] x j Q φ = − arg(1 − x2 + x) =⇒ tan φ = − Q 1 − x2 20 juin 2018 Page -54- [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ ⊲ x → 0 =⇒ φ → 0 π ⊲ x → 1 =⇒ φ → − 2 ⊲ x → +∞ =⇒ φ → −π en effet : π π π φ ∈ [−π, π] =⇒ φ + ∈ [− , ] 2 2 2 1 Q(1 − x2 ) π Q(1 − x2 ) π = =⇒ φ = − + arctan tan(φ + ) = − 2 tan φ x 2 x π π Pour x → ∞ =⇒ φ → − − = −π 2 2 φ 1 − x π 2 −π 4.2.4 Résonance en intensité En régime permanent le courant à pour expression i(t) = Im cos(ωt + ϕi ) =⇒ i(t) = I m e jωt avec I m = Im e jϕi En appliquant la loi d’OHM en notation complexe, on obtient Im = E Re + jLω + 4.2.4.1 1 jCω =⇒ I m = E/Re 1 1 + jQ(x − ) x Étude de l’amplitude Im On a Im = E = r |Z| E/Re 1 2 1 + Q2 x − x ⊲ x = 0 =⇒ Im = 0 ⊲ x → ∞ =⇒ Im → 0 ⊲ Im est maximal si Z est minimal c’est à dire pour ω = ωo = de résonance du courant ⊲ Im (ωo ) = 1 : C’est la pulsation LC E = Imax Re Representation graphique de Im en fonction du facteur de qualité Q 20 juin 2018 Page -55- [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ i Q = 2 Q = 4 Q = 6 Q = 8 x 1 4.2.4.2 La bande passante à -3dB On définit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1 , ω2 ](ou fré- Imax quences [ f1 , f2 ]) tel que Im > √ 2 c’est à dire 1 + Q2 x − 1 2 1 2 6 2 =⇒ Q2 x − −1 60 x x Im Imax = E Re Imax √ 2 x ωc1 x1 = ωo ωo ωc2 x2 = ωo D’après le graphe de Im = Im (x) on cherche les x ou l’égalité est satisfaite : 1 2 1 Q2 x − − 1 = 0 =⇒ Q2 (x − )2 = 1 x x 1 1 Q2 (x − )2 = 1 =⇒ Q(x − ) = ±1 c’est à dire que x x 1 1 + x2 ± x − 1 = 0 =⇒ x1/2 = ± Q 2Q 20 juin 2018 Page -56- s 1 +1 2Q2 [email protected] PCSI-LYDEX 4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ x1 = ω1 1 =− + ωo 2Q s 1 +1 ; 2Q2 x2 = ω2 1 = + ωo 2Q s 1 +1 2Q2 La largeur de la bande passante à -3dB est : ∆ω = ω2 − ω1 = ωo Re = Q L La résonance est aiguë si la bande passante est étroite (Re faible) Remarque On retrouve la définition du facteur de qualité 1 ωo = Q= ∆ω R 4.2.4.3 r L Lωo 1 = = C R RCωo Étude du déphasage ϕ = ϕi − ϕe On a ϕi = ϕe − arg(1 + jQ(x − 1 ) en posantϕ = ϕi − ϕe alors x π π 1 1 > 0 =⇒ ϕ ∈ [− , ] ϕ = − arg(1 + jQ(x − ) =⇒ cos ϕ = r x 2 2 1 1 + Q2 (x − )2 x π 2 π x → ∞ alors ϕ → − 2 x → 1(à la résonance r en courant) alors ϕ → 0 1 1 π x → x1 = − + + 1 alors ϕ → + 2Q r 2Q2 4 1 1 π x → x2 = + + 1 alors ϕ → − 2 2Q 2Q 4 ⊲ Si x → 0 alors ϕ → ⊲ Si ⊲ Si ⊲ Si ⊲ Si Representation graphique de ϕ en fonction x 20 juin 2018 Page -57- [email protected] PCSI-LYDEX 4.3. LA PUISSANCE : ϕ x 4.3 La puissance : 4.3.1 Facteur de puissance : ⋆ La puissance instantanée : p(t) = δW = u(t).i(t) δt ⋆ La puissance moyenne : 1 Pm =< p(t) >= T Z T p(t)dt 0 sachant que • u(t) = Um cos(ωt + ϕu ) • i(t) = Im cos(ωt + ϕi ) 1 • cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 Et en posant ϕ = ϕu − ϕi le déphasage de le tension par rapport au courant alors : Pm = Um Im cos(ωt + ϕu ) cos(ωt + ϕi ) Pm =< p(t) >= Um Im cos ϕ = Ue Ie cos ϕ 2 ⊲ cos ϕ : facteur de puissance. Um Im ⊲ Pm = cos ϕ :puissance active ou puissance utile 2 Um Im ⊲ Q= sin ϕ :puissance réactive 2 Um Im :puissance apparente ⊲ S = 2 S 2 = P2m + Q2 20 juin 2018 Page -58- [email protected] PCSI-LYDEX 4.3. LA PUISSANCE : Remarque ui∗ = UI ∗ = Um Im e j(ϕ+ϕi ) e− jϕi = Um Im cos ϕ + jUm Im sin ϕ 1 1 Pm = ℜ(ui∗ ) = ℜ(U m I ∗m ) = ℜ(U e I ∗e ) 2 2 Et puisque U m = ZI m alors Pm = I2 ℜ(Z) = Ie2 ℜ(Z) 2 On conclut donc que la puissance moyenne est dissipée dans la partie réelle de l’impédance complexe Intérêt : Soit un générateur alimentant une utilisation à travers une ligne de transport (cables) : Ligne (Z) i cos ϕ Générateur utilisation On pose : Pu = UI cos ϕ : La puissance moyenne utile. S = UI : La puissance apparente. P J = RI 2 : La puissance moyenne consommée par la ligne (Z = R + jX ) Pg : la puissance moyenne délivrée par le générateur. Le bilan énergétique s’écrit :Pg = P J + Pu ◮ ◮ ◮ ◮ Le rendement énergétique de l’ensemble est : η= Pu = Pg 1 1+ PJ Pu η est une fonction décroissante de P J RI 2 RPu = = 2 Pu Pu U cos2 ϕ Pour augmenter η , il faut minimiser PJ donc soit : Pu ⊲ Diminuer R (augmenter la section des cables) ⊲ Augmenter U (haute tension) ⊲ Augmenter cos ϕ (en pratique cos ϕ > 0, 9) Exemple : Soit un dipôle d’impédance complexe Z = Ze jϕ Pour augmenter cos ϕ, on peut placer en parallèle sur le dipôle un condensateur 20 juin 2018 Page -59- [email protected] PCSI-LYDEX 4.3. LA PUISSANCE : D C L’admittance équivalente