CM11

HAX501X – Groupes et anneaux 1
CM11 09/11/2023
Clément Dupont
Polygones réguliers
Soit un entier n ∈ N∗ . On note Pn ⊂ R2 l’ensemble formé des n points
xk = (cos(2πk/n), sin(2πk/n))
pour k ∈ {0, . . . , n − 1}. Ce sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés.
Exemple
Voici P5 et P6 .
x1
x2
x1
x2
x0
x3
x0
x3
x4
x4
x5
Définition du groupe diédral
Définition
Le groupe diédral Dn est l’ensemble des f ∈ O2 (R) qui stabilisent Pn ,
c’est-à-dire tels que f (Pn ) ⊂ Pn .
I C’est équivalent à f (Pn ) = Pn pour des raisons de cardinal, car
f|Pn : Pn → Pn est injective et donc bijective.
Proposition
Dn est un sous-groupe de O2 (R).
Rotations et réflexions
I Notons r la rotation d’angle 2π/n. C’est clairement un élément de Dn ,
qui engendre le sous-groupe cyclique à n éléments Cn = h r i ⊂ Dn .
I Pour k ∈ {0, . . . , n − 1}, notons aussi ∆k la droite qui fait un angle de
πk/n avec l’axe des abscisses, et sk la réflexion par rapport à ∆k . Ce sont
aussi des éléments de Dn .
Exemple
Voici, dans les cas n = 5 et n = 6, les n droites ∆k .
∆3
∆4
∆2
∆4
∆1
∆0
∆5
∆3
∆2
∆1
∆0
Les éléments du groupe diédral
Proposition
On a
Dn ∩ SO2 (R) = Cn = {id, r, r2 , . . . , rn−1 }
et
Dn ∩ O−
2 (R) = {s0 , s1 , s2 , . . . , sn−1 }.
Par conséquent, Dn est un groupe d’ordre 2n et
Dn = {id, r, r2 , . . . , rn−1 , s0 , s1 , s2 , . . . , sn−1 }.
Démonstration.
1) Soit f ∈ Dn ∩ SO2 (R). Alors f est une rotation et il existe
k ∈ {0, . . . , n − 1} tel que f (x0 ) = xk . Donc f = rk .
2) Soit f ∈ Dn ∩ O−
2 (R). Alors f est une réflexion et il existe
k ∈ {0, . . . , n − 1} tel que f (x0 ) = xk . Alors on a aussi f (xk ) = x0 et
donc f (x0 + xk ) = x0 + xk . Donc f agit comme id sur la droite
R(x0 + xk ) = ∆k , d’où f = sk .
Comment calculer dans le groupe diédral
On calcule facilement dans le groupe Dn grâce à une proposition vue plus
haut. Pour 0 6 i, j 6 n − 1 on a
si sj = ri−j
et
ri sj = sj+i
et
sj ri = sj−i
où les indices sont entendus modulo n.
Exemple
I On a D1 = {id, s0 }, qui est isomorphe à Z/2Z.
I On a D2 = {id, r, s0 , s1 }, où s0 est la réflexion par rapport à l’axe des
abscisses, s1 est la réflexion par rapport à l’axe des ordonnées, et
s0 s1 = s1 s0 = r = − id. On voit facilement qu’on a un isomorphisme
de groupes
D2 ' Z/2Z × Z/2Z.
I Pour n > 3 le groupe diédral Dn n’est pas abélien, car par exemple
s0 s1 6= s1 s0 .
Et des exercices
Exercice 58
Écrire les tables de multiplication des groupes diédraux D3 et D4 .
Exercice 59
Démontrer que les groupes D3 et S3 sont isomorphes.
Une autre description du groupe diédral
I On note s = s0 , la réflexion par rapport à l’axe des abscisses R(1, 0).
I On a vu que sk = rk s pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1}.
On a donc la proposition suivante :
Proposition
Dn est engendré par r et s, et plus précisément :
Dn = {id, r, r2 , r3 , . . . , rn−1 , s, rs, r2 s, r3 s, . . . , rn−1 s}.
I Avec ces notations, on calcule facilement dans Dn en utilisant les relations
rn = id , s2 = id , srk = r−k s.
