# 289618312-4-exercices-corriges-mmc-pdf

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θ
0θh1Ri
r0iy0y=y0+θh1Ri
r0ix0avec r0=qx2
0+y2
0
[ ]
[ ]
(x0;y0= 0) (x0= 0; y0) (x0;y0=x0)
(1,2,3)
=
1 3 2
3 1 2
22 6
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= 0.04xo0.02
0.02 0.02yo!avec xo, yoen cm
(o)
(0,0)
[0,5] ×[0,5]cm2
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u xoyo
u= xxo
yyo!= θ[1 Ri
ro]yo
θ[1 Ri
ro]xo!= θ[1 Ri(x2
o+y2
o)1/2]yo
θ[1 Ri(x2
o+y2
o)1/2]xo!
u
u= ux
xo
ux
yo
uy
xo
uy
yo!=
Riθxoyo
r3
oθ+Riθ
roRiθy2
o
r3
o
θRiθ
ro+Riθx2
o
r3
o
Riθxoyo
r3
o
L=I+u= ux
xo
ux
yo
uy
xo
uy
yo!=
1Riθxoyo
r3
oθ+Riθ
roRiθy2
o
r3
o
θRiθ
ro+Riθx2
o
r3
o1 + Riθxoyo
r3
o
B
B=LTL=
1Riθxoyo
r3
o
θRiθ
ro+Riθx2
o
r3
o
θ+Riθ
ro
Riθy2
o
r3
o
1 + Riθxoyo
r3
o! 1Riθxoyo
r3
o
θ+Riθ
ro
Riθy2
o
r3
o
θRiθ
ro+Riθx2
o
r3
o
1 + Riθxoyo
r3
o!
B= B11 B12
B21 B22 !
B11 = 1+θ2+R2
iθ2
r6
o
(x4
o+x2
oy2
o)+2R2
iθ2
r4
o
(x2
o)+2Riθ
r3
o
(θx2
oxoyo)+R2
iθ2
r2
o2Riθ2
ro
B12 =2R2
iθ2
r4
o
(xoyo) + Riθ
r3
o
(x2
oy2
o) + R2
iθ2
r6
o
(x3
oyo+xoy3
o)
B21 =2R2
iθ2
r4
o
(xoyo) + Riθ
r3
o
(x2
oy2
o) + R2
iθ2
r6
o
(x3
oyo+xoy3
o)
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B22 = 1+θ2+R2
iθ2
r6
o
(y2
o+x2
oy2
o)2R2
iθ2
r4
o
(y2
o)+ 2Riθ
r3
o
(θy2
o+xoyo)+ R2
iθ2
r2
o2Riθ2
ro
=1
2(BI) = 1
2 B11 1B12
B21 B22 1!
lin
lin =1
2(u+ (u)T) =
Riθyoxo
r3
o
Riθ(x2
oy2
o)
2r3
o
Riθ(x2
oy2
o)
2r3
o
Riθxoyo
r3
o
me θ2
λ lin λ0=λ/(Riθ
r3
o)
det (lin λI)=0detRiθ
r3
o xoyoλ0x2
oy2
o
2
x2
oy2
o
2xoyoλ0!= 0
(λ02x2
oy2
o)(x2
oy2
o)2
4= 0
I, II
I=λ1=θRi
2ro
II =λ2=θRi
2ro
.
linni=λini
i= 1,2λ1, λ2n1, n2
λ1
Riθyoxo
r3
o
Riθ(x2
oy2
o)
2r3
o
Riθ(x2
oy2
o)
2r3
o
Riθxoyo
r3
o
n1x
n1y!= Riθ
2ron1x
Riθ
2ron1y!
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eI=1
2ro xoyo
xo+yo!
λ2
eII =1
2ro xo+yo
xo+yo!
(Oxyz)
a)(xo;yo= 0) ro=xo
eI=xo
2ro
(1,1) = 1
2(1,1) eII =xo
2ro
(1,1) = 1
2(1,1)
b)(xo= 0; yo)ro=yo
eI=yo
2ro
(1,1) = 1
2(1,1) eII =yo
2ro
(1,1) = 1
2(1,1)
c)(xo;xo=yo)ro=2xo=2yo
eI=1
2ro
(0,2xo) = (0,1) eII =1
2ro
(2xo,0) = (1,0)
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