est Y e = jCω + 1 Z On veut que cos ϕtotal = 1 =⇒ Y e ∈ R c’est à dire Cω − 4.3.2 1 1 sin ϕ = 0 =⇒ C = sin ϕ Z Zω Adaptation d’impedance : Voir Exercice No 1 de la série II électrocinétique 1. Pm = XE 2 2[(X + XG )2 + (Y + YG )2 ] 2. Pm est maximale si sa dérivée est nulle : ∂Pm = 0 =⇒ X = XG ∂Y ∂Pm = 0 =⇒ Y = −YG • ∂X Donc Z = Z ∗ • 3. Z est imaginaire pur =⇒ X = 0 d’où la puissance moyenne est nulle 4. la fréquence f = 150 MHz • Z = R//C avec R = 150 Ω et C = 100 pF 1 1 Z = ZG∗ =⇒ Y = Y G∗ et comme Y = + jCω =⇒ Y G = − jCω R R 1 1 1 1 avec Lω = =⇒ L = donc Y G = + R jLω Cω2 Cω2 1 AN L = = 11, 26 nH 4π f 2C On conclut donc que ZG = R//L 1 1 • Z = R//L =⇒ ZG = R//C tel que C = = 2 2 2 Lω 4π L f AN C = 37, 5 pF 20 juin 2018 Page -60- [email protected] CHAPITRE 5 DIAGRAMMES DE BODE DES FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE On admet le Théorème de FOURIER : toute fonction périodique peut être décomposable en une série de fonctions sinusoïdales. C’est pour cela qu’on s’interesse aux signaux sinusoïdaux appliqués aux systèmes linéaires. 5.1 Fonction de transfert 5.1.1 Définitions Soit D un quadripole constitué par un système linéaire possédant une entrée ve et une sortie v s : Ve D Vs Puisque on s’interesse aux signaux sinusoidaux , alors on pose : ⊲ ve (t) = Ve cos(ωt + ϕe ) =⇒ ve (t) = V e e jωt avec V e = Ve e jϕe ⊲ vs (t) = V s cos(ωt + ϕ s ) =⇒ vs (t) = V s e jωt avec V s = Ve e jϕs On appelle fonction de transfert : H( jω) = avec H = V s V s j(ϕs −ϕe ) = He jϕ = e V e Ve Vs le module de la fonction de transfert et ϕ = ϕ s −ϕe son argument(le déphasage Ve de la sortie par rapport à l’entrée). 5.1.2 Exemples Déterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants : ◮ circuit CR :H = jRCω 1 + jRCω 61 PCSI-LYDEX ◮ circuit RC :H = 5.1. FONCTION DE TRANSFERT 1 1 + jRCω 1 1 − LCω2 + jRCω −LCω2 ◮ circuit RCL :H = 1 − LCω2 + jRCω jRCω ◮ circuit LCR :H = 1 − LCω2 + jRCω ◮ circuit RLC :H = 5.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle Rappelons que en notation complexe multiplier par ( jω)n c’est dérivé n fois par rapport au temps et diviser par ( jω)n c’est intégrer n fois par rapport au temps. Prenons l’exemple du circuit RC : H( jω) = Vs ω =⇒ V e = V s + j V s en passant à la notation réelle on a Ve ωc ve (t) = vs (t) + 1 dvs (t) ωc dt C’est l’équation différentielle du circuit 5.1.4 Diagrammes de BODE En électronique , on couvre en général une large plage de fréquences (10 → 100 kHz cadre de l’ARQP) ,la representation linéaire est peu pratique et peu utilisé. • Diagramme de Bode : c’est une representation en échelle logarithmique en abscisse. • On définit le gain G en décibels par : GdB = 20 log H On rappelle que H est sans dimension. Le diagramme de Bode est le tracé des deux courbes : ◮ GdB = f (log(ω)) :diagramme de Bode pour H en décibels ; ◮ ϕ = g(log(ω)) :diagramme de Bode pour la phase. 20 juin 2018 Page -62- [email protected] PCSI-LYDEX 5.2. FILTRAGE Remarque 1. On trace en général un diagramme de Bode sur un papier «semilogarithmique» (avec une échelle logarithmique ) 2. On a lim log ω → −∞ : un diagramme de Bode ne «s’arrête pas » à log ω = 0 ω→0 3. Si H = H 1 × H 2 =⇒ ( GdB = G1dB + G2dB ϕ = ϕ1 + ϕ2 On peut sommer les diagrammes de Bode GdB = 0 ⇐⇒ H = 1 GdB < 0 ⇐⇒ H < 1 4. GdB > 0 ⇐⇒ H > 1 H = 10 ⇐⇒ GdB = 20 H = 102 ⇐⇒ GdB = 40 . .. 5. H = 10−1 ⇐⇒ GdB = −20 H = 10−2 ⇐⇒ GdB = −40 ... ◮ On appelle le décade l’intervalle des pulsations [ω1 , ω2 ] tel que ω2 = 10ω1 5.2 5.2.1 Filtrage Introduction Un filtre est un système linéaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) certaines fréquences et atténue (le plus possible ) les autres. Il est caractérisé par sa bande passante [ωc1 , ωc2 ] ou ∆ω = ωc2 − ωc1 avec ωc1 et ωc2 les pulsations de coupure. On définit la bande passante à -3dB par Hmax H(ωc ) = √ =⇒ G(ωc ) = Gmax − 3dB 2 20 juin 2018 Page -63- [email protected] PCSI-LYDEX 5.2.2 5.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE Principaux types de filtres H H Filtre passe-bas Filtre passe-haut Ho Ho Filtre idéal Ho √ 2 Ho √ 2 Filtre réel Filtre idéal Filtre réel ω ω ωc H ωc H Filtre passe- bande Filtre coupe-bande Ho Ho Filtre réel Ho √ 2 Ho √ 2 Filtre réel Filtre idéal ω Filtre idéal ωc1 ωc1 ωc2 ωc2 ω Remarque On pose H( jω) = N(ω) D(ω) avec deg N(ω) 6 deg D(ω) (sinon le système est instable) On dit qu’un filtre est d’ordre n si degD(ω) = n 5.3 Filtres du premier ordre 5.