Exemple
Dans D5 on a
(r2 s)(r4 s) = r2 (sr4 )s = r3 (r−4 s)s = r−1 = r4 .
Une image
I L’action des 16 éléments du groupe diédral D8 sur un panneau STOP.
4 – Introduction à la théorie des anneaux et des corps
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Notation additive dans un groupe abélien
Dans la suite on va rencontrer des groupes abéliens avec la notation additive
(G, +). L’élément neutre est noté 0G et appelé le zéro de G, l’inverse d’un
élément x ∈ G est noté −x et appelé l’opposé de x. On a les formules :
−(−x) = x
et
− (x + y) = (−x) + (−y).
(Noter que pour la dernière on utilise bien le fait que + est commutative.)
On définit la soustraction de deux éléments x, y ∈ G par la formule :
x − y = x + (−y).
Elle vérifie les règles de calcul habituelles :
x + y = z ⇐⇒ x = z − y.
On peut notamment simplifier :
x + y = x0 + y ⇐⇒ x = x0 .
Produit externe par Z
Pour x ∈ G et n ∈ N on note
nx = x + x + · · · + x
{z
}
|
n
avec la convention que 0x = 0G . On étend cette opération aux entiers négatifs
avec la formule (−n)x = −(nx) pour n ∈ N. On a donc donné un sens au
produit externe nx avec n ∈ Z et x ∈ G. On a les formules usuelles :
0x = 0G , 1x = x , (m+n)x = mx+nx , m(nx) = (mn)x , n(x+y) = nx+ny.
(Noter que pour la dernière on utilise bien le fait que + est commutative.)
Remarque
Tout R-espace vectoriel est un groupe abélien, et dans un R-espace
vectoriel E on peut plus généralement donner un sens au produit ax ∈ E
pour a ∈ R et x ∈ E, qui vérifie les mêmes formules que ci-dessus. On peut
donc dire que Z joue pour les groupes abéliens le rôle que R joue pour les
R-espaces vectoriels. On pourrait dire qu’un groupe abélien est un Z-espace
vectoriel, mais on n’emploie pas cette terminologie car Z n’est pas un corps.
On parle plutôt de Z-module.
Morphismes
Dans la notation additive, un morphisme de groupes de G vers H est une
application f : G → H qui vérifie
∀x, y ∈ G, f (x + y) = f (x) + f (y).
Elle vérifie alors automatiquement
f (0G ) = 0H
et
f (−x) = −f (x)
pour tout x ∈ G.
On montre facilement que pour tous x, y ∈ G et m, n ∈ Z on a :
f (mx + ny) = mf (x) + nf (y).
I On rappelle la notion de noyau d’un morphisme de groupes :
ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = 0H }.
Sous-groupes
Dans la notation additive, un sous-groupe d’un groupe G est un sous-ensemble
H ⊂ G qui vérifie les axiomes suivants :
(1) 0G ∈ H ;
(2) H est stable par somme : ∀x, y ∈ H, x + y ∈ H ;
(3) H est stable par passage à l’opposé : ∀x ∈ H, −x ∈ H.
I Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G. Alors pour tous
x, y ∈ H et pour tous m, n ∈ Z on a mx + ny ∈ H. Réciproquement,
tout sous-ensemble H ⊂ G non vide qui vérifie cette propriété est un
sous-groupe de G.
Sous-groupe engendré par une partie
Soit G un groupe abélien et soient x1 , . . . , xr ∈ G.
I Le sous-groupe de G engendré par x1 , . . . , xr peut être décrit comme
l’ensemble des combinaisons Z-linéaires de x1 , . . . , xr :
h x1 , . . . , xr i = {n1 x1 + · · · + nr xr , n1 , . . . , nr ∈ Z}.
I Plus généralement, pour une partie S ⊂ G quelconque, le sous-groupe de
G engendré par S, noté h S i, est l’ensemble des combinaisons linéaires
finies n1 x1 + · · · + nr xr avec x1 , . . . , xr ∈ S et n1 , . . . , nr ∈ Z.
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Anneau
Définition
Un anneau est un triplet (A, +, ×) où A est un ensemble et +, × sont
deux lois de composition internes sur A qui vérifient les axiomes suivants :
(1) (A, +) est un groupe abélien.
