CM11

HAX501X – Groupes et anneaux 1
CM11 09/11/2023
Cl´ement Dupont

Polygones r´eguliers
Soit un entier n∈N∗. On note Pn⊂R2l’ensemble form´e des npoints
xk= (cos(2πk/n),sin(2πk/n))
pour k∈ {0,...,n−1}. Ce sont les sommets d’un polygone r´egulier `a ncˆot´es.
Exemple
Voici P5et P6.
x0
x1
x2
x3
x4
x0
x1 x2
x3
x4x5

D´efinition du groupe di´edral
D´efinition
Le groupe di´edral Dnest l’ensemble des f∈O2(R)qui stabilisent Pn,
c’est-`a-dire tels que f(Pn)⊂Pn.
IC’est ´equivalent `a f(Pn) = Pnpour des raisons de cardinal, car
f|Pn:Pn→Pnest injective et donc bijective.
Proposition
Dnest un sous-groupe de O2(R).

Rotations et r´eflexions
INotons rla rotation d’angle 2π/n. C’est clairement un ´el´ement de Dn,
qui engendre le sous-groupe cyclique `a n´el´ements Cn=hri ⊂ Dn.
IPour k∈ {0,...,n−1}, notons aussi ∆kla droite qui fait un angle de
πk/n avec l’axe des abscisses, et skla r´eflexion par rapport `a ∆k. Ce sont
aussi des ´el´ements de Dn.
Exemple
Voici, dans les cas n= 5 et n= 6, les ndroites ∆k.
∆0
∆1
∆2 ∆3
∆4
∆0
∆1
∆2
∆3
∆4
∆5

Les ´el´ements du groupe di´edral
Proposition
On a
Dn∩SO2(R) = Cn={id, r, r2,...,rn−1}
et
Dn∩O−
2(R) = {s0, s1, s2,...,sn−1}.
Par cons´equent, Dnest un groupe d’ordre 2net
Dn={id, r, r2,...,rn−1, s0, s1, s2,...,sn−1}.
D´emonstration.
1) Soit f∈Dn∩SO2(R). Alors fest une rotation et il existe
k∈ {0,...,n−1}tel que f(x0) = xk. Donc f=rk.
2) Soit f∈Dn∩O−
2(R). Alors fest une r´eflexion et il existe
k∈ {0,...,n−1}tel que f(x0) = xk. Alors on a aussi f(xk) = x0et
donc f(x0+xk) = x0+xk. Donc fagit comme id sur la droite
R(x0+xk) = ∆k, d’o`u f=sk.