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre La forme canonique du filtre passe-bas d’ordre 1 est : H( jω) = 20 juin 2018 Ho Ho ω = 1 + jx 1+ j ωc Page -64- [email protected] PCSI-LYDEX 5.3.1.1 5.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE L’étude d’un exemple : R considérons le circuit (RC) suivant : Ve C Vs i 1 → ∞ (le condensateur se comporte comme un interrupjCω teur ouvert) ,donc le courant est nul et par conséquent v s (t) = ve (t) 1 → 0 (le condensateur se comporte comme un fil) ,donc ◮ En HF :ω(x) → ∞ =⇒ jCω la tension entre ses bornes est nulle et par conséquent v s (t) = 0 ◮ En BF :ω(x) → 0 =⇒ On conclut que ce filtre laisse passer les tensions sinusoïdales de faibles fréquences et élimine les tensions de hautes fréquences : C’est un filtre passe-bas 1 1 jCω = La fonction de transfert s’écrit :H( jω) = 1 1 + jRCω R+ jCω Donc : ωc = 1 RC || Ho = 1 Si ω ≫ ωc (x → ∞) =⇒ H( jω) → 0 (V s → 0) Si ω ≪ ωc (x → 0) =⇒ H( jω) → Ho Le circuit est constitué des composants passifs alors le filtre est passif. Puisque le degré du dénominateur est égal à 1 alors le filtre est passe-bas passif d’ordre 1. ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 5.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain : On a |Ho | |Ho | H= r = √ ω 1 + x2 1 + ( )2 ωc Comportement asymptotique : ω |Ho | ] = 20 log |Ho | − 20 log ⊲ limω→∞ G(ω) = limω≫ωc [20 log10 r ωc ω 1 + ( )2 ωc ω lim G(ω) = Go − 20 log ω→∞ ωc ⊲ limω→0 G(ω) ≃ 20 log |Ho | = Go ω est une droite de pente ωc -20dB/décade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour ω = ωc • La courbe représentant le gain GdB en fonction de log 20 juin 2018 Page -65- [email protected] PCSI-LYDEX 5.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE G(dB) Go Go-3dB Courbe réelle Intégrateur 20 dB/décade décade log ω ωc Remarque ◮ Pour ω ≪ ωo =⇒ x → 0 on a H = Ho ∈ R =⇒ vs (t) = Ho ve (t) : le circuit réalise l’opération «multiplication par une constante» ◮ Pour ω ≫ ωc =⇒ H( jω) = R Ho ω c =⇒ vs = Ho ωc ve dt : c’est un intégrateur jω Le filtre passe bas d’ordre 1 joue le rôle d’intégrateur en hautes fréquences (pulsations(ω ≫ ωc )) 5.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase : • H( jω) = Ho Ho ω =⇒ ϕ(ω) = arg( ω) 1+ j 1+ j ωc ωc ϕ = arg Ho − arg(1 + j ϕ(ω) 20 juin 2018 x 1 > 0 donc < 0 et cos ϕ = √ 1 + x2 1 + x2 Dans notre exemple Ho = 1 =⇒ sin ϕ = − √ h π i ω <0 ϕ ∈ − , 0 d’où ϕ(ω) = − arctan 2 ωc ω ) ωc log ωc log ω Page -66- [email protected] PCSI-LYDEX 5.3.2 5.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE Filtre passe-haut du premier ordre La forme canonique du filtre passe haut d’ordre 1 est : ω jx ωc H( jω) = Ho ω = Ho 1 + jx 1+ j ωc j 5.3.2.1 L’étude d’un exemple : considérons le circuit (CR) suivant : En BF :Zc → +∞ =⇒ v s (t) → 0 En HF :Zc → +0 =⇒ v s (t) → ve (t) Donc le filtre CR est un filtre passif passe-haut C Ve R L’expression de la fonction de transfert : H( jω) = Donc :Ho = 1 et ωc = • • • • jRCω 1 + jRCω 1 RC L’ordre du filtre est égal à 1. Si ω ≫ ωc =⇒ H( jω) → Ho Si ω ≪ ωc =⇒ H( jω) → 0 deg(D( jω)) = 1 On conclut que c’est un filtre passif passe-haut d’ordre 1 5.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain : GdB (ω) = 20 log10 |H( jω)| = 20 log10 Comportement asymptotique : ⊲ limω→∞ G(ω) ≃ Go ; ⊲ limω→0 G(ω) ≃ 20 log ω |Ho | ωc r ω 1 + ( )2 ωc ω ωc Remarque ω est une droite de ωc pente 20dB/décade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour ω = ωc • La courbe représentant le gain GdB en fonction de log 20 juin 2018 Page -67- [email protected] PCSI-LYDEX 5.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE G(dB) dérivateur log ω ωc 1 G(ωc ) = Go − 20 log √ = Go − 3dB 2 Remarque Pour ω ≪ ωc =⇒ H( jω) = j 1 ve ω =⇒ vs = : c’est un dérivateur ωc ωc dt Le filtre passe haut d’ordre 1 joue le rôle d’un dérivateur en faibles fréquences f ≪ fc 5.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase : π jx =⇒ ϕ = arg(Ho ) + − arg(1 + jx) 1 + jx 2 π Dans notre exemple Ho = 1 =⇒ arg(Ho ) = 1 et par conséquent ϕP.haut = + ϕP.bas 2 On a H = Ho marConclusion : Le déphasage d’un filtre passe haut du premier ordre se déduit de celui du filtre passe bas d’ordre 1 par une une translation de π 2 ϕ(ω) log 20 juin 2018 Page -68- ω ωc [email protected] PCSI-LYDEX 5.4 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE Filtres du deuxième ordre L’ordre du filtre est égal à 2 donc le dénominateur D(ω) = D(x) est polynôme d’ordre 2. 