(2) Associativité de × : ∀x, y, z ∈ A , (x × y) × z = x × (y × z) (qu’on
peut donc noter x × y × z).
(3) Élément neutre pour × : il existe un élément 1A ∈ A tel que
∀x ∈ A , x × 1A = x = 1A × x. On l’appelle le un de l’anneau.
(4) Distributivité de × par rapport à + : ∀x, y, z ∈ A,
x × (y + z) = x × y + x × z et (x + y) × z = x × z + y × z.
Exercice 60
Montrer que l’élément neutre 1A est unique.
Définition
Un anneau (A, +, ×) est commutatif si la multiplication est commutative,
c’est-à-dire si : ∀x, y ∈ A , x × y = y × x.
Remarque
Quand il n’y a pas d’ambiguı̈té on écrit simplement A pour (A, +, ×), 0
pour 0A et 1 pour 1A , afin d’alléger les notations. On utilise aussi la
notation habituelle xy = x × y.
On utilise tout le temps les formules de l’exercice suivant.
Exercice 61
Soit (A, +, ×) un anneau.
– Montrer qu’on a x × 0A = 0A = 0A × x pour tout x ∈ A.
– Montrer qu’on a (−x) × y = −(x × y) = x × (−y) pour tous x, y ∈ A.
– Montrer qu’on a (−1A ) × x = −x = x × (−1A ) pour tout x ∈ A.
L’anneau nul
Un exemple trivial d’anneau est l’anneau nul A = {0}. Les lois sont 0 + 0 = 0,
0 × 0 = 0, et 0 est à la fois le neutre pour + et le neutre pour ×.
Exercice 62
Soit (A, +, ×) un anneau. Montrer que si 0A = 1A alors A = {0A } est
l’anneau nul.
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Exemples d’anneaux
I Les anneaux Z, Q, R, C avec l’addition et la multiplication usuelles.
I Pour n ∈ N∗ , l’anneau Z/nZ, avec l’addition et la multiplication définies
au chapitre 2. Le zéro est 0, le un est 1.
I L’anneau des polynômes à coefficients réels R[X], avec l’addition et la
multiplication usuelles. Le zéro est le polynôme nul, le un est le polynôme
constant 1.
I L’anneau des suites réelles RN , muni de l’addition des suites
(un ) + (vn ) = (un + vn ) et du produit des suites (un )(vn ) = (un vn ). Le
zéro est la suite nulle, le un est la suite constante égale à 1.
I L’anneau des fonctions de R dans R, noté RR = {f : R → R}, muni de la
somme (f + g)(x) = f (x) + g(x) et du produit (f g)(x) = f (x)g(x). Le
zéro est la fonction nulle, le un est la fonction constante égale à 1.
Plus d’exemples d’anneaux
I Les exemples précédents sont commutatifs. Les matrices carrées de taille
n forment un anneau (Mn (R), +, ×), qui n’est pas commutatif si n > 2.
Le zéro est la matrice nulle, le un est la matrice identité In .
I Soit V un R-espace vectoriel, et notons End(V ) l’ensemble des
endomorphismes R-linéaires de V . Alors (End(V ), +, ◦) est un anneau qui
n’est pas commutatif si dim(V ) > 2. Le zéro est l’endomorphisme nul, le
un est l’endomorphisme identité idV .
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Inversibles
Soit (A, +, ×) un anneau.
I (A, ×) n’est pas un groupe en général, mais c’est un monoı̈de au sens du
chapitre précédent. (La multiplication est associative et a un élément
neutre.)
I On dit qu’un x ∈ A est inversible dans A s’il est inversible pour ×,
c’est-à-dire s’il existe y ∈ A tel que x × y = 1A = y × x. Dans ce cas-là y
est unique et est noté x−1 . On a les formules classiques :
(x−1 )−1 = x
et
(xy)−1 = y −1 x−1 .
I L’ensemble des éléments inversibles de A est noté A× , et (A× , ×) forme
un groupe, qu’on appelle le groupe des inversibles de A.
Exercice 63
Pour les exemples d’anneaux A qu’on vient de voir, déterminer les groupes
des inversibles A× .
