CHAPITRE 0 Electromagnetisme 3GTEL

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CHAPITRE 1 : RAPPELS DES ELEMENTS D’ANALYSE VECTORIELLE
1.1. Systèmes de coordonnées
La résolution des problèmes en physique passe en général par une représentation adéquate de
points dans l’espace. Cela nécessite une connaissance précise des systèmes de coordonnées.
Dans ce cours nous utiliserons les systèmes de coordonnées cartésien, cylindrique et
sphérique dont les vecteurs de bases sont unitaires et orthogonaux deux à deux.
On considère un point M et le référentiel
.
I. 1.1. Coordonnées cartésiennes
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes (x, y, z).
Le déplacement élémentaire vaut :
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
I. 1. 2. Coordonnées cylindriques
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques (r, , z) .
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle
important dans l’exercice.

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Le déplacement élémentaire vaut :
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon
r + dr.
Le
volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la
surface du cylindre de rayon r et de hauteur H multipliée par dr :
Pour convertir des cartésiennes en cylindriques, on utilise:
r2 = x2 + y2 ; tan θ = y/x et z = z
Exemple
a. Placer le point de coordonnées cylindriques (2, 2π/3, 1) et donner ses coordonnées rectangulaires.
b. Donner les coordonnées cylindriques du point de coordonnées rectangulaires (3, –3, –7).
I.1. 3. Coordonnées sphériques
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques (r, ,  ).

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On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle
important dans l’exercice.
Le déplacement élémentaire vaut :
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r
+ dr.
Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la
surface de la sphère de rayon r multipliée par dr :

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Pour convertir des cartésiennes en sphériques, on utilise:
r2 = x2 + y2 + z2 ; z = ρ cos Φ ; r = ρ sin Φ
Et comme x = r cos θ, y = r sin θ
Exercice :
1- Le point (r = 2,  = π/3, = π/4) est donné en coordonnées sphériques. Placer le point sur un
schéma et calculer ses cordonnées cartésiennes.
2- Le point (  est donné en coordonnées cartésiennes. Caculer des coordonnées sphériques
pour ce point.
I.1. 4. Produit vectoriel avec une base orthonormée directe
On a souvent besoin dans les exercices de calculer :
Si on a trois vecteurs unitaires en suivant, alors
Sinon, il faut mettre un signe négatif :
1.2. Principaux opérateurs et leurs propriétés
L’analyse vectorielle permet d’exprimer les lois fondamentales de la physique des champs
sous forme de relations locales, c’est à dire valable en un point quelconque du domaine
d’étude.
Les définitions et relations ci-dessous seront utilisées notamment dans les cours
d’électromagnétisme, de physique des ondes et de mécanique des fluides.
Les opérateurs vectoriels que nous rencontrerons transforment un champ (vectoriel ou
scalaire) en un autre champ (vectoriel ou scalaire).
1.2.1. Gradient
 On peut définir intrinsèquement le gradient par la relation :

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 Son interprétation physique est liée à la variation spatiale de la grandeur U à un instant fixé
(gradient de pression dans un fluide, gradient de concentration dans un électrolyte, gradient
de température, etc.).
 Le gradient est orthogonal aux surfaces « équiU ».
1.2.2 Divergence
 La divergence d’un champ vectoriel est définie intrinsèquement par la relation :
où d est le flux du vecteur 
 sortant de la surface élémentaire fermée délimitant le volume
d.
 L’opérateur divergence est lié au flux d’un vecteur : il intervient très souvent en physique
dans les équations de conservation:
conservation de la charge,
conservation de l’énergie en électromagnétisme ou en thermique,
conservation de la masse en mécanique des fluides,
conservation du nombre de particules, etc.
1.2.3. Rotationnel
 Le rotationnel d’un champ vectoriel est défini intrinsèquement par la relation :
où dC est la circulation du vecteur 
 le long du contour fermé sur lequel s’appuie la surface
dS.
.
 La condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif est qu’il soit
un champ de rotationnel : div( ) = 0 équivaut à 
, où   est connu à un gradient
près.
 Si le rotationnel d’un champ 
 est nul, il existe un champ scalaire U défini à une constante
près (puisque) :
Nous verrons que cela correspond à écrire que la circulation de ce champ est conservative,
c’est le cas pour un champ électrostatique.
1.2.4. Relations utiles
U(M, t) et V(M, t) sont des champs scalaires, 
 (M, t) et 
(M, t) des champs vectoriels.