5.4.1 Filtre passe-bas La fonction de transfert d’un filtre passe bas d’ordre 2 est : H= Ho 1 − x2 + j x Q avec ω = xωo 5.4.1.1 L’étude d’un exemple ◮ En HF : x → ∞ =⇒ Z c → 0 donc V s → 0 ◮ En BF : x → 0 =⇒ Z c → ∞ donc V s → Ve Donc : c’est un filtre passif passe bas i R L C ve vs L’expression de la fonction de transfert s’écrit : H= 1 1 − LCω2 + jRCω On tire que : 1 ◮ La pulsation propre ωo = √ LC ◮ Ho = 1 r 1 L ◮ Le facteur de qualité Q = R C À partir de l’expression de la fonction de transfert on en déduit que : ⊲ En BF x → 0 =⇒ H → Ho c’est à dire que vs (t) = Ho ve (t) ⊲ En HF x → ∞ =⇒ H → 0 c’est à dire que vs (t) → 0 ⊲ deg(H ) = 2 On conclut que le filtre est passif, passe-bas d’ordre 2 5.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain On a : H= |Ho | =⇒ H = |H| = s x 1 − x2 + j x2 Q (1 − x2 )2 + 2 Q Ho Le comportement asymptotique ◮ En BF : x → 0 =⇒ GdB = Go = 20 log |Ho | ◮ En HF : x → ∞ =⇒ GdB ≃ 20 log(|Ho |ω2o )−40 log ω :C’est une droite de pente -40dB/décade, caractéristique du filtre du deuxième ordre. 20 juin 2018 Page -69- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE On rappelle que la fonction s 1 1 (1 − x2 )2 + x2 Q2 présente un maximum si Q > √ 2 Donc si : 1 • Q < √ : GdB ne présente pas de maximum (courbe décroissante) 2 r 2Q2 1 1 ainsi H(x ) = |H | • Q > √ : GdB présente un maximum en xR = 1 − p R o 2Q2 2 4Q2 − 1 GdB ωR 20 log |Ho | 20 log |Ho | − 3 1 Q= √ 2 log ω ωo 1 Q> √ 2 1 Q< √ 2 -40 dB/décade 1 1. En général xR , 1 =⇒ ωR , ωo sauf pour Q = √ 2 2. Si Q ≫ 1 alors ωR = ωo ainsi on nomme x1 et x2 > x1 les pôles du dénominateur Ho ; ainsi le diagramme asymptotique présente (1 + jx1 )(1 + jx2 ) une asymptote intermédiaire entre x1 et x2 à -20 dB/décade c’est à dire que H = En effet si : ◮ ω ≪ ω1 =⇒ H = Ho : multiplication par une constante R Ho ω 1 ◮ ω1 ≪ ω ≪ ω2 =⇒ H = c’est à dire que v s (t) = ω1 Ho ve (t) dt :intégrateur jω R R Ho ω o c’est à dire que v (t) = ( ve (t) dt) dt : double intégrateur ◮ ω2 ≪ ω =⇒ H = s ( jω)2 5.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase On a : Ho x =⇒ ϕ = arg Ho − arg(1 − x2 + j ) x Q 1 − x2 + j Q x x Pour Ho = 1 alors ϕ = − arg(1 − x2 + j ) =⇒ tan ϕ = − Q Q(1 − x2 ) H= Représentation de la phase pour quelques valeurs de Q 20 juin 2018 Page -70- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE ϕ log x −π/2 1 Q> √ 2 1 Q= √ 2 1 Q< √ 2 −π 5.4.2 Filtre passe-haut La fonction de transfert d’un filtre passe haut d’ordre 2 est de la forme H = −Ho x2 1 − x2 + j x Q • En BF x → 0 =⇒ H → 0 donc vs (t) → 0 • En HF x → ∞ =⇒ H → Ho donc vs (t) → Ho ve (t) • deg D=2 on conclut que le filtre est passe-haut d’ordre 2 5.4.2.1 L’étude d’un exemple i R C Ve L Vs En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient : H=− 1 Avec Ho = 1 , Q = R 20 juin 2018 r LCω2 x2 = − x 1 − LCω2 + jRCω 1 − x2 + j Q L 1 et ωo = √ C LC Page -71- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4.2.2 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE Diagramme de Bode pour le gain H = |Ho | p x2 (1 − x2 )2 + x2 /Q2 Comportement asymptotique : ◮ En HF : H = |Ho | =⇒ GdB = Go = 20 log |Ho | |Ho | ◮ En BF H = 2 =⇒ GdB = Go + 40 log x : c’est une droite de pente +40 dB/décade x Cherchons si H ainsi GdB présente un extremum (maximum), pour cela calculons : xQ(2Q2 − x2 (2Q2 − 1)) dH = 2 dx (Q − 2 Q2 x2 + Q2 x4 + x2 )(3/2) Si Q < dH = 0 =⇒ dx Si Q > 1 √ H ne présente pas de maximum (de même pour GdB ) 2 1 √ H présente un maximum (de même pour en GdB) xR tel que 2 ωR 2Q = p >1 ω 4 Q2 − 2 2Q2 Si Q ≫ 1 =⇒ xR = 1 donc ωo = ωR et H(xR ) = Q|Ho | ainsi H(xR ) = p 4Q2 − 1 xR = Representation graphique du gain pour quelques valeurs de Q GdB Q > 1/ √ 2 log x √ 2 √ Q = 1/ 2 Q < 1/ +40 dB/décade 5.4.2.3 Diagramme de Bode pour la phase On a : ϕ = arg(−Ho x2 ) − arg(1 − x2 + jx/Q) = arg(−Ho ) − arg(1 − x2 + jx/Q) Pour Ho = 1 alors ϕ = π − arg(1 − x2 + jx/Q) =⇒ tan(π − ϕ) = − tan ϕ = 20 juin 2018 Page -72- x Q(1 − x2 ) [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE Donc tan ϕ = x − 1) Q(x2 Representation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q ϕ π √ Q = 0, 2 < 1/ 2 √ Q = 1/ 2 √ Q = 3 > 1/ 2 log x Remarque ◮ En HF : H = Ho =⇒ vs (t) = Ho ve (t) : multiplication par une constante Ho d 2 ve (t) Ho ◮ En BF : H = −Ho x2 = − 2 ( jω)2 =⇒ vs (t) = 2 : la tension de