Deux remarques
Remarque
Si A n’est pas commutatif alors il est dangereux de noter x−1 = x1 . En
effet, on serait alors tenté d’utiliser des fractions xy qui seraient alors
ambiguës : on ne pourrait pas faire la différence entre x × y1 et y1 × x. Dans
le cas où A est commutatif, il n’y a pas de danger et on peut se permettre
d’écrire des fractions – tant que le dénominateur est inversible évidemment.
Remarque
Si A 6= {0} n’est pas l’anneau nul, c’est-à-dire si 0A 6= 1A (d’après
l’exercice 62) alors 0A n’est pas inversible. En effet, on a vu (dans l’exercice
61) que pour tout x ∈ A on a x × 0A = 0A .
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Corps
Définition
Un corps est un anneau K 6= {0K } qui est commutatif et tel que tout
élément x ∈ K \ {0K } est inversible.
On rappelle (voir l’exercice 62) que la condition K 6= {0K } revient à dire que
0K 6= 1K .
Remarque
Une définition équivalente : un corps est un anneau commutatif K qui est
tel que K × = K \ {0K }. (Noter que cette condition implique bien que
K 6= {0K }).
On notera comme d’habitude K ∗ = K \ {0K }.
Remarque
On insiste sur le fait que dans un corps la multiplication est par définition
commutative. La notion plus générale d’un anneau non nul dans lequel tout
élément non nul a un inverse pour la multiplication s’appelle anneau à
division ou corps gauche.
Exemples
Des exemples de corps :
I Q, R, C sont des corps.
I Si p est un nombre premier alors Z/pZ est un corps.
I L’ensemble R(X) des fractions rationnelles (quotients de polynômes) à
coefficients réels est un corps.
Des non-exemples de corps :
I Z n’est pas un corps car il n’existe pas de y ∈ Z tel que 2 × y = 1.
I R[X] n’est pas un corps car il n’existe pas de f ∈ R[X] tel que X × f = 1.
I Pour n > 2 un nombre composé, Z/nZ n’est pas un corps. En effet, si
l’on choisit un diviseur positif d|n avec d 6= 1 et d 6= n, alors d 6= 0 et d
n’est pas inversible.
Espace vectoriel sur un corps
On rappelle la définition d’un espace vectoriel sur un corps.
Définition
Soit K un corps. Un K-espace vectoriel (ou espace vectoriel sur K) est
un triplet (E, +, .) où E est un ensemble, + est une loi de composition
interne sur E, et . est une loi de composition externe K × E → E, notée
(a, x) 7→ a.x, telles que :
(1) (E, +) est un groupe abélien ;
(2) Linéarité de la loi . : ∀a ∈ K , ∀x, y ∈ E , a.(x + y) = a.x + a.y ;
(3) Compatibilité à l’addition dans K :
∀a, b ∈ K , ∀x ∈ E , (a + b).x = a.x + b.x ;
(4) Compatibilité à la multiplication dans K :
∀a, b ∈ K , ∀x ∈ E , (ab).x = a.(b.x) ;
(5) Compatibilité à l’unité de K : ∀x ∈ E , 1K .x = x.
Remarque
Les théorèmes classiques d’algèbre linéaire (pivot de Gauss, théorie des
bases et de la dimension, existence de supplémentaires, théorème du rang,
déterminant des matrices, etc.) sont vrais quel que soit le corps, même si
on vous les a peut-être seulement énoncés pour K = R ou C.
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Puissances
Soit (A, +, ×) un anneau. On peut définir, pour x ∈ A et n ∈ N, la puissance
xn = x × x × · · · × x
{z
}
|
n
0
avec la convention x = 1A . Les propriétés usuelles sont satisfaites : x0 = 1A ,
x1 = x, xm+n = xm xn , (xm )n = xmn .
Remarque
Attention : on n’a pas en général (xy)n = xn × y n . Par exemple,
(xy)2 = xyxy et x2 y 2 = xxyy. Si xy = yx alors on a l’égalité.
Développement
Dans un anneau (A, +, ×) on peut utiliser la compatibilité entre + et × pour
développer comme on a l’habitude, par exemple :
(x + y)(z + t) = xz + xt + yz + yt.
Cas particulier :
(x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + xy + yx + y 2 .
Remarque
Attention : si xy 6= yx on a (x + y)2 6= x2 + 2xy + y 2 .