sortie est ωo ωo dt2 proportionnelle à la dérivée seconde de la tension d’entrée 5.4.3 Filtre passe-bande La fonction de transfert d’un filtre passe-bande d’ordre 2 est : H = Ho Ho = x 1 1 − x2 + j 1 + jQ x − Q x jx/Q ◮ En BF : H → 0 =⇒ vs (t) → 0 ◮ En HF : H → 0 =⇒ vs (t) → 0 On montre (après) que H présente un maximum , donc c’est un filtre passe-bande du second ordre 5.4.3.1 L’étude d’un exemple ◮ En HF : x → ∞ =⇒ Z L → ∞ donc V s → 0 ◮ En BF : x → 0 =⇒ Z c → ∞ donc V s → 0 ◮ Pour ω = ωo on a V s est maximale i(t) Ve L C R Donc : c’est filtre passif passe bas 20 juin 2018 Page -73- [email protected] Vs PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE L’expression de la fonction de transfert s’écrit : H= jRCω 1 − LCω2 + jRCω On tire que : 1 ◮ La pulsation propre ωo = √ LC ◮ Ho = 1 r 1 L ◮ Le facteur de qualité Q = R C 5.4.3.2 Diagramme de Bode pour le gain On a |Ho | 1 2 1 + Q2 x − x H= r Comportement asymptotique : ◮ En BF : H = +20 dB/décade ◮ En HF : H = |Ho | x =⇒ G BF = Go − 20 log(Qωo ) + 20 log ω : C’est une droite de pente Q |Ho | ωo =⇒ G HF = Go + 20 log − 20 log ω : C’est une droite de pente -20 Qx Q dB/décade ◮ Pour ω = ωo =⇒ H = |Ho | = Hmax donc GdB(ωo ) = 20 log |Ho | = Go ◮ L’intersection des deux pentes : G HF = G BF =⇒ ω = ωo ◮ Pour ω = ωo on a :G HF (ωo ) = G BF (ωo ) = 20 log Représentation du diagramme asymptotique |Ho | Q GdB 20 log |Ho | Q log x +20 dB/décade 20 juin 2018 -20 dB/décade Page -74- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE Le diagramme de Bode dépend de la valeur du facteur de qualité Q , c’est à dire comparer |Ho | et 20 log |Ho | , autrement dit comparer Q et 1. Q Premier cas Q < 1 : |Ho | > 20 log |Ho | , le diagramme de bode est de la forme : Dans ce cas 20 log Q 20 log GdB 20 log |Ho | Q Go log x -3dB Go x - 20 dB/décade +20 dB/décade Intégrateur dérivateur Ho dve (t) Ho ( jω) =⇒ vs (t) = donc dérivateur Qωo Qωo dt Ho 1 Ho ω o R • En HF : H = =⇒ vs (t) = ve (t) dt donc intégrateur Qωo jω Q |Ho | < 20 log |Ho | , le diagramme de bode est de la Deuxième cas Q > 1 Dans ce cas 20 log Q • En BF : H = forme : GdB Go Go-3dB 20 log |Ho | Q log x + 20 dB/décade - 20 dB/décade Integrateur Dérivateur 20 juin 2018 Page -75- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4.3.3 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE Diagramme de Bode pour la phase 1 ϕ = arg Ho − arg[1 + jQ x − ] x Pour le filtre passif Ho = 1 donc tan ϕ = −Q x2 − 1 x ϕ +π/2 log x 1 Q> √ 2 1 Q= √ 2 1 Q< √ 2 −π/2 5.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande La fonction de transfert d’un filtre coupe (réjecteur de) bande du second ordre est de la forme H = Ho 1 − x2 1 − x2 + jx/Q En effet : ◮ H(x = 1) = 0 =⇒ vs (t) = 0 ◮ H(x → 0) = Ho =⇒ vs (t) = Ho ve (t) ◮ H(x → ∞) = Ho =⇒ vs (t) = Ho ve (t) Ce filtre laisse passer toutes les fréquences sauf aux voisinages de x = 1 c’est à dire aux voisinage de la pulsation propre 5.4.4.1 L’étude d’un exemple • En BF :Z c → ∞ =⇒ i = 0 donc vs (t) = ve (t) • En BF :Z L → ∞ =⇒ i = 0 donc vs (t) = ve (t) • Pour ωωo =⇒ vs (t) = ve (t) i Ve R L C Vs C’est un coupe bande 20 juin 2018 Page -76- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE L’expression de la fonction de transfert 1 1 − LCω2 jCω H= =⇒ H = 1 1 − LCω2 + jRCω R + jLω + jCω jLω + 1 1 ,Q= Donc : Ho = 1 , ωo = √ R LC 5.4.4.2 r L et x = ω/ωo C Diagramme de Bode pour le gain On a : H = |Ho | |1 − x2 | (1 − x2 )2 + x2 /Q2 5.4.4.2.1 Comportement asymptotique ◮ En BF x → 0 =⇒ H = |Ho | ainsi GdB = Go ◮ En HF x → ∞ =⇒ H = |Ho | ainsi GdB = Go Le gain présente deux asymptotes horizontales confondues ◮ Pour x = 1 =⇒ ω = ωo on a H = 0+ =⇒ GdB (x = 1) → −∞ GdB présente une asymptote verticale en x = 1 c’est à dire en pulsation propre 5.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q G dB G o 1 Q= √ 2 1 Q> √ 2 1 Q< √ 2 5.4.4.2.3 log x La bande passante 20 juin 2018 Page -77- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE G dB Go log x1 log x 2 log x G o -3dB |1 − x2 | |Ho | =⇒ p H= √ 2 (1 − x2 ) + x2 /Q2 =⇒ 2(1 − x2 )2 = (1 − x2 )2 + x2 /Q2 =⇒ (1 − x2 )2 = x2 /Q2 =⇒ 1 − x2 = ±x/Q La solution de cette équation sont : x1 = 1 1 ω1 =− + ω 2Q 2 s 1 +4<1 ; Q2 x2 = ω2 1 1 =+ + ω 2Q 2 s 1 +4 >1 Q2 La largeur de la bande passante ∆x = 5.4.4.3 ωo 1 =⇒ ∆ω = Q Q Diagramme de Bode pour la phase On a : H = Ho Donc 1 − x2 Ho =⇒ H = x 2 1 − x + jx/Q 1+ j Q(1 − x2 ) ϕ = arg Ho − arg(1 + j Pour un filtre passif Ho = 1 donc : avec : tan ϕ = − x ) Q(1 − x2 ) x Q(1 − x2 ) π π ⊲ cos φ > 0 =⇒ ϕ ∈ [− , ] 2 2 π ⊲ sin ϕ < 0 =⇒ ϕ ∈ [− , 0] pour x < 1 2 π ⊲ sin ϕ > 0 =⇒ ϕ ∈ [0, ] pour x > 1 2 π • lim ϕ = 0− • lim ϕ = 0+ • lim− ϕ = − x→∞ x→0 x→1 2 • lim+ ϕ = + x→1 π 2 On conclut que la phase d’un filtre coupe bande est présente une discontinuité en x = 1 c’est à dire en ωo . Représentation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q 20 juin 2018 Page -78- [email protected] PCSI-LYDEX 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE π 2 ϕ log x 1 Q< √ 12 Q= √ 2 1 Q> √ 2 - 20 juin 2018 π 2 Page -79- [email protected] PCSI-LYDEX 20 juin 2018 5.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE Page -80- [email protected] CHAPITRE 6 FILTRAGE LINÉAIRE DES SIGNAUX PÉRIODIQUES 6.1 6.1.1 Composition en fréquence d’un signal Représentation temporelle et fréquentielle Soit g(t) un signal T −périodique c’est à dire g(t + kT ) = g(t) avec : 1 la fréquence propre du signal. T 2π = 2π f la pulsation propre du signal. • ω= T • f = Exemples - Signal sinusoidal : - Signal carrée : - Signal triangulaire : 81 PCSI-LYDEX 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL - sinusoidal redressé double-alternance -Signal dents de scie On admet le théorème de FOURIER : ∞ X g(t) = ao + (an cos(nωt) + bn sin(nωt)) n=1 C’est le développement en série de FOURIER (DSF) Avec 1 ao = T Z to +T g(t) dt =< g(t) >= gm to C’est la valeur moyenne (dite aussi composante continue ou offset) du signal g(t). Ainsi 2 an = T Z to +T to 2 g(t) cos(nωt) dt ; bn = T Z to +T g(t) sin(nωt) dt to On retient que tout signal périodique de fréquence f est la somme des fonctions sinusoïdales de fréquence 0, f, 2 f, 3 f, · · · . ◮ On appelle le fondamental le terme correspond à la fréquence f (=⇒ n = 1) c’est à dire le terme a1 cos ωt + b1 sin ωt ◮ On appelle les harmoniques d’ordre n les termes correspondent aux fréquences n f avec n > 1. ◮ On peut écrire g(t) sous la forme g(t) = ao + ∞ X An cos(nωt + ϕn ) n=1 avec An = 20 juin 2018 q a2n + b2n ; Page -82- tan ϕn = − bn an [email protected] PCSI-LYDEX 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL En effet : An cos(nωt + ϕn ) = An cos nωt cos ϕn − An sin nωt sin ϕn =⇒ ( An cos ϕn = an −An sin ϕn = bn D’où le résultat ◮ La série de fourier peut être écrite en utilisant les nombres complexes g(t) = +∞ X cn e jnωt 1 cn = T avec −∞ Z to +T g(t)e− jnωt dt to En effet : On rappelle les formules d’EULER : cos x = g(t) = ao + ∞ P n=1 eix + e−ix 2 ; sin x = an cos nωt + bn sin nωt =⇒ g(t) = ao + eix − e−ix 2i ∞ a − jb P an + jbn − jnωt n n jnωt e + e 2 2 n=1 an − jbn an + jbn =⇒ c∗n = 2 2 1 R to +T Par conséquent cn = g(t)(cos nωt − j sin nωt) dt Donc T to On pose cn = to +T 1 cn = T Z 1 = T Z g(t)e− jnωt dt to ainsi c∗n to +T g(t)e jnωt dt to Remarquons que c∗n = c−n =⇒ |An | = 2|cn | = q a2n + b2n Il en résulte que g(t) = ao + ∞ P n=1 cn e jnωt + c∗n e− jnωt =⇒ g(t) = ao + =⇒ g(t) = ao + ∞ P n=1 ∞ P n=1 cn e jnωt + cn e jnωt + ∞ P c−n e− jnωt n=1 n=−1 P −∞ cn e jnωt c’est à dire en posant co = ao =< g(t) > alors le résultat. ◮ Si le signal g(t) est impair (symétrique par rapport à centre de symétrie ) alors an = 0 ∀n ∈ N et par conséquent g(t)impair =⇒ g(t) = ∞ X bn sin(nωt) = n=1 20 juin 2018 Page -83- ∞ X bn sin(2πn f t) n=1 [email protected] PCSI-LYDEX 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL ◮ Si le signal g(t) est pair (symétrique par rapport à l’axe oy ) alors bn = 0 ∀n ∈ N∗ et par conséquent g(t)pair =⇒ g(t) = ao + ∞ X an cos(nωt) = ao + n=1 ∞ X an cos(2πn f t) n=1 ◮ Formule de BESSEL -PARSEVAL : Soit g(t) une fonction T-périodique, developable en série de FOURIER . on admet que : 1 R to +T 2 fm2 =< f 2 >= f 2 = f (t) dt =⇒ T to fm2 2 =< f >= f2 = a2o ∞ ∞ ∞ 1X 2 X 1X 2 2 2 (a + bn ) = ao + A = + |cn |2 2 n=1 n 2 n=1 n n=−∞ C’est la formule de BESSEL - PARSEVAL ◮ On rappelle valeur efficace ge f f du signal g(t) la racine carrée de la valeur moyenne du carrée du signal ge f f = s 1 T Z to +T g2 (t) dt to Donc pour toute fonction périodique présente deux représentations : temporelle et spectrale cn g(t) t f Représentation temporelle 6.1.2 Exemples 6.1.2.1 Signal sinusoidal Représentation spectrale Considérons un signal sinusoidal d’amplitude E de fréquence f et de composante continue E o ; Donc g(t) = E o + E cos(2π f t) 20 juin 2018 Page -84- [email