Identités remarquables
Proposition
Soit A un anneau et x, y ∈ A tels que xy = yx. Alors on a les propriétés
habituelles, pour n ∈ N :
(a) (xy)n = xn y n ;
(b) (Formule du binôme de Newton)
!
n
X
n k n−k
x y
;
(x + y) =
k
n
k=0
(c)
xn − y n = (x − y)
n−1
X
!
xk y n−1−k
.
k=0
Exercice 64
Vérifiez que vous savez identifier l’endroit où on utilise xy = yx dans les
preuves ci-dessus.
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Anneaux intègres
Définition
Un anneau commutatif A est dit intègre si A 6= {0} et pour tous x, y ∈ A
on a
xy = 0 =⇒ (x = 0 ou y = 0) ,
ou par contraposée :
(x 6= 0 et y 6= 0) =⇒ xy 6= 0 .
Exercice 65
Montrer que dans un anneau intègre on peut simplifier pour la
multiplication, c’est-à-dire : si ax = ay alors a = 0 ou x = y.
Proposition
Si A est un corps alors A est intègre.
Démonstration. Soit A un corps, et soient x, y ∈ A tels que xy = 0. Si x 6= 0
alors x est inversible et en multipliant par x−1 on obtient y = 0.
Exemples
I Z est un anneau intègre (qui n’est pas un corps). En effet, le produit de
deux entiers non nuls est non nul, mais 2 n’est pas inversible dans Z.
I R[X] est un anneau intègre (qui n’est pas un corps). En effet, le produit
de deux polynômes (à coefficients réels) non nuls est non nul, mais X
n’est pas inversible dans R[X].
I L’anneau RR des fonctions de R dans R n’est pas intègre. En effet, soit f
la fonction indicatrice de l’intervalle [0, 1] et g la fonction indicatrice de
l’intervalle [2, 3], on a f 6= 0, g 6= 0, mais f g = 0.
I Si n > 2 est un nombre composé, alors l’anneau Z/nZ n’est pas intègre.
En effet, écrivons n = ab avec 1 < a, b < n, on a alors a 6= 0, b 6= 0, et
a × b = ab = n = 0.
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Produit d’anneaux
Soient A et B deux anneaux. On munit le produit cartésien A × B de lois + et
× par les formules :
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) et (x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 )
Proposition
Muni de ces lois, A × B est un anneau.
I On vérifie que le zéro de A × B est (0A , 0B ) et que le un est (1A , 1B ). Si
A et B sont commutatifs alors A × B l’est aussi.
Définition
On appelle A × B l’ anneau produit de A et B.
Plus généralement...
I Plus généralement, pour une famille (Ai )i∈I d’anneaux indexée par un
ensemble I, on peut former le produit
Y
Ai ,
i∈I
qui est un anneau où les lois se calculent “coordonnée par coordonnée”.
I Si tous les anneaux Ai sont égaux au même anneau A, on le note AI .
Remarque
Si A 6= {0A } et B 6= {0B } alors A × B n’est pas un anneau intègre. En
effet on a :
(1A , 0B )(0A , 1B ) = (0A , 0B ).
1. Le langage des anneaux et des corps
1.1 Notation additive dans un groupe abélien
1.2 Anneau
1.3 Exemples
1.4 Inversibles
1.5 Corps
1.6 Règles de calcul dans un anneau
1.7 Anneaux intègres
1.8 Produit d’anneaux
1.9 Fonctions à valeurs dans un anneau
Fonctions à valeurs dans un anneau
Soit A un anneau et I un ensemble. Rappelons que AI peut être vu comme
l’ensemble des applications f : I → A. Avec ce point de vue, les loi + et × se
calculent, pour f1 , f2 : I → A, par les formules
(f1 + f2 )(i) = f1 (i) + f2 (i)
et
(f1 × f2 )(i) = f1 (i) × f2 (i)
Le zéro est la fonction nulle (f (i) = 0A pour tout i ∈ I) et le un est la fonction
constante égale à 1A (f (i) = 1A pour tout i ∈ I).
Exemple
1) Pour I = R et A = R on retrouve l’exemple déjà vu de l’anneau des
fonctions de R dans R.
2) Pour I = N on obtient l’anneau AN des suites d’éléments de A (où
l’addition et la multiplication des suites se calcule terme à terme).