protected] PCSI-LYDEX 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL cn g(t) E Eo f t Représentation temporelle 6.1.2.2 f Représentation spectrale Signal carré impair Soit e(t) un signal carré impair (−E, E) E t −E T • Puisque e(t) impair alors an = 0 ∀n ∈ N • Calculons les cœfficients bn : 2 RT 2 R T/2 bn = e(t) sin(nωt) dt =⇒ bn = e(t) sin(nωt) dt 0 T T RT/2 4 T/2 =⇒ bn = E sin(nωt) dt T 0 4E [1 − cos(nωT/2)] =⇒ bn = nωT 4E =⇒ bn = 2πn (1 − cos(nπ)) ( 1 Si n pair (n = 2p) n Or cos nπ = (−1) = −1 Si n impair (n = 2p + 1) bn (carré impair) = 4E π(2p + 1) Par conséquent : e(t) = 4E ∞ X sin(2p + 1)ωt p=0 (2p + 1)π Representation spectrale : 20 juin 2018 Page -85- [email protected] PCSI-LYDEX 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL p n An E An 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 1,273 0,424 0,255 0,182 0,141 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 f -1 0 6.1.2.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Signal carré pair Conclusion: La parité du signal ne modifie pas le spectre de fréquence 6.1.2.4 Signal triangulaire pair de pentes symétriques 3 e(t) 2 E 1 0 t T -1 -3 -2 -1 0 1 2 e(t) = E 20 juin 2018 3 1 2 4 − 5 6 7 8 9 10 11 12 +∞ 4 X cos[(2p + 1)ωt] π2 p=0 (2p + 1)2 Page -86- [email protected] PCSI-LYDEX 6.1.2.5 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL Signal dent de scie 3 e(t) 2 E 1 0 t T -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 +∞ 1 X sin(nωt) e(t) = E − 2 π n=1 n 1 6.1.2.6 Signal sinusoidal pair redressé monoalternance e(t) E t T +∞ 1 2 X (−1)n+1 cos(2nωt) e(t) = E + cos(ωt) + π 2 π n=1 4n2 − 1 1 20 juin 2018 Page -87- [email protected] PCSI-LYDEX 6.1.2.7 6.1. COMPOSITION EN FRÉQUENCE D’UN SIGNAL Signal sinusoidal pair redressé doublealternance e(t) E t T +∞ π X (−1)n cos(2nωt) e(t) = E − π 4 n=1 4n2 − 1 2 6.1.2.8 Signal rectangulaire pair de rapport cyclique α quelconque +∞ X sin(nαπ) cos(nωt) e(t) = Eα 1 + 2 nαπ p=0 6.1.3 L’aspect énergétique En général les grandeurs énergétiques (énergie ou puissance) sont proportionnelle 1 2 1 2 1 2 1 2 au carrée de la grandeur physique g(t) ( kx2 ; mv2 ; cU 2 ; Ri2 ; Li2 · · · ) par conséquent 2 < g >= a2o + ∞ X a2 + b2 n n=1 n 2 = +∞ X −∞ |cn |2 (Parseval) Donc chaque terme harmonique de rang n (an cos nωt + bn sin nωt) a une puissance |cn |2 = a2n + b2n . 2 Il en résulte que la puissance du signal est la somme des puissance de chaque harmonique 20 juin 2018 Page -88- [email protected] PCSI-LYDEX 6.2 6.2.1 6.2. TRAITEMENT D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE PAR UN SYSTÈME LINÉAIRE Traitement d’un signal périodique par un système linéaire Rappel ◮ Un circuit est linéaire si les tensions d’entrée ue (t) et de sortie u s (t) sont reliées par une équation différentielle linéaire. Autrement dit si la tension d’entrée ue (t) est sinusoïdale de période T alors la tension de sortie u s (t) est sinusoïdale de période T . ◮ Si on appelle H la fonction de transfert du circuit alors U e (t) = +∞ X cn e jnωt =⇒ U s (t) = −∞ +∞ X H( jnω)cn e jnωt −∞ ◮ On rappelle les formes canoniques des fonctions de transferts des filtres usuelles : • Filtre passe bas du premier ordre H= Ho 1 + jx Intégrateur aux hautes fréquences. • Filtre passe haut du premier ordre H = Ho jx 1 + jx Dérivateur aux basses fréquences. • Filtre passe bas du deuxième ordre H= Ho 1 − x2 + j x Q • Filtre passe haut du deuxième ordre H = Ho −x2 1 − x2 + j x Q • Filtre passe bande H = Ho 20 juin 2018 Ho = x 1 + jQ(x − 1/x) 1 − x2 + j Q jx/Q Page -89- [email protected] PCSI-LYDEX 6.2.2 6.2. TRAITEMENT D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE PAR UN SYSTÈME LINÉAIRE Application 1 : CNC 2009 Filière MP On considère le circuit à amplificateur opérationnel de la figure suivante. C R3 R1 A B C + Ve R2 Vs L’amplificateur opérationnel est alimenté par une source de tension symétrique (non représentée) ±Vcc = ±15 V. On suppose que l’amplificateur opérationnel est parfait et fonctionne en régime linéaire. On suppose ensuite que le signal ve appliqué à l’entrée du circuit est sinusoidal de pulsation ω. 1D Étudier le comportement asymptotique du montage aux basses fréquences, puis aux hautes fréquences et déduire la nature du filtre. 2D Appliquer le théorème de Millmann aux nœuds A et B et déduire deux relations entre v s , vA et ve . 3D Montrer que la fonction de transfert du circuit s’écrit sous la forme Ho H= 1 + jQ x − avec x = 1 x R1 R2 ω . Exprimer Ho ,Q et ωo en fonction de R1 , R3 , R′3 = et C . ωo R1 + R2 4D Dans quel domaine de fréquences ce circuit présente-t-il un caractère intégrateur ? dérivateur ? Exprimer v s (t) en fonction de ve (t) dans chacun des deux cas. 5D Définir, puis calculer les pulsations de coupure à −3dB en fonction de ωo et Q. En déduire la largeur de la bande passante du filtre. 6D Application numérique : on donne Ho = -1, Q = 20 et fo = ωo = 3 kHz. Calculer 2π la largeur de la bande passante en fréquence du filtre. 7D On pose H = H(ω)e jϕ(ω) . 7.1⊲ Déterminer le module H(ω) et l’argument ϕ(ω) de la fonction de transfert H. 7.2⊲ Montrer que H(ω) passe par un maximum pour une valeur ω′o de ω que l’on exprimera. Tracer l’allure de H(ω). On applique à l’entrée du montage de la figure précédente , un signal ve (t) de fréquence f = 1 = 3kHz et d’amplitude E = 5V . T 8D Le signal appliqué est donné par ve (t) = E sin(2π f t). En tenant compte des caractéristiques numériques du filtre , donner l’expression du signal v s (t) obtenu en sortie du circuit. 20 juin 2018 Page -90- [email protected] PCSI-LYDEX 6.2. TRAITEMENT D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE PAR UN SYSTÈME LINÉAIRE 9D Le signal appliqué maintenant est un signal créneau dont on donne le DSF : ∞ E X 2E ve (t) = + sin(2π(2p + 1) f t) 2 p=0 (2p + 1)π 9.1⊲ 9.2⊲ 9.3⊲ pression du • • • • Donner la representation temporelle de la tension d’entrée. Donner l’allure du spectre en fréquence du signal ve (t) ? En tenant compte des caractéristiques numériques du filtre , donner l’exsignal v s (t) observé en sortie du circuit. 1D Le comportement asymptotique du montage : Aux basses fréquences :v s (t) = 0 (la maille (V s ; R3 ; ε)) Aux hautes fréquences :v s (t) = 0 (la maille (V s ; A; B; ε)) La nature du filtre :Filtre actif passe-bande. 2D Le théorème de Millmann aux : Nœud A : VA = V e + jCωR1 V s R1 + 2 jCωR1 R′3 (a) • Nœud B : VB = 0 = VA Vs 1 =⇒ V A = − V + Z c R3 jCR3 ω s (b) 3D La fonction de transfert : Dans (a) on remplace V A par son expression dans (2), on en déduit que : R3 R3 − 2R1 2R1 H= = 1 1 CR3 ω CR3 xωo + + 1+ j 1+ j ′ ′ 2 j2R3Cω 2 j2R3Cxωo − On tire donc que : • Le cœfficient d’amplification statique Ho = − • La pulsation propre : ωo = 20 juin 2018 R3 2R1 1 p C R3 R′3 Page -91- [email protected] PCSI-LYDEX 6.2. TRAITEMENT D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE PAR UN SYSTÈME LINÉAIRE • Le facteur de qualité : 1 Q= 2 4D s R3 R′3 • En H.F (ω → ∞ ou x → ∞) : Ho ω o Ho ω o 1 =⇒ vs (t) ≃ H≃ Q jω Q Z ve (t) dt Donc intégrateur en H.F. • En B.F (ω → 0 ou x → 0) : Ho dve (t) Ho jω =⇒ vs (t) ≃ Qωo ωo Q dt H≃ Donc dérivateur en B.F. 5D Les pulsations de coupure ω1 et ω2 sont définies par : H(ω = ω1,2 ) = |Hmax | √ 2 ou bien GdB (ω = ω1,2 ) = Gmax − 3dB Les pulsations de coupure à −3dB en fonction de ωo et Q. ωmin = ωo 1 − + 2 Q s 4+ 1 ; Q2 ωmax = ωo 1 + 2 Q s 4+ 1 Q2 On conclut que : ωmax − ωmin = ∆ω = La largeur de la bande passante du filtre : ∆ω = 6D Application numérique : ∆f = ωo Q ωo . Q fo =⇒ ∆ f = 150 Hz Q 7D On pose H = H(ω)e jϕ(ω) . 7.1⊲ • Le module H(ω) : • L’argument ϕ(ω) : 20 juin 2018 |Ho | H(ω) = p 1 + Q2 (x − 1/x)2 ϕ = π − arg(1 + jQ(x − 1/x)) Page -92- [email protected] PCSI-LYDEX 6.2. TRAITEMENT D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE PAR UN SYSTÈME LINÉAIRE H(ω) H(ω) dω H(ω) = = 0 =⇒ =0 dω dx dx dx H(ω) = 0 =⇒ 2Q2 (x − 1/x)(1 + 1/x2 ) = 0 comme x > 0 alors H est maximal pour • dx x = 1 =⇒ ω′o = ωo ω . • L’allure de H(x) avec x = ωo 7.2⊲ H(ω) passe par un maximum si H 1 0,707 x1 x2 x 8D Puisque le signal d’entrée est sinusoidal alors le signal de sortie est aussi sinusoidal et par conséquent v s (t) = V s sin(2π f t + ϕ). avec : • V s = H( f = fo )E =⇒ V s = 5 V • ϕ( f = fo ) = π − arg(1) = π vs (t) = 5 sin(6000πt + π) = −5 sin(6000πt) 9D La tension d’entrée est une combinaison linéaire des tensions de fréquences variables f ∈ {0, fo , 3 fo , 5 fo }. Puisque le filtre est un filtre passe-bande de fréquence centrale est f = fo = 3 kHz et de bande passante ∆ f = 150 Hz alors ce filtre ne laisse passer que les tensions sinusoïdales de fréquence situé dans l’intervalle [ f1 , f2 ] c’est à dire la tension dont la fréquence est fo d’où avec H( f = fo ) = 1 et ϕ( f = fo ) = π vs (t) = 20 juin 2018 2E sin(2π f t + π) π Page -93- [email protected]